Dowodzenie z wykorzystaniem cech przystawania trójkątów - przykłady

W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie cech przystawania trójkątów w zadaniach na dowodzenie.

Przykład 1

W równoległoboku $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $M$ . Wykaż, że trójkąty $A B M$ i $C D M$ są przystające.
Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem, a zatem boki $A B$ i $C D$ są równe oraz zawierają się w prostych równoległych. Wynika stąd, że kąty $C A B$ i $D C A$ mają równe miary oraz kąty $D B A$ i $B D C$ mają równe miary.

R17ZDLhhyL8qc1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC, BD i punktem przecięcia przekątnych M. Pomiędzy przekątnymi, a dłuższymi bokami równoległoboku zaznaczono kąty A C D, B A C oraz B D C i A B D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Stąd i z równości

|A B| = |C D|

wynika, że trójkąty $A B M$ i $C D M$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy kąt – bok – kąt.
Uwaga. Z przystawania trójkątów $A B M$ i $C D M$ wynika, że $|A M| = |M C|$ i $|B M| = |M D|$ . Prawdziwe jest zatem poniższe twierdzenie.

Przekątne w równoległoboku

Twierdzenie: Przekątne w równoległoboku

W dowolnym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

Czworokąt, który jest równoległobokiem

Twierdzenie: Czworokąt, który jest równoległobokiem

Czworokąt, którego przekątne dzielą się na połowy jest równoległobokiem.

Dowód

Dla dowodu rozpatrzmy czworokąt $A B C D$ , którego przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $P$ będącym środkiem każdej z nich. Wtedy

|A P| = |C P|

|D P| = |B P|

oraz

|∢ A P D| = |∢ B P C|

jako kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty $A P D$ i $B P C$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok – kąt – bok.

Rh5D7XkaOswOC1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD i punktem przecięcia przekątnych P. Zaznaczono kąty ostre pomiędzy przekątnymi oraz kąty C A D i A C B pomiędzy dłuższą przekątną a krótszymi bokami równoległoboku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego $|A D| = |B C|$ , a także $|∢ P A D| = |∢ P C B|$ , skąd wniosek, że proste $A D$ i $B C$ są równoległe.
Skoro dwa boki czworokąta $A B C D$ są równe i równoległe, to jest on równoległobokiem, co kończy dowód.

Przykład 2

W trójkącie $A B C$ środek boku $A B$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ . Wykaż, że boki $A C$ i $B C$ tego trójkąta są równe.

Oznaczmy przez $D$ środek boku $A B$ . Trójkąty $A D C$ i $B D C$ są prostokątne. Mają wspólną przyprostokątną $D C$ , a także $|A D| = |D B|$ .

R1NFd32wF6mBL1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością AD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bok‑kąt‑bok). Stąd wynika, że $|A C| = |B C|$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

W trójkącie $A B C$ spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na bok $A B$ jest taki punkt $P$ , że kąty $A C P$ i $B C P$ mają równe miary. Wykaż, że

|A C| = |B C|

Trójkąty $A P C$ i $B P C$ są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną $P C$ , a także kąty $A C P$ i $B C P$ mają równe miary.

R1KTlYa8IsFuh1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością CP i zaznaczono kąty ostre P C A oraz P C B. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty te są zatem przystające (na mocy cechy kąt – bok – kąt). Stąd $|A C| = |B C|$ .
Koniec dowodu.

W trójkącie $A B C$ boki $A C$ i $B C$ są równe. Wykaż, że spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ tego trójkąta jest środek boku $A B$ .

Oznaczmy przez $E$ spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ na bok $A B$ .

RIj2aQigyhmvl1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością CE. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wtedy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych $A E C$ i $B E C$ mamy odpowiednio

{|A E|}^{2} + {|E C|}^{2} = {|A C|}^{2}

{|B E|}^{2} + {|E C|}^{2} = {|B C|}^{2}

skąd

{|A E|}^{2} = {|A C|}^{2} - {|E C|}^{2}

{|B E|}^{2} = {|B C|}^{2} - {|E C|}^{2}

Skoro $|A C| = |B C|$ , to ${|A E|}^{2} = {|B E|}^{2}$ . Uwzględniając, że $|A E| > 0$ oraz $|B E| > 0$ , otrzymujemy $|A E| = |B E|$ , czyli punkt $E$ jest środkiem boku $A B$ , co należało wykazać.

