Zastosowanie trygonometrii w obliczaniu pól figur - przykłady

W poniższych przykładach pokażemy zastosowania trygonometrii do opisu związków miarowych w figurach płaskich.

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym $A B C$ każde z ramion $A C$ i $B C$ ma długość równą $10$ . Miara kąta $A C B$ jest równa $45 °$ . Obliczymy pole tego trójkąta.

R7B2ID2POHZ3o

Rysunek trójkąta równoramiennego A B C o ramieniu AC i BC długości 10. Kąt między ramionami równy jest 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że wysokość $A D$ , opuszczona na bok $C B$ , odcina trójkąt prostokątny $A D C$ . Ponieważ kąt $A C D$ ma miarę $45 °$ , to

\frac{|A D|}{|A C|} = \sin 45 °

Wobec tego

|A D| = |A C| \cdot \sin 45 ° = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}

i pole $P$ trójkąta $A B C$ jest równe

P = \frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot |A D| = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \sqrt{2} = 25 \sqrt{2}

Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny $A B C$ , w którym dane są długości boków $|A C| = b$ , $|B C| = a$ oraz miara $γ$ kąta $A C B$ .

RP3jQjymkPnpQ

Rysunek trójkąta A B C o długości boków AC =b, BC =a i wysokości AD =h. Kąt A C B = gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że wysokość $A D$ , opuszczona na bok $B C$ , odcina trójkąt prostokątny, w którym

\frac{|A D|}{|A C|} = \sin γ

Przyjmując $h = |A D|$ , otrzymujemy

\frac{h}{b} = \sin γ

skąd

h = b \sin γ

Pole trójkąta $A B C$ jest równe

P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

zatem

P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin γ

Wobec tego pole trójkąta ostrokątnego możemy wyrazić za pomocą danych długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

Przykład 3

W równoległoboku $A B C D$ dane są długości boków $|A B| = 5$ i $|B C| = 2$ . Kąt $D A B$ ma miarę $30 °$ . Obliczymy pole tego równoległoboku.

Zauważmy, że przekątna $D B$ dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające $A D B$ i $C B D$ .

R17orqwW3ZYTl

Rysunek równoległoboku A B C D o bokach AD =2, AB =5 i kącie D A B = 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ pole trójkąta $A B D$ jest równe

P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |A D| \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

to pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $5$ .

Przykład 4

Rozpatrzmy równoległobok $A B C D$ , w którym długości boków $A B$ i $A D$ są równe odpowiednio $a$ oraz $b$ . Kąt ostry między tymi bokami ma miarę $α$ .
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy, że przekątna $D B$ dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające $A D B$ i $B C D$ .

R1XHO79JPQYdH

Rysunek równoległoboku A B C D o bokach AD =BC =b, AB =DC =a i kącie ostrym równym alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ pole trójkąta $A B D$ jest równe

P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |A D| \cdot \sin α = \frac{1}{2} a b \cdot \sin α

to pole równoległoboku $A B C D$ jest równe

P_{A B C D} = 2 \cdot P_{A B D} = 2 \cdot \frac{1}{2} a b \sin α = a b \sin α

Przykład 5

W czworokącie $A B C D$ przekątne długości $|A C| = 11$ oraz $|B D| = 16$ przecinają się w punkcie $P$ pod kątem $60 °$ . Obliczymy pole tego czworokąta.

RmPNOTrfPxeWq

Rysunek czworokąta A B C D o przekątnych AC =11 i BD =16, które przecinają się w punkcie P pod kątem 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta $A B C D$ cztery proste $k$ , $l$ , $m$ , $n$ równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy $K$ , $L$ , $M$ , $N$ .

RY4hVd0b66fXu

Rysunek czworokąta A B C D i pomocniczego równoległoboku K L M N, utworzonego przez punkty przecięcia prostych k, l, m, n. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworokąt $K L M N$ jest równoległobokiem. Wobec tego $|N K| = 11$ i $|K L| = 16$ oraz kąt $N K L$ ma miarę $60 °$ . A zatem pole czworokąta $K L M N$ jest równe

P_{K L M N} = |N K| \cdot |K L| \cdot \sin 60 ° = 16 \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 88 \sqrt{3}

Każdy z czworokątów $A P D M$ , $B P A N$ , $C P B K$ i $D P C L$ jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta $A B C D$ .
Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

P_{A P D} = P_{A M D}

P_{B P A} = P_{B N A}

P_{C P B} = P_{C K B}

P_{D P C} = P_{D L C}

Ponadto pole czworokąta $A B C D$ jest sumą pól trójkątów $A P D$ , $B P A$ , $C P B$ i $D P C$ . To znaczy, że pole równoległoboku $K L M N$ jest dwa razy większe od pola czworokąta $A B C D$ . Zatem

P_{A B C D} = \frac{1}{2} \cdot P_{K L M N} = \frac{1}{2} \cdot 88 \sqrt{3} = 44 \sqrt{3}

Przykład 6

Rozpatrzmy czworokąt $A B C D$ , w którym długości przekątnych $A C$ i $B D$ są równe odpowiednio $d_{1}$ oraz $d_{2}$ , a kąt ostry między nimi ma miarę $α$ .
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta cztery proste $k$ , $l$ , $m$ , $n$ równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy $K$ , $L$ , $M$ , $N$ .

