Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Kula i sfera

W tym materiale poznamy własności kuli oraz sfery i wykorzystamy je w zadaniach, również z kontekstem realistycznym. Będziemy obliczać objętość kuli, pole powierzchni kuli, pola jej przekrojów.

Elementy kuli

Krople rosy, bryłki gradu, ziarenka maku swoim kształtem przypominają kule.

RPO3iKy7hapio1
Grafika składa się z dwóch zdjęć. Na pierwszym zdjęciu znajdują się bańki mydlane puszczane na świeżym powietrzu. Na drugim zdjęciu są kulki gradu, leżące na trawie wśród kwiatów i liści.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 1

Jaka bryła powstanie w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży średnica tego półkola?

RS2s2wcdgQDHL1
W aplecie przedstawiono konstrukcję kuli. Kula to bryła, która powstała w wyniku obrotu półkola o promieniu R dookoła prostej zawierającej średnice tego półkola. Animacja przedstawia pionową oś obrotu i półkole, którego średnica leży na osi obrotu. Półkole obrócono o 360 stopni wokół osi, tworząc w ten sposób bryłę obrotową, czyli w tym przypadku kule. Powierzchnia zewnętrzna kuli wykreślona przez obrót półokręgu o promieniu R wokół pionowej osi obrotu zawierającej średnice tego o półokręgu nazywana jest sferą.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Ptnd0cHpU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kulę można otrzymać w wyniku obrotu koła (lub półkola) wokół prostej, w której zawiera się jego średnica.

Ważne!

Promień tego koła to promień kuli, a środek koła – środek kuli.

Kulę w przestrzeni definiujemy podobnie jak koło na płaszczyźnie.

Kula
Definicja: Kula

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest nie większa od długości odcinka, zwanego promieniem kuli.

RU8UIWIK3bjiU1
Rysunek przedstawia koło i znajdującą się obok kulę. Na kole zaznaczono pionową oś obrotu zawierającą średnice tego koła oraz prostopadły do osi obrotu promień. Na kuli zaznaczony jest dokładnie ten sam promień. Wynika stąd, że promień koła, który w wyniku obrotu wokół osi obrotu wyznacza kulę jest taki sam jak promień kuli.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W przestrzeni odpowiednikiem okręgu jest sfera.

Sfera
Definicja: Sfera

Sfera to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest równa długości odcinka, zwanego promieniem sfery.

R1Vn9TZ9OiJlF1
Rysunek przedstawia sferę , czyli powierzchnie kuli.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2
R1NsBqNfpWI7u1
Animacja przedstawia bańki mydlane, które są sferami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1NsBqNfpWI7u

Kula_4117
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia bańki mydlane, które są sferami.

Przykład 3
R18vvkNCTfOVh1
Animacja przedstawia stół bilardowy oraz umieszczone na nim bile, które są w kształcie kul.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R18vvkNCTfOVh

Kula_4118
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia stół bilardowy oraz umieszczone na nim bile, które są w kształcie kul.

Cięciwa sfery (kuli)
Definicja: Cięciwa sfery (kuli)

Cięciwa sfery (kuli) to odcinek o końcach leżących na sferze. Cięciwa przechodząca przez środek sfery (kuli), to średnica.

RkQCs5VVbLd7y1
Rysunek sfery, czyli powierzchni kuli z zaznaczonymi średnicą i cięciwą. Cięciwa sfery jest odcinkiem o końcach na sferze. Średnica sfery przechodzi przez środek sfery, a jej końce znajdują się na sferze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1APRk3hFBw201
Ćwiczenie 1
Promień kuli jest równy 8,5 dm. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub słowa, lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość średnicy kuli wynosi 1. Tak, 2. 18, 3. 16, 4. 18, 5. 17, 6. Nie, 7. 17 dm.Największa odległość dwóch punktów leżących na sferze tej kuli wynosi 1. Tak, 2. 18, 3. 16, 4. 18, 5. 17, 6. Nie, 7. 17 dm.Czy cięciwa tej kuli może mieć długość 16 cm, 17 cm? 1. Tak, 2. 18, 3. 16, 4. 18, 5. 17, 6. Nie, 7. 17
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekroje kuli

Przykład 4

Przetnij pomarańczę na dwie części. Jakie kształty mają tak otrzymane przekroje?

