Na pytania typu: „Ile jest możliwości wylosowania dwóch kul z dwudziestu?” lub „Na ile sposobów możemy wybrać liczby do zakreślenia w grze losowej?” pomaga odpowiedzieć dział matematyki zwany kombinatoryką.
Aby rozwiązać tego typu zadania, często stosuje się wzory na permutacje, kombinacje, wariacje oraz wariacje z powtórzeniami. Jednak podstawowym narzędziem do rozwiązywania zadań z kombinatoryki są reguła dodawania i mnożenia.
Jeżeli potrzebujesz powtórzyć definicje i ponownie przeanalizować przykłady związane z podanymi regułami, wariacjami oraz permutacjami skorzystaj z lekcji Reguła mnożenia, reguła dodawaniaDizpZTzcgReguła mnożenia, reguła dodawania. Informacje na temat kombinacji znajdują się poniżej.
Kombinacje
Kombinacja pozwala wyznaczyć na ile sposobów można wybrać elementów z -elementowego zbioru. Wzór na kombinację jest następującej postaci: .
Ważne!
Kombinacje można zapisać za pomocą symbolu Newtona: .
Przykład 1
Na ile sposobów można wybrać spośród osób dwuosobową delegację?
Rozwiązanie
Aby odpowiedzieć na to pytanie, skorzystamy ze wzoru na kombinację, gdzie oraz , czyli
.
Zatem delegację można wybrać na sposobów.
RdTDmxosXyll11
Ćwiczenie 1
RUNzgs87wdHTn1
Ćwiczenie 2
RmP3qFXcLrUq81
Ćwiczenie 3
RZggh2dAoKc8W1
Ćwiczenie 4
RIWQiyz9VEXtI1
Ćwiczenie 5
RRqY9I0avUZdE1
Ćwiczenie 6
R1W861cpEQpE01
Ćwiczenie 7
RR9uU0n4Rxjcp1
Ćwiczenie 8
RSNGvCC61GLkE1
Ćwiczenie 9
R12xq78Nv62ES1
Ćwiczenie 10
2
Ćwiczenie 11
Test powtórzeniowy składa się z zadań testowych. Po wybraniu prawidłowej odpowiedzi za każde z zadań można otrzymać punkt, w przeciwnym przypadku za zadanie otrzymuje się punktów. Oblicz, na ile sposobów można tak wypełnić kartę odpowiedzi do tego testu, żeby otrzymać:
punkt
punkty
punktów
punktów
R1du7BQey14id
Liczba uzyskanych punktów jest równa liczbie udzielonych prawidłowo odpowiedzi. Prawidłową odpowiedź do:
dokładnie jednego z tych czternastu zadań można podać na sposobów, zatem tyle jest sposobów wypełnienia karty, żeby otrzymać punkt,
dokładnie dwóch z tych czternastu zadań można podać na sposobów, co oznacza, że jest sposobów wypełnienia karty, żeby otrzymać punkty.
Suma liczby uzyskanych punktów i liczby odpowiedzi udzielonych nieprawidłowo jest równa . Nieprawidłową odpowiedź dokładnie dwóch z tych czternastu zadań można podać na sposobów, zatem tyle jest sposobów wypełnienia karty, żeby otrzymać punktów.
dokładnie trzynastu z tych czternastu zadań można podać na sposobów, więc jest sposobów wypełnienia karty, żeby otrzymać punktów.
2
Ćwiczenie 12
Oblicz:
ile trzeba będzie rozegrać wszystkich meczów w turnieju, do którego zgłosiło się drużyn i każda drużyna ma rozegrać z każdą inną dokładnie jeden mecz.
na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację z klasy liczącej uczniów.
R1MBDUwS2ktju
2
Ćwiczenie 13
Oblicz, ile jest wszystkich takich wyników:
ośmiokrotnego rzutu monetą, że dokładnie dwa razy wypadł orzeł.
ośmiokrotnego rzutu monetą, że dokładnie sześć razy wypadła reszka.
dziewięciokrotnego rzutu monetą, że dokładnie dwa razy wypadła reszka.
dziewięciokrotnego rzutu monetą, że dokładnie siedem razy wypadł orzeł.
R12CsIMf3p1Rl
Dokładnie dwa orły w ośmiokrotnym rzucie monetą wypadną wtedy i tylko wtedy, gdy wypadnie dokładnie sześć reszek. Wobec tego:
Dokładnie dwie reszki w rzucie monetą wypadną wtedy i tylko wtedy, gdy wypadnie dokładnie siedem orłów. Wobec tego:
2
Ćwiczenie 14
Spośród ośmiu chłopców pewnej klasy nauczyciel chce wylosować sześciu. Na ile sposobów może to zrobić?
Spośród dwudziestu dziewcząt pewnej klasy nauczyciel chce wybrać osiemnaście. Na ile sposobów może to zrobić?
R1ey95SfkhkRc
Każda para niewylosowanych chłopców jest wzajemnie jednoznacznie przypisana (przez dopełnienie do całej ósemki) do wylosowanej szóstki. Zatem jest sposobów wylosowania takiej szóstki.
Każda para niewybranych dziewcząt jest wzajemnie jednoznacznie przypisana (przez dopełnienie do całej dwudziestki) do wybranej osiemnastki. Zatem jest sposobów wybrania takiej osiemnastki.
2
Ćwiczenie 15
Oblicz liczbę wszystkich przekątnych
siedmiokąta wypukłego.
szesnastokąta wypukłego.
RKpFdHIKF5zPE
Liczbę przekątnych – kąta obliczamy, stosując wzór .
dla :
dla :
2
Ćwiczenie 16
Ilu zawodników liczy drużyna, z której graczy można wybrać na sposobów?
R1NbLe99gzakx
Przyjmijmy, że – liczba zawodników w tej drużynie. Wówczas liczba wszystkich sposobów wyboru dwóch graczy z tej drużyny jest równa . Otrzymujemy więc równanie , które ma dwa rozwiązania: oraz . Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania.
Drużyna liczy zawodników.
2
Ćwiczenie 17
Pewien wielokąt foremny ma przekątnych. Ile boków ma ten wielokąt?
R1Xdts7ZKliYf
Załóżmy, że ten wielokąt ma boków. Wówczas liczba wszystkich jego przekątnych jest równa . Otrzymujemy więc równanie , które ma dwa rozwiązania: oraz . Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania.
