W tym materiale zawarte są wiadomości na temat ciągów arytmetycznych. Poznasz podstawowe definicje, twierdzenia oraz przykładowe rozwiązania typowych zadań związanych z tym tematem. Swoją wiedzę będziesz mógł sprawdzić rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia.

Przykład 1
R1T3KkhLFANTo1
Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania tekstowego przy pomocy ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg an nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.

Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k3 wyrazów, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej 1nk-1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej n1.

RQvAfaAV9pii91
Animacja przedstawia różne rodzaje ciągów arytmetycznych.

Zauważmy, że jeżeli znamy a1, czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę r tego ciągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

a2=a1+r,
a3=a2+r=a1+2r,
a4=a3+r=a1+3r,
a5=a4+r=a1+4r

Wystarczy zatem do pierwszego wyrazu dodać n-1 razy różnicę r tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego.

R1Lqx2fzM0EAu11
Tytuł apletu: Ciąg arytmetyczny. W aplecie zamieszczono układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie zaznaczonych jest dziewięć punktów , których współrzędne są kolejno równe (1,-2), (2,-1.5), (3,-1), (4,-0.5), (5,0), (6,0.5), (7,1), (8,1.5) oraz (9,2). Po lewej stronie układu współrzędnych znajduje się komentarz do apletu, dwa suwaki, czyli dwa poziome odcinki, a na każdym z nich znajduje się punkt. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając wartość danego parametru przypisanego do suwaka. Treść komentarza: Zmieniaj wartości na suwakach i obserwuj jak zmienia się wykres ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym an=a1+r(n-1)=-2+(0.5)(n-1). Poniżej umieszczono dwa suwaki obok siebie.Pierwszy z nich przypisany jest do parametru <matha1, czyli do pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego. Suwak ustawiony jest w wyjściowym momencie dla a1=-2. Możemy zmieniać tu wartości od minus trzech (punkt przesuwamy na (punkt przesuwamy najbardziej na lewo) do trzech (punkt przesuwamy najbardziej na prawo). Wartości zmieniają się co pół. Drugi suwak dotyczy różnicy ciągu arytmetycznego r . Wyraz ten może przyjąć wartości od minus dwóch do dwóch, zmieniając się co pół i na początku ustawiony jest na poziomie r=0.5, stąd taki wzór ogólny podany wyżej po drugiej równości. Wraz ze zmianą parametrów będzie zmiał się wzór ogólny ciągu. Suwaki działają niezależnie, to znaczy, że wartości <matha1 i r mogą być różne. Pod suwakami znajduje się możliwość kliknięcia w kwadrat, który odznacza się ptaszkiem i rozwija wniosek dotyczący wykresu ciągu arytmetycznego. Jego treść jest następująca: Wyrazy ciągu leżą na prostej o równaniu y=a1+r(x-1). Na wykresie pojawia się wtedy prosta przechodząca przez wszystkie wymienione wcześniej punkty. Podamy teraz przykłady dla różnych od pocżatkowych parametrów a1 oraz r. Przykład pierwszy będzie dla a1=1 oraz r=-0.5. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o zadanych parametrach będzie miał postać an=a1+r(n-1)=1+(-0.5)(n-1). Punkty na wykresie będą następujące (1,1), (2,0.5), (3,0), (4,-0.5), (5,-1), (6,-1.5), (7,-2), (8,-2.5) oraz (9,-3). Po ponownym naciśnięciu na opcje "Pokaż wniosek" na wykresie pojawia się nam prosta malejąca przechodząca przez wszystkie punkty. Przykład drugi będzie dla a1=2 orazr=0. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o zadanych parametrach będzie miał postać an=a1+r(n-1)=2+(0)(n-1). Punkty na wykresie będą dla każdego argumentu od x równego jeden do x równego dziesięć wartość równą dwa. Prosta pokazująca się po naciśnięciu "Pokaż wniosek" będzie równoległa do osi X i będzie przechodzić przez wszystkie punkty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego an o różnicy r jest równy an=a1+n-1r.

Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość an+1=an+r możemy też zapisać w postaci równoważnej an+1-an=r.

1
Polecenie 1
RMoU3uLmE5xSt1
Aplet przedstawia punkty w układzie współrzędnych, które są pewnymi wyrazami ciągu. W pięciu przykładach należy tak zmienić położenie niektórych punktów (inny kolor), aby stały się one wyrazami tego ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXgEKKS5WsD5m
Połącz w pary punkty tak aby tworzyły ciąg arytmetyczny. (1,0), (3,-4) Możliwe odpowiedzi: 1. (2,4), 2. (2,-1), 3. (2,1), 4. (2,-2), 5. (2,-3) (1,-6), (3,0) Możliwe odpowiedzi: 1. (2,4), 2. (2,-1), 3. (2,1), 4. (2,-2), 5. (2,-3) (1,-2), (3,0) Możliwe odpowiedzi: 1. (2,4), 2. (2,-1), 3. (2,1), 4. (2,-2), 5. (2,-3) (1,4), (3,4) Możliwe odpowiedzi: 1. (2,4), 2. (2,-1), 3. (2,1), 4. (2,-2), 5. (2,-3) (1,3), (3,-1) Możliwe odpowiedzi: 1. (2,4), 2. (2,-1), 3. (2,1), 4. (2,-2), 5. (2,-3)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2
RHY8PdTI92EXQ1
Aplet przedstawia pięć przykładów, w których dane są dwa punkty w układzie współrzędnych, będące wyrazami pewnego ciągu. Należy tak zmienić położenie dodatkowego trzeciego punktu, aby stał się trzecim wyrazem tego ciągu. Pierwszym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 3) i (2, 2). W drugim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -3) i (2, -1). W trzecim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -4) i (2, -1) W czwartym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 2) i (2, pięć dziesiątych). W piątym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -2) i (2, -2).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWBAHHAfj7LDw
Łączenie par. Zaznacz trzeci punkt tak aby tworzył z pozostałymi ciąg arytmetyczny.. (1,3), (2,2). Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2. (1,-3), (2,-1). Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2. (1,-4), (2,-1). Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2. (1,2), (2,12). Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2. (1,-2), (2,-2). Możliwe odpowiedzi: Wariant odpowiedzi 1, Wariant odpowiedzi 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym an=2-3n jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.

Zbadamy różnicę an+1-an dwóch kolejnych wyrazów ciągu an. Wyznaczmy najpierw

an+1=2-3n+1=2-3n-3=-3n-1.

Wtedy

an+1-an=-3n-1-2-3n=-3n-1-2+3n=-3.

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od n), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetyczny, a otrzymana liczba -3 to właśnie różnica tego ciągu.

Zauważmy, że

a1=2-3·1=-1.

Wzór na n–ty wyraz to an=-1+n-1-3, co jest zgodne z tym, że an=2-3n.

Przykład 3

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy 7, a różnica tego ciągu jest równa -2. Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.

Korzystając ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

a10=7+10-1-2=7-18=-11,
a32=7+32-1-2=7-62=-55.
Przykład 4

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 523, a siódmy wyraz tego ciągu jest równy 7. Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.

Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

  • Sposób I:

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy a5a7:

a5=a1+4r

oraz

a7=a1+6r.

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a1r:

a1+4r=523a1+6r=7.

Rozwiążmy ten układ:

a1+4r=523a1=7-6r,
7-6r+4r=523a1=7-6r,
-2r=-7+523a1=7-6r,
-2r=-43a1=7-6r,
r=23a1=7-6·23=3.

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz jedenasty:

a11=a1+10r=3+10·23=923.
  • sposób II:

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o 2r, gdyż a7-a6=r oraz a6-a5=r.

