Równania wielomianowe - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Poszukiwanie miejsc zerowych funkcji $W$ sprowadza się najczęściej do rozwiązania równania $W (x) = 0$ . Jeżeli $W$ jest wielomianem stopnia pierwszego, to otrzymujemy równanie liniowe. Jeżeli $W$ jest wielomianem stopnia drugiego, to otrzymujemy równanie kwadratowe.

Teraz dowiesz się, jak rozwiązywać niektóre z równań, w których występuje wielomian stopnia wyższego niż dwa. Nie jest to zadanie łatwe. Dla dowolnych wielomianów stopnia piątego lub wyższego takie metody w ogóle nie istnieją. Pokażemy więc, jak możesz sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach.

Przykład 1

Rozwiążemy równania:

$x^{3} + 64 = 0$ .

Odejmujemy od obu stron równania liczbę $64$ i otrzymujemy równanie $x^{3} = - 64$ .

Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest $x = \sqrt[3]{- 64} = - 4$ .

$2 x^{4} - 162 = 0$

2 x^{4} = 162

x^{4} = 81

Jedyną dodatnią liczbą, która spełnia to równanie, jest $x = \sqrt[4]{81} = 3$ , co wynika z definicji pierwiastka. Zauważmy, że jeżeli wykładnik $k$ potęgi $x^{k}$ jest parzysty, to $x^{k} = {(- x)}^{k}$ , co oznacza, że jeśli liczba $3$ jest rozwiązaniem równania $x^{4} = 81$ , to również liczba $(- 3)$ jest rozwiązaniem tego równania, bo ${(- 3)}^{4} = 3^{4} = 81$ . Równanie ma zatem dwa rozwiązania $x = 3$ oraz $x = - 3$ .

$x^{6} + 64 = 0$ . Zauważmy, że to równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona tego równania jest sumą nieujemnej liczby $x^{6}$ oraz $64$ . Jest więc nie mniejsza niż $64$ dla dowolnej liczby $x$ . Nie może więc równać się $0$ .

Rozwiązanie równania

x^{n} = a

Twierdzenie: Rozwiązanie równania

x^{n} = a

Dla liczby naturalnej dodatniej $n$ , większej od $1$ , oraz liczby rzeczywistej $a \neq 0$ równanie $x^{n} = a$ ma

jedno rozwiązanie równe $x = \sqrt[n]{a}$ , gdy $n$ jest liczbą nieparzystą,
dwa rozwiązania równe $x = \sqrt[n]{a}$ oraz $x = - \sqrt[n]{a}$ , gdy $n$ jest liczbą parzystą oraz $a$ jest liczbą dodatnią,
zero rozwiązań, gdy $n$ jest liczbą parzystą oraz $a$ jest liczbą ujemną.

Przykład 2

Udowodnij, że równanie ${- x}^{4} - x^{2} - 5 = 0$ jest równaniem sprzecznym.

Zauważmy, że lewa strona równania jest sumą niedodatniej liczby $- x^{4}$ , niedodatniej liczby $- x^{2}$ oraz ujemnej liczby $(- 5)$ , więc jest liczbą ujemną. Nie może więc być równa $0$ .

Przejdziemy teraz do rozwiązywania równań, których jedna ze stron jest iloczynem wielomianów, a druga strona jest równa $0$ . Będziemy tu korzystać z faktu, że iloczyn jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy $0$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równania

$x (x - 4) (x + 2) = 0$ .

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeśli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero, czyli $x = 0$ lub $x - 4 = 0$ lub $x + 2 = 0$ . Stąd wynika, że równanie ma trzy rozwiązania $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$ oraz $x_{3} = - 2$ .

$(x^{2} - 16) (2 x^{2} + 9 x - 5) (x^{4} + 4) = 0$ .

W tym równaniu także lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa strona jest równa zero. Tak jak poprzednio wnioskujemy, że co najmniej jeden z czynników musi być równy zero, czyli $x^{2} - 16 = 0$ lub $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ lub $x^{4} + 4 = 0$ . Rozwiązujemy kolejno otrzymane równania.

$x^{2} - 16 = 0$ przekształcamy równoważnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, do równania

(x - 4) (x + 4) = 0

Stąd $x - 4 = 0$ lub $x + 4 = 0$ . Otrzymujemy więc dwa rozwiązania $x_{1} = 4$ oraz $x_{2} = - 4$ .

