Ruch zmienny prostoliniowy. Przyspieszenie. Prędkość średnia i chwilowa

Na co dzień raczej rzadko mamy do czynienia z jazdą ze stałą prędkością. Dużo częściej spotykasz sytuacje, w których jedziesz coraz szybciej (np. podczas ruszania) lub coraz wolniej (np. podczas hamowania). Podczas tej lekcji będziemy opisywać ruch odbywający się po linii prostej, ale ze zmienną prędkością.

R1JCObIul7JMY

Zdjęcie przedstawia kobietę z łukiem. Cięciwa łuku jest naciągnięta a strzała przygotowana do wystrzału.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem należy znać poniższe zagadnienia

• droga a tor ruchu;

• klasyfikacja ruchów ze względu na tor i wartość prędkości;

• ruch jednostajny i ruch prostoliniowy;

• obliczanie wartości prędkości i wyrażanie jej w różnych jednostkach;

• obliczanie wartości wielkości opisujących ruch jednostajny: drogi, prędkości oraz czasu;

• wykresy zależności drogi od czasu $s\left(\text{t}\right)$ i prędkości od czasu $v\left(\text{t}\right)$ dla ruchu jednostajnego prostoliniowego;

• prędkość jest wielkością wektorową.

Ich opracowanie znajdziesz materiałach:

• Ruch i spoczynek. Względność ruchuD11d7WxXLRuch i spoczynek. Względność ruchu,

• Prędkość i jej jednostki. Odczytywanie prędkości i drogi z wykresówD16qgGvX3Prędkość i jej jednostki. Odczytywanie prędkości i drogi z wykresów,

• Wyznaczanie prędkości ruchu na podstawie pomiaru czasu i drogiD19GqnGYWWyznaczanie prędkości ruchu na podstawie pomiaru czasu i drogi,

• Ruch jednostajny prostoliniowyDJxXtwp8wRuch jednostajny prostoliniowy,

• Rysowanie i analiza wykresów zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowymD11WvCxv4Rysowanie i analiza wykresów zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Co to jest ruch zmienny?

Znasz już pojęcie ruchu jednostajnego prostoliniowego. Prędkość w tym ruchu jest stała. W życiu codziennym masz jednak częściej do czynienia z sytuacją, w której zmianie ulegają zarówno wartość samej prędkości, jak i kierunek ruchu ciała. Nasze rozważania w tym materiale ograniczymy do analizy ruchów, w których torem jest linia prosta, a prędkość będzie się zmieniać — rosnąć lub maleć: ruchu zmiennegoruch zmiennyruchu zmiennego, ruchu przyspieszonegoruch przyspieszonyruchu przyspieszonego i ruchu opóźnionegoruch opóźnionyruchu opóźnionego.

R1LpD2wUlJUpo

Aplikacja symulator ruchu zmiennego. Tło jasne, krajobraz pustynny. W tle słońce na błękitnym niebie i dwie piramidy częściowo zasłonięte polem wykresu. U dołu srebrny samochód na drodze. Wzdłuż drogi rosną zielone kaktusy. Użytkownik może za pomocą suwaka, znajdującego się po lewej stronie, zmieniać prędkość jadącego samochodu od zera kilometrów na godzinę do dziewięćdziesięciu kilometrów na godzinę. Pokazana jest też skala w metrach na sekundę, gdzie maksymalna prędkość to dwadzieścia pięć metrów na sekundę. Po środku na dole ekranu znajdują się dwa wskaźniki – wskaźnik szybkości i wskaźnik poziomu paliwa. Wskazówka na pierwszym wskaźniku pokazuje prędkość zgodną z ustawioną na suwaku po lewej stronie. W prawym górnym rogu widnieje wykres prędkości od czasu, który w trakcie jazdy aktualizowany jest na bieżąco. Wskazówka poziomu paliwa na początku ustawiona jest na końcu skali, z każdą kolejną sekundą jazdy opada, odliczając równe sześćdziesiąt sekund. Gdy opadnie na początek skali, samochód zatrzymuje się. Pojawia się informacja „Koniec jazdy! Brak paliwa… Zapoznaj się z wykresem prędkości samochodu!”. Podobne komunikaty pojawiają się, jeżeli użytkownik zatrzyma samochód w trakcie jazdy i odczeka cztery sekundy oraz jeżeli przez całą minutę samochód nie ruszy. W każdej sytuacji obraz jest zasłaniany powiększeniem wykresu prędkości samochodu w metrach na sekundę w zależności od czasu w sekundach. Skale na osiach dostosowują się do osiągniętej prędkości maksymalnej oraz do czasu symulacji.