Wielokąt ma boków.
2
Ćwiczenie 18
Do szkolnego turnieju halowej piłki ręcznej zgłosiło się drużyn: , , , , i . Każda drużyna ma rozegrać z każdą inną dokładnie jeden mecz. W każdym meczu przyznawano punkty w następujący sposób:
w przypadku remisu obie drużyny otrzymują po punkcie, a w meczu rozstrzygniętym zwycięzca otrzymuje punkty. Po zakończeniu turnieju okazało się, że: drużyna zdobyła punktów, drużyna – punkty, drużyna – punktów, drużyna – punkt, a drużyna zdobyła o punkty więcej niż drużyna .
Które miejsce w turnieju zajęła drużyna ?
R10Sww2rzOX6R
Oznaczmy przez liczbę punktów, które zdobyła drużyna . Stąd liczba punktów zdobytych przez jest równa . W tym turnieju rozegrano meczów. W każdym meczu suma punktów uzyskanych przez grające ze sobą drużyny jest równa , zatem po zakończeniu turnieju łączna suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny jest równa . Zatem , a więc . Oznacza to, że drużyna zajęła miejsce.
miejsce.
2
Ćwiczenie 19
W osiedlowym turnieju piłki nożnej, rozgrywanym systemem „każdy z każdym” (bez rewanżów) wystąpiło zespołów. Każda drużyna za zwycięstwo w meczu otrzymywała punkt, za remis – punktu, a przegrana nie zwiększała konta punktowego zespołu. Dwa zespoły: „Kosiarze” i „Przecinaki” zajęły w tym turnieju miejsca ex aequo i (żadna inna drużyna nie dzieliła z nimi tych miejsc), zdobywając po punktu. Wykaż, że drużyna, która zajęła w tym turnieju ostatnie miejsce, wygrała co najwyżej jeden mecz.
R1B7Ej8lYFfWI
Oblicz ile łącznie punktów uzyskało pierwszych drużyn, a następnie wyciągnij wniosek, ile punktów mogła co najwyżej zdobyć ostatnia drużyna.
W tym turnieju rozegrano meczów. W każdym meczu suma punktów uzyskanych przez grające ze sobą drużyny jest równa , zatem po zakończeniu turnieju łączna suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny jest równa . Każda z dziewięciu drużyn, która zajęła w tym turnieju miejsce powyżej dziesiątego, uzyskała co najmniej punktów, a drużyny z miejsc dziesiątego i jedenastego („Kosiarze” i „Przecinaki”) – po punktu. Zatem suma punktów uzyskanych przez te jedenaście drużyn to co najmniej . Oznacza to, że dwunasta, ostatnia drużyna zdobyła co najwyżej jeden punkt, stąd wynika, że drużyna ta wygrała co najwyżej jeden mecz.
2
Ćwiczenie 20
W turnieju gry w koszykówkę każda drużyna miała rozegrać z każdą inną dokładnie jeden mecz. Po zakończeniu tego turnieju okazało się, że drużyny, które nie wygrały żadnego meczu, stanowią wszystkich drużyn. Oblicz, ile meczów rozegrano w tym turnieju. Pamiętaj, że w koszykówce każdy mecz musi zostać rozstrzygnięty.
R9FaRu9u0DxUC
W turnieju, w którym każdy mecz musiał zostać rozstrzygnięty, tylko jedna drużyna mogła przegrać wszystkie mecze. Ponieważ liczba stanowi liczby wszystkich drużyn biorących udział w turnieju, więc wszystkich drużyn było . Oznacza to, że w tym turnieju rozegrano meczów.
2
Ćwiczenie 21
W licealnym turnieju piłkarskim wystąpiła pewna liczba drużyn. Turniej rozgrywano metodą „każdy z każdym”, bez rewanżów. Po zakończeniu okazało się, że dokładnie drużyn rozegrało co najmniej jeden mecz remisowy, a dokładnie pozostałych co najmniej jeden mecz przegrało. Ile meczów rozegrano w tym turnieju?
R1KWSNHd8RSXs
Z treści zadania wynika, że drużyn rozegrało wyłącznie mecze rozstrzygnięte, a spośród nich wygrała wszystkie mecze. Wobec tego spośród wszystkich drużyn wygrała wszystkie mecze. Ale w takim turnieju tylko jedna drużyna mogła wygrać wszystkie swoje mecze, co oznacza, że startowało w nim drużyn. Zatem łącznie rozegrały one meczów.
2
Ćwiczenie 22
Ze zbioru liczb losujemy trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz, ile jest takich wyników tego losowania, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej, a druga jest równa trzeciej z tych liczb.
Rpo8kerNBpReO
Z danego zbioru losujemy dwie liczby (mamy możliwości), następnie większą z nich bierzemy jako wynik pierwszego losowania, mniejszą – jako wynik drugiego losowania, a jako wynik trzeciego losowania bierzemy liczbę równą tej mniejszej. Stąd wynika, że jest takich wyników losowania.
2
Ćwiczenie 23
Oblicz:
ile jest wszystkich wyników dwukrotnego rzutu kostką sześcienną, w których liczba oczek uzyskanych w pierwszym rzucie jest mniejsza od liczby oczek uzyskanych w drugim rzucie,
ile jest wszystkich wyników trzykrotnego rzutu kostką sześcienną, w których liczba oczek uzyskanych w trzecim rzucie jest większa od liczby oczek uzyskanych w drugim rzucie.
RfJ4HxRbMpo3W
Takich wyników jest
Takich wyników jest
2
Ćwiczenie 24
W trapezie na podstawie wybrano punkty i , a na podstawie wybrano punkt .
R1XN0mzmnmVWQ1
Oblicz, ile jest wszystkich:
trójkątów, których każdy wierzchołek został wybrany spośród punktów , , , , , , .
trapezów, których każdy wierzchołek został wybrany spośród punktów , , , , , , .
REvABcBSP8126
Obliczamy, ile wśród , , , , , , jest trójek punktów, które nie leżą na jednej prostej. Rozróżniamy dwa przypadki: wybieramy dwa punkty leżące na prostej i trzeci na prostej albo wybieramy dwa punkty leżące na prostej i trzeci na prostej . Łącznie otrzymujemy więc trójkątów.
Zauważamy, że trapezy możemy otrzymać wtedy i tylko wtedy, gdy dwa spośród ich wierzchołków wybrane zostaną na prostej i kolejne dwa – na prostej . Zatem w sumie otrzymujemy trapezów.