Zatem 2r=7-523=43. Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o 4r. Zatem

a11=a7+4r=7+2·43=923.

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.

R1K8mbBnIZ6CJ1
Animacja przedstawia arytmetyczny ciąg rosnący, malejący oraz stały i porównuje te ciągi do nut zapisanych na pięciolinii.
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.

1
Polecenie 3
RiyGtIb5T3VPa1
Aplet przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROxYKSaK1kNcm
Połącz w pary punkty należące do ciągu arytmetycznego z odpowiadającym mu wzorem. (1,-1), (4,-2), (7,-3) Możliwe odpowiedzi: 1. an=-5+n, 2. an=-412+12n, 3. an=23+13n, 4. an=116-16n, 5. an=-23-13n (1,-4), (2,-3), (3,-2) Możliwe odpowiedzi: 1. an=-5+n, 2. an=-412+12n, 3. an=23+13n, 4. an=116-16n, 5. an=-23-13n (1,1), (4,12), (7,0) Możliwe odpowiedzi: 1. an=-5+n, 2. an=-412+12n, 3. an=23+13n, 4. an=116-16n, 5. an=-23-13n (1,1), (4,2), (7,3) Możliwe odpowiedzi: 1. an=-5+n, 2. an=-412+12n, 3. an=23+13n, 4. an=116-16n, 5. an=-23-13n (1,-4), (3,-3), (5,-2) Możliwe odpowiedzi: 1. an=-5+n, 2. an=-412+12n, 3. an=23+13n, 4. an=116-16n, 5. an=-23-13n
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego an=a1+n-1r leży na prostej o równaniu y=a1+x-1r, czyli y=rx+a1-r, gdzie r oraz a1 (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalone dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc ciąg an jest:

  • rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy r tej prostej jest dodatni, czyli r>0;

  • malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdywspółczynnik kierunkowy r tej prostej jest ujemny, czyli r<0;

  • stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy r tej prostej jest równy zero, czyli r=0.

Przykład 5

Ciąg an jest arytmetyczny oraz a1+a5=8a2·a8=19. Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu an.

Ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy a2, a5a8 w zależności od a1r.

Możemy wtedy zapisać równanie a1+a5=8, podane w treści zadania, w postaci a1+a1+4r=8.

Stąd a1=4-2r.

Podobnie możemy zapisać równanie a2·a8=19 w postaci a1+ra1+7r=19.

W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą r

4-2r+r4-2r+7r=19.

Przekształcamy je w sposób równoważny

4-r4+5r=19,
16+16r-5r2=19,
-5r2+16r-3=0.

Obliczamy wyróżnik tego równania Δ=256-60=196>0.

Zatem równanie to ma dwa rozwiązania r1=3 oraz r2=15.

To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści zadania warunki.

Gdy r=3, to a1=4-2r=4-2·3=-2, a gdy r=15, to a1=4-2r=4-2·15=185.

R1LKnJXu95cxQ11
Ćwiczenie 1
Poniżej przedstawiono wzór ogólny ciągu arytmetycznego an, pierwszy wyraz ciągu a1 oraz różnicę ciągu r.
Połącz w pary wzór ogólny ciągu z odpowiednimi wartościami a1r. an=-12n+512 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12 an=12n-512 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12 an=-12n-412 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12 an=12n+412 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12 an=5n-412 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12 an=-5n+512 Możliwe odpowiedzi: 1. a1=12, r=-5, 2. a1=-5, r=12, 3. a1=5, r=12, 4. a1=12, r=5, 5. a1=-5, r=-12, 6. a1=5, r=-12
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Re9EJgEClKPzT11
Ćwiczenie 2
Uporządkuj tak, aby uzyskać malejący ciąg arytmetyczny. Elementy do uszeregowania: 1. 135, 2. 2110, 3. -25, 4. 110, 5. 235, 6. 1110, 7. 35
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3
R3MF0l2ZTcNyR
Wyrazami nieskończonego ciągu an są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 2, a trzeci wyraz tego ciągu a3=56. Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu. Siedemdziesiąty wyraz ciągu wynosi a70 =  {}.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4
RCYnU0GwWHGDR
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Ciąg a n = n 2 + 7 jest ciągiem arytmetycznym.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciąg b n = n 7 + 2 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2 .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciąg c n = 2 n - 3 jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5
R4YWkYEVy0gh2
Liczby a, 2, b, c, 3, d w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz a, b, cd. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.
a= 1. 113, 2. 313, 3. 213, 4. 323, 5. 123, 6. 223