Aplikacja symulator ruchu zmiennego. Tło jasne, krajobraz pustynny. W tle słońce na błękitnym niebie i dwie piramidy częściowo zasłonięte polem wykresu. U dołu srebrny samochód na drodze. Wzdłuż drogi rosną zielone kaktusy. Użytkownik może za pomocą suwaka, znajdującego się po lewej stronie, zmieniać prędkość jadącego samochodu od zera kilometrów na godzinę do dziewięćdziesięciu kilometrów na godzinę. Pokazana jest też skala w metrach na sekundę, gdzie maksymalna prędkość to dwadzieścia pięć metrów na sekundę. Po środku na dole ekranu znajdują się dwa wskaźniki – wskaźnik szybkości i wskaźnik poziomu paliwa. Wskazówka na pierwszym wskaźniku pokazuje prędkość zgodną z ustawioną na suwaku po lewej stronie. W prawym górnym rogu widnieje wykres prędkości od czasu, który w trakcie jazdy aktualizowany jest na bieżąco. Wskazówka poziomu paliwa na początku ustawiona jest na końcu skali, z każdą kolejną sekundą jazdy opada, odliczając równe sześćdziesiąt sekund. Gdy opadnie na początek skali, samochód zatrzymuje się. Pojawia się informacja „Koniec jazdy! Brak paliwa… Zapoznaj się z wykresem prędkości samochodu!”. Podobne komunikaty pojawiają się, jeżeli użytkownik zatrzyma samochód w trakcie jazdy i odczeka cztery sekundy oraz jeżeli przez całą minutę samochód nie ruszy. W każdej sytuacji obraz jest zasłaniany powiększeniem wykresu prędkości samochodu w metrach na sekundę w zależności od czasu w sekundach. Skale na osiach dostosowują się do osiągniętej prędkości maksymalnej oraz do czasu symulacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Pq6OeyNRI

Aplikacja symulator ruchu zmiennego. Tło jasne, krajobraz pustynny. W tle słońce na błękitnym niebie i dwie piramidy częściowo zasłonięte polem wykresu. U dołu srebrny samochód na drodze. Wzdłuż drogi rosną zielone kaktusy. Użytkownik może za pomocą suwaka, znajdującego się po lewej stronie, zmieniać prędkość jadącego samochodu od zera kilometrów na godzinę do dziewięćdziesięciu kilometrów na godzinę. Pokazana jest też skala w metrach na sekundę, gdzie maksymalna prędkość to dwadzieścia pięć metrów na sekundę. Po środku na dole ekranu znajdują się dwa wskaźniki – wskaźnik szybkości i wskaźnik poziomu paliwa. Wskazówka na pierwszym wskaźniku pokazuje prędkość zgodną z ustawioną na suwaku po lewej stronie. W prawym górnym rogu widnieje wykres prędkości od czasu, który w trakcie jazdy aktualizowany jest na bieżąco. Wskazówka poziomu paliwa na początku ustawiona jest na końcu skali, z każdą kolejną sekundą jazdy opada, odliczając równe sześćdziesiąt sekund. Gdy opadnie na początek skali, samochód zatrzymuje się. Pojawia się informacja „Koniec jazdy! Brak paliwa… Zapoznaj się z wykresem prędkości samochodu!”. Podobne komunikaty pojawiają się, jeżeli użytkownik zatrzyma samochód w trakcie jazdy i odczeka cztery sekundy oraz jeżeli przez całą minutę samochód nie ruszy. W każdej sytuacji obraz jest zasłaniany powiększeniem wykresu prędkości samochodu w metrach na sekundę w zależności od czasu w sekundach. Skale na osiach dostosowują się do osiągniętej prędkości maksymalnej oraz do czasu symulacji.

Przyspieszenie

W Stanach Zjednoczonych Ameryki popularne są wyścigi samochodowe na dystansie $\large\frac{1}{4}$ mili, tj. $402,336\;\text{m}$. Kiedy samochody mijają metę, często jadą z prędkością ponad $200\mathrm{\large\frac{km}{h}}$.

Rv8a6No1OrSk9

Zdjęcie przedstawia fragment sportowego samochodu. Samochód koloru żółtego, błyszcząca karoseria. Stoi na szarej, asfaltowej drodze.

Wyścigu na $\large\frac{1}{4}$ mili nie musi koniecznie wygrać samochód o największej prędkości maksymalnej; zwycięży ten, który w najkrótszym czasie osiągnie największą prędkość.

