Przystawanie figur - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz:

definicję figur przystających,
przykłady figur przystających,
sposoby otrzymywania figur przystających,
własności figur przystających.

Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Figury przystające

R19X5vL6uJXe51

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia cztery figury.

Porównaj kształty i wielkości tych figur. Co zauważasz?

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R1VoQwsk5HK4G1

Figurę czerwoną i figurę niebieską można nałożyć na figurę czarną tak, aby figury te pokrywały się.

Takie figury nazywamy przystającymi.

Figury przystające

Definicja: Figury przystające

Figury, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość nazywamy przystającymi.

Przykład 2

Przykład figur przystających
R1WrhUWvH8aAx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obraz figury w symetrii środkowej i w symetrii osiowej

Własność: Obraz figury w symetrii środkowej i w symetrii osiowej

Obrazem figury w symetrii środkowej jest figura do niej przystająca.

Obrazem figury w symetrii osiowej jest figura do niej przystająca.

R1SGdAGx1OfZU1

Notatnik

R1PtzcghkSApa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykłady figur przystających

Ćwiczenie 1

Zastanówmy się, jakie długości muszą mieć promienie dwóch kół, aby te koła były przystające.

R159f5oQaxhsq1

Po lewej stronie ilustracji widzimy niebieskie koło, a po prawej stronie dwa koła współśrodkowe, mniejsze zielone i większe pomarańczowe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CqLQvi88jN5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Dwa koła są przystające, jeśli mają równe promienie.
Dwa okręgi są przystające, jeśli mają równe promienie.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawione są odcinki przystające. Zbadaj ich długości.

Wyciągnij wniosek i sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa odcinki, aby były przystające.

Na rysunku przedstawione są odcinki przystające. Zwróć uwagę na ich długości. Wyciągnij wniosek i sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa odcinki, aby były przystające.

REJFwvOC1WeCr1

Rysunek sześciu odcinków przystających. Odcinek pierwszy ma długość 2 cm i jest pionowy, odcinek drugi ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem 30°, odcinek trzeci ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem 45°, odcinek czwarty ma długość 2 cm i jest poziomy, odcinek piąty ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem 60°, odcinek szósty ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem 75°. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8HE0VkTrpzWi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Dwa odcinki są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe długości.

Ćwiczenie 3

Wskaż odcinki przystające.

RUpEeUSJqLJHU1

Rysunek pięciu odcinków na płaszczyźnie. Odcinek AB jest ukośny i ma długość 6,5 kratki, odcinek CD jest ukośny i ma długość około 4,5 kratki, odcinek E F jest pionowy i ma długość około 4,5 kratki, odcinek GH jest ukośny i ma długość około 4,5 kratki, odcinek IJ jest poziomy i ma długość 6,5 kratki. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XITHqx3tmSf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przystające są odcinki $A B$ i $I J$ oraz $C D$ , $E F$ i $G H$ .

RNPlndz1Zv8Ft2

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty przystające

Własność: Kąty przystające

Dwa kąty o równych miarach są przystające.

Ćwiczenie 5

Wskaż pary kątów przystających.

R1G1jqqOnz9zH1

Rysunek trzech par kątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9h2cD48ThraK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskaż pary kątów przystających. Przyjmij, że $π$ oznacza kąt $180 °$ . Pierwszy kąt ma miarę $30 °$ , drugi kąt ma miarę $60 °$ , trzeci kąt ma miarę $120 °$ , czwarty kąt ma miarę $\frac{2 \cdot π}{3}$ , piąty kąt ma miarę $\frac{π}{6}$ i szósty kąt ma miarę $\frac{π}{3}$ .

Pary kątów przystających to: $3$ i $4$ , $1$ i $5$ oraz $6$ i $2$ .

Ćwiczenie 6

Rysunki przedstawiają pary wielokątów przystających. Porównaj miary kątów i długości boków wielokątów każdej pary. Co zauważasz?

Rax8x7DQCTxJ91

Rysunek trzech par wielokątów przystających. Pierwsza para to dwa takie same dziesięciokąty w kształcie obustronnej strzałki. Jeden dziesięciokąt znajduje się niżej i jest obrócony względem drugiego. Druga para to dwa takie same sześciokąty foremne. Jeden sześciokąt foremny jest obrócony względem drugiego. Trzecia para to dwa takie same sześciokąty. Jeden znajduje się na prawo od drugiego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rv51kAblNAZIs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty przystające

Definicja: Wielokąty przystające

Wielokąty przystające mają odpowiadające sobie boki równej długości oraz równe miary odpowiadających sobie kątów.

R12Es2jKvGpyK1

Rysunek dwóch przystających pięciokątów o bokach a, b, c, d, e. Między bokami e i a kąt alfa, między bokami a i b kąt beta, między bokami b i c kąt gamma, między bokami c i d kąt delta i między bokami d i e kąt epsilon. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wielokąty na rysunku mają równe, odpowiadające sobie kąty. Zbadaj, czy są przystające.