R1e3b11eXAFDd

Czworokąt $K L M N$ jest równoległobokiem. Wobec tego $|N K| = d_{1}$ i $|K L| = d_{2}$ oraz kąt $N K L$ ma miarę $α$ . Pole $K L M N$ jest równe

P_{K L M N} = |N K| \cdot |K L| \cdot \sin α = d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin α

Każdy z czworokątów $A P D M$ , $B P A N$ , $C P B K$ i $D P C L$ jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta $A B C D$ .
Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

P_{A P D} = P_{A M D}

P_{B P A} = P_{B N A}

P_{C P B} = P_{C K B}

P_{D P C} = P_{D L C}

RLGR5xlOFiVBv

Ponadto pole czworokąta $A B C D$ jest sumą pól trójkątów $A P D$ , $B P A$ , $C P B$ i $D P C$ . To znaczy, że pole równoległoboku $K L M N$ jest dwa razy większe od pola czworokąta $A B C D$ , skąd

P_{A B C D} = \frac{1}{2} \cdot P_{K L M N} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} \sin α

Przykład 7

W trójkącie $A B C$ boki $A C$ i $B C$ mają długości $|A C| = 6$ i $|B C| = 4$ , a kąt między tymi bokami ma miarę $120 °$ . Obliczymy pole tego trójkąta.
Zauważmy, że wysokość $A D$ jest opuszczona na przedłużenie boku $B C$ .

RxxB6yvMg7OBC

Rysunek trójkąta A B C. Punkt D leży na przedłużeniu boku BC =4, bok AC =6 a kąt A C B =120 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie prostokątnym $A D C$ kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $60 °$ . Wówczas

\frac{|A D|}{|A C|} = \sin 60 °

skąd

|A D| = |A C| \cdot \sin 60 ° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}

Pole $P$ trójkąta $A B C$ jest więc równe

P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot |A D| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}

Wybierzmy dodatkowo na półprostej $B C$ taki punkt $E$ , że $|E C| = |B C|$ . Wówczas trójkąty $B A C$ oraz $E A C$ mają równe boki $B C$ i $E C$ oraz wspólną wysokość $A D$ , opuszczoną z wierzchołka $A$ .

RB6EJWylTqfIY

Rysunek trójkąta A B C. Punkty D i E leżą na przedłużeniu boku BC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pola tych trójkątów są więc równe, co znaczy, że pole trójkąta $A B C$ można wyrazić za pomocą danych długości boków i sinusa kąta przyległego do kąta rozwartego zawartego między tymi bokami

P_{A B C} = P_{A C E} = \frac{1}{2} \cdot |E C| \cdot |C A| \cdot \sin 60 ° =

= \frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot |C A| \cdot \sin 60 ° =

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}

Przykład 8

Rozpatrzmy trójkąt rozwartokątny $A B C$ , w którym dane są długości boków $|C B| = a$ i $|A C| = b$ . Kąt $A C B$ jest rozwarty i ma miarę $γ$ .

RjgrLJA5g3JXb

Rysunek trójkąta A B C. Punkt D leży na przedłużeniu boku BC =a, bok AC =b a kąt A C B =gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $A D$ będzie wysokością trójkąta $A B C$ , przy czym punkt $D$ niech leży na przedłużeniu boku $B C$ . Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wybierzmy na półprostej $B C$ taki punkt $E$ , że $|C E| = a$ .

RPOiGgK6hNhai

Rysunek trójkąta A B C. Punkty D i E leżą na przedłużeniu boku BC =a, bok AC =b a kąt A C B =gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wówczas trójkąty $A B C$ i $A E C$ mają równe pola, czyli

P_{A B C} = P_{A C E} = \frac{1}{2} \cdot |E C| \cdot |C A| \cdot \sin (180 ° - γ) = \frac{1}{2} a b \sin (180 ° - γ)

Ponadto $\sin (180 ° - γ) = \sin (γ)$ , więc powyższy wzór zachodzi także dla sinusa kąta rozwartego.