Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

• Zbiór liczb spełniających nierówność $x>a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy $\left(a,\infty \right)$.

• Zbiór liczb spełniających nierówność $x\ge a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy $\left.⟨a,\infty \right)$.

• Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x<a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy $\left(-\infty ,a\right)$.

• Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x\le a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy $\left(-\infty ,a⟩\right.$.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności $x>-3$ i $x<5$.

  RCPFpxmDMMClQ1

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

  

  Film dostępny pod adresem /preview/resource/RCPFpxmDMMClQ

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

  Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejsze od $5$. Przedział otwarty oznaczamy
  $\left(-3,5\right)$. Nierówności $x>-3$ i $x<5$ możemy zastąpić nierównością podwójną $-3<x<5$.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek $-3\le x\le 5$.

  R9QghuCT8sgQn1

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

  

  Film dostępny pod adresem /preview/resource/R9QghuCT8sgQn

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

  Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejsze lub równe $5$. Przedział domknięty oznaczamy $⟨-3,5⟩$.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek $-3<x\le 5$.

  R1SrpBXL9zYDb1

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

  

  Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1SrpBXL9zYDb

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

  Taki przedział jest otwarty z lewej strony i  domknięty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe od $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejsze lub równe $5$. Musimy pamiętać, że liczba $\left(-3\right)$ nie należy do tego przedziału, a liczba $5$ do niego należy. Przedział ten oznaczamy $\left(-3,5\right.⟩$.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek $-3\le x<5$.

  R1WvJGs3F5NeG1

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

  

  Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1WvJGs3F5NeG

  Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

  Taki przedział jest domknięty z lewej strony i  otwarty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejsze od $5$. Musimy pamiętać, że liczba $\left(-3\right)$ należy do tego przedziału, a liczba $5$ do niego nie należy. Przedział ten oznaczamy $\left.⟨-3,5\right)$.

Niech $a$ i $b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym $a<b$.

• Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb $x$ spełniających warunek $a<x<b$. Przedział ten oznaczamy $\left(a,b\right)$.

• Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb $x$ spełniających warunek $a\le x\le b$. Przedział ten oznaczamy $⟨a,b⟩$.

Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.

RAd3ucGKtuOhD1

Rysunek ośmiu osi liczbowych. Na pierwszej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od a. Zapis: (a, plus nieskończoność), x >a. Na drugiej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe a. Zapis: <a, plus nieskończoność), x większe lub równe a. Na trzeciej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze od a. Zapis: (minus nieskończoność, a), x <a. Na czwartej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze lub równe a. Zapis: (minus nieskończoność, a>, x mniejsze lub równe a. Na piątej osi w punktach o współrzędnych a, b niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od a i mniejsze od b. Zapis: (a, b), a <x <b. Na szóstej osi w punktach o współrzędnych a, b zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe a i mniejsze lub równe b. Zapis: <a, b>, a mniejsze lub równe x mniejsze lub równe b. Na siódmej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko, w punkcie b niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe a i mniejsze od b. Zapis: <a, b), a mniejsze lub równe x <b. Na ósmej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko, w punkcie b zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od a i mniejsze lub równe b. Zapis: <a, b), a < x mniejsze lub równe b.

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału $\left(0,7\right)$ i do przedziału $⟨-2,4⟩$.

RBbFYs4cJny9a1

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RBbFYs4cJny9a

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.

RmmyzkeIQ1La81

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami od -4 do 9. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna.

Przedział $\left(0,4\right.⟩$ zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział $\left(0,4\right.⟩$ jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów $\left(0,7\right)$ i $⟨-2,4⟩$.
Symbolicznie zapisujemy

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału $\left(0,7\right)$ lub do przedziału $⟨-2,4⟩$.

R1aXbXRlsCFPY1

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1aXbXRlsCFPY

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).

RojZB27fgcdik1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami od -4 do 9. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma.

Przedział $\left.⟨-2,7\right)$ zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu jednocześnie). Przedział $\left.⟨-2,7\right)$ jest sumą przedziałów $\left.⟨0,7\right)$ i $⟨-2,4⟩$.
Symbolicznie zapisujemy

• Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór złożony z liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy $A\cap B$.

• Sumą przedziałów $A$ i $B$ nazywamy przedział zawierający wszystkie liczby z przedziałów $A$ i $B$. Sumę przedziałów oznaczamy $A\cup B.$