Układ równań liniowych
Rozpatrzmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i
gdzie , , , , , i są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym pary liczb: i oraz i nie są równocześnie równe zero.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para takich liczb i , która spełnia każde z równań układu.
Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w przykładach omówionych powyżej zauważmy, że układ równań liniowych
ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste o równaniach
oraz
nie są równoległe. Jest tak wtedy i tyko wtedy, gdy współczynniki przy i nie są proporcjonalne, to znaczy, gdy
ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste o równaniach
oraz
pokrywają się, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
i
i
nie ma rozwiązań, gdy proste o równaniach
i
są równoległe i różne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz zachodzi choć jeden z warunków
lub
Rozwiążemy układ równań
Zauważmy, że w powyższym przykładzie
W rozwiązaniu zastosujemy metodę podstawiania.
W tym celu wyznaczymy
A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb
Rozwiążemy układ równań
Zauważmy, że w powyższym przykładzie
więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.
Pomnożymy obie strony pierwszego równania przez
Wynika stąd, że
czyli
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy
skąd
Wobec tego rozwiązaniem danego układu jest para liczb