Nierówności stopnia pierwszego - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Nierówność otrzymamy, jeżeli między dwa wyrażenia algebraiczne wstawimy jeden ze znaków $<$ , $>$ , $⩽$ , $⩾$ .

Nierównościami z jedną niewiadomą są np.:

- 4 x + 6 ⩾ x - 4

3 x^{2} + 5 > x - 1

a^{3} + 3 ⩽ a^{2}

W tym dziale zajmować się będziemy rozwiązywaniem nierówności pierwszego stopnia (czyli liniowych) z jedną niewiadomą, np.:

x ⩽ 0

2 x - 3 < 7

1 - 3 x ⩾ 2 x + 2

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Na przykład:

5 x + 3 ⩽ x - 1

- x + 3 > 9

2 x + 4 ⩽ - x + 8

7 y - 1 > 9

2 (z - 3) ⩽ 7

(- 6 t - 6) : (- 2) ⩾ 2 t

Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)

Definicja: Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)

Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą.

Na przykład:

Sprawdzimy, czy liczba $- 10$ spełnia nierówność $5 x + 3 < x - 1$ .

Podstawmy $- 10$ w miejsce $x$ .

5 (- 10) + 3 < - 10 - 1

- 47 < - 11

Nierówność jest prawdziwa.

Liczba $- 10$ spełnia daną nierówność. Liczba $- 10$ jest jednym z rozwiązań nierówności.

Zbiór rozwiązań nierówności

Definicja: Zbiór rozwiązań nierówności

Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność.

Przykład 1

Ra0qEk3zwVdJu1

Nierówność: 2x < 4. Nierówność podzielona obustronnie przez 2. x < 2. Na osi liczbowej niezamalowane kółko w punkcie o współrzędnych 2. Zaznaczone wszystkie liczby mniejsze od 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nierówności równoważne

Definicja: Nierówności równoważne

Nierówności liniowe nazywamy równoważnymi, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2

Nierówności równoważne.

RRrZxlw2YgS0j1

Nierówność pierwsza: 2x < 4. Nierówność podzielona obustronnie przez 2. x < 2. Nierówność druga: 4x +3 < 3x +5. 4x -3x < 5 -3. x < 2. Dwie osie liczbowe z niezamalowanym kółkiem w punkcie o współrzędnych 2. Na obu osiach zaznaczone wszystkie liczby mniejsze od 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R49l5TNwionMC1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podczas rozwiązywania nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań. Należy jednak zwrócić uwagę na mnożenie i dzielenie obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną.

Zapamiętaj!

Rozwiązać nierówność to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność lub wykazać, że nierówność nie ma rozwiązań. W tym celu możemy przekształcać nierówności równoważnie, pamiętając o tym, że:

do obu stron nierówności możemy dodać lub od obu stron nierówności możemy odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią,
obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny.

Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających daną nierówność.

$x ⩾ 4$
$x < 5$
$2 ⩽ x < 5$
$- 2 < x ⩽ 3$

R1SWc1ZbGKiR0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19aDIRJg53Mn

Ćwiczenie 1

Łączenie par. Zaznacz prawidłową odpowiedź w każdym wierszu tabeli.. Ile rozwiązań całkowitych ma nierówność

x ⩾ 4

?. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi, Wariant odpowiedzi. Ile rozwiązań całkowitych ma nierówność

x < 5

?. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi, Wariant odpowiedzi. Ile rozwiązań całkowitych ma nierówność

2 ⩽ x < 5

?. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi, Wariant odpowiedzi. Ile rozwiązań całkowitych ma nierówność

- 2 < x ⩽ 3

?. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi, Wariant odpowiedzi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R8FrrDKLWtRem

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhfC8CzfRepTZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNZopuvNeBvy52

Ćwiczenie 3

Przeciągnij liczby spełniające daną nierówność do odpowiednich grup.

x ⩾ 6, 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5 \frac{1}{5}

, 2.

- 8

, 3.

4, 25

, 4.

5

, 5.

- 2 \frac{2}{3}

, 6.

8, 3

, 7.

4

, 8.

- 5, 001

, 9.

6

x < - 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5 \frac{1}{5}

, 2.

- 8

, 3.

4, 25

, 4.

5

, 5.

- 2 \frac{2}{3}

, 6.

8, 3

, 7.

4

, 8.

- 5, 001

, 9.

6

- 3 < x ⩽ 4, 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5 \frac{1}{5}

, 2.

- 8

, 3.

4, 25

, 4.

5

, 5.

- 2 \frac{2}{3}

, 6.

8, 3

, 7.

4

, 8.

- 5, 001

, 9.