RGrQAXvXjBl3V1
Zdjęcie pomarańczy przekrojonej na pół, po przekrojeniu pomarańcza jest w kształcie koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekrojem kuli jest koło (lub punkt). Jeśli płaszczyzna przecinająca kulę przechodzi przez jej środek, to otrzymany przekrój nazywamy kołem wielkim kuli. Płaszczyzna ta dzieli kulę na dwie półkule.

RdglDDuTjt9E81
Rysunek kuli, która posiada dwa równoległe poziome przekroje. Przekrój, który jest zaznaczony na zielono, przechodzi przez środek kuli i jest nazwany koło wielkie. Przekrój, który jest zaznaczony na niebiesko znajduje się ponad przekrojem zielonym i ma od niego mniejszy promień.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

Pole koła wielkiego kuli jest równe 0,16π mm2. Obliczymy średnicę tej kuli.

Obliczamy promień r koła wielkiego kuli.

RXZsvMdD7gUtN1
Rysunek kuli o promieniu r i średnicy d z zaznaczonym przekrojem, który przecina tę kulę poziomo i przechodzi przez jej środek. Przekrój jest kołem wielkim.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
πr2=0,16π,
r2=0,16,
r=0,16,
r=0,4 mm,

bo

r>0.

Średnica d kuli jest równa średnicy koła wielkiego.

d=2⋅0,4,
d=0,8 mm.

Średnica kuli jest równa 0,8 mm.

Przykład 6

Promień kuli jest równy 15 cm. W odległości 9 cm od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono przekrój. Oblicz obwód tego przekroju.

RKIYsgIT9Fqwm1
Rysunek kuli o promieniu R = 15 cm z zaznaczonym kołem wielkim, jego średnica jest równa średnicy kuli oraz innym, równoległym przekrojem o promieniu r. Promień kuli R, promień przekroju r oraz odległość przekrojów równa 9 cm tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej R łączącej środek kuli z kołem przekroju.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć obwód przekroju, obliczymy najpierw jego promień r.

Zauważmy, że trójkąt utworzony przez promień kuli, promień przekroju i odcinek łączący przekroje kuli i prostopadły do nich, jest prostokątny.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

r2+92=152,
r2=225-81,
r=144,
r=12 cm.

Obliczamy teraz obwód przekroju.

2πr=2π⋅12=24π.

Obwód przekroju jest równy 24π cm.

Pole powierzchni kuli

Przykład 7

Obierz pomarańczę. Czy możesz tak otrzymane skórki rozłożyć płasko na stole?

Nie, nie możesz. Pomarańcza ma kształt zbliżony do kuli, zatem nie jest możliwe, aby skórki pomarańczy rozłożyć płasko na stole bez ich deformacji.

Ciekawostka

Archimedes (ok. 287-212 p.n.e.) był greckim filozofem, przyrodnikiem i matematykiem. Odkrył prawo wyporu, zwane dzisiaj prawem Archimedesa. Wynalazł między innymi organy wodne, wielokrążek, przenośnik śrubowy (urządzenie do przemieszczania materiałów sypkich lub cieczy).

Wyprowadził wzór na obliczenie pola powierzchni kuli, wykorzystując nowatorskie pomysły, które obecnie wchodzą w zakres rachunku różniczkowego i całkowego.
Archimedes wykazał, że pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe od pola jej koła wielkiego.

Ważne!

Pole P powierzchni kuli o promieniu R jest równe:

P=4πR2.
Przykład 8
R1D4ROsvgrqek1
Animacja przedstawia rozwiązanie pewnego zadania, w którym wykorzystywany jest wzór na pole powierzchni całkowitej kuli.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1D4ROsvgrqek

Kula_4116
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia rozwiązanie pewnego zadania, w którym wykorzystywany jest wzór na pole powierzchni całkowitej kuli.

Przykład 9

Na toczek w kształcie półkuli zużyto 450 cm2 filcu. Jaki obwód ma głowa osoby, dla której go wykonano?

Obliczymy promień R półkuli, w kształcie której jest toczek.

2πR2=450,
πR2=225,
R=225π=15π.

Obliczamy obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek.

2πR=2π⋅15π=30π≈303,14≈53.

Obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek, jest równy około 53 cm.

Objętość kuli

Przykład 10
RqpxX1xQgvHAV1
Animacja przedstawia i uzasadnia wzór na objętość kuli o promieniu R.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RqpxX1xQgvHAV

Kula_4115
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia i uzasadnia wzór na objętość kuli o promieniu R.

Ważne!

Objętość V kuli o promieniu R jest równa:

V=43πR3.
Ciekawostka

Objętość kuli można obliczyć zgodnie z zasadą siedemnastowiecznego matematyka włoskiego Bonaventury Cavalieriego.

Na podstawie rozważań Cavalieriego można wywnioskować, że objętość półkuli o promieniu R jest równa różnicy objętości walca o promieniu podstawy R oraz wysokości R i objętości stożka o promieniu podstawy R i wysokości R.

RWOf5QrN8xMe71
Rysunek półkuli, walca i stożka o takim samym promieniu. Między półkulą a walcem znak równa się, między walcem a stożkiem znak minus. Interpretując, jeżeli od walca odejmiemy stożek o takim samym promieniu otrzymamy półkulę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh7ipbWr8J5xa11
Aplet przedstawia metodę jaką zastosował Archimedes do wyznaczenia objętości kuli. Wykreślmy kulę o promieniu R i walec o tym samym promieniu i wysokości 2R. Obie bryły mają tą samą wysokość. W walcu umieśćmy dwa stożki o wspólnym wierzchołku. Podstawy stożków są podstawami walca a wysokości ich wynoszą R. Tworzą one coś w rodzaju zegara piaskowego zwanego klepsydrą. Przekrojem poprzecznym kuli jest koło a przekrojem poprzecznym obszaru zawartego między walcem a stożkiem jest pierścień kołowy. Pole przekroju kuli równa się pi r do potęgi 2 i jest równe pi razy (R do potęgi drugiej minus h do potęgi drugiej), gdzie r – promień przekroju koła, R – promień kuli i h – odległość przekroju kuli od środka tej kuli. Natomiast pole pierścienia kołowego = pi R do potęgi drugiej minus pi razy h do potęgi drugiej, gdzie R – promień przekroju walca w postaci koła, h odległość tego przekroju od wierzchołka stożka umieszczonego w nim. Skorzystajmy z zasady, którą odkrył ok 250 r. p.n.e. Archimedes, a stosował w XVII wieku włoski matematyk Bonawentura Cavalieri. Twierdzenie Archimedesa – Cavalieriego brzmi: Dwie bryły mają tę samą objętość, jeśli przekroje tych brył na tej samej wysokości mają te same pola. Ponieważ wszystkie przekroje kuli i bryły ograniczonej walcem i dwoma stożkami mają na tej samej wysokości równe pola, więc objętość kuli jest równa objętości obszaru zawartego między walcem i dwoma stożkami. Zatem V kuli = V walca – 2 razy V stożka = pi razy R do potęgi drugiej razy 2R -2 razy (jedna trzecia pi razy R do potęgi drugiej) = cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Ptnd0cHpU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R134Ey3TMXOYW11
Aplet przedstawia wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni kuli. Znając wzór na objętość kuli można wyznaczyć pole powierzchni kuli. W tym celu dzielimy powierzchnię kuli na jednakowe trójkąty krzywoliniowe, tworząc tzw. triangulację powierzchni kuli. Twórzmy na bazie takich trójkątów ostrosłup. Jego podstawą nie jest dokładnie trójkąt. Wysokość ostrosłupa w przybliżeniu jest równa długości promienia kuli. Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej pola trójkąta podstawy razy wysokość, czyli długość promienia kuli. Po dokonaniu triangulacji powierzchni kuli uzyskamy n takich ostrosłupów. Zatem suma ich objętości daje objętość kuli. Wobec tego V kuli = jedna trzecia razy R kuli razy suma wszystkich powierzchni ostrosłupów. Wiemy, że V kuli = cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej. Stąd po podzieleniu stronami przez jedną trzecią razy R otrzymujemy, że P kuli = 4 pi R do potęgi drugiej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Ptnd0cHpU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 11

Kula z ciasta ma promień 1,2 dm. Ile ciasteczek w kształcie kulek o promieniu 2 cm każde można otrzymać z tego ciasta?

Obliczamy najpierw objętość dużej kuli ciasta.

1,2 dm=12 cm,
V=43π⋅123,
V=43π⋅1728,
V=2304π cm3.

Teraz obliczamy objętość ciasteczka.

VC=43π⋅23,
VC=323π cm3.

Obliczamy, ile ciasteczek można otrzymać z dużej kuli ciasta.

2304:323=2304⋅332=216.

Z ciasta można otrzymać 216 ciasteczek.

Przykład 12

Objętość kuli jest równa 288π. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

Obliczamy najpierw promień R kuli.

43πR3=288π |:43π,
R3=216,
R=2163=6.

Możemy już obliczyć pole powierzchni kuli.

P=4πR2,
P=4π⋅62,
P=144π.

Pole powierzchni kuli jest równe 144π.

1
Ciekawostka
RyqvRWBiAz1ts1
Aplet przedstawia dowód odkrycia Archimedesa dotyczącego kuli wpisanej w walec. Swoje odkrycie uznał za tak ważne, że jego życzeniem było wyrzeźbienie na jego nagrobku walca i wpisanej w nim kuli. Dany jest walec z wpisaną w niego kulą. Promień kuli i promień podstawy walca to odcinek długości R. Obliczamy objętość kuli i objętość walca. V walca równa się pi razy R do potęgi drugiej równa się 2 pi R do potęgi trzeciej. V kuli równa się cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej. Wyznaczamy stosunek objętości walca do objętości kuli wpisanej w walec. Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy wynik trzy drugie. Oznacza to, że objętość kuli można zastąpić objętością walca o tej samej podstawie co walec, do którego kula jest wpisana ale o wysokości stanowiącej dwie trzecie wysokości tego walca. Do walca można też wpisać stożek o tej samej wysokości i tym samym promieniu co walec. Jego objętość to jedna trzecia objętości tego walca. Zatem stosunek objętości stożka do objętości kuli do objętości walca jest równa jeden do dwóch do trzech. Teraz wyznaczymy pola całkowite walca, wpisanej w niego kuli i stożka. Pole walca równa się dwa razy pi razy R do potęgi drugiej dodać 2 razy pi razy R razy dwa R równa się 6 razy pi R do potęgi drugiej. Pole kuli to cztery razy pi razy R do potęgi drugiej, a pole stożka jest równe pi razy R do potęgi drugiej dodać pi R razy l równa się pi razy R razy w nawiasie R plus l. Jak widać stosunek pola kuli do pola walca jest taki sam, jak stosunek ich objętości czyli dwie trzecie. Zauważmy, że gdyby stożek miał tworzącą o długości R (czy to jest możliwe?), to wtedy stosunek pól tych trzech brył obrotowych wynosiłby podobnie jak ich objętość: jeden do dwóch do trzech.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Ptnd0cHpU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1N1RudUYd27Y21
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pole powierzchni kuli o promieniu 6 jest równe Tu uzupełnijπ.Pole powierzchni kuli o średnicy 10 jest równe Tu uzupełnijπ.Pole powierzchni kuli o promieniu 0,5 jest równe Tu uzupełnijπ.Pole powierzchni kuli o średnicy 2 jest równe Tu uzupełnijπ.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WiSPtwzxwXZ1
Ćwiczenie 3
Promień kuli jest równy 114. Oblicz odpowiednie wielkości, a następnie połącz w pary elementy tak, aby powstały zdania prawdziwe. Pole koła wielkiego tej kuli jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 254π, 2. 12548π, 3. 2516π Pole powierzchni kuli jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 254π, 2. 12548π, 3. 2516π Objętość kuli jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. 254π, 2. 12548π, 3. 2516π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4

Igloo ma kształt półkuli, której promień zewnętrzny jest równy 3 m.

R1CMuwB61aVSX1
Zdjęcie igloo, które jest w kształcie półkuli o promieniu równym 3 m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RYWBiVFN4u6ke1
Ile wynosi pole powierzchni zewnętrznej tego igloo? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 27π m2, 2. 36π m2, 3. 144π m2, 4. 18π m2

  • 27 π  m 2
  • 36 π  m 2
  • 144 π  m 2
  • 18 π  m 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAi5mSz3cvd1G11
Ćwiczenie 5
Objętość jednej piłeczki do tenisa ziemnego wynosi 1023π cm3. Ile wynosi średnica tej piłeczki? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 40 mm, 2. 20 mm, 3. 80 mm, 4. 60 mm

  • 40  mm
  • 20  mm
  • 80  mm
  • 60  mm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Pole powierzchni nadmuchanego balona jest równe 9856 cm2. Ile m3 powietrza mieści się w tym balonie? Przyjmij π=227. Wynik podaj z dokładnością do 0,001 m3.

RSpZSc3WbRrY6
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FXzHPj4mEeW2
Ćwiczenie 7
Do pustego akwarium w kształcie półkuli wlano 4 l wody. Akwarium wypełnione jest teraz w 80% wodą. Ile dm2 szkła użyto na jego wykonanie? Przyjmij π=3,125. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. P≈11,2 dm2, 2. P≈16,3 dm2, 3. P≈8,25 dm2, 4. P≈14,6 dm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rzkx2vGZZpzzT2
Ćwiczenie 8
Połącz przyczynę z odpowiednim skutkiem, korzystając ze wzoru na objętość kuli. promień zwiększono dwukrotnie Możliwe odpowiedzi: 1. objętość zmniejszy się 8–krotnie, 2. objętość zmniejszy się 27–krotnie, 3. objętość zwiększy się 8–krotnie, 4. objętość zwiększy się 125–krotnie promień zwiększono pięciokrotnie Możliwe odpowiedzi: 1. objętość zmniejszy się 8–krotnie, 2. objętość zmniejszy się 27–krotnie, 3. objętość zwiększy się 8–krotnie, 4. objętość zwiększy się 125–krotnie promień zmniejszono dwukrotnie Możliwe odpowiedzi: 1. objętość zmniejszy się 8–krotnie, 2. objętość zmniejszy się 27–krotnie, 3. objętość zwiększy się 8–krotnie, 4. objętość zwiększy się 125–krotnie promień zmniejszono trzykrotnie Możliwe odpowiedzi: 1. objętość zmniejszy się 8–krotnie, 2. objętość zmniejszy się 27–krotnie, 3. objętość zwiększy się 8–krotnie, 4. objętość zwiększy się 125–krotnie
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ru1jPVys4abPv2
Ćwiczenie 9
Oblicz pole powierzchni i objętość kuli w podanych przypadkach. Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Średnica kuli jest równa 10 cm. Wtedy pole powierzchni kuli wynosi 1. 324, 2. 257, 3. 100, 4. 972, 5. 5007, 6. 5003π cm2, a jej objętość wynosi 1. 324, 2. 257, 3. 100, 4. 972, 5. 5007, 6. 5003π cm3.Pole koła wielkiego jest równe 81π dm2. Wtedy pole powierzchni kuli wynosi 1. 324, 2. 257, 3. 100, 4. 972, 5. 5007, 6. 5003π dm2, a objętość wynosi 1. 324, 2. 257, 3. 100, 4. 972, 5. 5007, 6. 5003π dm3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlUipoogEkiJB2
Ćwiczenie 10
Świeczkę w kształcie walca o średnicy podstawy równej 6 cm oraz wysokości 18 cm przetopiono na świeczkę w kształcie kuli. Oblicz promień tej kuli. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 cm. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. R=121,53≈4,95 cm, 2. R=121,53≈4,90 cm, 3. R=125,53≈5,05 cm, 4. R=121,53≈5,00 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9GrS46uhRkTU2
Ćwiczenie 11
Promień kuli jest równy 15 cm. W jakiej odległości od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono jej przekrój, jeśli obwód tego przekroju wynosi 24π? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 9 cm, 2. 12 cm, 3. 6 cm, 4. 3 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FyHsTK4I3pU2
Ćwiczenie 12
Pole powierzchni całkowitej półkuli wynosi 60π. Oblicz objętość i pole powierzchni całej kuli. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Objętość jest równa 16053π, pole wynosi 80π, 2. Objętość jest równa 15053π, pole wynosi 70π, 3. Objętość jest równa 17053π, pole wynosi 90π, 4. Objętość jest równa 14053π, pole wynosi 60π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 13
R10BuOc0SYUid2
Kulę o średnicy 10 cm przecięto na dwie jednakowe części. Jakie pole powierzchni ma każda z otrzymanych półkuli? Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Pole powierzchni otrzymanych półkul wynosi Tu uzupełnijπ cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rbq5YDirABNOD2
Ćwiczenie 14
Z kuli o promieniu 5 cm odcięto czaszę w odległości 3 cm od środka kuli. Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola koła wielkiego. Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Stosunek tych pól wynosi 1. 1625, 2. 1620, 3. 1425, 4. 1420.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnpC9G3fGpcfm2
Ćwiczenie 15
Przekrój osiowy kuli ma pole powierzchni równe 16π. Oblicz pole P powierzchni i objętość V tej kuli. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. P=64π, V=2563π, 2. P=62π, V=2533π, 3. P=66π, V=2633π, 4. P=60π, V=2653π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RkRQ2gb7jGaqu21
Ćwiczenie 16
Obwód koła wielkiego kuli jest równy 16π. Jakie pole powierzchni ma ta kula? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 243π, 2. 323π, 3. 256π, 4. 83π

