Ciąg arytmetyczny - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości na temat ciągów arytmetycznych. Poznasz podstawowe definicje, twierdzenia oraz przykładowe rozwiązania typowych zadań związanych z tym tematem. Swoją wiedzę będziesz mógł sprawdzić rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia.

Przykład 1

R1T3KkhLFANTo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej $3$ wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją $r$ .

Jeśli więc ciąg jest skończony i ma $k \geq 3$ wyrazów, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $1 \leq n \leq k - 1$ . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

RQvAfaAV9pii91

Zauważmy, że jeżeli znamy $a_{1}$ , czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę $r$ tego ciągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

a_{2} = a_{1} + r

a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r

a_{4} = a_{3} + r = a_{1} + 3 r

a_{5} = a_{4} + r = a_{1} + 4 r \dots

Wystarczy zatem do pierwszego wyrazu dodać $(n - 1)$ razy różnicę $r$ tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

R1Lqx2fzM0EAu11

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest równy $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ .

Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość $a_{n + 1} = a_{n} + r$ możemy też zapisać w postaci równoważnej $a_{n + 1} - a_{n} = r$ .

Polecenie 1

RMoU3uLmE5xSt1

RXgEKKS5WsD5m

Połącz w pary punkty tak aby tworzyły ciąg arytmetyczny.

(1, 0), (3, - 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(2, 4)

, 2.

(2, - 1)

, 3.

(2, 1)

, 4.

(2, - 2)

, 5.

(2, - 3)

(1, - 6), (3, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(2, 4)

, 2.

(2, - 1)

, 3.

(2, 1)

, 4.

(2, - 2)

, 5.

(2, - 3)

(1, - 2), (3, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(2, 4)

, 2.

(2, - 1)

, 3.

(2, 1)

, 4.

(2, - 2)

, 5.

(2, - 3)

(1, 4), (3, 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(2, 4)

, 2.

(2, - 1)

, 3.

(2, 1)

, 4.

(2, - 2)

, 5.

(2, - 3)

(1, 3), (3, - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(2, 4)

, 2.

(2, - 1)

, 3.

(2, 1)

, 4.

(2, - 2)

, 5.

(2, - 3)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

RHY8PdTI92EXQ1

RWBAHHAfj7LDw

Łączenie par. Zaznacz trzeci punkt tak aby tworzył z pozostałymi ciąg arytmetyczny..

(1, 3), (2, 2)

. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2.

(1, - 3), (2, - 1)

. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2.

(1, - 4), (2, - 1)

. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2.

(1, 2), (2, \frac{1}{2})

. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2.

(1, - 2), (2, - 2)

. Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym $a_{n} = 2 - 3 n$ jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.

Zbadamy różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ dwóch kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ . Wyznaczmy najpierw

a_{n + 1} = 2 - 3 (n + 1) = 2 - 3 n - 3 = - 3 n - 1

Wtedy

a_{n + 1} - a_{n} = - 3 n - 1 - (2 - 3 n) = - 3 n - 1 - 2 + 3 n = - 3

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od $n$ ), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetyczny, a otrzymana liczba $(- 3)$ to właśnie różnica tego ciągu.

Zauważmy, że

a_{1} = 2 - 3 \cdot 1 = - 1

Wzór na $n$ –ty wyraz to $a_{n} = - 1 + (n - 1) (- 3)$ , co jest zgodne z tym, że $a_{n} = 2 - 3 n$ .

Przykład 3

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równy $7$ , a różnica tego ciągu jest równa $(- 2)$ . Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.

Korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

a_{10} = 7 + (10 - 1) (- 2) = 7 - 18 = - 11

a_{32} = 7 + (32 - 1) (- 2) = 7 - 62 = - 55

Przykład 4

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy $5 \frac{2}{3}$ , a siódmy wyraz tego ciągu jest równy $7$ . Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.

Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

Sposób $I$ :

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy $a_{5}$ i $a_{7}$ :

a_{5} = a_{1} + 4 r

oraz

a_{7} = a_{1} + 6 r

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi $a_{1}$ i $r$ :

\{\begin{matrix} a_{1} + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} + 6 r = 7 \end{matrix}

Rozwiążmy ten układ:

\{\begin{matrix} a_{1} + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} 7 - 6 r + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} - 2 r = - 7 + 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} - 2 r = - \frac{4}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} r = \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 \cdot \frac{2}{3} = 3 \end{matrix}

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz jedenasty:

a_{11} = a_{1} + 10 r = 3 + 10 \cdot \frac{2}{3} = 9 \frac{2}{3}

sposób $II$ :

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o $2 r$ , gdyż $a_{7} - a_{6} = r$ oraz $a_{6} - a_{5} = r$ .

Zatem $2 r = 7 - 5 \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ . Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o $4 r$ . Zatem

a_{11} = a_{7} + 4 r = 7 + 2 \cdot \frac{4}{3} = 9 \frac{2}{3}

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.

R1K8mbBnIZ6CJ1

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe $a_{1}$ .

Polecenie 3

RiyGtIb5T3VPa1

ROxYKSaK1kNcm

Połącz w pary punkty należące do ciągu arytmetycznego z odpowiadającym mu wzorem.

(1, - 1), (4, - 2), (7, - 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = - 5 + n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

, 4.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 5.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

(1, - 4), (2, - 3), (3, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = - 5 + n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

, 4.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 5.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

(1, 1), (4, \frac{1}{2}), (7, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = - 5 + n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

, 4.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 5.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

(1, 1), (4, 2), (7, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = - 5 + n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

, 4.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 5.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

(1, - 4), (3, - 3), (5, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = - 5 + n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

, 4.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 5.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ leży na prostej o równaniu $y = a_{1} + (x - 1) r$ , czyli $y = r x + a_{1} - r$ , gdzie $r$ oraz $a_{1}$ (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalone dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc ciąg $(a_{n})$ jest:

rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest dodatni, czyli $r > 0$ ;
malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdywspółczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest ujemny, czyli $r < 0$ ;
stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest równy zero, czyli $r = 0$ .

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny oraz $a_{1} + a_{5} = 8$ i $a_{2} \cdot a_{8} = 19$ . Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu $(a_{n})$ .

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy $a_{2}$ , $a_{5}$ i $a_{8}$ w zależności od $a_{1}$ i $r$ .

Możemy wtedy zapisać równanie $a_{1} + a_{5} = 8$ , podane w treści zadania, w postaci $a_{1} + (a_{1} + 4 r) = 8$ .

Stąd $a_{1} = 4 - 2 r$ .

Podobnie możemy zapisać równanie $a_{2} \cdot a_{8} = 19$ w postaci $(a_{1} + r) (a_{1} + 7 r) = 19$ .

W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą $r$

(4 - 2 r + r) (4 - 2 r + 7 r) = 19

Przekształcamy je w sposób równoważny

(4 - r) (4 + 5 r) = 19

16 + 16 r - 5 r^{2} = 19

- 5 r^{2} + 16 r - 3 = 0

Obliczamy wyróżnik tego równania $Δ = 256 - 60 = 196 > 0$ .

Zatem równanie to ma dwa rozwiązania $r_{1} = 3$ oraz $r_{2} = \frac{1}{5}$ .

To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści zadania warunki.

Gdy $r = 3$ , to $a_{1} = 4 - 2 r = 4 - 2 \cdot 3 = - 2$ , a gdy $r = \frac{1}{5}$ , to $a_{1} = 4 - 2 r = 4 - 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{18}{5}$ .

