Rysunek przedstawia trójkąt o podstawie i wysokości . Odcinek dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części.
Przemieszczając odpowiednio części trójkąta, zbuduj prostokąt. Określ długości boków tego prostokąta i oblicz jego pole.
RN8BEifR2lo8n1
Czy pole trójkąta jest większe, czy mniejsze od pola otrzymanego prostokąta? Dlaczego?
Pole trójkąta
Twierdzenie: Pole trójkąta
Pole trójkąta o wysokości poprowadzonej do podstawy długości jest równe .
R11x4rPymDRRk1
Przykład 2
Pole trójkąta równoramiennego jest równe . Oblicz obwód trójkąta, jeżeli jego podstawa ma długość .
RhYCWUnK42SBh1
Obliczamy wysokość trójkąta.
.
Obliczamy długość boku trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
.
Obliczamy obwód trójkąta.
.
Obwód trójkąta jest równy
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są zarazem wysokościami trójkąta. Zatem, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, wystarczy znać długości jego przyprostokątnych.
Pole trójkąta prostokątnego
Twierdzenie: Pole trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i jest równe .
R1eCgFbh8OGbn1
Przykład 3
Oblicz pole trójkąta, w którym miary dwóch kątów są równe i , a najdłuższy bok jest równy .
W trójkącie, w którym miary dwóch kątów są równe i , trzeci kąt ma miarę .
R9S1PjhYKzZLF1
Zatem jest to trójkąt prostokątny.
Najdłuższy bok to przeciwprostokątna, ma ona długość . Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych i wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości i .
Obliczamy pole trójkąta.
.
Pole trójkąta jest równe .
Pole trójkąta równobocznego
RoIFeZMbJAxBr1
Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości jest równa . Wstawiając tę wartość do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego
.
Pole trójkąta równobocznego
Twierdzenie: Pole trójkąta równobocznego
Pole trójkąta równobocznego o boku długości jest równe .
RsR8WXRhMZ90C1
1
Ćwiczenie 1
Rwjht0CCvt8dU
1
Ćwiczenie 2
Pole trójkąta jest równe . Oblicz
wysokość trójkąta, wiedząc, że podstawa do której poprowadzono wysokość, jest równa .
długość podstawy trójkąta, wiedząc, że wysokość poprowadzona do tej podstawy, jest równa .
R1M2AG30aULLY
Pole trójkąta o wysokości , poprowadzonej do podstawy długości , wynosi .
, ,
, ,
1
Ćwiczenie 3
Wysokość trójkąta dzieli podstawę w stosunku . Wykaż, że pola trójkątów oraz pozostają również w stosunku .
R1Opm1SUVJdEg
R1cBg9Tr5Fbce
Pole trójkąta o wysokości , poprowadzonej do podstawy długości , wynosi .
Pole trójkąta wynosi .
Pole trójkąta wynosi
.
Stąd
.
1
Ćwiczenie 4
Wysokość trójkąta ma długość i dzieli podstawę w stosunku . Pole trójkąta jest równe . Oblicz pole trójkąta oraz pole trójkąta .
R2D90dgHG7SlL
Pola trójkątów oraz są w stosunku , ich suma wynosi .
Jeden z trójkątów ma pole równe , a drugi .
2
Ćwiczenie 5
R1OLpAh7ETVpU
2
Ćwiczenie 6
Rvo8VkmOYse1Z
Zauważ, że wysokość dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.
2
Ćwiczenie 7
Oblicz pole trójkąta zakładając, że jednostka to jedna kratka.
R18cZcgxrbgmK1
RJvVa1PXekBno
2
Ćwiczenie 8
RXjfcUUy0vn0C
2
Ćwiczenie 9
Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej długości
R1PH5Y4DC8Eg6
Pole trójkąta prostokątnego, równoramiennego o przeciwprostokątnej oraz przyprostokątnych wynosi
.
Z twierdzenia Pitagorasa
,
więc
.