R1R1EHIxDtpAO1

Rysunek dwóch par wielokątów. W podpunkcie a znadjują się dwa kwadraty o boku długości a i kątach alfa. Drugi kwadrat jest obrócony względem pierwszego. W podpunkcie b znajdują się dwa sześciokąty o bokach długości b. Drugi sześciokąt jest obrócony względem pierwszego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoUfDjeBDFijX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJ1BRmKbW8ePC2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Wielokąty są przystające tylko wtedy, kiedy kolejne kąty jednego wielokąta są równe kolejnym kątom drugiego, a boki położone między takimi samymi kątami w jednym i drugim wielokącie są równe.

Przykład 3

Prostokąty $A B C D$ i $D E F G$ są przystające. Obwód prostokąta $A B C D$ jest równy $26 cm$ . Różnica długości i szerokości prostokąta $D E F G$ jest równa $3 cm$ . Ile wynosi pole prostokąta $A B C D$ ?

RLBbzP2nSDb7Y1

Rysunek prostokątów A B C D oraz D E F G. Prostokąt D E F G ma boki długości x, x dodać trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwody prostokątów przystających są równe, zatem obwód prostokąta $D E F G$ jest równy $26 cm$ .

Oznaczmy: $x$ – szerokość prostokąta $D E F G$ (w $cm$ ), a $x + 3$ – długość prostokąta $D E F G$ (w $cm$ ).

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie, które pozwoli na obliczenie szerokości prostokąta $D E F G$ .

2 (x + x + 3) = 26 | : 2

x + x + 3 = 13

2 x + 3 = 13

2 x = 13 - 3

2 x = 10 | : 2

x = 5 (cm)

Obliczamy długość prostokąta $D E F G$ : $x + 3 = 5 + 3 = 8$ .

Pole prostokąta $D E F G$ wynosi

5 \cdot 8 = 40 ({cm}^{2})

Pola prostokątów przystających są równe. Pole prostokąta $A B C D$ jest więc równe $40 {cm}^{2}$ .

Ciekawostka

Z figur przystających często tworzone są wzory na tapetach, posadzkach czy tkaninach.

R1F2FUkFYap6e1

Rysunek tapety, posadzki i tkaniny. Zauważyć można, że powtarzające się wzory to figury przystające. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Narysuj dwa przystające:

Opisz dwa przystające:

prostokąty,
romby,
równoległoboki.

R1AykRKljDElr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpCOPuV6PxBdv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGsKsZiPnM950

Długość boków w dwóch przystających prostokątach wynosi $4 cm$ , a szerokość $3 cm$ .
Dłuższe przekątne w dwóch przystających rombach mają $8 cm$ , a krótsze przekątne mają $6 cm$ .
Dłuższe boki w dwóch przystjących równoległobokach mają $10 cm$ , a krótsze $9 cm$ . Kąt ostry w obydwóch równoległobokach ma miarę $65 °$ .

Ćwiczenie 10

Sformułuj warunek przystawania:

prostokątów,
kwadratów,
kół.

RJW0glTffoNWe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Wskaż pary figur przystających.

R1S6X3RNC4Mmy1

Rysunek sześciu pięciokątów foremnych. Pierwszy pięciokąt o boku długości 2 cm, drugi pięciokąt o boku długości 3 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 190 stopni w prawo, trzeci pięciokąt o boku długości 1 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 90 stopni w lewo, czwarty pięciokąt o boku długości 3 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 15 stopni w lewo, piąty pięciokąt o boku długości 1 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 180 stopni w prawo, szósty pięciokąt o boku długości 2 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 90 stopni w prawo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcKK0dE5wsloE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pary figur przystających to: $1$ i $6$ , $2$ i $4$ , $3$ i $5$ .

Ćwiczenie 12

Zaproponuj sposób podziału kąta na $2$ kąty przystające.

R17Q1xaP8oV7I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rli6x5EWCAX0w

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R192rYfopgZ9j2

Ćwiczenie 13

$4$
$14$
$24$
$12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQ8w40nAGIvd42

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10gPvc9tn0qP2

Ćwiczenie 15

$1,7 cm$
$170 cm$
$170 mm$
$17 m$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KHX9zzz8njV2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6Vf4B8c6mD8i2

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjDLpvCjTlCZS2

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVud0MXYffaGs2

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Narysuj dowolny czworokąt. Skonstruuj odcinek równy sumie przekątnych tego czworokąta.

R1Z495Veu7qZa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest pewien kwadrat. Chcemy skonstruować kwadrat do niego przystający. Czy wystarczy, że skonstruowany kwadrat będzie miał boki odpowiadające bokom podanego kwadratu?