R1LKnJXu95cxQ11

Ćwiczenie 1

Poniżej przedstawiono wzór ogólny ciągu arytmetycznego

a_{n}

, pierwszy wyraz ciągu

a_{1}

oraz różnicę ciągu

r

.
Połącz w pary wzór ogólny ciągu z odpowiednimi wartościami

a_{1}

r

a_{n} = - \frac{1}{2} n + 5 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

a_{n} = \frac{1}{2} n - 5 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

a_{n} = - \frac{1}{2} n - 4 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

a_{n} = \frac{1}{2} n + 4 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

a_{n} = 5 n - 4 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

a_{n} = - 5 n + 5 \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = - 5

, 2.

a_{1} = - 5

r = \frac{1}{2}

, 3.

a_{1} = 5

r = \frac{1}{2}

, 4.

a_{1} = \frac{1}{2}

r = 5

, 5.

a_{1} = - 5

r = - \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = 5

r = - \frac{1}{2}

Połącz w pary wzór ogólny ciągu arytmetycznego z odpowiednimi wartościami $a_{1}$ i $r$ .

$a_{n} = - \frac{1}{2} n + 5 \frac{1}{2}$
$a_{n} = \frac{1}{2} n - 5 \frac{1}{2}$
$a_{n} = - \frac{1}{2} n - 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = \frac{1}{2} n + 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = 5 n - 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = - 5 n + 5 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Re9EJgEClKPzT11

Ćwiczenie 2

Uporządkuj tak, aby uzyskać malejący ciąg arytmetyczny.

$2 \frac{3}{5}$
$1 \frac{3}{5}$
$2 \frac{1}{10}$
$1 \frac{1}{10}$
$- \frac{2}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{10}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R3MF0l2ZTcNyR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczby naturalne, które przy dzieleniu przez $6$ dają resztę $2$ , to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy równej $6$ , gdyż co szósta liczba naturalna daje przy dzieleniu przez $6$ resztę $2$ .

Zatem wyraz $a_{70}$ jest równy $a_{70} = a_{3} + 67 r = 56 + 402 = 458$ .

Ćwiczenie 4

RCYnU0GwWHGDR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciąg $a_{n} = n^{2} + 7$ nie jest ciągiem arytmetycznym.
Zauważmy, że $a_{1} = 8$ , $a_{2} = 11$ , $a_{3} = 16$ . Zatem $a_{2} - a_{1} = 3$ oraz $a_{3} - a_{2} = 5$ . Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu nie jest stała, więc to nie jest ciąg arytmetyczny.
Ciąg $b_{n} = \frac{n}{7} + 2$ nie jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $2$ .
$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{n + 1}{7} + 2 - (\frac{n}{7} + 2) = \frac{1}{7}$ , więc ciąg $(b_{n})$ jest arytmetyczny, ale jego różnica jest równa $\frac{1}{7}$ .
Ciąg $c_{n} = 2 n - 3$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.
$c_{n + 1} - c_{n} = 2 (n + 1) - 3 - (2 n - 3) = 2$ , a więc ciąg $(c_{n})$ jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Ćwiczenie 5

R4YWkYEVy0gh2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $r$ oznacza różnicę ciągu arytmetycznego $(a, 2, b, c, 3, d)$ .

Drugi wyraz tego ciągu jest równy $2$ , a piąty $3$ .

Piąty i drugi wyraz ciągu arytmetycznego różnią się o $3 r$ , więc $r = \frac{1}{3}$ .

Teraz możemy obliczyć kolejno: pierwszy, trzeci, czwarty i szósty wyraz tego ciągu.

$a = 2 - \frac{1}{3} = 1 \frac{2}{3}$ ,

$b = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$ ,

$c = 2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ,

$d = 3 + \frac{1}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 6

RKeyZ7Jhevyvx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ mamy wstawić siedem liczb, więc $a_{1} = 6$ oraz $a_{9} = 30$ .

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu otrzymujemy $a_{9} = a_{1} + 8 r$ , czyli $30 = 6 + 8 r$ , stąd $r = 3$ .

Zatem pierwsza z szukanych liczb jest równa $a_{2} = a_{1} + r = 6 + 3 = 9$ , druga to $9 + 3 = 12$ , trzecia to $15$ , czwarta to $18$ , piąta $21$ , szósta $24$ i siódma $27$ .

Ćwiczenie 7

R1T1x4cfrlfB0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współczynnik kierunkowy szukanej prostej jest równy różnicy ciągu $(a_{n})$ , więc równanie prostej możemy zapisać w postaci $y = (\sqrt{2} + 1) x + b$ .