2
Ćwiczenie 25
W klasie jest uczniów, przy czym chłopców jest o mniej niż dziewczynek. Oblicz, na ile sposobów można wybrać z tej klasy:
trzyosobową delegację, w której znajdzie się dokładnie jedna dziewczynka.
czteroosobową delegację, w której znajdą się dokładnie dwaj chłopcy.
R126htwuBjxwX
Obliczamy, że w tej klasie jest dziewczynek i chłopców. Stąd:
trzyosobową delegację, w której znajdzie się jedna dziewczynka i dwóch chłopców, można wybrać na sposobów.
czteroosobową delegację, w której znajdą się dwie dziewczynki i dwaj chłopcy, można wybrać na sposobów.
2
Ćwiczenie 26
Proste i są równoległe i różne. Rozpatrzmy dziesięć punktów: z nich zaznaczono na prostej , kolejne zaznaczono na prostej , a dziesiątym jest punkt . Ten punkt spełnia jednocześnie dwa warunki:
nie leży na żadnej z prostych , ,
żadna z prostych, przechodzących przez każde dwa inne punkty wybrane spośród dziewięciu zaznaczonych, nie przechodzi przez punkt .
Oblicz, ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów.
R1RHOwTKzn0la
Jeżeli wśród wierzchołków takiego trójkąta jest punkt , to pozostałe dwa wierzchołki można wybrać dowolnie spośród punktów leżących na prostych oraz ( możliwości). Jeżeli wśród wierzchołków takiego trójkąta nie ma punktu , to wierzchołki wybieramy albo biorąc dwa punkty spośród leżących na prostej i trzeci leżący na prostej ( możliwości), albo biorąc dwa punkty spośród leżących na prostej i trzeci leżący na prostej ( możliwości). Stąd jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów.
2
Ćwiczenie 27
Oblicz:
ile jest liczb czterocyfrowych, w których cyfra setek jest mniejsza od cyfry jedności.
ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie dwa następujące warunki:
cyfra setek jest większa od cyfry jedności,
cyfra tysięcy jest większa od cyfry dziesiątek.
RlAS5qkUEs8cl
Cyfrę tysięcy można wybrać na sposobów, cyfrę dziesiątek – na sposobów, a taką parę: cyfra setek, cyfra jedności, że cyfra setek jest mniejsza niż cyfra jedności, można wybrać na sposobów. Zatem jest wszystkich takich liczb.
Cyfrę dziesiątek tysięcy można wybrać na sposobów, a każdą z par: cyfra setek, cyfra jedności taką, że cyfra setek jest większa niż cyfra jedności oraz parę cyfra tysięcy, cyfra dziesiątek taką, że cyfra tysięcy jest większa niż cyfra dziesiątek, można wybrać na sposobów. Zatem jest wszystkich takich liczb.
2
Ćwiczenie 28
Oblicz, ile jest wszystkich prostokątów, których boki zawierają się w liniach siatki prostokąta o wymiarach na , podzielonego na kwadraty jednostkowe.
RtKleBLCYfm3l
Oznaczmy pionowe linie siatki, od lewej: , , , , oraz poziome linie siatki, od dołu: , , , , , , .
sposób . Każdy taki prostokąt jednoznacznie opisuje para wierzchołków: lewy dolny: i prawy górny . Zatem szukamy takiej czwórki liczb , , , , która spełnia jednocześnie dwa warunki:
indeksy i bierzemy ze zbioru , przy czym ,
indeksy i bierzemy ze zbioru , przy czym .
Ponieważ parę indeksów , możemy wybrać na sposobów, a parę , – na sposobów, więc wszystkich prostokątów, których boki zawierają się w liniach siatki prostokąta na , jest .
sposób . Każdy taki prostokąt jednoznacznie opisują dwie pary równoległych prostych przechodzących przez jego boki: para prostych pionowych, którą można wybrać na sposobów oraz para prostych poziomych, którą można wybrać na sposobów. Zatem jest wszystkich prostokątów, których boki zawierają się w liniach siatki prostokąta na .
2
Ćwiczenie 29
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych dziewięciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy .
RBdlhH8Aoydil
Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze: . Oznacza to, że możliwe są trzy przypadki:
wśród cyfr tej liczby są dwie dwójki, jedna trójka i sześć jedynek,
wśród cyfr tej liczby jest jedna dwójka, jedna szóstka i siedem jedynek,
wśród cyfr tej liczby jest jedna trójka, jedna czwórka i siedem jedynek.
W pierwszym przypadku: wybieramy dwa miejsca, na których zapisujemy dwójki ( możliwości), z pozostałych siedmiu miejsc wybieramy jedno, na którym zapisujemy trójkę ( możliwości), a na pozostałych sześciu miejscach zapisujemy jedynki. Oznacza to, że są takie liczby.
W drugim przypadku: wybieramy jedno miejsce, na którym zapisujemy dwójkę ( możliwości), z pozostałych ośmiu miejsc wybieramy jedno, na którym zapisujemy szóstkę (8 możliwości) , a na pozostałych siedmiu miejscach zapisujemy jedynki. Zatem są takie liczby.
W trzecim przypadku: wybieramy jedno miejsce, na którym zapisujemy trójkę ( możliwości), z pozostałych ośmiu miejsc wybieramy jedno, na którym zapisujemy czwórkę ( możliwości) , a na pozostałych siedmiu miejscach zapisujemy jedynki. Zatem są takie liczby.
Stąd wynika, że jest wszystkich liczb naturalnych dziewięciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy .
2
Ćwiczenie 30
Oblicz, ile jest wszystkich wyników pięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których parzysta liczba oczek wypadła więcej razy niż nieparzysta liczba oczek.
R17A6VIsWGBO7
Sposób Rozróżniamy trzy przypadki: parzysta liczba oczek wypadła pięć razy, parzysta liczba oczek wypadła razy, parzysta liczba oczek wypadła razy. W pierwszym przypadku mamy wszystkich możliwości. W drugim przypadku: ustalamy numer rzutu, w którym wypadła nieparzysta liczba oczek ( możliwości), zapisujemy tam nieparzystą liczbę oczek ( możliwości), a na pozostałych miejscach zapisujemy parzystą liczbę oczek ( możliwości) – razem jest możliwości. W trzecim przypadku: ustalamy numery dwóch rzutów, w których wypadła nieparzysta liczba oczek ( możliwości), zapisujemy tam nieparzystą liczbę oczek ( możliwości), a na pozostałych miejscach zapisujemy parzystą liczbę oczek ( możliwości) – razem jest możliwości.