b= 1. 113, 2. 313, 3. 213, 4. 323, 5. 123, 6. 223

c= 1. 113, 2. 313, 3. 213, 4. 323, 5. 123, 6. 223

d= 1. 113, 2. 313, 3. 213, 4. 323, 5. 123, 6. 223

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
RKeyZ7Jhevyvx
Pomiędzy liczby 630 wstaw siedem liczb, tak aby razem z liczbami 630 tworzyły ciąg arytmetyczny. Tymi liczbami w kolejności są: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
R1T1x4cfrlfB0
Dany jest ciąg arytmetyczny an, w którym a10=102+9 oraz r=2+1. Wyznacz równanie prostej, w której zawarty jest wykres ciągu an. Równaniem prostej jest 1. y=5+1x-2, 2. y=5+3x-2, 3. y=2+1x-1, 4. y=2+3x-1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Które z poniższych wykresów przedstawiają wykres ciągu arytmetycznego?

RKgI9DGbaeXcd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqdyQC22heQG5
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. B, 2. A, 3. C, 4. D
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9
RT4m2GOgdDFdO
Wyrazy każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego an spełniają warunek: Możliwe odpowiedzi: 1. a 3 + a 7 = a 10 , 2. a 4 + a 5 = a 2 + a 7 , 3. a 6 + a 8 = 2 a 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1L8dibVMMu502
Ćwiczenie 10
Liczby 5, -2, -9 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla n1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać. Możliwe odpowiedzi: 1. 7 n + 12 , 2. - 7 n - 12 , 3. - 7 n + 12 , 4. 7 n - 12
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RizuLgzC7ldOm2
Ćwiczenie 11
Dany jest ciąg arytmetyczny an, w którym r=6a10=55. Wtedy pierwszy wyraz ciągu jest równy: Możliwe odpowiedzi: 1. 1 , 2. - 5 , 3. - 1 , 4. 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZa57VKshSUWd2
Ćwiczenie 12
Ciąg arytmetyczny an jest określony wzorem an=2n+6. Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1. a 6 + a 12 = 18 , 2. a 6 + a 12 = 28 , 3. a 6 + a 12 = 38 , 4. a 6 + a 12 = 48
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R107IVObl8RrN2
Ćwiczenie 13
Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem an=4n-21. Który wyraz będzie najmniejszym wyrazem dodatnim tego ciągu? Wybierz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. a5, 2. a6, 3. a7, 4. a8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14
R19e28SlJaZMi
Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę. Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź. an=2nn+1
Ciąg (an) 1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -13, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -15, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi 25, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.
bn=3-n+25
Ciąg (bn) 1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -13, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -15, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi 25, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.
cn=n2+5n
Ciąg (cn) 1. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -13, 2. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi -15, 3. jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi 25, 4. nie jest ciągiem arytmetycznym, 5. nie jest ciągiem arytmetycznym, 6. nie jest ciągiem arytmetycznym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R42LRw7XB4IK621
Ćwiczenie 15
Połącz w pary ciąg arytmetyczny z odpowiadającą mu różnicą. 2 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512, -2 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512, 12 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512, -12 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512, 13 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512, -13 Możliwe odpowiedzi: 1. 516,456,412,416,, 2. 313,356,413,456,, 3. 512,312,112,-12,, 4. 213,413,613,813,, 5. 312,3,212,2,, 6. 412,456,516,512,
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 16
R1atSxe36ccno
Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że a3=45 oraz a10=5. Wzorem ogólnym jest an =  1. 15n-1, 2. 34n-2, 3. 35n-1, 4. 25n-3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 17
RFcPrKdDNczRz
Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an, którego różnica jest równa r=-7 oraz ósmy wyraz jest równy a8=23. Pierwszy wyraz ciągu wynosi a1 =  Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 18
RupI0OzAJ8FCw
Wyznacz takie liczby a, b, cd, żeby ciąg 3,a,b,c,8,d był arytmetyczny. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawne odpowiedzi.
a= 1. 914, 2. 512, 3. 424, 4. 534, 5. 614, 6. 414, 7. 634