Ponieważ $a_{10} = 10 \sqrt{2} + 9$ , więc na szukanej prostej leży punkt o współrzędnych $(10, 10 \sqrt{2} + 9)$ .

Zatem $10 \sqrt{2} + 9 = (\sqrt{2} + 1) \cdot 10 + b$ .

Stąd $b = 10 \sqrt{2} + 9 - 10 (\sqrt{2} + 1) = - 1$ .

Równanie szukanej prostej ma więc postać $y = (\sqrt{2} + 1) x - 1$ .

Ćwiczenie 8

Które z poniższych wykresów przedstawiają wykres ciągu arytmetycznego?

RKgI9DGbaeXcd1

Ilustracja przedstawia cztery wykresy umieszczone na układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Wykresy są oznaczone kolejną literami A, B, C, D. Pierwszy wykres składa się z czterech punktów (0,0), (1,2), (2,4), (3,6). Drugi wykres składa się z pięciu punktów (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2). Trzeci wykres składa się również z pięciu punktów (1,4), (2,3), (3,1), (4,0), (5,-1). Ostatni wykres składa się z trzech punktów (1,7), (2,3), (3,-1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqdyQC22heQG5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RT4m2GOgdDFdO

$a_{3} + a_{7} = a_{10}$
$a_{4} + a_{5} = a_{2} + a_{7}$
$a_{6} + a_{8} = {2 a}_{7}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{3} + a_{7} = a_{10}$ .
Wystarczy wziąć dowolny ciąg stały, którego wyrazy nie są równe $0$ , np. ciąg $(1, 1, 1, \dots)$ . Wtedy $a_{3} + a_{7} = 1 + 1 = 2$ , natomiast $a_{10} = 1$ .
$a_{4} + a_{5}$ i $a_{2} + a_{7}$ .
Ten warunek spełniają wyrazy każdego ciągu arytmetycznego, gdyż $a_{4} + a_{5} = a_{1} + 3 r + a_{1} + 4 r = 2 a_{1} + 7 r$ oraz $a_{2} + a_{7} = a_{1} + r + a_{1} + 6 r = 2 a_{1} + 7 r$ , a więc tyle samo.
$a_{6} + a_{8}$ i ${2 a}_{7}$ .
Ten warunek spełniają wyrazy każdego ciągu arytmetycznego, gdyż $a_{6} + a_{8} = a_{1} + 5 r + a_{1} + 7 r = 2 a_{1} + 12 r$ oraz $2 a_{7} = 2 (a_{1} + 6 r) = 2 a_{1} + 12 r$ , a więc tyle samo.
$2 a_{4} = a_{9} - a_{1}$ .
Wystarczy wziąć dowolny ciąg stały, którego wyrazy nie są równe $0$ , np. ciąg $(1, 1, 1, \dots)$ . Wtedy $2 a_{4} = 2 \cdot 1 = 2$ , natomiast $a_{9} - a_{1} = 1 - 1 = 0$ .

R1L8dibVMMu502

Ćwiczenie 10

$7 n + 12$
$- 7 n - 12$
$- 7 n + 12$
$7 n - 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RizuLgzC7ldOm2

Ćwiczenie 11

$1$
$- 5$
$- 1$
$5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZa57VKshSUWd2

Ćwiczenie 12

$a_{6} + a_{12} = 18$
$a_{6} + a_{12} = 28$
$a_{6} + a_{12} = 38$
$a_{6} + a_{12} = 48$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R107IVObl8RrN2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R19e28SlJaZMi

Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę. Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}

Ciąg

(a_{n})

1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{3}

, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{5}

, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

\frac{2}{5}

, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.

b_{n} = 3 - \frac{n + 2}{5}

Ciąg

(b_{n})

1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{3}

, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{5}

, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

\frac{2}{5}

, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.

c_{n} = n^{2} + 5 n

Ciąg

(c_{n})