Obwód koła wielkiego kuli jest równy 16   π .
Jakie pole powierzchni ma ta kula?

  • 24 3   π
  • 32 3   π
  • 256 π
  • 8 3   π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 17
Rf9WZnbGdugJH2
Koło o obwodzie 20π obraca się wokół swojej średnicy. Jakie pole ma koło wielkie otrzymanej kuli? Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Koło ma pole Tu uzupełnij π.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18

Jaką figurę otrzymamy, obracając okrąg wokół jego średnicy?

RxYoThAlGke8v
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IZgLh67XfLw3
Ćwiczenie 19
Do pojemnika w kształcie sześcianu o krawędzi 10 cm włożono kulkę o średnicy 6 cm. Jaką część pojemności sześcianu zajmuje kula? Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Przyjmij π=3,14. Kula zajmuje 1. 11304100000, 2. 1130410000, 3. 114301000, 4. 11340100000 pojemności sześcianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rl8iN1WzlBlEJ3
Ćwiczenie 20
Do menzurki w kształcie walca o średnicy podstawy równej 12 mm wrzucono metalową kulkę o promieniu 2 mm. Ile wody należy wlać do tej menzurki, aby kulka była zakryta? Przyjmij π=3,15. Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Do menzurki należy wlać 1. 420, 2. 412,5, 3. 407, 4. 435,7 mm3 wody.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMlIwXDA2pi4I3
Ćwiczenie 21
Niech VK będzie objętością kuli o promieniu R, a VS objętością stożka o promieniu podstawy R oraz wysokości też R. Oblicz stosunek VK:VS. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. VkVs=4, 2. VkVs=2, 3. VkVs=6, 4. VkVs=8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RwhZ1NcLytimx3
Ćwiczenie 22
Kula i stożek mają jednakowe objętości. Kula ma promień długości 6 cm. Promień podstawy stożka ma długość 8 cm. Oblicz wysokość stożka. Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wysokość stożka wynosi 1. 12,5, 2. 13,0, 3. 12,0, 4. 13,5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BOZ2VbKewac31
Ćwiczenie 23
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Przekrój kuli może być punktem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Każdy przekrój kuli jest okręgiem.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu promienia kuli.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.