Pole powierzchni ostrosłupa

Wysokość tego ostrosłupa razem z połową długości boku podstawy i wysokością ściany bocznej tworzy trójkąt prostokątny.

Z trójkąta prostokątnego mamy $h^2+5^2={12}^2$, skąd $h=\sqrt{119} \mathrm{cm}$.

Oblicz pole podstawy i dodaj je do pola wszystkich ścian bocznych. Zwróć uwagę, że w zależności od kształtu podstawy będzie się zmieniała liczba ścian bocznych.

$39 {\mathrm{dm}}^2-9 {\mathrm{dm}}^2=30 {\mathrm{dm}}^2$ – pole powierzchni ścian bocznych. Jedna ze ścian ma więc pole równe $7,5 {\mathrm{dm}}^2$.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta i z faktu, że ten ostrosłup ma trzy ściany boczne.

Pole jednej ściany wynosi $1$. Otrzymujemy więc równanie: $1=\frac{0,5·h}{2}$, skąd $h=4$.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta i z faktu, że ten ostrosłup ma cztery ściany boczne.

Z warunków zadania wynika, że $\frac{1}{4}·160=\frac{a·10}{2}$, stąd krawędź podstawy $a=8 \mathrm{cm}$.
Pole podstawy to $64 {\mathrm{cm}}^2$, a  pole powierzchni całkowitej $160+64=224 \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Wykorzystaj fakt, że ściany boczne ostrosłupa prawidłowego mają kształt trójkątów równoramiennych. Wysokość takiego trójkąta tworzy z połową długości podstawy i z długością ramienia trójkąt prostokątny.

Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z trójkąta prostokątnego: $h^2+7^2={10}^2$, skąd $h=\sqrt{51} \mathrm{cm}$.

Pole podstawy to ${14}^2=196 \left({\mathrm{cm}}^2\right)$, zaś pole powierzchni bocznej to$4·\frac{1}{2}·14·\sqrt{51}=28\sqrt{51} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Pole powierzchni całkowitej – $\left(196+28\sqrt{51}\right) {\mathrm{cm}}^2$.

Wykorzystaj fakt, że ściany boczne ostrosłupa prawidłowego mają kształt trójkątów równoramiennych. Wysokość takiego trójkąta tworzy z połową długości podstawy i z długością ramienia trójkąt prostokątny. Do obliczenia krawędzi podstawy wykorzystaj wzór na pole kwadratu.

Z warunków zadania wynika, że długość krawędzi podstawy jest równa $6 \mathrm{cm}$.

Z odpowiedniego trójkąta prostokątnego wynika, że $h^2+3^2={10}^2$, skąd $h=\sqrt{91} \mathrm{cm}$. Pole powierzchni całkowitej jest równe $\left(36+4·\frac{6·\sqrt{91}}{2}\right) {\mathrm{cm}}^2$.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $4\mathrm{ cm}$ to $\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.$4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe $4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3} \left({\mathrm{cm}}^2\right).$

Wysokość tego ostrosłupa tworzy z wysokością ściany bocznej i połową długości podstawy trójkąt o kątach $30°$, $60°$, $90°$.

R8hnSUdwnk6Yd1

Rysunek ostrosłupa o podstawie kwadratu o krawędzi a. Wysokość ostrosłupa H, wysokość ściany bocznej h i połowa długości boku kwadratu tworzą kąt prosty. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania.

Wiemy, że $a=8\sqrt{3}$.

Z warunków zadania wynika, że $h=2\cdot H$.

Z trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej, otrzymamy równanie:

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2+H^2={\left(2H\right)}^2$, skąd $H=4$, więc $h=8$.

Pole powierzchni całkowitej jest równe

Wysokość tego ostrosłupa tworzy z połową przekątnej podstawy i z krawędzią boczną trójkąt o kątach $45°$, $45°$, $90°$.

Rq84mn1mlgklZ1

Rysunek ostrosłupa o podstawie kwadratu o krawędzi a. Wysokość ostrosłupa H, wysokość ściany bocznej h i połowa długości boku kwadratu tworzą kąt prosty. Rysunek pomocniczy do rozwiązania zadania.

Z warunków zadania: $H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, zatem zachodzi równość:

${20}^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$.

Stąd $a=20$

Pole powierzchni całkowitej jest równe:

${20}^2+4·\frac{1}{2}·20·10\sqrt{3}=\left(400+400\sqrt{3}\right) \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Zastosuj odpowiedni wzór na pole powierzchni rombu. Połowa dłuższej przekątnej tworzy z wysokością ostrosłupa i dłuższą krawędzią boczną trójkąt o kątach $30°$, $60°$, $90°$, tak samo jak połowa krótszej podstawy z wysokością ostrosłupa i krótszą krawędzią boczną.

Skoro krótsza krawędź boczna $q$ jest nachylona do podstawy pod kątem $60°$, to trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Skoro dłuższa krawędź boczna jest nachylona pod kątem $30°$ do podstawy, to połowa dłuższej przekątnej podstawy jest równa wysokości trójkąta równobocznego $CDE$.

Połowę dłuższej przekątnej podstawy $p$ obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego $DEC$: $\frac{p}{2}=24\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R1HfshSROOl3O1

Rysunek przedstawia ostrosłup czworokątny, w którym narysowano trójkąt równoboczny, który jest przekrojem poprzecznym tego ostrosłupa. Narysowano drugą przekątną czworokąta, która jest nachylona do krawędzi ściany bocznej pod kątem $30°$.

Zatem dłuższa przekątna podstawy ma długość $p=24\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Odcinek $CS$ to połowa odcinka $CE$, czyli ma długość $12 \mathrm{cm}$. Jest on wysokością w trójkącie równobocznym $ABC$, skąd wyznaczymy długość $AB$ krótszej przekątnej:

Stąd

Zatem pole podstawy jest równe

Zauważ, że wysokość ściany bocznej wraz z połową krawędzi podstawy i krawędzią boczną tworzą trójkąt prostokątny.

Przekątna podstawy ostrosłupa jest równa $8\sqrt{2} \mathrm{cm}$. Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego:

skąd

Pole powierzchni całkowitej:

$8^2+4\cdot \frac{8\cdot 2\sqrt{5}}{2}=64+32\sqrt{5} \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Oblicz pole powierzchni dwóch ostrosłupów prawidłowych czworokątnych, w których wszystkie krawędzie mają jednakową długość a następnie odejmij od niego pole dwóch ścian, które znajdują się wewnątrz ośmiościanu.

Pole to jest równe sumie pól ośmiu trójkątów równobocznych o krawędzi $8 \mathrm{cm}$.

Pole ośmiościanu jest równe

Do obliczenia pola ściany bocznej wykorzystaj wzór na pole trójkąta i fakt, że wysokość ściany bocznej tworzy z połową długości podstawy i wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny.

Wyznaczymy wysokość ściany bocznej z trójkąta prostokątnego:

${146}^2+{115}^2=h^2$, stąd $h=\sqrt{34541}\approx \mathrm{185,85}\approx 186 \left(\mathrm{m}\right)$.

Pole powierzchni bocznej: $P\approx 4·\frac{1}{2}·230·186=85560 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.