1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{3}

, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

- \frac{1}{5}

, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi

\frac{2}{5}

, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n + 2}{n + 2} - \frac{2 n}{n + 1} = \frac{(2 n + 2) (n + 1) - 2 n (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)}$ .
Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od $n$ , więc nie jest stała, zatem ciąg nie jest arytmetyczny.
$b_{n + 1} - b_{n} = 3 - \frac{n + 3}{5} - (3 - \frac{n + 2}{5}) = - \frac{1}{5}$ .
Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała, więc jest to ciąg arytmetyczny, a jego różnica jest równa $r = - \frac{1}{5}$ .
$c_{n + 1} - c_{n} = {(n + 1)}^{2} + 5 (n + 1) - (n^{2} + 5 n) =$
$= n^{2} + 2 n + 1 + 5 n + 5 - n^{2} - 5 n = 2 n + 6$ .
Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od $n$ , więc nie jest stała, zatem ten ciąg nie jest arytmetyczny.

R42LRw7XB4IK621

Ćwiczenie 15

Połącz w pary ciąg arytmetyczny z odpowiadającą mu różnicą.

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

- 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

\frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

- \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

\frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

- \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(5 \frac{1}{6}, 4 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{6}, \dots)

, 2.

(3 \frac{1}{3}, 3 \frac{5}{6}, 4 \frac{1}{3}, 4 \frac{5}{6}, \dots)

, 3.

(5 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots)

, 4.

(2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, 6 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{3}, \dots)

, 5.

(3 \frac{1}{2}, 3, 2 \frac{1}{2}, 2, \dots)

, 6.

(4 \frac{1}{2}, 4 \frac{5}{6}, 5 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{2}, \dots)

Połącz w pary ciąg arytmetyczny z odpowiadającą mu różnicą.

2
-2
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$- \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1atSxe36ccno

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $a_{10} - a_{3} = 7 r$ , więc $5 - \frac{4}{5} = 7 r$ .

Stąd $7 r = 5 - \frac{4}{5} = \frac{21}{5}$ , zatem $r = \frac{3}{5}$ .

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $a_{1} = a_{3} - 2 r = \frac{4}{5} - \frac{6}{5} = - \frac{2}{5}$ .

Zatem ogólny wzór ciągu arytmetycznego ma postać $a_{n} = - \frac{2}{5} + (n - 1) \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5} n - 1$ .

Ćwiczenie 17

RFcPrKdDNczRz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{8} = a_{1} + 7 r$ , czyli $23 = a_{1} + 7 \cdot (- 7)$ , stąd $a_{1} = 72$ .

Ćwiczenie 18

RupI0OzAJ8FCw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z treści zadania wiemy, że $a_{1} = 3$ oraz $a_{5} = 8$ .

Ponieważ $a_{5} - a_{1} = 4 r$ , więc $4 r = 8 - 3 = 5$ , stąd $r = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ .

Zatem $a = 3 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$ , $b = 4 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4} = 5 \frac{1}{2}$ , $c = 5 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{4} = 6 \frac{3}{4}$ , $d = 8 + 1 \frac{1}{4} = 9 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 19

RSwZY2MZuz88n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy równania podane w treści zadania zapisać w postaci $a_{1} + r + a_{1} + 6 r = - 17$ oraz $(a_{1} + 2 r) (a_{1} + 4 r) = 11$ .

Z pierwszego z nich wyznaczmy $a_{1} = - \frac{17 + 7 r}{2}$ .

Wtedy drugie z równań możemy zapisać w postaci $(- \frac{17 + 7 r}{2} + 2 r) (- \frac{17 + 7 r}{2} + 4 r) = 11$ .

Przekształcając je, otrzymujemy kolejno

(- 17 - 3 r) (- 17 + r) = 44

- 3 r^{2} + 34 r + 245 = 0

Wyróżnik tego równania jest równy $Δ = 1156 + 2940 = 4096 > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania $r_{1} = - 5$ oraz $r_{2} = 16 \frac{1}{3}$ .