RtzCAc9zrqIr4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Narysuj dwa dowolne kąty $α$ i $β$ . Skonstruuj kąt

przystający do kąta $α,$
$α + β,$
$2 β .$

R1BmlzFoxmYs2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj przykład kątów $α$ i $β$ , a następnie odpowiedz na pytania:

Jaką miarę będzie miał kąt przystający do kąta $α$ ?
Jaką miarę będzie miał kąt $α + β$ ?
Jaką miarę będzie miał kąt $2 \cdot β$ ?

Do konstrukcji kątów przystających wykorzystaj linijkę i cyrkiel.

Wybierz jako kąty $α$ i $β$ dwie różne wartości, na przykład $20 °$ i $40 °$ .

RI3nTTdUVfsCr

Niech kąt $α$ ma miarę $20 °$ , a kąt $β$ ma miarę $40 °$ .

Kąt przystający do kąta $α$ ma miarę $20 °$ .
Kąt $α + β$ ma miarę $60 °$ .
Kąt $2 \cdot β$ ma miarę $80 °$ .

Ćwiczenie 22

Narysuj dowolny siedmiokąt. Skonstruuj kąt przystający do największego kąta narysowanego siedmiokąta.

RIbJp2qaiybzu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAxXHePDdMFEg

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IdjGRWr14bg2

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MYkw38R9LoZ2

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1C4tfxaIL2jp2

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Czworokąty na rysunku są przystające. Oblicz miary ich kątów.

R17CVxgA6iYas1

Rysunek dwóch czworokątów przystających ABCD i EFGH. Odpowiadające sobie boki to A i E, B i F, C i G oraz D i H. W pierwszym czworokącie kąt wewnętrzny ABC ma miarę 110 stopni. Kąt o mierze 80 stopni to kąt przyległy do kąta wewnętrznego BCD, leżącego przy tym samym boku, co kąt 110 stopni. W drugim czworokącie zaznaczony kąt o mierze 50 stopni jest wierzchołkowy do kąta wewnętrznego DEF. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsFQqrlQapX4C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 27

Trapezy równoramienne $A$ i $B$ są przystające. Oblicz obwód trapezu $A$ .

RWaGeIDw4Tile1

Rysunek dwóch przystających trapezów równoramiennych. W trapezie A krótsza dolna podstawa ma długość 4, a ramię długość sześć. W trapezie B wysokość poprowadzona do dłuższej podstawy wyznaczyła trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna, która jest jednocześnie kawałkiem dłuższej podstawy, w tym trójkącie ma długość trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROelsVnW0t750

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OWIhcyIrlKN3

Ćwiczenie 28

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 29

Narysuj trzy nieprzystające prostokąty, które mają jednakowe obwody.

RpoZaIRpT5Tm3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj wymiary trzech nieprzystających prostokątów, które mają jednakowe obwody.

Takimi prostokątami są na przykład prostokąty o bokach długości: $7$ i $3$ , $8$ i $2$ , $4$ i $6$ .

Ćwiczenie 30

Ile różnych prostokątów można utworzyć z $12$ przystających kwadratów? Który z tych prostokątów będzie miał najmniejszy obwód?

R11XbzYUQlJf5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli przyjąć, że długość boku kwadratu jest równa $1$ , to prostokąty, które można utworzyć, mają wymiary: $4 \times 3$ , $6 \times 2$ , $1 \times 12$ . Ich obwody są odpowiednio równe: $14$ , $16$ , $26$ .

Najmniejszy obwód ma prostokąt o wymiarach $4 \times 3$ .

Informacje do zadań 31, 32, 33

Taras w domu pana Bronka ma kształt taki, jak na rysunku. Przyjmijmy, że długość kratki jest równa $0, 5 m$ .

RNnlzUISHBBwz1

Rysunek figury podzielonej na małe kwadraty. Figura złożona z trapezu prostokątnego o podstawach równych 11 i 20 kratek i wysokości 9 kratek oraz z prostokąta o wymiarach równych 4 i 8 kratek. Prostokąt przylega swoim dłuższym bokiem do dłuższej podstawy trapezu tak, że jego krótszy bok i pionowe ramię trapezu znajdują się w jednej linii. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16uUKZxetJ7n3

Ćwiczenie 31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RqAQhYkW8jt3

Ćwiczenie 32

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 33

Pan Bronek chce kupić na wyłożenie tarasu płytki terakoty w takim kształcie, aby po docięciu ich pozostało jak najmniej odpadów. Chciałby też, aby płytki miały jak największą powierzchnię. Zaproponuj, w jakim kształcie i o jakich wymiarach mogłyby być te płytki.

ROuzmWNVCcfnO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Płytki mogą być w kształcie prostokąta o wymiarach $0, 5 m \times 0, 5 m$ .