Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego - przykłady - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale znajdują się przykłady, które pokazują w jaki sposób obliczać wartości funkcji trygonometrycnych dla kątów w trójkącie prostokątnym. Zdobytą w nim wiedzę możesz wykorzystać w materiałach Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadaniaD1BpghrQJObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadania oraz Zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi - zadaniaDymEgKvMCZależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi - zadania.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

RO7fNNSfqRlfr

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt alfa leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, kąt beta leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej. Po lewej stronie zapisano równania. Sinus alfa równa się a przez c. Cosinus alfa równa się b przez c. Tangens alfa równa się a przez b. Po prawej stronie zapisano równania. Sinus beta równa się b przez c. Cosinus beta równa się a przez c. Tangens beta równa się b przez a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sinusem kąta ostrego $α$ (w skrócie $\sin α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego $α$ (w skrócie $\cos α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego $α$ (w skrócie $tg α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ .

Tabela dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów:

$α$	$30 °$	$45 °$	$60 °$
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Przykład 1

Trójkąt na rysunku jest prostokątny.

R1alQBTqyjYsM1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątnej długości 17. Kąt alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dla tego trójkąta zachodzą następujące związki trygonometryczne:

\sin α = \frac{8}{17}

\cos α = \frac{15}{17}

tg α = \frac{8}{15}

oraz

\sin (90 ° - α) = \frac{15}{17}

\cos (90 ° - α) = \frac{8}{17}

tg (90 ° - α) = \frac{15}{8}

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $α$ , przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość $5$ , a druga przyprostokątna ma długość $4$ . Wtedy

tg α = \frac{5}{4}

RvIRQjfjmtt361

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i 4, przeciwprostokątnej równej c. Kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$ tego trójkąta

c^{2} = 4^{2} + 5^{2}

Ponieważ $c > 0$ , stąd

c = \sqrt{41}

Zatem

\sin α = \frac{5}{\sqrt{41}}

\cos α = \frac{4}{\sqrt{41}}

czyli

\sin α = \frac{5 \sqrt{41}}{41}

\cos α = \frac{4 \sqrt{41}}{41}

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia

\frac{2 \sin 42 ° + 3 \cos 48 °}{5 \cos 48 ° - 4 \sin 42 °}

Zauważmy, że

42 ° + 48 ° = 90 °

Wobec tego

\cos 48 ° = \cos (90 ° - 42 °) = \sin 42 °

a zatem

\frac{2 \sin 42 ° + 3 \cos 48 °}{5 \cos 48 ° - 4 \sin 42 °} = \frac{2 \sin 42 ° + 3 \sin 42 °}{5 \sin 42 ° - 4 \sin 42 °} = \frac{5 \sin 42 °}{\sin 42 °} = 5

Przykład 4

Kąt $α$ jest ostry i $\sin α = \frac{2}{3}$ . Znajdziemy wartości $\cos α$ i $tgα$ .
Wystarczy w tym celu rozpatrzyć dowolny trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{2}{3}$ . Najprostszym przykładem jest trójkąt o przeciwprostokątnej długości $3$ i jednej z przyprostokątnych długości $2$ . Kąt $α$ leży wtedy naprzeciwko tej przyprostokątnej.

R1BqAUfuSMMn91

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 i b, przeciwprostokątnej równej 3. Kąt ostry leży naprzeciw przyprostokątne równej 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość $b$ drugiej przyprostokątnej

2^{2} + b^{2} = 3^{2}

Ponieważ $b > 0$ , stąd

b = \sqrt{5}

Zatem

\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}

tg α = \frac{2}{\sqrt{5}}

czyli

tg α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Przykład 5

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $\cos α = \frac{2}{5}$ , to $α > 60 °$ .
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $A B C$ , w którym $|A C| = 2$ i $|A B| = 5$ . Wtedy $\cos (∢ BAC) = \frac{2}{5}$ , co oznacza, że miary kątów $|∢ B A C|$ i $α$ są równe.

R1IjJqYkg2g7B1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C, w którym przeciwprostokątna AB = 5, przyprostokątna leżąca przy kącie alfa AC =2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wybierzmy na przyprostokątnej $B C$ taki punkt $D$ , że $|A D| = 4$ .

RtJ49lrlK8PNl1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C, w którym przeciwprostokątna AB = 5, przyprostokątna leżąca przy kącie alfa AC =2. Na boki B C trójkąta oznaczono punkt D w taki sposób, że powstał trójkąt prostokątny A C D o przeciwprostokątnej równej 4 i kącie ostrym na przeciw dłuższej przyprostokątnej o mierze 60 stopni. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta również ma długość 2 . — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wówczas $\cos (∢ D A C) = \frac{2}{4}$ , czyli $\cos (∢ D A C) = \frac{1}{2}$ , więc $|∢ D A C| = 60 °$ . Ponieważ $|∢ D A C| < |∢ B A C|$ , to $60 ° < α$ . Koniec dowodu.

Uwaga. Zestaw wzorów, przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki, zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Można z niej odczytać, że $\cos 68 ° \approx 0, 4040$ i $\cos 69 ° \approx 0, 3839$ . Wynika stąd, że kąt ostry $α$ , dla którego $\cos α = 0, 4$ , jest kątem z przedziału $(68 °, 69 °)$ .