6

5 ⩽ x ⩽ 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 5 \frac{1}{5}

, 2.

- 8

, 3.

4, 25

, 4.

5

, 5.

- 2 \frac{2}{3}

, 6.

8, 3

, 7.

4

, 8.

- 5, 001

, 9.

6

Przeciągnij liczby spełniające daną nierówność z dolnej sekcji do górnej.

$x \geq 6, 5$
$x < - 5$
$- 3 < x \leq 4, 5$
$5 \leq x \leq 6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RX4AJ8sVZxRte2

Ćwiczenie 4

Przeciągnij liczby spełniające daną nierówność z dolnej sekcji do górnej.

$x \leq - 1$
$x \geq 8$
$- 1 < x \leq 0$
$1 \leq x < 8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1C2qyasLfgDe2

Ćwiczenie 5

Rozwiąż nierówności i połącz je z odpowiednimi rozwiązaniami.

2 x + 1 < 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

2 - 3 x ⩾ 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

3 (2 x - 4) > - 2 + x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

2 x - 5 (x - 2) ⩽ 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

1 - 3 (2 x + 1) < 2 x + 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

5 x + 2 (x - 4) > x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

x > - \frac{5}{8}

, 2.

x ⩾ 2 \frac{1}{3}

, 3.

x < 2

, 4.

x ⩽ \frac{1}{3}

, 5.

x > 1

, 6.

x > 2

Rozwiąż i połącz nierówność z rozwiązaniem.

$2 x + 1 < 5$
$2 - 3 x \geq 1$
$3 (2 x - 4) > - 2 + x$
$2 x - 5 (x - 2) \leq 3$
$1 - 3 (2 x + 1) < 2 x + 3$
$5 x + 2 (x - 4) > x - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rm0jscaEBMybL2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary nierówności równoważne.

- 2 x < 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

2 x < - 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

- 3 x > 2 x + 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

3 x < 2 x - 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

1 + 2 x > 1 - 2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

x < 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 (1 - x) > 5

, 2.

2 x + 3 (1 - 2 x) > 1 - 3 x

, 3.

2 + 3 (x + 1) < 2 x

, 4.

1 - 2 x < 3 - 2 (1 - 2 x)

, 5.

2 x - 3 < 4 x + 1

, 6.

1 - 3 x > 2 (x + 2)

Połącz w pary nierówności równoważne.

1−3x>2(x+2), 2x−3<4x+1, 2(1−x)>5, 2x+3(1−2x)>1−3x, 2+3(x+1)<2x, 1−2x<3−2(1−2x)

−2x
2x
−3x>2x+3
3x
1+2x>1−2x
x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TmQ2QeDbDNo2

Ćwiczenie 7

Wyznacz nierówności równoważne do podanych. Uzupełnij nierówności, przeciągając w luki odpowiednie liczby i znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2 x > 8

4 x >

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

x ⩽ 1

- 2 x

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

- 2

3 x - 1 < 5 x

2 x

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

- 1

1 - x ⩾ 2 - x

1 ⩾

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

x + 2 < 2 x + 1

2 x + 4 <

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

2 - 3 x ⩽ 5

- 6 + 9 x ⩾

4 x + 2

, 2.

2

, 3.

>

, 4.

- 15

, 5.

16

, 6.

<

, 7.

⩾

, 8.

- 10

, 9.

⩽

Przeciągnij i upuść tak, aby nierówności były równoważne.

$2$ , $- 10$ , $>$ , $4 x + 2$ , $- 15$ , $16$ , $\leq$ , $<$ , $\geq$

$2 x > 8$ i $4 x >$ ............
$x \leq 1$ i $- 2 x$ ............ $- 2$
$3 x - 1 < 5 x$ i $2 x$ ............ $- 1$
$1 - x \geq 2 - x$ i $1 \geq$ ............
$x + 2 < 2 x + 1$ i $2 x + 4 <$ ............
$2 - 3 x \leq 5$ i $- 6 + 9 x \geq$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1d58J6GyeDFM2

Ćwiczenie 8

Uzupełnij nierówności tak, aby otrzymać nierówności spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą. Przeciągnij w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijanej.

3 x + 2 > 3 x +

x + 5

, 2.

x

, 3.

2 x + 1

, 4.

- 2 x

, 5.

1

, 6.

x - 5

, 7.

- 2

, 8.

x - 4

2 x - 3 ⩽ 2 x +

x + 5

, 2.

x

, 3.

2 x + 1

, 4.

- 2 x

, 5.

1

, 6.

x - 5

, 7.

- 2

, 8.

x - 4

3 x + 2 > x +

x + 5

, 2.

x

, 3.

