Obliczanie pierwiastków z dużych liczb bywa bardzo trudne. W tym materiale poznasz twierdzenia, dzięki którym można ułatwić te obliczenia. Poznasz też przykłady zastosowania tych twierdzeń oraz sprawdzisz swoje umiejętności wykonując ćwiczenia.
Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej
Własność: Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej
Dla dowolnej liczby nieujemnej zachodzą równości:
.
Na przykład:
.
Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby
Własność: Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby
Dla dowolnej liczby zachodzą równości:
.
Na przykład:
.
Przykład 1
R1DStYfPUVeoY1
Zapamiętaj!
Dla dowolnych liczb nieujemnych i zachodzi równość:
.
Dla dowolnych liczb i zachodzi równość:
.
Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.
Przykład 2
Rx40PJc3jpKt21
Zapamiętaj!
Dla dowolnej liczby nieujemnej i liczby dodatniej zachodzi równość:
oraz .
Dla dowolnej liczby i liczby różnej od zera zachodzi równość:
oraz .
Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.
Powyższe wzory ułatwiają wyznaczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z bardzo dużych liczb oraz ułatwiają wykonywanie działań z pierwiastkami.
Przykład 3
RWKslnOthQ4gf1
Przykład 4
R16HfRXGASL5F1
Jeżeli liczba jest liczbą wymierną, to zwykle piszemy: i .
Przykład 5
R15lEcF7drzgt1
Przykład 6
Obliczmy wartości pierwiastków, wykorzystując prawa działań na potęgach.
Zapamiętaj!
Pierwiastek z sumy nie jest równy sumie pierwiastków.
Na przykład:
.
R1OyuNV13y0HT1
R98lpcRCHzg1F1
Ćwiczenie 1
R1xL8onkCHwEm1
Ćwiczenie 2
RkzXAPuYOII611
Ćwiczenie 3
Rg1rtTdtn6aQ51
Ćwiczenie 4
RLnGdZffJW40a2
Ćwiczenie 5
RBsJqN6ztSICE2
Ćwiczenie 6
R1I3qyjctPyVU2
Ćwiczenie 7
RfeUsQVszgPCK2
Ćwiczenie 8
RIL6TawnGquhC2
Ćwiczenie 9
RkP5YaTeTx2ig2
Ćwiczenie 10
RojOx29wcv9t42
Ćwiczenie 11
R1EbTud7eEzcT2
Ćwiczenie 12
2
Ćwiczenie 13
RfwF95G3oxndK2
Wykorzystaj prawa działań na pierwiastkach.
RwXtm2NfS84gU2
Ćwiczenie 14
Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary te, które są sobie równe. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.
Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary te, które są sobie równe. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.
Połącz w pary.
<span aria-label=" minus, dwa" role="math"><math><mo>-</mo><mn>2</mn></math></span>, <span aria-label=" minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label=" minus, cztery" role="math"><math><mo>-</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="cztery" role="math"><math><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label=" minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka" role="math"><math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="dwa" role="math"><math><mn>2</mn></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.