1
21
Ćwiczenie 10
Zmień położenie wierzchołków trójkąta tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny. Oblicz pole tego trójkąta, przyjmując, że długość jednej kratki jest równa .
R1ciDNCzMV9eF1
Wykorzystaj wzór na pole trójkąta prostokątnego.
Pole trójkąta o prostopadłych bokach długości kratek i kratek wynosi .
R1eI1qhYWl2aw
Ćwiczenie 10
2
Ćwiczenie 11
Pole trójkąta prostokątnego jest równe . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej, wiedząc, że
pierwsza przyprostokątna ma długość
pierwsza przyprostokątna jest równa drugiej
pierwsza przyprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od drugiej
pierwsza przyprostokątna jest trzykrotnie krótsza od drugiej
ReGB6721xpjeO
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych oraz wynosi .
,
,
,
,
2
Ćwiczenie 12
Oblicz obwód trójkąta prostokątnego wiedząc, że:
jego pole jest równe , a jedna z przyprostokątnych ma długość ,
jego pole jest równe , a jedna z przyprostokątnych ma długość ,
jego przyprostokątne są równe, a pole wynosi .
ROcZS0qnk97Hn
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych oraz wynosi .
Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa wynosi
.
, , ,
, , ,
, , , ,
2
Ćwiczenie 13
Udowodnij, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.
RCDA4P28RuQZ6
R16DLAAMTZYgX
Jeśli w trójkącie kąt przy wierzchołku jest rozwarty, a jest wysokością trójkąta opuszczoną z wierzchołka , to pole trójkąta jest różnicą pola trójkąta i pola trójkąta .
RFq6APmZlORzB
Załóżmy, że trójkąt ma kąt rozwarty przy wierzchołku oraz jest wysokością trójkąta opuszczoną z wierzchołka .
Widzimy, że aby obliczyć pole trójkąta możemy od pola trójkąta prostokątnego odjąć pole trójkąta prostokątnego .
Stąd otrzymujemy, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.
2
Ćwiczenie 14
Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość , a ramię .
RmUAJJqJ6QiqE
Pole trójkąta o wysokości , poprowadzonej do podstawy długości , jest równe
.
W trójkącie równoramiennym o ramieniu i podstawie wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa
.
Zatem
.
2
Ćwiczenie 15
Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość , a jego podstawa ma długość . Oblicz pole tego trójkąta.
R1QJ8TXmNxHhm
Pole trójkąta o wysokości poprowadzonej do podstawy długości , jest równe
.
W trójkącie równoramiennym o ramieniu i podstawie wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa
.
Zatem
.
2
Ćwiczenie 16
Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, którego pole jest równe , a podstawa ma długość .
RxSePJECllRoq
Pole trójkąta o wysokości , poprowadzonej do podstawy długości , wynosi
.
Stąd
.
W trójkącie równoramiennym o ramieniu i podstawie wysokość opuszczoną na tę podstawę obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
.
Stąd
.
Zatem
.
2
Ćwiczenie 17
RhsjZJjdh7Naq
Pole trójkąta równobocznego o boku długości wynosi: , zatem
.
2
Ćwiczenie 18
RwSJpt7Nqi8w4
Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości jest równa , a więc 9, stąd
2
Ćwiczenie 19
R1HP5it1VJ0S2
Pole trójkąta równobocznego o boku długości wynosi , ponieważ , to
.
R1EEZ2L2feHbh3
Ćwiczenie 20
3
Ćwiczenie 21
RaVnhhlJPOwij
3
Ćwiczenie 22
RPRkO9g6eDW4U
Pole trójkąta równobocznego o boku długości nie wyraża się liczbą naturalną, ponieważ .
Pole trójkąta równobocznego nie zawsze wyraża się liczbą niewymierną, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość , to jego pole jest .
Jeśli pole trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to nie oznacza, że obwód tego trójkąta również wyraża się liczbą niewymierną, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość , to jego pole wynosi , a obwód .