Ponieważ ciąg jest malejący, więc $r = - 5$ . Pierwszy wyraz ciągu jest zatem równy

a_{1} = - \frac{17 + 7 r}{2} = - \frac{17 - 35}{2} = 9

Ćwiczenie 20

R18T06HA8CLJJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $x$ oznacza środkowy wyraz ciągu, a $r$ różnicę tego ciągu. Wtedy pierwszy wyraz jest równy $x - r$ , natomiast trzeci jest równy $x + r$ . Suma tych wyrazów jest wtedy równa $x - r + x + x + r = 12$ , czyli $3 x = 12$ , zatem $x = 4$ .

Suma kwadratów wyrazów jest równa ${(x - r)}^{2} + x^{2} {+ (x + r)}^{2} = 66$ , czyli ${(4 - r)}^{2} + 4^{2} {+ (4 + r)}^{2} = 66$ .

Stąd otrzymujemy kolejno

$16 - 8 r + r^{2} + 16 + 16 + 8 r + r^{2} = 66$ , $2 r^{2} = 18$ , $r^{2} = 9$ , $r = - 3$ lub $r = 3$ .

Gdy $r = - 3$ , to $x - r = 4 - (- 3) = 7$ oraz $x + r = 4 + (- 3) = 1$ .

Gdy $r = 3$ , wówczas $x - r = 4 - 3 = 1$ oraz $x + r = 4 + 3 = 7$ .

Zatem dwa szukane ciągi to $(1, 4, 7)$ oraz $(7, 4, 1)$ .

Ćwiczenie 21

R128P4g9Dobba

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz kolejne kąty w czworokącie korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wykorzystaj fakt, że suma kątów w czworokącie wynosi $360 °$ .

Niech $r$ będzie różnicą ciągu arytmetycznego $(105 °, α, β, γ)$ miar kątów czworokąta.

Wtedy $α = 105 ° + r$ , $β = 105 ° + 2 r$ , $γ = 105 ° + 3 r$ .

Suma miar wszystkich kątów czworokąta jest równa $360 °$ , więc otrzymujemy równanie $105 ° + 105 ° + r + 105 ° + 2 r + 105 ° + 3 r = 360 °$ .

Zatem $6 r = - 60 °$ , stąd $r = - 10 °$ .

Wtedy $α = 105 ° - 10 ° = 95 °$ , $β = 105 ° - 20 ° = 85 °$ oraz $γ = 105 ° - 30 ° = 75 °$ .

Szukane kąty mają miary $95 °$ , $85 °$ , $75 °$ .

Ćwiczenie 22

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Odpowiedz na poniższe pytania.

a. Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

b. Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

R1WxUJyy5B6pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Zapisz kolejne obwody trójkątów równobocznych za pomocą wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

b. Rozważ trzy trójkąty równoboczne, których długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Oblicz ich pola i sprawdź, czy istnieje jednoznaczna różnica.

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , gdzie $a_{n}$ oznacza długość boku trójkąta równobocznego o numerze $n$ .

a. Obwód $n$ –tego trójkąta $L_{n} = 3 \cdot a_{n}$ .
Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy $L_{n} = 3 [a_{1} + (n - 1) r] = 3 a_{1} + 3 (n - 1) r$ , czyli $L_{n} = L_{1} + (n - 1) \cdot 3 r$ .
To oznacza, że ciąg $(L_{n})$ obwodów kolejnych trójkątów równobocznych jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa $3 r$ .

b. Wykażemy, że ciąg $(P_{n})$ kolejnych trójkątów nie jest arytmetyczny. Wystarczy rozpatrzyć trójkąty, których długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Pola trzech pierwszych trójkątów są równe:
$P_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , $P_{2} = \sqrt{3}$ , $P_{3} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ .
Ponieważ $P_{2} - P_{1} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ oraz $P_{3} - P_{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{4}$ , a więc $P_{2} - P_{1} \neq P_{3} - P_{2}$ , zatem ciąg $(P_{n})$ nie jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna przez $3$ .