b= 1. 914, 2. 512, 3. 424, 4. 534, 5. 614, 6. 414, 7. 634

c= 1. 914, 2. 512, 3. 424, 4. 534, 5. 614, 6. 414, 7. 634

d= 1. 914, 2. 512, 3. 424, 4. 534, 5. 614, 6. 414, 7. 634

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 19
RSwZY2MZuz88n
Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego an, w którym a2+a7=-17 oraz a3·a5=11. Pierwszy wyraz wynosi 1. a1=12, 2. r=-5, 3. r=-7, 4. a1=9, 5. r=-3, 6. a1=6 oraz różnica ciągu 1. a1=12, 2. r=-5, 3. r=-7, 4. a1=9, 5. r=-3, 6. a1=6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 20
R18T06HA8CLJJ
Ciąg arytmetyczny składa się z trzech wyrazów. Ich suma jest równa 12, a suma ich kwadratów jest równa 66. Oblicz wyrazy tego ciągu. Możliwe odpowiedzi: 1. 1,4,7 lub 7,4,1, 2. 2,5,7 lub 7,5,2, 3. 1,3,6 lub 6,3,1, 4. 1,2,4 lub 4,2,1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 21
R128P4g9Dobba
Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę 105°. Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta. Miary pozostałych kątów wynoszą: Tu uzupełnij°, Tu uzupełnij° oraz Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 22

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Odpowiedz na poniższe pytania.

a. Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

b. Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

R1WxUJyy5B6pl
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna przez 3.

R1SxDnt4pt7iI
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 24
R11aEXHK3HQoR
Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa 23, suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa 119, a wyraz jedenasty jest równy 40. Ciąg arytmetyczny ma Tu uzupełnij wyrazów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności an=m oraz am=n dla nm, to różnica tego ciągu jest równa -1.

R1WZc57PSDuh4
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 26

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj polecenia.

R1GGcNpLr3K1y1
Aplet przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LvBmtiNuxFL
Ćwiczenie 26
Połącz w pary punkty należące do ciągu arytmetycznego z odpowiadającym mu wzorem. (1,-1), (4,-2), (7,-3) Możliwe odpowiedzi: 1. an=116-16n, 2. an=-412+12n, 3. an=-5+n, 4. an=-23-13n, 5. an=23+13n (1,-4), (2,-3), (3,-2) Możliwe odpowiedzi: 1. an=116-16n, 2. an=-412+12n, 3. an=-5+n, 4. an=-23-13n, 5. an=23+13n (1,1), (4,12), (7,0) Możliwe odpowiedzi: 1. an=116-16n, 2. an=-412+12n, 3. an=-5+n, 4. an=-23-13n, 5. an=23+13n (1,1), (4,2), (7,3) Możliwe odpowiedzi: 1. an=116-16n, 2. an=-412+12n, 3. an=-5+n, 4. an=-23-13n, 5. an=23+13n (1,-4), (3,-3), (5,-2) Możliwe odpowiedzi: 1. an=116-16n, 2. an=-412+12n, 3. an=-5+n, 4. an=-23-13n, 5. an=23+13n
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.