2 x + 1

, 4.

- 2 x

, 5.

1

, 6.

x - 5

, 7.

- 2

, 8.

x - 4

x - 3 ⩽ 1 +

x + 5

, 2.

x

, 3.

2 x + 1

, 4.

- 2 x

, 5.

1

, 6.

x - 5

, 7.

- 2

, 8.

x - 4

Przeciągnij i upuść tak, aby nierówność była zawsze prawdziwa.

$x + 5$ , $1$ , $- 2 x$ , $x - 4$ , $2 x + 1$ , $- 2$ , $x - 5$ , $x$

$3 x + 2 > 3 x +$ ............
$2 x - 3 \leq 2 x +$ ............
$3 x + 2 > x +$ ............
$x - 3 \leq 1 +$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDJSaqDkmVa4C2

Ćwiczenie 9

Uzupełnij nierówności tak, aby były sprzeczne, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijanej.

3 x + 2 > 3 x +

3

, 2.

2 x + 5

, 3.

x - 6 x

, 4.

x + 5

, 5.

x - 5

, 6.

x

, 7.

- 5

, 8.

- 2 x

2 x - 3 ⩽ 2 x +

3

, 2.

2 x + 5

, 3.

x - 6 x

, 4.

x + 5

, 5.

x - 5

, 6.

x

, 7.

- 5

, 8.

- 2 x

3 x + 2 > x +

3

, 2.

2 x + 5

, 3.

x - 6 x

, 4.

x + 5

, 5.

x - 5

, 6.

x

, 7.

- 5

, 8.

- 2 x

x - 3 ⩽ 1 +

3

, 2.

2 x + 5

, 3.

x - 6 x

, 4.

x + 5

, 5.

x - 5

, 6.

x

, 7.

- 5

, 8.

- 2 x

Przeciągnij i upuść tak, aby nierówność była sprzeczna.

$x - 6$ , $x - 5$ , $- 5$ , $x$ , $- 2 x$ , $2 x + 5$ , $3$ , $x + 5$

$3 x + 2 > 3 x +$ ............
$2 x - 3 \leq 2 x +$ ............
$3 x + 2 > x +$ ............
$x - 3 \leq 1 +$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWVWn16D6FTgv2

Ćwiczenie 10

$2 (x + 2) > 10$
$2 (x + 2) < 10$
$2 (x + 2) \leq 10$
$2 (x + 2) \geq 10$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHbjuN4Zv3ssK2

Ćwiczenie 11

$1$
$2$
$0$
$- 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxPHUSAZCnWma2

Ćwiczenie 12

$6 x < 5 (x + 3)$
$6 (x + 3) < 5 x$
$6 x > 5 (x + 3)$
$6 (x + 3) > 5 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

$2 + 3 (x - 2) ⩾ 1$
$3 (x + 3) - 2 (x - 2) < 5 x$
$2 x - 3 (1 - 3 x) + 2 ⩾ - 2 (x + 2)$
$3 - (2 - 3 x) - 4 (x - 2) > 5 (1 - x) + 2 x$

RrGTFDkthdk3N

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż nierówność i podaj rozwiązanie.

$2 + 3 (x - 2) ⩾ 1$
$3 (x + 3) - 2 (x - 2) < 5 x$
$2 x - 3 (1 - 3 x) + 2 ⩾ - 2 (x + 2)$
$3 - (2 - 3 x) - 4 (x - 2) > 5 (1 - x) + 2 x$

R1Lj2W35J0oJL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NQ4CCRpumvS1

Rysunki osi liczbowych, które są rozwiązaniem zadania. Na pierwszej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe jeden i dwie trzecie. Na drugiej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od trzy i jedna czwarta. Na trzeciej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe minus trzy trzynaste. Na czwartej osi zaznaczone wszystkie liczby mniejsze od 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x \geq 1 \frac{2}{3}$
$x > 3 \frac{1}{4}$
$x \geq - \frac{3}{13}$
$x > - 2$

Ćwiczenie 14

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

$\frac{x}{3} + \frac{2 x + 1}{2} ⩾ 2 x$
$\frac{x + 3}{2} + \frac{1 - x}{4} < 3 (x + 2)$
$2 x - \frac{x - 3}{5} > 3 + \frac{1 - 3 x}{2}$
$3 - \frac{2 - x}{3} - 2 x ⩽ \frac{x + 6}{5}$

Rrj9slc7KO48s

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż nierówność i opisz rozwiązanie.

