Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji z wykresu. Przykłady

Rysunek przedstawia wykres funkcji $g$.

RVnrbBv9wyCcK1

Ilustracja przedstawia wykres funkcji g w postaci łamanej złożonej z pięciu odcinków. Koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego odcinka, koniec drugiego odcinka jest początkiem trzeciego odcinka, itd. Wykres funkcji zaczyna się w zamalowanym punkcie ( -4, -1 ), a końce i początki kolejnych odcinków wyznaczają punkty ( -3, 0 ), ( -1, 0 ), ( 1,-2 ) i ( 4, 3 ). Wykres kończy się w zamalowanym punkcie ( 5, 2 ).

Z wykresu funkcji $g$ odczytamy, że:

1. przedział $⟨1, 4⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $g$ jest rosnąca,

2. przedział $⟨-1, 1⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $g$ jest malejąca,

3. przedział $⟨-3,-1⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $g$ jest stała,

4. przedział $⟨-4,-1⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $g$ jest niemalejąca,

5. przedział $⟨-3, 1⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $g$ jest nierosnąca.

Funkcja $g$ jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale $⟨-4, 5⟩$.

Z wykresu funkcji $h$ odczytamy, że:

przedział $\left(-4, 2\right.⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $h$ jest rosnąca.

Funkcja $h$ jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale $\left(-4, 5\right.⟩$.

R11H5jV2BfKf81

Ilustracja przedstawia wykres funkcji h, który składa się z trzech odcinków. Pierwszy odcinek ma początek w niezamalowanym punkcie (-4,-2) i koniec w zamalowanym punkcie (-2,-1). Drugi odcinek ma początek w niezamalowanym punkcie (-2, 0) i koniec w zamalowanym punkcie (2, 1). Trzeci odcinek ma początek w niezamalowanym punkcie (2,-3) i koniec w zamalowanym punkcie (5, 2).

Z wykresu funkcji $t$ odczytamy, że:

1. przedział $⟨-2, 1⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $t$ jest rosnąca,

2. przedział $⟨-3,-2⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $t$ jest malejąca,

3. przedział $⟨1, 4⟩$ jest przedziałem, w którym funkcja $t$ jest malejąca.

Funkcja $t$ jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale $⟨-3, 4⟩$.

RsuxE4HTP74Tp1

Ilustracja przedstawia wykres funkcji t w postaci krzywej. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie (-3,-1), maleje do punktu (-2, -2), a następnie rośnie do punktu (1, 2). Dalej wykres maleje od punktu (1, 2) do zamalowanego punktu (4, 0), który kończy wykres funkcji.

Na rysunku, w tym samym układzie współrzędnych, przedstawione są wykresy funkcji $p$ oraz $k$.

Dziedziną funkcji $p$ jest przedział $⟨-4, 3⟩$, a dziedziną funkcji $k$ jest przedział
$⟨-3, 4⟩$.

R1eVwum01Yri51

Ilustracja przedstawia wykres funkcji p w postaci krzywej i wykres funkcji k w postaci krzywej. Wykres funkcji p maleje od zamalowanego punktu (-4, 3) do zamalowanego punktu (3,-2), a wykres funkcji k rośnie od zamalowanego punktu (-3,-1) do zamalowanego punktu (4, 2).

Z wykresów funkcji $k$ i $p$ odczytamy, że:

1. funkcja $k$ jest rosnąca (jako rosnąca w całej swojej dziedzinie),

2. funkcja $p$ jest malejąca (jako malejąca w całej swojej dziedzinie).

RdDDwAnzyq13l1

Ilustracja przedstawia wykres funkcji f, który składa się z sześciu zamalowanych punktów o współrzędnych (-4, -2), (-3, -1), (-2, 1), (-1, 2), (0, dwa i pięć dziesiątych), (1, 3), (2, 4).

Dziedziną funkcji $f$, przedstawionej na rysunku, jest zbiór $\left\{-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2\right\}$.

Z wykresu odczytujemy, że:

$f\left(-4\right)=-2$, $f\left(-3\right)=-1$, $f\left(-2\right)=1$, $f\left(-1\right)=2$, $f\left(0\right)=2\frac{1}{2}$, $f\left(1\right)=3$, $f\left(2\right)=4$.

Ponieważ

więc funkcja $f$ jest rosnąca.

R1c7lPXp4Kp9Z1

Ilustracja przedstawia wykres funkcji g, który składa się z dziesięciu punktów o współrzędnych (-4, 3), (-3, 3), (-2, 2), (-1, 2), (0, 0), (1, 0), (2, -1), (3, -2), (4 , -2), (5, -3).

Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $\left\{-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$. Korzystając z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji $g$, odczytamy, że:

$f\left(-4\right)=f\left(-3\right)=3$, $f\left(-2\right)=f\left(-1\right)=2$, $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$, $f\left(2\right)=-1$, $f\left(3\right)=f\left(4\right)=-2$, $f\left(5\right)=-3$.

Ponieważ

więc funkcja $g$ jest nierosnąca.

Dziedziną funkcji $a$, przedstawionej na rysunku, jest zbiór $\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\right\}$.
Przy zwiększaniu argumentu o $1$ również o $1$ rosną wartości funkcji $a$.
A zatem funkcja $a$ jest rosnąca.

RsiSLIKQRU9l61

Ilustracja przedstawia wykres funkcji a, który składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, -1), (2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6).

Z wykresu odczytujemy, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ ze zbioru $\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\right\}$ zachodzi zależność

Funkcja $a$ jest przykładem ciągu – tak nazywa się funkcje, których dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich (wtedy nazywamy taki ciąg nieskończonym) lub skończony podzbiór początkowych liczb całkowitych dodatnich (wtedy taki ciąg nazywamy skończonym).

Dla wyróżnienia tych szczególnych funkcji:

• zamiast tradycyjnego zapisu wartości $a\left(n\right)$ stosuje się zapis $a_n$,

• $a_n$ nazywamy $n$–tym wyrazem ciągu, zaś $n$ nazywamy indeksem (lub wskaźnikiem).

Ciąg o kolejnych wyrazach $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ oznaczamy symbolicznie $\left(a_n\right)$.