Przyspieszenie jest wielkością fizyczną, opisująca zmianę wartości prędkości ciała w jednostce czasu:

Podczas zmiany prędkości mamy do czynienia z dwiema wartościami: początkową i końcową. Przykładowo: samochód jedzie z prędkością $20\mathrm{\large\frac{m}{s}}$, kierowca przyspiesza i samochód osiąga prędkość $30\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Zmiana prędkości zawsze będzie obliczana jako różnica wartości końcowej i początkowej. W tym przypadku zmiana prędkości $\Delta{v}=30\mathrm{\large\frac{m}{s}}-20\mathrm{\large\frac{m}{s}}=10\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Zmiana jest dodatnia, co oznacza, że wartość prędkości wzrosła, czyli przyspieszenie ciała jest dodatnie.

Uzupełnienie

Uzupełnienie

Jeśli chcesz uzupełnić materiał bieżącej lekcji, rozwiń poniższą zakładkę.

Przyspieszenie jako wielkość wektorowa

Przyspieszenie jako wielkość wektorowa

Przyspieszenie jest wielkością wektorową – oznacza to, że wykonujemy na nim działania, jakie wykonuje się na wektorach, jak również możemy rozłożyć go na wektory składowe.

Podczas ruchu ciała z przyspieszeniem, może zmieniać się zarówno kierunek, jak i zwrot oraz wartość prędkości. Jeśli rozłożymy wektor przyspieszenia na dwie składowe – równoległą i prostopadłą do kierunku wektora prędkości – to pierwsza składowa będzie określać, w jaki sposób zmienia się wartość i zwrot prędkości, a druga będzie opisywać zmianę kierunku prędkości.

Rq72t77rQk2nA

Na ilustracji widoczna jest zaokrąglona, czarna krzywa, która jest wypukła ku górze. Krzywa ta symbolizuje tor, po którym porusza się ciało. Z punktu znajdującego się w górnej części krzywej wychodzą trzy wektory narysowane w postaci zielonych strzałek. Jedna z nich skierowana jest pionowo w dół i podpisana małą literą a z indeksem dolnym mała litera d i strzałką symbolizującą wektor. Symbolizuje on składową dośrodkową przyspieszenia. Drugi z nich jest styczny do toru i podpisany jako mała litera a z indeksem dolnym mała litera t i strzałką symbolizującą wektor. Wektor ten podpisany jest, jako składowa przyspieszenia styczna do toru. Trzeci wektor narysowany jest zgodnie z zasadą równoległoboku a jego składowymi są składowa styczna i składowa dośrodkowa przyspieszenia. Symbolizuje on całkowitą wartość przyspieszenia ciała i podpisany jest małą literą a ze strzałką symbolizującą wektor. Na rysunku widać jeszcze jeden wektor, niebieski, który pokrywa się z wektorem przyspieszenia stycznego do toru ale jest od niego dłuższy. Podpisany jest mała literą v ze strzałką symbolizującą wektor i reprezentuje prędkość ciała poruszającego się po zakrzywionym torze.

Na poniższym filmie przedstawiono ruch zmienny, opisany przy pomocy wektorów prędkości i przyspieszenia. Znając powyższe informacje, powinieneś zrozumieć na czym polegają przedstawione zależności między oboma wektorami.

R1IdIOjJLmSvR

Materiał filmowy zawierający informacje o ruchu zmiennym.

Materiał filmowy zawierający informacje o ruchu zmiennym.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1IdIOjJLmSvR

Materiał filmowy zawierający informacje o ruchu zmiennym.

W jakich jednostkach wyrażamy przyspieszenie? Jeżeli jednostką zmiany prędkości jest $\mathrm{\large\frac{m}{s}}$ (metr na sekundę), a jednostką czasu – sekunda, to na podstawie wzoru na przyspieszenie:

otrzymujemy:

Z naszych obliczeń wynika, że jednostką przyspieszenia jest $\mathrm{\large\frac{m}{s^2}}$ (metr na sekundę kwadrat).

R1ZbFbGQ2eKJQ

Animacja przedstawiająca wzór na przyspieszenie.

Animacja przedstawiająca wzór na przyspieszenie.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1ZbFbGQ2eKJQ

Animacja przedstawiająca wzór na przyspieszenie.

Przykład 1

R1cpLqwIspGLD

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1cpLqwIspGLD

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Przykład 2

RIIecP6HxqmQs

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RIIecP6HxqmQs

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości przyspieszenia.

