Cechy podobieństwa trójkątów - przykłady

Czy trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne?

1. RxZLTMDqyeMJ51

   Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych A B C i D E F. W trójkącie A B C zaznaczono kąt A B C równy 35 stopni, a w trójkącie D E F kąt D E F równy 55 stopni.

   

   Tak. Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne na mocy cechy kąt – kąt – kąt. W każdym z tych trójkątów miary kątów są równe $35°$, $55°$ oraz $90°$.

2. RT5OuoID9KyeA1

   Rysunek dwóch trójkątów rozwartokątnych A B C i D E F. W trójkącie A B C zaznaczono boki długości AB =5 i AC =2 oraz kąt C A B równy 115 stopni. W trójkącie D E F zaznaczono boki długości DF =3 i FE =6 oraz kąt D F E równy 115 stopni.

   

   Trójkąty $ABC$ i $DEF$ nie są podobne. Każdy z nich ma kąt o mierze $115°$. Jednak stosunki długości odpowiadających sobie boków tych trójkątów nie są równe. Rzeczywiście $\frac{\left|FE\right|}{\left|AB\right|}=\frac{6}{5}$, $\frac{\left|DF\right|}{\left|AC\right|}=\frac{3}{2}$, a $\frac{6}{5}\ne \frac{3}{2}$.

R1CNsLZq4YLva1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości 8, 10, 12 oraz trójkąta D E F o bokach długości 4, 5, 6.

Obliczymy stosunki długości odpowiadających sobie boków trójkątów $ABC$ i $DEF$.

Trójkąty te na mocy cechy bok – bok – bok są podobne w skali $k=2$.

Trójkąt $ABC$ ma boki długości $15$, $20$, $25$. Trójkąt $EFG$ jest do niego podobny. Najkrótszy bok w trójkącie $EFG$ ma długość $30$. Obliczmy stosunek obwodu trójkąta $EFG$ do obwodu trójkąta $ABC$ i stosunek pola trójkąta $EFG$ do pola trójkąta $ABC$.
Najkrótszy bok w trójkącie $EFG$ odpowiada najkrótszemu bokowi trójkąta $ABC$. Skala podobieństwa trójkąta $EFG$ do trójkąta $ABC$ jest więc równa

Pozostałe boki trójkąta $EFG$ mają długości

Obliczamy obwody trójkątów i stosunek tych obwodów

Zauważmy, że trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym

Zatem trójkąt $EFG$ do niego podobny też jest trójkątem prostokątnym.

R12PNesieFuZL1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o przyprostokątnych długości 15, 20 i przeciwprostokątnej 25.

Własność tę wykorzystamy, obliczając pola trójkątów i ich stosunek.

Stosunek obwodu trójkąta $EFG$ do obwodu trójkąta $ABC$ jest równy $2$, a stosunek pola trójkąta $EFG$ do pola trójkąta $\mathrm{ABC}$ jest równy $4$.