R1SxDnt4pt7iI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że cyfry występujące w liczbie trzycyfrowej są całkowite. Zapisz je kolejno za pomocą wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego. Skorzystaj z własności, że liczba jest podzielna przez $3$ , jeżeli suma cyfr występujących w tej liczbie jest podzielna przez $3$ .

Niech $a_{1}$ oznacza najmniejszą z cyfr liczby. Wtedy dwie pozostałe cyfry to $a_{1} + r$ , $a_{1} + 2 r$ .

Liczby $a_{1}$ i $r$ są całkowite. Suma wszystkich cyfr liczby jest równa $a_{1} + a_{1} + r + a_{1} + 2 r = 3 a_{1} + 3 r = 3 (a_{1} + r)$ .

Liczba $a_{1} + r$ jest całkowita, więc suma cyfr jest podzielna przez $3$ . To z kolei oznacza, że liczba jest podzielna przez $3$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 24

R11aEXHK3HQoR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisz warunki występujące w treści zadania: $a_{1} + a_{2} = 23$ , $a_{n} + a_{n - 1} = 119$ oraz $a_{11} = 40$ . Skorzystaj ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego. Używając odpowiednich podstawień wyznacz $n$ .

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem arytmetycznym, którego wyrazy spełniają warunki podane w treści zadania.

Warunki te możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{2} = 23$ , $a_{n} + a_{n - 1} = 119$ oraz $a_{11} = 40$ .

Równania te możemy zapisać, korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego w postaci $a_{1} + (a_{1} + r) = 23$ , $a_{1} + (n - 1) r + a_{1} + (n - 2) r = 119$ oraz $a_{1} + 10 r = 40$ .

Z pierwszego równania otrzymujemy $r = 23 - {2 a}_{1}$ .

Stąd z trzeciego równania mamy: $a_{1} + 10 (23 - {2 a}_{1}) = 40$ , $19 a_{1} = 230 - 40$ , $19 a_{1} = 190$ , $a_{1} = 10$ .

Zatem $r = 23 - 2 \cdot 10 = 3$ .

Drugie z równań możemy więc zapisać w postaci $10 + (n - 1) \cdot 3 + 10 + (n - 2) \cdot 3 = 119$ , stąd $6 n = 108$ , czyli $n = 18$ .

Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności $a_{n} = m$ oraz $a_{m} = n$ dla $n \neq m$ , to różnica tego ciągu jest równa $(- 1)$ .

R1WZc57PSDuh4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego dla równości $a_{n} = m$ oraz $a_{m} = n$ .

Powstałe w ten sposób równania odejmij stronami i uporządkuj. Wyznacz $r$ .

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego równości $a_{n} = m$ oraz $a_{m} = n$ możemy zapisać w postaci

$a_{1} + (n - 1) r = m$ oraz $a_{1} + (m - 1) r = n$ .

Odejmując te równania stronami, otrzymujemy $(n - 1) r - (m - 1) r = m - n$ .

Stąd $(n - m) r = - (n - m)$ .

Ponieważ $n \neq m$ , więc $n - m \neq 0$ .

Możemy zatem podzielić obie strony otrzymanego równania przez $n - m$ i wtedy mamy $r = - 1$ .

Ćwiczenie 26

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj polecenia.

R1GGcNpLr3K1y1

R1LvBmtiNuxFL

Ćwiczenie 26

Połącz w pary punkty należące do ciągu arytmetycznego z odpowiadającym mu wzorem.

(1, - 1), (4, - 2), (7, - 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = - 5 + n

, 4.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

, 5.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

(1, - 4), (2, - 3), (3, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = - 5 + n

, 4.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

, 5.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

(1, 1), (4, \frac{1}{2}), (7, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = - 5 + n

, 4.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

, 5.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

(1, 1), (4, 2), (7, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = - 5 + n

, 4.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

, 5.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

(1, - 4), (3, - 3), (5, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 1 \frac{1}{6} - \frac{1}{6} n

, 2.

a_{n} = - 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n

, 3.

a_{n} = - 5 + n

, 4.

a_{n} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} n

, 5.

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.