2 x^{2} + 9 x - 5 = 0

jest równaniem kwadratowym, którego $Δ = 121$ . Równanie to ma więc dwa rozwiązania

x_{1} = \frac{- 9 - 11}{4} = - 5

oraz

x_{2} = \frac{- 9 + 11}{4} = \frac{1}{2}

x^{4} + 4 = 0

zgodnie z podanym wcześniej twierdzeniem, nie ma rozwiązań.

Zatem rozpatrywane równanie ma cztery rozwiązania $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ , $x_{3} = - 5$ oraz $x_{4} = \frac{1}{2}$ .

Teraz pokażemy, jak niektóre równania doprowadzić do takiej postaci, jaką miały równania omawiane w poprzednim przykładzie.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$ .

Wyłączając $x$ przed nawias, otrzymujemy równanie

x (x^{2} + x - 6) = 0

którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Zatem co najmniej jeden z tych czynników jest równy zero, czyli $x = 0$ lub $x^{2} + x - 6 = 0$ . Rozwiązujemy drugie równanie.

Δ = 1^{2} - 4 \cdot (- 6) = 25

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3$ oraz $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ . Rozwiązywane równanie ma więc trzy rozwiązania $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 3$ oraz $x_{3} = 2$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0

Zauważmy, że lewą stronę możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, w następujący sposób

{(x^{2} - 4)}^{2} = 0

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy kolejno

{[(x - 2) (x + 2)]}^{2} = 0

{(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0

Stąd wnioskujemy, że ${(x - 2)}^{2} = 0$ lub ${(x + 2)}^{2} = 0$ , czyli $x - 2 = 0$ lub $x + 2 = 0$ .

Zatem $x = 2$ lub $x = - 2$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

x^{4} - x^{3} - 8 x + 8 = 0

Żeby rozwiązać to równanie, pogrupujemy wyrazy. W tym celu wyłączmy przed nawias $x^{3}$ z dwóch pierwszych wyrazów oraz $- 8$ z dwóch ostatnich. W ten sposób otrzymamy równanie równoważne

x^{3} (x - 1) - 8 (x - 1) = 0

w którym lewa strona jest różnicą dwóch iloczynów. W każdym z tych iloczynów występuje wspólny czynnik $(x - 1)$ . Gdy wyłączymy go przed nawias, otrzymamy równanie

(x - 1) (x^{3} - 8) = 0

W ten sposób otrzymaliśmy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Stąd otrzymujemy $x_{1} - 1 = 0$ lub $x^{3} - 8 = 0$ . Pierwsze równanie spełnia jedynie liczba $x_{1} = 1$ . Drugie równanie przekształcimy do postaci $x^{3} = 8$ . Jedyną liczbą, która spełnia to równanie, jest $x_{2} = \sqrt[3]{8} = 2$ .

Ostatecznie otrzymaliśmy dwa rozwiązania $x_{1} = 1$ oraz $x_{2} = 2$ rozwiązywanego równania.

RIcSRHuRh3P8811

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

x^{2} - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

3 x^{4} - 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

x^{3} - 3 x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

, 2.

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

, 3.

(x - 1)^{2} (x - 3)

, 4.

{(x + 1)}^{2} (x - 2)

, 5.

(x - 1) (x + 1)

, 6.

{(x - 1)}^{2} (x - 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RihB6Blznm0cd11

Ćwiczenie 2

Dane są wielomiany:

W (x) = x^{2} - 3 x

P (x) = x^{3} + 5 x^{2}

Q (x) = x^{4} + 3 x^{2}

R (x) = 5 x

.
Połącz w pary działania na wielomianach z odpowiadającymi im wynikami.

- x^{4} - 2 x^{2} - 3 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

x^{3} + 6 x^{2} - 3 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

5 x^{3} - 15 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

5 x^{4} + 25 x^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

x^{2} + 2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

W (x) + R (x)

, 2.

W (x) - Q (x)

, 3.

P (x) - Q (x)

, 4.

W (x) + P (x)

, 5.

P (x) \cdot R (x)

, 6.

W (x) \cdot R (x)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxsBtDjv2U9na11

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wielomian z jego stopniem.

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

3

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

4

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

5

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

9

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

8

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

7

Możliwe odpowiedzi: 1.

x {(x^{2} + 3)}^{3}

, 2.

2 (x + 2) (x - 3)

, 3.

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}

, 4.

(x^{2} + 5) {(x^{2} + 4)}^{3}

, 5.

x^{3} (x - 2) {(x - 3)}^{2}

, 6.

(x - 1) (x + 2) (x + 3)

, 7.