$\frac{x}{3} + \frac{2 x + 1}{2} ⩾ 2 x$
$\frac{x + 3}{2} + \frac{1 - x}{4} < 3 (x + 2)$
$2 x - \frac{x - 3}{5} > 3 + \frac{1 - 3 x}{2}$
$3 - \frac{2 - x}{3} - 2 x ⩽ \frac{x + 6}{5}$

RfY3A0MtHlHBh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $3$ , a następnie wykonaj wskazane działania. Przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę. Pamiętaj, że po pomnożeniu lub podzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić znak nierówności na przeciwny.
Pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $4$ , a następnie wykonaj wskazane działania. Przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę. Pamiętaj, że po pomnożeniu lub podzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić znak nierówności na przeciwny.
Pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $5$ , a następnie wykonaj wskazane działania. Przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę.
Pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $3$ i $5$ , a następnie wykonaj wskazane działania. Przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę. Pamiętaj, że po pomnożeniu lub podzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić znak nierówności na przeciwny.

R1TJnnmHUX94J1

Rysunki osi liczbowych, które są rozwiązaniem zadania. Na pierwszej osi zaznaczone wszystkie liczby mniejsze lub równe trzy czwarte. Na drugiej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od minus jeden i sześć jedenastych. Na trzeciej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od dwudziestu dziewięciu trzydziestych trzecich. Na czwartej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe siedemnaście dwudziestych ósmych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x \leq \frac{3}{4}$
$x > - 1 \frac{6}{11}$
$x > \frac{29}{33}$
$x \geq \frac{17}{28}$

Ćwiczenie 15

Rozwiąż nierówność $- 2 (x + 2) ⩾ 2 + 3 (x - 1)$ . Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

RVxozRQCUy6Zy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x ⩽ - \frac{3}{5}$ , największa liczba całkowita spełniająca nierówność to $- 1$ .

Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność $2 x - 3 (x + 4) ⩽ - 3 x - 4$ . Podaj wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

R1Vl9Jp4M40XL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x ⩽ 4$ , liczby naturalne to $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

Ćwiczenie 17

Rozwiąż nierówność $\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} ⩾ \frac{15 - 3 x}{3} - \frac{1}{2} (x + 4)$ . Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która spełnia tę nierówność.

RYhkARVaRg7OT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $3$ , a następnie wykonaj wskazane działania. Przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę. Po rozwiązaniu nierówności zastanów się, jaka najmniejsza liczba parzysta spełnia tę nierówność.

$x ⩾ 1 \frac{7}{8}$ , najmniejsza liczba parzysta to $2$ .

Ćwiczenie 18

Lena kupiła opakowanie mazaków za $3, 80 zł$ i pewną liczbę kolorowych piłek po $2, 30 zł$ za sztukę. Ile maksymalnie kupiła piłek, jeżeli z $15 zł$ otrzymała niewielką resztę?

R1O9sNSQgnfXk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nierówność opisująca treść zadania jest postaci $3, 80 + 2, 30 \cdot x < 15$ . Rozwiąż ją i określ liczbę piłek.

$x$ – liczba piłek,

$3, 80 + 2, 30 \cdot x < 15$ , $x < 4 \frac{20}{23}$ czyli $x = 4$ .

Ćwiczenie 19

Wypożyczalnia nart „Stok” oferuje wypożyczenie nart w cenie $15 zł$ za każdy dzień. Wypożyczalnia „Ski” oferuje za pierwszy dzień wypożyczenia nart cenę $35 zł$ , a za każdy kolejny dzień stałą cenę $8 zł$ . Na jaką maksymalną liczbę dni trzeba wypożyczyć narty, aby bardziej opłacało się skorzystać z oferty wypożyczalni „Stok”?

RPFQw3lGBYwIG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nierówność opisująca treść zadania jest postaci $15 x < 35 + (x - 1) 8$ . Rozwiąż ją – wykonaj wskazane działania, a następnie przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę.

$15 x < 35 + (x - 1) 8$ ,

$x < 3 \frac{6}{7}$ ,

$3$ dni.

Ćwiczenie 20

Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi $8$ . Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymana liczba jest nie większa od początkowej liczby. Jaka to liczba? Ile jest takich liczb?

R14Ne1YH3lZqP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nierówność opisująca treść zadania jest postaci $10 x + (8 - x) ⩾ (8 - x) 10 + x$ . Rozwiąż nierówność – wykonaj wskazane działania, a następnie przenieś liczby na prawą stronę nierówności, a wyrazy z niewiadomą na lewą stronę.

$x$ – cyfra dziesiątek początkowej liczby, $10 x + (8 - x) ⩾ (8 - x) 10 + x$ , $x ⩾ 4$ ,

$44$ , $53$ , $62$ , $71$ .

RAyXAcm68CzMV3

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.