Materiał ten poświęcony jest przedziałom liczbowym. Analizując zawarte tu przykłady, poznasz rodzaje przedziałów liczbowych i ich interpretację geometryczną.
Już wiesz
RXKaKI6fRWOYI1
Rozwiązania powyższych nierówności doprowadziły nas do zdefiniowania przedziałów nieograniczonych.
Przedziały nieograniczone
Definicja: Przedziały nieograniczone
Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
Zbiór liczb spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy .
Zbiór liczb spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy .
Zbiór liczb spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy .
Zbiór liczb spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy .
Przyjrzyjmy się teraz przedziałom ograniczonym.
Przykład 1
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności i .
RCPFpxmDMMClQ1
Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od i jednocześnie mniejsze od . Przedział otwarty oznaczamy . Nierówności i możemy zastąpić nierównością podwójną .
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek .
R9QghuCT8sgQn1
Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe i jednocześnie mniejsze lub równe . Przedział domknięty oznaczamy .
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek .
R1SrpBXL9zYDb1
Taki przedział jest otwarty z lewej strony i domknięty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe od i jednocześnie mniejsze lub równe . Musimy pamiętać, że liczba nie należy do tego przedziału, a liczba do niego należy. Przedział ten oznaczamy .
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek .
R1WvJGs3F5NeG1
Taki przedział jest domknięty z lewej strony i otwarty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe i jednocześnie mniejsze od . Musimy pamiętać, że liczba należy do tego przedziału, a liczba do niego nie należy. Przedział ten oznaczamy .
Przedziały ograniczone
Definicja: Przedziały ograniczone
Niech i będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym .
Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb spełniających warunek . Przedział ten oznaczamy .
Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb spełniających warunek . Przedział ten oznaczamy .
Przykład 2
Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.
RAd3ucGKtuOhD1
Przykład 3
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału i do przedziału .
RBbFYs4cJny9a1
RmmyzkeIQ1La81
Przedział zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów i . Symbolicznie zapisujemy
.
Przykład 4
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału lub do przedziału .
R1aXbXRlsCFPY1
RojZB27fgcdik1
Przedział zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu jednocześnie). Przedział jest sumą przedziałów i . Symbolicznie zapisujemy
.
Część wspólna przedziałów. Suma przedziałów
Definicja: Część wspólna przedziałów. Suma przedziałów
Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów i nazywamy zbiór złożony z liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy .
Sumą przedziałów i nazywamy przedział zawierający wszystkie liczby z przedziałów i . Sumę przedziałów oznaczamy
1
Ćwiczenie 1
Zaznacz na osi liczbowej liczby, które
należą do sumy przedziałów oraz ,
R2URr2dFxoNqf
2.należą do sumy przedziałów oraz ,
R2URr2dFxoNqf
należą do części wspólnej przedziałów i ,
R2URr2dFxoNqf
należą do części wspólnej przedziałów i .
R2URr2dFxoNqf
Znajdź liczby, które
należą do sumy przedziałów oraz ,
należą do sumy przedziałów oraz ,
należą do części wspólnej przedziałów i ,
należą do części wspólnej przedziałów i .
Przypomnij sobie definicję części wspólnej i sumy przedziałów.