2 x {(x + 2)}^{3} (x + 5)

, 8.

{(2 x - 1)}^{8} (x + 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Dany jest wielomian $W (x) = x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ .

Korzystając ze wzoru, uzupełnij zdania, przeciągając w luki wartości odpowiadające danym argumentom lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

RGc0cTaXy0QCs

Dla

x = 1

wartość wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

. Dla

x = - 1

wartość wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

. Dla

x = 2

wartość wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

. Dla

x = - 2

wartość wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

. Dla

x = 0

wartość tego wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

. Dla

x = 5

wartość tego wielomianu wynosi 1.

- 23

, 2.

1900

, 3.

6

, 4.

- 26

, 5.

1300

, 6.

49

, 7.

48

, 8.

4

, 9.

1216

, 10.

1217

, 11.

1

, 12.

- 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXA8ivyPWWxTr1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAf5skJfnjXeW1

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RlXjMfuBAS91

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HbLSnVqe87r2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DguH69PVFJV2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri12I6UUroedd2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCHN9JEmlTynd2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk33emzr3Rsu92

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UdBprsoiLb22

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RbrEu8xfSKdUw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 x^{3} - 432 = 0$ .
Przekształcając równanie równoważnie, otrzymujemy $2 x^{3} = 432$ , $x^{3} = 216$ . Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest liczba $x = \sqrt[3]{216} = 6$ .
$\frac{5 x^{3}}{2} + 160 = 0$
$5 x^{3} + 320 = 0$ , $x^{3} = - 64$ . Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest $x = \sqrt[3]{- 64} = - 4$ .

Ćwiczenie 15

RYpNcu4FtSJlg

Rozwiąż równanie. Przenieś prawidłowe liczby w odpowiednie pola, liczby wstawiaj w kolejności malejącej.

3 x^{4} - 48 = 0

Odpowiedź:

x =

- 3

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

3

, 4.

- \sqrt{5}

, 5.

- \sqrt{2}

, 6.

\sqrt{5}

, 7.

- 2

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10. brak rozwiązań, 11.

\sqrt{3}

, 12.

2

, 13.

- \sqrt{3}

oraz

x =

- 3

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

3

, 4.

- \sqrt{5}

, 5.

- \sqrt{2}

, 6.

\sqrt{5}

, 7.

- 2

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10. brak rozwiązań, 11.

\sqrt{3}

, 12.

2

, 13.

- \sqrt{3}

x^{6} - 27 = 0

Odpowiedź:

x =

- 3

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

3

, 4.

- \sqrt{5}

, 5.

- \sqrt{2}

, 6.

\sqrt{5}

, 7.

- 2

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10. brak rozwiązań, 11.

\sqrt{3}

, 12.

2

, 13.

- \sqrt{3}

oraz

x =

- 3

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

3

, 4.

- \sqrt{5}

, 5.

- \sqrt{2}

, 6.

\sqrt{5}

, 7.

- 2

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10. brak rozwiązań, 11.

\sqrt{3}

, 12.

2

, 13.

- \sqrt{3}

5 x^{8} + 20 = 0

Odpowiedź:

x =

- 3

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

3

, 4.

- \sqrt{5}

, 5.

- \sqrt{2}

, 6.

\sqrt{5}

, 7.

- 2

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10. brak rozwiązań, 11.

\sqrt{3}

, 12.

2

, 13.

- \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równanie możemy zapisać w postaci
$3 x^{4} = 48$ , $x^{4} = 16$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = \sqrt[4]{16} = 2$ oraz $x_{2} = - \sqrt[4]{16} = - 2$ .
$x^{6} - 27 = 0$ , $x^{6} = 27$ .
Istnieją dwie liczby spełniające to równanie $x_{1} = \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt{3}$ oraz $x_{2} = - \sqrt{3}$ .
Przekształcamy równanie $5 x^{8} + 20 = 0$ kolejno do postaci
$5 x^{8} = - 20$ , $x^{8} = - 4$ . Równanie to jest sprzeczne.