Uwaga!

Ponieważ odpowiednie boki w trójkątach $A E C$ i $B E C$ są równe, to na mocy cechy bok‑bok‑bok stwierdzamy, że trójkąty te są przystające. Wynika z tego, że

|∢ C A E| = |∢ C B E|

|∢ A C E| = |∢ B C E|

Prawdziwe jest więc poniższe twierdzenie.

Trójkąt równoramienny

Twierdzenie: Trójkąt równoramienny

W dowolnym trójkącie równoramiennym

kąty wewnętrzne przy podstawie są równe,
środek podstawy jest spodkiem wysokości opuszczonej na tę podstawę,
wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta wspólnego dla ramion zawiera się w dwusiecznej tego kąta.

Przykład 3

W prostokącie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się pod kątem prostym. Wykaż, że

|A B| = |B C|

Oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ prostokąta $A B C D$ . Jest on środkiem każdej z tych przekątnych, bo czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem.

RBGAm3vh5qd961

Rysunek prostokąta A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD i punktem przecięcia przekątnych P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że punkt $P$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie $A B C$ z wierzchołka $B$ na bok $A C$ . Wobec tego trójkąt $A B C$ jest równoramienny i

|A B| = |B C|

To spostrzeżenie kończy dowód.
Udowodniliśmy więc, że prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym jest kwadratem.

Przykład 4

W równoległoboku $A B C D$ przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $B A D$ . Wykaż, że przekątne $A C$ i $B D$ tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
Oznaczmy przez $α$ miarę każdego z kątów, na które dwusieczna $A C$ podzieliła kąt $B A D$

|∢ C A B| = α

|∢ C A D| = α

R1XZPPgxUt4ai1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C i C A D o mierze alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wtedy

|∢ A C D| = α

|∢ A C B| = α

RyqiAIP1bbtOq1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C, C A D oraz A C D i A C B o mierze alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $A B C$ i $A D C$ są zatem równoramienne, bo w każdym z nich kąty przy podstawie $A C$ mają miarę równą $α$ . Zatem

|A B| = |B C| = |C D| = |A D|

Wynika z tego, że spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$ trójkąta $A B C$ na podstawę $A C$ jest środek $M$ odcinka $A C$ , który jest również spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $D$ trójkąta $A D C$ na podstawę $A C$ .

RQGyBGjB2TdAL1

Rysunek równoległoboku A B C D, z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD, przecinającymi się pod kątem prostym w punkcie M. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C, C A D oraz A C D i A C B o mierze alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego miary kątów $B M A$ i $A M D$ sumują się do kąta półpełnego, zatem punkt $M$ leży na przekątnej $B D$ .
To oznacza, że przekątne $A C$ i $B D$ równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. Koniec dowodu.
Uwaga. Wykazaliśmy, że jeżeli w równoległoboku $A B C D$ przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $B A D$ , to równoległobok $A B C D$ jest rombem.

Przykład 5

W trójkącie prostokątnym $A B C$ punkt $D$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego $C$ na przeciwprostokątną $A B$ . Punkt $E$ jest symetryczny do punktu $D$ względem prostej $A C$ , a punkt $F$ jest symetryczny do punktu $D$ względem prostej $B C$ .

RyYYXxvcK08DW1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C z zaznaczoną wysokością CD. Kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C. Zaznaczono punkt F znajdujący się po prawej stronie boku B C. Punkt F połączono z punktem D przerywaną linią, która przecina bok B C pod kątem prostym. Po lewej stronie boku A C zaznaczono punkt E, który połączono z punktem D przerywana linią przecinającą bok A C pod kątem prostym. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykażemy, że punkty $C$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.
Zauważmy, że prosta $A C$ jest symetralną odcinka $D E$ . Wynika stąd, że

|A E| = |A D|

|C E| = |C D|

Wobec tego trójkąty $E A C$ i $D A C$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok – bok – bok.

