Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Ta lekcja poświęcona jest wyrażeniom arytmetycznym, które są podstawowymi wyrażeniami stosowanymi w matematyce. Jeżeli nie pamiętasz podstawowych pojęć związanych z arytmetyką, to znajdziesz je w lekcji Pojęcia, definicje i wzory związane z arytmetyką, planimetrią, stereometrią oraz geometrią analitycznąD174EhLWqPojęcia, definicje i wzory związane z arytmetyką, planimetrią, stereometrią oraz geometrią analityczną.

Zapoznaj się z poniższymi zagadnieniami matematycznymi.

1

Pierwiastki:

Własności działań na pierwiastkach:

  1. a·b=ab,

  2. ab=ab,

  3. a2=a,

  4. anm=anm.

Potęgi:

Własności działań na potęgach:

  1. am·an=am+n,

  2. am:an=am-n,

  3. a·bm=am·bm,

  4. a:bm=am:bm,

  5. anm=am·n.

Kolejność wykonywania działań

  1. działania w nawiasach,

  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,

  3. mnożenie i dzielenie (w kolejności ich występowania, tzn. od lewej do prawej),

  4. dodawanie i odejmowanie (w kolejności ich występowania tzn. od lewej do prawej).

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych i dziesiętnych

Gdy mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o jednakowych znakach, wynik jest zawsze liczbą dodatnią.

Gdy mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o różnych znakach, wynik jest zawsze liczbą ujemną.

Przykłady:

  • 32·0,1=3,2,

  • 32·-0,1=-3,2,

  • 102:-3=-34.

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych i dziesiętnych

Aby dodać dwie liczby całkowite/ dziesiętne o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne, a do wyniku dopisujemy znak, jaki mają liczby.

Przykłady:

  • -9+-11=-20,

  • 0,3+1,2=1,5.

Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, obliczamy wartości bezwzględne liczb, następnie od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą. Do wyniku dopisujemy odpowiedni znak.

Przykłady:

  • -4+10=10-4=6,

  • -4--5=-4+5=5-4=1.

Działania na ułamkach zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Jeżeli dwa ułamki mają ten sam mianownik, to wtedy dodajemy je, sumując liczniki. Jeżeli ułamki mają różne mianowniki, to, żeby je dodać lub odjąć, należy je wcześniej sprowadzić do wspólnego mianownika.

Przykłady:

  • 24+14=2+14=34,

  • 23+14=2·43·4+1·34·3=812+312=1112.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, musimy licznik pomnożyć razy licznik, a mianownik razy mianownik. Aby podzielić dwa ułamki zwykłe, pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.

Przykłady:

  • 17·45=1·47·5=435,

  • 79:45=79·54=7·59·4=3536.

RfoVD2khzGTRF
Ilustracja interaktywna 1. Własności działania na pierwiastkach:a·b=ab,ab=ab,a2=a,anm=anm., 2. Własności działania na potęgach:am·an=am+n,am:an=am-n,a·bm=am·bm,a:bm=am:bm,anm=am·n., 3. Kolejność wykonywania działań działania w nawiasachpotęgowanie i pierwiastkowaniemnożenie i dzielenie (w kolejności ich występowania, tzn. od lewej do prawej)dodawanie i odejmowanie (w kolejności ich występowania, tzn. od lewej do prawej), 4. Aby dodać dwie liczby całkowite/ dziesiętne o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne, a do wyniku dopisujemy znak, jaki mają liczby. Przykłady:-9+-11=-200,3+1,2=1,5 Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, obliczamy wartości bezwzględne liczb, następnie od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą. Do wyniku dopisujemy odpowiedni znak. Przykłady:-4+10=10-4=6-4--5=-4+5==5-4=1, 5. Gdy mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o jednakowych znakach, wynik jest zawsze liczbą dodatnią; Gdy mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o różnych znakach, wynik jest zawsze liczbą ujemną. Przykłady:32·0,1=3,232·-0,1=-3,2102:-3=-34, 6. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłychJeżeli dwa ułamki mają ten sam mianownik, to wtedy dodajemy je, sumując liczniki. Jeżeli ułamki mają różne mianowniki, to, żeby je dodać lub odjąć, należy je wcześniej sprowadzić do wspólnego mianownika.Przykłady:24+14=2+14=3423+14=2·43·4+1·34·3==812+312=1112 Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, to musimy licznik pomnożyć razy licznik, a mianownik razy mianownik. Aby podzielić dwa ułamki zwykłe, to pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.Przykłady:17·45=1·47·5=43579:45=79·54=7·59·4=3536
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 1
RsiosOKkJy1Mr
W prostokąty wpisano liczby będące sumą liczb z dwóch prostokątów leżących bezpośrednio pod nimi. Na przykład
998=789+209.
Uzupełnij brakujące liczby. Obliczenia wykonaj sposobem pisemnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDI0JVIsMfzYc
Wpisując odpowiednie liczby w luki, uzupełnij równości tak, aby były prawdziwe. 3774+ Tu uzupełnij=85511408+ Tu uzupełnij=3774126+ Tu uzupełnij=455624+789= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RthgqubxgZxR211
Ćwiczenie 2
Wykonaj działania sposobem pisemnym. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową liczbę. 163+357-247= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 12071097-567+678= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 1207998-566-177= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 1207488-246-182= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 1207805-230+179= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 12071000-82-467+278= 1. 255, 2. 173, 3. 256, 4. 396, 5. 395, 6. 172, 7. 273, 8. 423, 9. 424, 10. 1208, 11. 274, 12. 1207
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWiS04eGbvzVi11
Ćwiczenie 3
Wykonaj działania sposobem pisemnym. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz prawidłową liczbę. 165·7:15= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 166784:14·4= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 1669960:4:15= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 166468:144:4= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 166805:5·7= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 1668400:15:35·8= 1. 3, 2. 77, 3. 23, 4. 224, 5. 167, 6. 225, 7. 78, 8. 24, 9. 14, 10. 2, 11. 13, 12. 166
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Już wiesz
R1cObQadf9R0m1
Animacja przedstawia poprawną kolejność wykonywania działań.
Już wiesz
R1UV3zaX1ef8Z1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy obliczyć wartość przykładowego wyrażenia algebraicznego.
1
Ćwiczenie 4

Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań. Wykonaj działania pisemne, a następnie uzupełnij drzewka, wpisując prawidłowe liczby.

R1eKMyIMyObZB
a) 68·16:160:5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RyvdKaQhEx2wn
b) 125·15:350:14
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RuY8eW3S2WHDr
c) 121:11·135:15
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1EMFWdk3byLg
d) 450·8:560:14
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MRYXMpmQfeB
Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań, a następnie uzupełnij luki, wpisując poprawne liczby. 68·16:160:5= Tu uzupełnij125·15:350:14= Tu uzupełnij121:11·135:15= Tu uzupełnij450·8:560:14= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5

Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań. Wykonaj w zeszycie działania pisemne, a następnie uzupełnij drzewka, wpisując prawidłowe liczby.

ReapUCmAtoYdc
a) 165:11+600
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RY6RKY0tBnFyi
b) 1452+33·7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cm4YNv5XI2U
c) 6699:11-3567-2968
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RxmXkz3Ky99Ui
d) 165:15+34·8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19eXvLF3UXan
Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań, a następnie uzupełnij wyniki, wpisując w luki odpowiednie liczby. 165:11+600= Tu uzupełnij1452+33·7= Tu uzupełnij6699:11-3567-2968= Tu uzupełnij165:15+34·8= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Uzupełnij drzewka, wpisując w luki odpowiednie liczby.

RFSe55EOv9hNk
a) 5·329:560:16
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BOF8hYuP3CN
b) 7191:17-8194-7956
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bRVwgwJMCiZ
c) 3297+283·16
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Z4WgZ4o5kDR
Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań, a następnie uzupełnij wyniki, wpisując w luki odpowiednie liczby. 5·329:560:16= Tu uzupełnij7191:17-8194-7956= Tu uzupełnij3297+283·16= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poznaliśmy już kwadraty i sześciany liczb. Nie obliczaliśmy jednak wartości wyrażeń, w których one występują, np.

52+4, 6·23, 19-32:2.
Ważne!

Kwadraty i sześciany liczb obliczamy zawsze przed mnożeniem i dzieleniem oraz przed dodawaniem i odejmowaniem. Jeżeli w wyrażeniu występują nawiasy, to działania w nawiasach wykonujemy w pierwszej kolejności.

  • 52+4=25+4=29

  • 6·23=6·8=48

  • 19-32:2=19-9:2=10:2=5

R1Kv5Kpnq98cs21
Ćwiczenie 7
Wykonaj działania. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłowy wynik. 72-52= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 3023+10= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 3038-282= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 3062:4= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 3033+22= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 3080-43:8= 1. 18, 2. 31, 3. 8, 4. 99, 5. 100, 6. 2, 7. 23, 8. 9, 9. 24, 10. 3, 11. 19, 12. 30
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8
R1RLUQ6yw0PJQ21
Wykonaj działania. Wpisz w luki prawidłowy wynik. 122:4+132·6= Tu uzupełnij43·103-202·2= Tu uzupełnij132·5-29-33= Tu uzupełnij62·56-4·11= Tu uzupełnij152-122:4= Tu uzupełnij102·13-12·82= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9
R18LLkV6hQ5Th3
Wykonaj działania. Wpisz w luki prawidłowy wynik. 235·456+765·456= Tu uzupełnij1245·67-245·67= Tu uzupełnij892-89·88+211= Tu uzupełnij103·56-56·30= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 10
RzKNqZR7KyJFJ3
Wykonaj działania i uzupełnij zdania tak, aby były prawdziwe, wpisująca w luki prawidłowe liczby. Do liczby 1964 dodano różnicę liczb 56784989. Otrzymany wynik to Tu uzupełnij.Do liczby 1678 dodano sumę liczb 4572789. Otrzymany wynik to Tu uzupełnij.Do sumy liczb 15672699 dodano sumę liczb 24671769. Otrzymany wynik to Tu uzupełnij.Od sumy liczb 37891211 odjęto różnicę liczb 27862470. Otrzymany wynik to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.