Obliczmy wspólnie wartość przyspieszenia ciała, które zmniejsza wartość swojej prędkości z $30$ do $20\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Zmiana prędkości zawsze będzie obliczana jako różnica wartości końcowej i początkowej. W tym przypadku $\Delta{v}=20\mathrm{\large\frac{m}{s}}-30\mathrm{\large\frac{m}{s}}=-10\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Widzimy, że zmiana jest ujemna, co oznacza, że wartość prędkości zmalała. Wynika z tego również, że wartość przyspieszenia ciała $a={\large\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}}$ jest ujemnaopóźnienieujemna.

Przykład 4

R1AmxMedOPFtA

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości opóźnienia.

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości opóźnienia.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1AmxMedOPFtA

Animacja przedstawiająca sposób obliczania wartości opóźnienia.

Prędkość chwilowa i średnia

W ruchu jednostajnym wartość prędkości jest stała i w związku z tym prędkość chwilowa i średnia są sobie równe. Gdy wartość prędkości się zmienia, obie wielkości będą się od siebie różniły. Prędkość chwilowa będzie np. coraz większa – im większe przyspieszenie, tym większa prędkość. A co się stanie z wartością prędkości średniej?

RLmAnsoib3Si9

Animacja przedstawiająca zagadnienie prędkości chwilowej i średniej w ruchu zmiennym.

Animacja przedstawiająca zagadnienie prędkości chwilowej i średniej w ruchu zmiennym.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RLmAnsoib3Si9

Animacja przedstawiająca zagadnienie prędkości chwilowej i średniej w ruchu zmiennym.

Średnia prędkość wyraża się wzorem $v={\large\frac{s}{t}}$, gdzie $s$ jest drogą przebytą w czasie $t$. Jeżeli prędkość chwilowa ciała rośnie, wzrasta również droga przebyta w danym czasie. Jak obliczać prędkość średnią lub chwilową? Ten problem poruszany jest w kolejnych materiałach.

Ćwiczenie 2

Jak obliczyć całkowitą drogę przebytą przez ciało w pewnym czasie $t$, gdy wykres zależności prędkości od czasu jest linią prostą nachyloną pod pewnym kątem do osi czasu i rozpoczyna się na początku układu współrzędnych?

RFyRi47Wiuv7e

(Uzupełnij) .

Pokaż podpowiedź

Drogę w ruchu zmiennym liczymy jako pole powierzchni pod wykresem zależności prędkości od czasu.

Pokaż odpowiedź

RQHDo82UMYsqn

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na osi poziomej odłożony czas, na osi pionowej odłożona prędkość. Od środka układu współrzędnych, pod skosem w prawo i do góry linia. Pod linią zakreskowane pole.

$s={\large\frac{1}{2}}vt$

Podsumowanie

• Ruch, w którym dochodzi do zmian prędkości, nazywamy ruchem zmiennym.

• Jeśli podczas ruchu prędkość ciała rośnie, to mówimy, że jest to ruch przyspieszony, a jeśli ta prędkość maleje – jest to ruch opóźniony.

• Wielkość fizyczną opisującą zmianę prędkości ciała w jednostce czasu nazywamy przyspieszeniem. Obliczamy je ze wzoru

  $$\mathrm{przyspieszenie}=\frac{\mathrm{zmiana} \mathrm{prędkości}}{\mathrm{przedział} \mathrm{czasu}}$$
  $a={\large\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}}$

• W fizyce do oznaczania zmian wielkości fizycznych stosuje się grecką literkę $\Delta$. Przykładowo: zmianę prędkości (przyrost lub spadek) oznaczymy jako $\Delta v$. Natomiast zmiana czasu to $\Delta t$.

• Zmiana prędkości

  $$\Delta v=v_{\mathrm{k}}-v_{\mathrm{p}}=\mathrm{prędkość} \mathrm{końcowa}-\mathrm{prędkość} \mathrm{początkowa}$$

  .

• Zmiana wartości prędkości jest dodatnia w ruchu przyspieszonym, a ujemna – w ruchu opóźnionym.

• Przyspieszenie o wartości jednego metra na sekundę kwadrat ($1\,\mathrm{\large\frac{m}{s^2}}$) informuje nas o tym, że prędkość ciała wzrosła o jeden metr na sekundę w czasie jednej sekundy.

• Opóźnienie to przyspieszenie o wartości ujemnej. Pojawia się, gdy ciało zmniejsza prędkość swojego ruchu (hamuje).

• W ruchu zmiennym prędkość chwilowa różni się od prędkości średniej ciała.

Zadania podsumowujące

Słownik