Tales w swoich obliczeniach wykorzystał własności trójkątów prostokątnych podobnych.
Zauważmy, że jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę równą jednemu z kątów ostrych drugiego trójkąta prostokątnego, to miary wszystkich kątów w tych trójkątach są równe.
Można też wykazać, że jeżeli miary wszystkich kątów w dwóch trójkątach prostokątnych są równe, to odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne.
Zatem, aby określić podobieństwo trójkątów prostokątnych, wystarczy stwierdzić, że trójkąty te mają równy jeden z kątów ostrych bądź stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy (z twierdzenia Pitagorasa wynika, że znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, można obliczyć długość trzeciego boku).
Roktw1rgylCX21
Ważne!
RQn3DCvh8TwRb1
Dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy.
RwrZzlxkQKMJ31
Przykład 1
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe i .
Przeciwprostokątna w trójkącie jest równa , a jedna z przyprostokątnych .
Sprawdź, czy trójkąty te są podobne.
RHO5qIXuoQXBE1
Obliczymy długość przyprostokątnej trójkąta , korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
bo
.
Znajdujemy stosunek dłuższych przyprostokątnych trójkątów i , a następnie krótszych.
.
Znalezione stosunki są równe, zatem trójkąty są podobne. Skala podobieństwa jest równa .
Przykład 2
W trójkącie prostokątnym podobnym do trójkąta kąty pozostają w stosunku .
Przeciwprostokątna trójkąta ma długość . Oblicz pole trójkąta .
Obliczamy miary kątów ostrych trójkąta .
gdzie
.
Kąty ostre trójkąta mają miary i .
Z podobieństwa trójkątów wynika, że miary kątów trójkąta są równe miarom kątów trójkąta .
RxtWlvwNZfPHW1
Oznaczmy , – długości przyprostokątnych trójkąta . Z własności trójkąta prostokątnego o kątach i wynika, że , .
Możemy więc obliczyć pole trójkąta .
.
Pole trójkąta jest równe .
Zastosowanie podobieństwa trójkątów prostokątnych
Przykład 3
Trójkąt jest wpisany w okrąg o środku w punkcie . Kąt ma miarę .
Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali . Najdłuższy bok trójkąta ma długość . Oblicz długość okręgu o środku w punkcie i promieniu .
Trójkąt jest wpisany w okrąg, zatem punkty , , leżą na okręgu.
RDQjXxoI4a5fa1
Kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt . Ma zatem miarę dwa razy od niego większą.
.
Kąt jest prosty, więc trójkąt jest prostokątny.
Ponieważ , zatem trójkąt jest równoramienny.
Trójkąt jest podobny do trójkąta , jest więc też trójkątem prostokątnym równoramiennym. Najdłuższy jego bok to przeciwprostokątna. Z podobieństwa trójkątów wynika, że przeciwprostokątna trójkąta jest pięciokrotnie krótsza od przeciwprostokątnej trójkąta .
.
Odcinek to przyprostokątna trójkąta . Obliczamy długość tego odcinka.
.
Obliczamy długość okręgu.
.
Długość okręgu o środku w punkcie i promieniu jest równa .
Przykład 4
Na placu Świątecznym stoi choinka, która rzuca cień długości . W tym samym czasie stojący pod drzewem Mikołaj o wzroście rzuca cień długości . Oblicz wysokość choinki.
Oznaczamy przez wysokość choinki.
Zapisujemy wzrost Mikołaja w metrach.
.
Zapisujemy odpowiednią proporcję, z której wyznaczamy .
.
Wysokość choinki jest równa .
Przykład 5
Aby określić przybliżoną odległość statku od brzegu, można wykorzystać sposób podany przez Talesa.
Na brzegu należy wbić cztery patyki. Pierwszy w punkcie – leżącym najbliżej statku. Drugi w punkcie , znajdującym się w określonej odległości od punktu (np. w odległości kroków). Trzeci w punkcie , znajdującym się w określonej odległości od (np. kroków) i leżącym na prostej . Teraz należy znaleźć taki punkt , leżący na prostej prostopadłej do prostej , że patyki wbite w punkcie oraz i statek znajdują się na jednej linii.
Załóżmy, że odległość z punktu do punktu wynosi kroków. Trójkąty i są trójkątami prostokątnymi podobnymi – miary ich kątów są równe.
Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy długość odcinka , czyli odległość statku od brzegu.
.
Przyjmując, że długość kroku człowieka wynosi około , stwierdzamy, że odległość statku od brzegu wynosi około .