Rz3f5KsgK37pT1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C z zaznaczoną wysokością CD. Kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C. Na przyprostokątnej A C zbudowano trójkąt A C E . Punkt E połączono z punktem D przerywaną linią przecinającą bok A C pod kątem prostym. Następnie zaznaczono punkt F znajdujący się po prawej stronie boku B C. Punkt F połączono z punktem D przerywaną linią, która przecina bok B C pod kątem prostym. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy też, że prosta $B C$ jest symetralną odcinka $D F$ . Wynika stąd, że

|B F| = |B D|

|C F| = |C D|

Zatem trójkąty $F B C$ i $D B C$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok – bok – bok.

RLo8tP2i53xkC1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C z zaznaczoną wysokością CD. Kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C. Na przyprostokątnej B C zbudowano trójkąt B F C i połoczono przerywaną linią punkt F i D tak, że przecina ona bok B C pod kątem prostym. Następnie zaznaczono punkt E znajdujący się po lewej stronie boku A C i połączono go z punktem D przerywaną linią przecinającą bok A C pod kątem prostym. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie $A B C$ kąt $A C B$ jest prosty. Oznaczmy przez $α$ miarę kąta $C A B$ . Wtedy

|∢ C B A| = 90 ° - α

W trójkącie prostokątnym $A D C$ kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty i

|∢ C A D| = α

więc

|∢ D C A| = 90 ° - α

Wobec tego

|∢ E A C| = 90 ° - α

(bo $D C A$ i $E C A$ to odpowiednie kąty w trójkątach przystających $E A C$ i $D A C$ ).
W trójkącie prostokątnym $B D C$ kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty i

|∢ D B C| = 90 ° - α

Zatem

|∢ B C D| = α

Wobec tego

|∢ B C F| = α

(bo $∢ B C D$ i $∢ B C F$ to odpowiednie kąty w trójkątach przystających $F B C$ i $D B C$ ).
Obliczmy miarę kąta $E C F$ . Mamy

|∢ E C F| = |∢ E C A| + |∢ A C B| + |∢ B C F| = (90 ° - α) + 90 ° + α = 180 °

RO9iG9RT3zqjS1

Wynika z tego, że punkty $C$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej, a to właśnie należało udowodnić.

Przykład 6

Na bokach $A C$ i $B C$ trójkąta ostrokątnego $A B C$ zbudowano kwadraty $A C D E$ i $B C F G$ .

R14Mm0ergCaZq1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach A C oraz B C kwadratami A C D E i B C F G. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykażemy, że odcinki $B D$ i $A F$ mają równe długości.
Oznaczmy

|A C| = b

|B C| = a

|∢ A C B| = γ

Czworokąt $A C D E$ jest kwadratem, więc $|C D| = |A C| = b$ . Czworokąt $B C F G$ jest również kwadratem, więc

|C F| = |B C| = a

Ponadto

|∢ D C B| = |∢ D C A| + |∢ A C B| = 90 ° + γ

oraz

|∢ A C F| = |∢ A C B| + |∢ B C F| = γ + 90 °

R1MxogFMFuoyN1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach A C oraz B C kwadratami A C D E i B C F G oraz zaznaczonych kątem A C B równym gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego

|C D| = |A C| = b

|∢ D C B| = |∢ A C F| = 90 ° + γ

|C B| = |C F| = a

więc trójkąty $D C B$ i $A C F$ są przystające, na mocy cechy bok – kąt – bok.
Wynika z tego, że $|B D| = |A F|$ (bo są to odpowiednie boki w trójkątach przystających).

R1ZzAiWEs6Dho1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach A C oraz BC kwadratami A C D E i B C F G oraz zaznaczonych kątem ACB równym gamma oraz odcinkami BD i AF. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

To kończy dowód.

Przykład 7

Na bokach $A B$ , $B C$ i $C A$ trójkąta równobocznego $A B C$ wybrano odpowiednio punkty $K$ , $L$ i $M$ tak, że

|A K| = |B L| = |C M|

Wykaż, że trójkąt $K L M$ jest równoboczny.
Oznaczmy przez $a$ długość boku trójkąta równobocznego $A B C$ i przez $x$ – długość każdego z odcinków $A K$ , $B L$ i $C M$ . Wtedy każdy z odcinków $A M$ , $C L$ i $B K$ ma długość $a - x$ .

R1FvZacjl7qt81

Trójkąt równoboczny ABC. Na boku A B zaznaczono punkt K tak, że AK=x oraz KB=a-x. Na boku B C zaznaczono punkt L tak, że BL=x oraz LC=a-x. Na boku A C zaznaczano punkt M tak, że CM=x oraz MA=a-x. Punkty K L M zostały połączone wewnątrz trójkąta A B C i również tworzą trójkąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ

|A K| = |B L| = |C M| = x

|∢ M A K| = |∢ K B L| = |∢ L C M| = 60 °

|M A| = |K B| = |L C| = a - x

to trójkąty $M A K$ , $K B L$ i $L C M$ są przystające, na mocy cechy bok – kąt – bok.
Wobec tego odcinki $M K$ , $K L$ i $L M$ są równe, więc trójkąt $K L M$ jest równoboczny.
Koniec dowodu.

Przykład 8

Trójkąt $A B C$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B$ , $C$ , $N$ są współliniowe. Na boku $A C$ wybrano punkt $M$ taki, że

|A M| = |C N|

Wykaż, że

|B M| = |M N|

R10wnUeGDFCeD1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C. Przedłużając bok BC za wierzchołek C zaznaczono punkt N. Na boku AC zaznaczono punkt M i połączono go z punktem N i B. Powstał trójkąt równoramienny B N M. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczamy

|A B| = |B C| = |C A| = a

|A M| = |C N| = x

sposób $I$

Wybierzmy na boku $B C$ taki punkt $D$ , że odcinki $M D$ i $A B$ są równoległe.

R1bGkc9UlA35H1

Wtedy

|∢ C M D| = |∢ C A B| = 60 °

czyli trójkąt $C M D$ jest równoboczny, a jego bok jest równy $a - x$ . Zatem

|M D| = |C M| = a - x

|B D| = |B C| - |C D| = a - (a - x) = x

|C N| = x

|∢ B D M| = 120 °

|∢ N C M| = 120 °

więc trójkąty $B D M$ i $M C N$ są przystające, na mocy cechy bok – kąt – bok.
Wobec tego odcinki $B M$ i $M N$ są równe.
Koniec dowodu.

sposób $II$

Przedłużamy bok $A C$ o odcinek $C N'$ tak, że

|M N'| = a

R1QbMfZe7Zuaq1

Wtedy w trójkącie $N C N'$ mamy

|C N| = |C N'| = x

oraz

|∢ N C N'| = 60 °

więc trójkąt $N C N'$ jest równoboczny.
Wynika z tego, że

|N N'| = x

Zatem

|M N'| = |A B| = a

|N N'| = |M A| = x

|∢ M N' N| = 60 °

|∢ B A M| = 60 °

więc trójkąty $M N' N$ i $B A M$ są przystające, na mocy cechy bok – kąt – bok.
Wobec tego odcinki $B M$ i $M N$ są równe. Koniec dowodu.

sposób $III$

Na boku $A B$ odkładamy taki punkt $M'$ , że

|A M'| = |A M| = x

R3xoEGCd70tZh1

Wówczas trójkąt $A M M'$ jest równoboczny, a jego bok jest równy $x$ .
Wynika z tego, że

|M M'| = x

|∢ B M' M| = 120 °

Wobec tego

|M M'| = |N C| = x

|M' B| = |C M| = a - x

|∢ M M' B| = 120 °

|∢ N C M| = 120 °

więc trójkąty $M M' B$ i $N C M$ są przystające, na mocy cechy bok – kąt – bok.
Zatem odcinki $B M$ i $M N$ są równe.
Koniec dowodu.