Oznacza to, że łącznie jest .
Sposób Skorzystamy z reguły równoliczności. Jest wszystkich wyników pięciokrotnego rzutu kostką sześcienną. Można je podzielić na dwie rozłączne grupy:
tych wyników, w których wypadło mniej parzystych liczb oczek niż nieparzystych liczb oczek,
tych wyników, w których wypadło mniej nieparzystych liczb oczek niż parzystych liczb oczek.
Biorąc dowolny wynik z pierwszej grupy i zamieniając każdą z zapisanych tam liczb wyrzuconych oczek na liczbę – , dostaniemy jeden wynik z drugiej grupy. Postępując analogicznie z wynikiem z drugiej grupy, dostaniemy jeden wynik z pierwszej grupy. Zatem wyniki te można połączyć w pary, co oznacza, że dokładnie połowa wszystkich wyników pięciokrotnego rzutu kostką sześcienną to te, w których parzysta liczba oczek wypadła więcej razy niż nieparzysta liczba oczek. Jest ich więc .
2
Ćwiczenie 31
Ile jest wszystkich liczb naturalnych:
pięciocyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa .
sześciocyfrowych, których suma cyfr jest równa .
nieparzystych siedmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa .
ośmiocyfrowych o wszystkich cyfrach parzystych, których suma cyfr jest równa .
R3MQN73GLBwJG
Sposób Rozróżniamy trzy przypadki: w zapisie takiej liczby jest jedna siódemka i cztery jedynki, w zapisie takiej liczby jest jedna piątka, jedna trójka i trzy jedynki, w zapisie takiej liczby są trzy trójki i dwie jedynki. W pierwszym przypadku: wybieramy jedno miejsce, na którym zapisujemy siódemkę ( możliwości), a na pozostałych czterech miejscach zapisujemy jedynki. Zatem jest takich liczb. W drugim przypadku: wybieramy jedno miejsce z pięciu, na którym zapiszemy piątkę ( możliwości), następnie z pozostałych czterech miejsc wybieramy jedno, na którym zapiszemy trójkę ( możliwości), a na pozostałych trzech miejscach zapisujemy jedynki. Oznacza to, że jest takich liczb. W trzecim przypadku: wybieramy dwa miejsca z pięciu, na których zapiszemy jedynki ( możliwości), a na pozostałych trzech miejscach zapisujemy trójki. Oznacza to, że jest takich liczb. Stąd wynika, że łącznie jest liczb naturalnych pięciocyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa .
Sposób Rozróżniamy trzy przypadki, ze względu na pierwszą cyfrę (czyli cyfrę setek tysięcy) w zapisie tej liczby: na pierwszym miejscu jest trójka, na pierwszym miejscu jest dwójka, na pierwszym miejscu jest jedynka. W pierwszym przypadku na pozostałych miejscach zapisujemy same zera, zatem jest tylko jedna taka liczba. W drugim przypadku na pozostałych miejscach należy zapisać jedną jedynkę i cztery zera. Wybieramy więc jedno miejsce z pięciu, na którym zapiszemy jedynkę ( możliwości), następnie na pozostałych czterech miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. W trzecim przypadku są dwie możliwości: – na pozostałych miejscach należy zapisać jedną dwójkę i cztery zera. Zatem: wybieramy jedno miejsce z pięciu, na którym zapiszemy dwójkę ( możliwości), a na pozostałych czterech miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. – na pozostałych miejscach należy zapisać dwie jedynki i trzy zera. Zatem: wybieramy dwa miejsca z pięciu, na których zapiszemy jedynki ( możliwości), a na pozostałych trzech miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. Stąd wynika, że jest wszystkich liczb sześciocyfrowych, których suma cyfr jest równa .
Rozróżniamy dwa przypadki ze względu na ostatnią cyfrę (czyli cyfrę jedności) w zapisie tej liczby: na ostatnim miejscu jest jedynka, na ostatnim miejscu jest trójka. W pierwszym przypadku sześć pierwszych cyfr tworzy liczbę sześciocyfrową, której suma cyfr jest równa . Takich liczb jest , co wiadomo z rozwiązania podpunktu b). W drugim przypadku sześć pierwszych cyfr tworzy liczbę sześciocyfrową, której suma cyfr jest równa . Taka liczba jest tylko jedna – jej pierwszą cyfrą jest , a pozostałe cyfry to zera. Zatem są nieparzyste liczby siedmiocyfrowe, których suma cyfr jest równa .
Sposób Rozróżniamy trzy przypadki ze względu na pierwszą cyfrę (czyli cyfrę dziesiątek milionów) w zapisie tej liczby: na pierwszym miejscu jest dwójka albo na pierwszym miejscu jest czwórka albo na pierwszym miejscu jest szóstka. W pierwszym przypadku są dwie możliwości: – na pozostałych miejscach należy zapisać jedną czwórkę i sześć zer. Zatem wybieramy jedno miejsce z siedmiu, na którym zapiszemy czwórkę ( możliwości), a na pozostałych sześciu miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. – na pozostałych miejscach należy zapisać dwie dwójki i pięć zer. Wobec tego wybieramy dwa miejsca z siedmiu, na których zapiszemy dwójki ( możliwości), a na pozostałych pięciu miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. W drugim przypadku na pozostałych miejscach należy zapisać jedną dwójkę i sześć zer. Wybieramy więc jedno miejsce z siedmiu, na którym zapiszemy dwójkę ( możliwości), a następnie na pozostałych miejscach zapisujemy zera. Oznacza to, że jest takich liczb. W trzecim przypadku na pozostałych miejscach zapisujemy same zera, zatem jest tylko jedna taka liczba. Łącznie jest liczb ośmiocyfrowych o wszystkich cyfrach parzystych, których suma cyfr jest równa .
2
Ćwiczenie 32
Liczby ze zbioru ustawiamy w losowej kolejności w szeregu, tworząc liczbę dziewięciocyfrową o różnych cyfrach. Oblicz, ile jest możliwości uzyskania w ten sposób liczby, której cyfry spełniają jednocześnie cztery warunki:
cyfra stoi przed cyfrą
cyfra stoi przed cyfrą
cyfra stoi przed cyfrą
cyfra stoi przed cyfrą
Rm1FnZqhEiXDl
Sposób W pięciu etapach zapisujemy cyfry takiej liczby: wybieramy miejsce dla cyfry ( możliwości) i zapisujemy tę cyfrę, wybieramy miejsce dla cyfr oraz ( możliwości) i zapisujemy te cyfry, wybieramy miejsce dla cyfr oraz ( możliwości) i zapisujemy te cyfry, wybieramy miejsce dla cyfr oraz ( możliwości) i zapisujemy te cyfry, na pozostałych dwóch miejscach zapisujemy cyfry oraz . Stąd wynika, że jest wszystkich takich liczb.
Sposób (zasada równoliczności) Wszystkich liczb dziewięciocyfrowych o różnych cyfrach, zapisanych za pomocą cyfr , , , , , , , , jest . Dokładnie połowa z nich spełnia warunek , połowa ze spełniających warunek ma w zapisie cyfrę przed cyfrą , połowa z liczb spełniających warunki i ma w zapisie cyfrę przed cyfrą , a połowa z liczb spełniających warunki , i ma w zapisie cyfrę przed cyfrą . Zatem jest takich liczb.
W pudełku jest ponumerowanych losów, w tym wygrywających. Z tego pudełka wybieramy losowo losy. Na ile sposobów można wylosować co najmniej los wygrywający?
R1dSBfQq208hj
Sposób Rozróżniamy cztery przypadki ze względu na liczbę wylosowanych losów wygrywających: wylosowano losy wygrywające (wtedy nie ma wśród wylosowanych losu pustego) – jest takich możliwości albo wylosowano losy wygrywające (wtedy wśród wylosowanych jest los pusty) – takich możliwości jest , albo wylosowano losy wygrywające (wtedy wśród wylosowanych są też losy puste) – takich możliwości jest , albo wylosowano los wygrywający (wtedy wśród wylosowanych są też losy puste) – takich możliwości jest . Zatem na sposobów można wylosować co najmniej jeden los wygrywający.
Sposób Wśród wszystkich możliwych wyników losowania losów spośród jest wyników losowania, kiedy nie wylosowano ani jednego losu wygrywającego. Zatem co najmniej jeden los wygrywający można wylosować na sposobów.
2
Ćwiczenie 34
Dany jest prostokąt , w którym , . Prostokąt ten podzielono liniami siatki na kwadraty jednostkowe. Ile jest wszystkich najkrótszych dróg prowadzących po liniach siatki od punktu do punktu ?
R1HkDyPtncXke
Każda najkrótsza droga prowadząca od do wymaga wykonania kolejnych kroków po brzegu odpowiednich kwadratów jednostkowych. Wśród tych trzynastu kroków dokładnie to kroki w prawo i dokładnie to kroki w górę. Zatem wszystkich najkrótszych dróg jest tyle, ile wyników trzynastokrotnego rzutu monetą, w których dokładnie razy wypadł orzeł: .
2
Ćwiczenie 35
W kopercie znajduje się kartek ponumerowanych od do . Z tej koperty losujemy dowolnie wybraną liczbę kartek. Ile jest możliwości wylosowania w ten sposób takich kartek, że suma numerów: najmniejszego i największego zapisanych na tych wylosowanych kartkach jest równa ?
RcvYRtsYzmf4C
Zauważmy, że w sposób opisany w treści zadania sumę numerów równą można otrzymać: albo gdy najmniejszy z numerów jest równy i największy jest równy , albo gdy najmniejszy z numerów jest równy i największy jest równy , albo gdy najmniejszy z numerów jest równy i największy jest równy , albo gdy najmniejszy z numerów jest równy i największy jest równy .
Rozróżniamy zatem cztery rozłączne przypadki:
wśród wylosowanych znalazły się kartki o numerach oraz i nie znalazła się kartka z numerem ,
wśród wylosowanych nie ma żadnej z kartek o numerach , , i znalazły się kartki o numerach oraz ,
wśród wylosowanych nie ma żadnej z kartek o numerach , , , , i znalazły się kartki o numerach oraz ,
wśród wylosowanych nie ma żadnej z kartek o numerach , , , , , , i znalazły się kartki o numerach oraz .
W pierwszym przypadku wraz z wylosowanymi dwiema kartkami można wylosować dowolny podzbiór ze zbioru kartek o numerach , , , , , , . Ponieważ decyzji o wyborze każdej z tych kartek możemy dokonać na sposoby, więc łącznie w tym przypadku jest możliwości wylosowania kartek.
W drugim przypadku wraz z wylosowanymi dwiema kartkami można wylosować dowolny podzbiór ze zbioru kartek o numerach , , , , . Łącznie w tym przypadku są możliwości wylosowania kartek.
W trzecim przypadku wraz z wylosowanymi dwiema kartkami można wylosować dowolny podzbiór ze zbioru kartek o numerach , , . W tym przypadku jest możliwości wylosowania kartek.
W czwartym przypadku wraz z wylosowanymi dwiema kartkami można wylosować kartkę z numerem lub nie wylosować tej kartki – zatem w tym przypadku są możliwości wylosowania kartek.
Oznacza to, że jest wszystkich możliwości wylosowania kartek w sposób opisany w treści zadania.
2
Ćwiczenie 36
Wykaż, że:
dla dowolnej liczby rzeczywistej : .
dla dowolnej liczby rzeczywistej : .
dla dowolnych liczb rzeczywistych i : .
dla dowolnych liczb rzeczywistych i : .
RbdKg4doVTTWi
Skorzystaj ze wzoru dwumianowego.
Dla dowolonych liczb rzeczywistych i i dowolonej liczby naturalnej zachodzi równość:
Powyższy wzór nazywamy wzorem dwumianowym Newtona, gdzie .
.
.
2
Ćwiczenie 37
Oblicz, ile jest:
wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie trzech miejscach stoją cyfry parzyste.
wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których na dokładnie czterech miejscach stoją cyfry parzyste.
RPYmcbfvYNNqt
Zliczanie rozkładamy na dwa etapy: 1) wybór trzech miejsc z ośmiu dla cyfr parzystych (mamy możliwości) oraz zapisanie tych cyfr (mamy możliwości), 2) zapisanie pozostałych pięciu cyfr (mamy możliwości). Zatem jest takich liczb sześciocyfrowych.
Sposób Rozróżniamy dwa przypadki: albo na pierwszym miejscu zapisana jest cyfra parzysta, albo na pierwszym miejscu jest cyfra nieparzysta. W pierwszym przypadku: mamy możliwości zapisu pierwszej cyfry, z kolejnych sześciu miejsc mamy wybrać trzy dla cyfry parzystej ( możliwości) i zapisać te cyfry ( możliwości), a na pozostałych trzech miejscach zapisać cyfry nieparzyste ( możliwości). Takich liczb jest . W drugim przypadku: mamy możliwości zapisu pierwszej cyfry, z kolejnych sześciu miejsc mamy wybrać dwa dla cyfry nieparzystej ( możliwości) i zapisać te cyfry ( możliwości), a na pozostałych czterech miejscach zapisać cyfry parzyste ( możliwości). Takich liczb jest . Oznacza to, że jest liczb siedmiocyfrowych spełniających warunki zadania. Sposób Wypisujemy kolejno jedna za drugą siedem cyfr, wybierając każdą cyfrę spośród dziesięciu możliwych (dopuszczamy na początkowych miejscach), przy czym na dokładnie czterech miejscach zapisujemy cyfrę parzystą. Mamy możliwości wyboru czterech miejsc dla cyfr parzystych, cyfry te możemy zapisać na sposobów, a na pozostałych trzech miejscach cyfry nieparzyste zapiszemy na sposobów. Takich ciągów o cyfrach jest zatem . Są wśród nich takie, w których cyfra zapisana jest na pierwszym miejscu. W każdym z takich ciągów na trzech z kolejnych sześciu miejscach znajdują się cyfry parzyste (miejsce dla nich można wybrać na sposobów, a zapisać je na sposobów) i na pozostałych trzech miejscach - cyfry nieparzyste (można je zapisać na sposobów). Oznacza to, że takich ciągów jest . Stąd wynika, że jest liczb siedmiocyfrowych spełniających warunki zadania.
takich liczb ośmiocyfrowych.
takich liczb siedmiocyfrowych.
2
Ćwiczenie 38
Oblicz, ile jest:
trzycyfrowych liczb naturalnych, spełniających jednocześnie dwa następujące warunki: cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.
sześciocyfrowych liczb naturalnych, spełniających jednocześnie trzy następujące warunki: cyfra tysięcy jest większa od cyfry setek, cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.
R19lZkryiZ5lm
2
Ćwiczenie 39
Dwunastu chłopców bierze udział w szkolnej wycieczce. Oblicz, na ile sposobów można ich zakwaterować w czterech trzyosobowych pokojach.
R16KNNFYBrQMh
.
2
Ćwiczenie 40
Ze zbioru losujemy jednocześnie pięć liczb. Oblicz, ile jest wszystkich możliwości wylosowania takich pięciu liczb, których:
iloczyn jest parzysty.
suma jest parzysta.
REhIABHUGMtZ0
Wszystkich wyników losowania liczb spośród jest . Iloczyn wylosowanych liczb może być albo parzysty, albo nieparzysty. W tym drugim przypadku każda z wylosowanych liczb musi być nieparzysta, co oznacza, że jest takich możliwości. Zatem jest wszystkich możliwości wylosowania takich pięciu liczb, których iloczyn jest parzysty.
Rozróżniamy trzy przypadki ze względu na liczbę nieparzystych składników opisanej sumy: są składniki nieparzyste (wtedy jeden składnik jest parzysty) – mamy więc możliwości albo są składniki nieparzyste (wtedy trzy składniki są parzyste) – mamy więc możliwości, albo składników nieparzystych nie ma, wszystkie składniki są parzyste – mamy więc możliwości. Zatem jest wszystkich możliwości wylosowania takich pięciu liczb.
2
Ćwiczenie 41
W talii kart do brydża jest po kart w każdym z czterech kolorów: trefl, karo, kier, pik. W każdym kolorze jest jeden as, a także trzy figury: król, dama, walet oraz kart numerowanych od do . W rozdaniu brydżowym każdy z czterech graczy otrzymuje po kart wybranych losowo z talii. Oblicz, na ile sposobów gracz może w takim rozdaniu dostać:
dokładnie pików i dokładnie kiery
trzy asy, trzy króle, trzy damy i trzy walety
R1Z9uobSwv76i
Dzielimy karty z talii na grupy: pików, kierów i pozostałych kart. Z pierwszej grupy mamy wylosować kart, z drugiej – karty, a z trzeciej – jedną. Zatem jest wszystkich możliwości otrzymania takiego układu kart.
Dzielimy karty z talii na grup: asy, króle, damy, walety i pozostałych kart. Z każdej z czterech początkowych grup mamy wylosować po karty, a z piątej – jedną. Zatem jest wszystkich możliwości otrzymania takiego układu kart.
3
Ćwiczenie 42
Oblicz, na ile sposobów można podzielić:
graczy na dwie pięcioosobowe drużyny: „Niebieską” i „Żółtą”.
graczy na dwie pięcioosobowe drużyny.
graczy na równoliczne drużyny: „Niebieską”, „Żółtą” i „Czerwoną”.
graczy na równoliczne drużyny.
RWfXMSluM8Wf5
Wybieramy graczy do drużyny „Niebieskiej” – można to zrobić na sposoby. Pozostałych pięciu przydzielamy do drużyny „Żółtej”. Zatem na sposoby można dokonać żądanego podziału.
Oznaczmy przez liczbę możliwych podziałów. Wtedy liczba takich podziałów, w których pierwszych pięciu wybranych przydzielimy do drużyny „Niebieskiej”, a pozostałych – do drużyny „Żółtej” jest z jednej strony równa (bo kolejność dokonywanego wyboru do konkretnej drużyny możemy ustalić na dwa sposoby), a z drugiej – jest to (jak obliczyliśmy w podpunkcie a). Zatem , stąd .
Wybieramy graczy do drużyny „Niebieskiej” (można to zrobić na sposobów), następnie kolejnych czterech do drużyny „Żółtej” (można to zrobić na sposobów), a pozostałych czterech przydzielamy do drużyny „Czerwonej”. Zatem na sposobów można dokonać żądanego podziału.
Oznaczmy przez y liczbę możliwych podziałów. Wtedy liczba takich podziałów, w których pierwszych czterech wybranych przydzielimy do drużyny „Niebieskiej”, kolejnych czterech– do drużyny „Żółtej”, a pozostałych czterech – do drużyny „Czerwonej” jest z jednej strony równa (bo kolejność dokonywanego wyboru do konkretnej drużyny możemy ustalić na sposobów), a z drugiej – jest to (jak obliczyliśmy w podpunkcie c). Zatem , stąd .
3
Ćwiczenie 43
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych:
dziesięciocyfrowych, których suma cyfr jest równa .
piętnastocyfrowych o wszystkich cyfrach parzystych, których suma cyfr jest równa .
dwudziestocyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa .
stucyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa .
Rab9rkyKIfjqF
Szukamy nieujemnych liczb całkowitych , , , ,, , które spełniają równanie . To równanie przekształcamy równoważnie do postaci . Liczba jego rozwiązań jest równa . Ponieważ każda z dziewięciu liczb jest nieujemna i mniejsza od oraz liczba jest dodatnia i mniejsza od , więc tyle jest wszystkich liczb dziesięciocyfrowych, których suma cyfr jest równa .
Szukamy nieujemnych liczb całkowitych , które spełniają równanie. To równanie przekształcamy równoważnie do postaci . Liczba jego rozwiązań jest równa . Ponieważ każda z liczb jest nieujemna i mniejsza od oraz liczba jest dodatnia i mniejsza od 5, więc tyle jest wszystkich liczb piętnastocyfrowych o wszystkich cyfrach parzystych, których suma cyfr jest równa .
Szukamy nieujemnych liczb całkowitych , które spełniają równanie. To równanie przekształcamy równoważnie do postaci . Liczba jego rozwiązań jest równa . Ponieważ każda z liczb jest nieujemna i mniejsza od , więc tyle jest liczb naturalnych dwudziestocyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa .
Nie ma takich liczb. Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, zatem suma cyfr liczby stucyfrowej, której wszystkie cyfry są nieparzyste, da się zapisać jako suma liczb parzystych – wystarczy w tym celu łączyć kolejne cyfry w pary. Oznacza to, że taka suma jest parzysta, więc nie może być równa .
3
Ćwiczenie 44
Oblicz, ile jest wszystkich wyników:
siedmiokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie dwa razy wypadło jedno oczko i dokładnie trzy razy wypadło sześć oczek.
dziesięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie trzy razy wypadło jedno oczko i dokładnie cztery razy wypadła parzysta liczba oczek.
ośmiokrotnego rzutu kostką sześcienną, w których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy .
siedmiokrotnego rzutu kostką sześcienną, w których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa .
R5u1SBe2TyGBl
,
,
,
Szukamy nieujemnych liczb całkowitych , które spełniają równanie. To równanie przekształcamy równoważnie do postaci (ponieważ suma tych liczb jest równa , to żadna z nich nie może przyjąć wartości większej od ). Liczba rozwiązań tego równania to . Ponieważ każda z liczb jest nieujemna i mniejsza od , więc każda z liczb przyjmuje wartości ze zbioru – zatem wyników siedmiokrotnego rzutu kostką sześcienną, w których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa jest również .
3
Ćwiczenie 45
Z pudełka, w którym znajduje się kul ponumerowanych od do losujemy równocześnie kule. Oblicz, ile jest wszystkich możliwych wyników tego losowania, w których suma numerów wylosowanych kul jest podzielna przez .
R16KHnYv6NRah
Dzielimy kule ze względu na resztę, jaką daje zapisany na niej numer przy dzieleniu przez . Jest: kul z numerem dającym resztę kul z numerem dającym resztę oraz kul z numerem dającym resztę . Rozróżniamy cztery przypadki:
wszystkie wylosowane kule mają numer dający resztę 1 (jest takich możliwości),
wszystkie wylosowane kule mają numer dający resztę (jest takich możliwości),
wszystkie wylosowane kule mają numer dający resztę (jest takich możliwości),
każda z wylosowanych kul ma numer dający resztę różniącą się od reszt dwóch pozostałych kul (jest takich możliwości). Oznacza to, że jest wszystkich możliwych wyników tego losowania, w których suma numerów wylosowanych kul jest podzielna przez .
3
Ćwiczenie 46
W szufladzie znajduje się par rękawiczek, każde dwie pary są w różnych kolorach. Z pudełka losujemy rękawiczki. Oblicz, ile jest takich wyników tego losowania, że:
wśród wylosowanych nie będzie żadnej pary rękawiczek.
wśród wylosowanych będzie dokładnie jedna para rękawiczek.
RjjEJdGibHHQF
Sposób : Sposób :
Podsumowując zauważmy, że
3
Ćwiczenie 47
W pudełku znajduje się kul ponumerowanych od do . Z pudełka losujemy kul. Oblicz, ile jest takich wyników tego losowania, że:
wśród wylosowanych nie będzie żadnej pary kul, których suma numerów jest równa .
wśród wylosowanych będzie dokładnie jedna para kul, których suma numerów jest równa .
wśród wylosowanych będą dokładnie pary kul, których suma numerów jest równa .
wśród wylosowanych będą dokładnie pary kul, których suma numerów jest równa .
R113Nf4fAPsa6
Sposób : Sposób :
Podsumowując zauważmy, że .
3
Ćwiczenie 48
W pewnej grze losowej gracz typuje liczb spośród początkowych dodatnich liczb całkowitych. Na ile sposobów można wytypować liczb w tej grze tak, aby nie było wśród nich dwóch kolejnych?
R1LFxu3BnmPN7
Załóżmy, że spośród liczb wylosowaliśmy takich, że nie ma wśród nich dwóch kolejnych. Oznaczmy te wylosowane liczby , , , , , przy czym oraz i . Wtedy wśród pięciu liczb , , , , nie ma pary równych. Zatem oraz i . Oznacza to, że jest sposobów wytypowania liczb spełniających warunki zadania – szczegółowy opis konstrukcji, jak te wylosowanych liczb „przełożyć” na liczby wytypowane przez gracza pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
3
Ćwiczenie 49
Z dziesięciu liter alfabetu: , , , , , , , , , tworzymy dziesięcioliterowy napis, w którym każda z tych liter występuje dokładnie raz. Oblicz, ile jest takich napisów, w których litera znajdzie się przed , przed , przed oraz przed , a ponadto odpowiednia mała litera będzie zapisana przed taką samą dużą. Te warunki spełnia np. napis .
RJeEBS7nsdydq
Oznaczmy przez liczbę wszystkich napisów, które spełniają warunki zadania.
Sposób Rozpatrzmy każdy napis, który spełnia warunek „litera znajdzie się przez , przed , przed oraz przed , a ponadto odpowiednia mała litera będzie zapisana przed taką samą dużą”, wyróżniając w nim pary miejsc przypisane do pięciu par liter: , , , , . Rozważmy teraz wszystkie możliwe wymiany miejscami tych par liter na wyróżnionych miejscach. Wymagamy, żeby przy takiej wymianie małe litery zamieniały się miejscami ze sobą i duże litery – ze sobą. Dla ustalonego napisu wszystkich takich wymian jest , więc wszystkich napisów otrzymanych w ten sposób jest . Jest to zarazem liczba wszystkich napisów, które spełniają warunek: odpowiednia mała litera jest zapisana przed taką samą dużą. Obliczymy drugim sposobem, ile jest napisów, w których odpowiednia mała litera jest zapisana przed taką samą dużą. W pięciu etapach zapisujemy litery takiego napisu, wybierając odpowiednie miejsca z dostępnych dziesięciu.
wybieramy miejsce dla liter i ( możliwości) i zapisujemy te litery tak, aby stało przed ,
wybieramy miejsce dla liter i ( możliwości) i zapisujemy te litery tak, aby stało przed ,
wybieramy miejsce dla liter i ( możliwości) i zapisujemy te litery tak, aby stało przed ,
wybieramy miejsce dla liter i ( możliwości) i zapisujemy te litery tak, aby stało przed ,
na pozostałych dwóch miejscach zapisujemy litery oraz tak, aby stało przed . Stąd wynika, że jest wszystkich takich napisów. Oznacza to, że , a więc .
Sposób Rozpatrzmy każdy napis, który spełnia warunek „litera znajdzie się przez , przed , przed oraz przed , a ponadto odpowiednia mała litera będzie zapisana przed taką samą dużą”, wyróżniając w nim pary miejsc przypisane do pięciu par liter: , , . Rozważmy teraz wszystkie możliwe wymiany miejscami tych par liter na wyróżnionych miejscach. Wymagamy, żeby przy takiej wymianie małe litery zamieniały się miejscami ze sobą i duże litery – ze sobą. Dla ustalonego napisu wszystkich takich wymian jest , więc wszystkich napisów otrzymanych w ten sposób jest . Jest to zarazem liczba wszystkich napisów, które spełniają warunek: odpowiednia mała litera jest zapisana przed taką samą dużą. Dołóżmy do każdego z tych napisów drugi, w którym zamieniliśmy miejscami literę z – razem z wcześniejszymi otrzymamy napisów. Z kolei do każdego spośród tych napisów dołóżmy drugi, w którym zamieniliśmy miejscami literę z – razem z wcześniejszymi otrzymamy napisów. Teraz podwajamy liczbę tych napisów, dokładając do każdego z otrzymanych do tej pory drugi, w którym zamieniliśmy miejscami literę z . Kolejne podwojenie otrzymamy w wyniku dołożenia napisów z zamiany miejscami we wszystkich otrzymanych do tej pory napisach liter i , a wykonując podobnie ostatni raz takie podwojenie (zamiana z ), otrzymamy łącznie napisów. Z drugiej strony zauważmy, że w wyniku powyższych czynności otrzymaliśmy wszystkie możliwe dziesięcioliterowe napisy, które da się utworzyć, używając do nich każdej z liter , , , , , , , , , dokładnie raz. Takich napisów jest . Otrzymujemy więc równanie , skąd .
Sposób W pięciu kolejnych krokach, zapisując w nich pary liter par liter: , , , , , stworzymy napis, który spełnia warunki zadania. Pierwszy krok: zapisujemy literę . Jest tylko jedno miejsce, po lewej od , na którym możemy dopisać literę - w ten sposób otrzymaliśmy napis . Drugi krok: zapisujemy literę – można ją dopisać tylko na końcu napisu, a następnie zauważamy, że są trzy miejsca, na których można zapisać literę – te miejsca zaznaczone są podkreśleniem: . Niezależnie od tego, gdzie wstawimy teraz w każdy następnym kroku będzie ta sama liczba kolejnych możliwych wyborów. Załóżmy więc, że wstawiliśmy przed – rozpatrujemy więc dla przykładu napis , wiedząc, że są wszystkie możliwe napisy możliwe do otrzymania po drugim kroku. Trzeci krok: zapisujemy literę - można ją dopisać tylko na końcu napisu, a następnie zauważamy, że jest pięć miejsc (do poprzednich trzech doszły dwa nowe: przed dopisaną literą oraz przed dopisaną literą ), na których można zapisać literę – te miejsca w przykładowym rozmieszczeniu zaznaczone są podkreśleniem: . Niezależnie od tego, gdzie wstawimy teraz w każdym następnym kroku będzie ta sama liczba kolejnych możliwych wyborów. Załóżmy więc, że wstawiliśmy między i – po trzecim kroku rozpatrujemy dla przykładu napis . Zauważmy, że jest wszystkich napisów możliwych do otrzymania po trzecim kroku. Czwarty krok: zapisujemy literę - można ją dopisać tylko na końcu napisu, a następnie zauważamy, że jest siedem miejsc (do poprzednich pięciu doszły dwa nowe: przed dopisaną literą oraz przed dopisaną literą ), na których można zapisać literę – te miejsca w przykładowym rozmieszczeniu zaznaczone są podkreśleniem: . Niezależnie od tego, gdzie wstawimy teraz w następnym kroku będzie ta sama liczba kolejnych możliwych wyborów. Załóżmy więc, że wstawiliśmy między i – po czwartym kroku rozpatrujemy dla przykładu napis . Zauważmy, że jest wszystkich napisów możliwych do otrzymania po czwartym kroku. W piątym kroku: zapisujemy literę - można ją dopisać tylko na końcu napisu, a następnie zauważamy, że jest dziewięć miejsc (do poprzednich siedmiu doszły dwa nowe: przed dopisaną literą oraz przed dopisaną literą ), na których można zapisać literę – te miejsca w przykładowym rozmieszczeniu zaznaczone są podkreśleniem: . W ten sposób pokazaliśmy, że wszystkich możliwych napisów spełniających warunki zadania jest , a przykładem takiego napisu jest .