RWTl67GOf07uD1
Przykład 6
W trapezie prostokątnym , w którym kąt jest prosty, przedłużono ramiona do przecięcia w punkcie . Podstawy trapezu mają długości i . Wysokość trapezu jest równa . Oblicz długość odcinka .
REPEU7QCDVPDc1
Trójkąt otrzymany po przedłużeniu ramion i trapezu, jest trójkątem prostokątnym. Odcinki i są równoległe, zatem kąty trójkąta są równe kątom trójkąta prostokątnego . Trójkąty te są podobne, zatem stosunki ich odpowiednich boków są równe.
Korzystając z tego, obliczymy długość boku trójkąta .
.
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości i , czyli i .
Odcinek jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Jego długość obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
.
Długość odcinka jest równa .
Przykład 7
W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Punkt podzielił przeciwprostokątną na odcinki i . Wykaż, że .
Oznaczmy: , - miary kątów ostrych w trójkącie .
R1b29iE8UwU5y1
Odcinek dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne i .
Kąty ostre w trójkącie mają miary i . Kąty ostre w trójkącie mają miary i .
Ponieważ , więc i . Zatem trójkąty i mają równe kąty, są więc podobne.
RSh8IvksYpFFP1
Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy .
.
R1d9yuUEfZq7R1
Ćwiczenie 1
1
Ćwiczenie 2
Sprawdź, czy romby o przekątnych długości i oraz i są podobne.
R1AvAxT2A3O4u
Wskazówka .
Romby są podobne.
2
Ćwiczenie 3
Wykaż, że trójkąty prostokątne i są podobne. Czworokąt jest kwadratem.
RzvjyeQZDEvtK1
R1GrqxoBVxNRZ
Należy pokazać równe kąty w tych trójkątach.
Trójkąty i są podobne, gdyż stosunki długości odpowiednich boków są równe (cecha bok‑bok‑bok). Zauważ, że boki: , , , są tej samej długości jako boki kwadratu . Natomiast odcinek jest przekątną tego kwadratu i wspólnym bokiem obu trójkątów.
Niech - kąt przy wierzchołku oraz kąt przy wierzchołku . Suma miar kątów w trójkącie to . Skoro mamy trójkąt prostokątny, to wiemy, że suma kątów i to . Na rysunku widać, że wysokość dzieli kąt prosty pierwotnego trójkąta na dwie części. Nazwijmy je i . Możemy zauważyć, że , , , . Ponieważ oraz , to dwa trójkąty, mające jednakowe kąty, są podobne.
RMwECnv0s1l3Q
Ćwiczenie 3
RezPWwyAOh2rs
Ćwiczenie 4
2
Ćwiczenie 4
Wskaż parę wielokątów podobnych. Uzasadnij, że są one podobne.
R1SnYt9BXvRzL1
Rj7EjD5OnKfUY
Zwróć uwagę na stosunek boków w figurach oraz na miary odpowiadających sobie kątów.
a) Wszystkie prostokąty są podobne, ponieważ stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków innego prostokąta.
b) Trójkąt jest podobny do trójkąta , ponieważ miary odpowiednich kątów są równe.
c) Trójkąt jest podobny do trójkąta , ponieważ stosunki długości odpowiednich boków są równe.
RwdVDEiknB3M7
Ćwiczenie 4
2
Ćwiczenie 5
W trójkąt prostokątny wpisano kwadrat o boku długości tak, jak na rysunku.
Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że przyprostokątna ma długość .
R4RVKmqZdKPQh1
R1crkL85ovdck
Zwróć uwagę na to, że na pole tego trójkąta składa się pole kwadratu i pole dwóch trójkątów prostokątnych podobnych do całego trójkąta. Podobieństwo tych trójkątów wynika z tego, że wszystkie miary odpowiadających sobie kątów są takie same.
.
RslLECMHycba8
Ćwiczenie 5
R3OAExeHuLP5U2
Ćwiczenie 6
R1cDjqF77UeMV2
Ćwiczenie 7
R1Slzb0WdEoGB2
Ćwiczenie 8
R44SVUhRWBuAt2
Ćwiczenie 9
R1YyOe93iuKw52
Ćwiczenie 10
RoRSxszA1BgmX2
Ćwiczenie 11
R1dOEAgfT88Ia2
Ćwiczenie 12
3
Ćwiczenie 13
Udowodnij, że długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną iloczynu długości odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną.
R1NJgUgfGB2iV
Skorzystaj z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych.