Dwusieczne kąta - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując treści zawarte w tym materiale, poznasz definicję dwusiecznej kąta i jej własności.

Dwusieczna kąta

Definicja: Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek kąta i która dzieli dany kąt na dwa równe kąty.

R1zQHzXXG1gOq1

Rysunek kąta podzielonego półprostą na dwie równe części, na dwa kąty alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

o punktach leżących na dwusiecznej kąta1

Twierdzenie: o punktach leżących na dwusiecznej kąta

Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jego odległości od obu ramion kąta są równe.

RchOgsVtjuCgx1

Rysunek kąta podzielonego półprostą na dwie równe części, na dwa kąty alfa. Odległość półprostej od obu ramion jest taka sama i wynosi x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

RRt8DT76KiYkc1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga!

Dla kątów, których miara jest mniejsza od $180 °$ prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Jeżeli punkt należący do kąta jest równoodległy od jego ramion, to leży na dwusiecznej tego kąta.

o dwusiecznych kątów trójkąta

Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

RHM9WAkHkiaPc1

Rysunek trójkąta A B C, którego dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinki łączące środek $S$ okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ z wierzchołkami tego trójkąta podzieliły trójkąt na trzy trójkąty $A B S$ , $B C S$ i $A C S$ .
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ (jak na rysunku).

RMWDBOtAhVFGy1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b i c. Dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu, o promieniu r wpisanego w ten trójkąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $B C S$ , $A C S$ i $A B S$

P_{A B C} = P_{B C S} + P_{A C S} + P_{A B S} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = \frac{a + b + c}{2} \cdot r

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego boków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ oraz promieniu $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem

P = \frac{a + b + c}{2} r

Gdy oznaczymy $\frac{a + b + c}{2} = p$ , wzór przyjmuje postać $P = p r$ .