Ćwiczenie 16

R6ZcWldo2ltyE

Rozwiąż równanie, a następnie przeciągnij i upuść rozwiązania tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania

{7 x}^{2} {(x + 3)}^{2} (3 x - 1) = 0

są liczby 1.

x_{1} = 0

x_{2} = - 3

x_{3} = \frac{1}{3}

, 2.

x_{1} = 0

x_{2} = - 2

x_{3} = \frac{1}{5}

, 3.

x_{1} = \frac{3}{4}

x_{2} = - \frac{3}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{5}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 4.

x_{1} = \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{2}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{4}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 5.

x = - \frac{1}{3}

, 6.

x = - \frac{1}{2}

.
2. Rozwiązaniem równania

(4 x^{2} + 4 x + 1) (x^{2} + 10) = 0

jest liczba 1.

x_{1} = 0

x_{2} = - 3

x_{3} = \frac{1}{3}

, 2.

x_{1} = 0

x_{2} = - 2

x_{3} = \frac{1}{5}

, 3.

x_{1} = \frac{3}{4}

x_{2} = - \frac{3}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{5}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 4.

x_{1} = \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{2}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{4}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 5.

x = - \frac{1}{3}

, 6.

x = - \frac{1}{2}

.
3. Rozwiązaniem równania

(16 x^{2} - 9) (25 x^{4} - 1) = 0

są liczby 1.

x_{1} = 0

x_{2} = - 3

x_{3} = \frac{1}{3}

, 2.

x_{1} = 0

x_{2} = - 2

x_{3} = \frac{1}{5}

, 3.

x_{1} = \frac{3}{4}

x_{2} = - \frac{3}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{5}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 4.

x_{1} = \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{2}{4}

x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{4}

x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 5.

x = - \frac{1}{3}

, 6.

x = - \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest równa zero, to przynajmniej jeden z czynników tego wielomianu jest równy zero. Mamy więc $x^{2} = 0$ lub ${(x + 3)}^{2} = 0$ lub $3 x - 1 = 0$ . Zatem kolejno otrzymujemy $x = 0$ , $x = - 3$ lub $x = \frac{1}{3}$ .
Ponownie lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Ponieważ przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero, więc $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ lub $x^{2} + 10 = 0$ . Pierwsze z tych równań możemy zapisać za pomocą wzoru na kwadrat sumy w postaci ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ , stąd otrzymujemy $2 x + 1 = 0$ i ostatecznie $x = - \frac{1}{2}$ . Drugie równanie przekształcamy do równania $x^{2} = - 10$ i zauważamy, że jest to równanie sprzeczne. Ostatecznie jedynym rozwiązaniem jest liczba $x = - \frac{1}{2}$ .
$(16 x^{2} - 9) (25 x^{4} - 1) = 0$ , czyli $16 x^{2} - 9 = 0$ lub $25 x^{4} - 1 = 0$ . Pierwsze równanie przekształcamy do równania $x^{2} = \frac{9}{16}$ , które ma dwa rozwiązania $x = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ lub $x = - \frac{3}{4}$ . Drugie równanie przekształcamy do równania $x^{4} = \frac{1}{25}$ , które ma dwa rozwiązania $x = \sqrt[4]{\frac{1}{25}} = \sqrt[4]{\frac{1}{5^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Ćwiczenie 17

R1L24pbDlys6V

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników stopnia pierwszego, a prawa jest równa zero. Żeby iloczyn równał się zero, to $x - 3 = 0$ lub $3 x + m = 0 .$ Zatem $x = 3$ lub $x = - \frac{m}{3}$ . Ponieważ równanie ma mieć tylko jedno rozwiązanie, więc $- \frac{m}{3} = 3$ , stąd $m = - 9$ .

Ćwiczenie 18

RNmzZjt9yKgPP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, więc $x^{4} - 16 = 0$ lub $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ . Pierwsze równanie zapisujemy w postaci $x^{4} = 16$ . To równanie ma dwa rozwiązania $x = \sqrt[4]{16} = 2$ oraz $x = - 2$ . Drugie równanie jest równaniem kwadratowym, którego $Δ = 9 + 4 \cdot 10 = 49 > 0$ . Zatem równanie to ma dwa rozwiązania $x = \frac{- 3 - 7}{2} = - 5$ lub $x = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ . Ostatecznie równanie zapisane w zadaniu ma trzy rozwiązania $x = 2$ , $x = - 2$ lub $x = - 5$ .

Ćwiczenie 19

RG6Rh84YJybF9

Rozwiąż równanie, a następnie przeciągnij i upuść rozwiązania tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania

x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0

są liczby 1.

x = 0

x = 3

lub

x = - \frac{1}{3}

, 2.

x = 0

lub

x = 4

, 3.

x = 0

x = 1

lub

x = - \frac{1}{2}

, 4.

x = 1

, 5.

x = 0

, 6.

x = 2

lub

x = 6

.
2. Rozwiązaniem równania

2 x^{3} - x^{2} - x = 0

są liczby 1.

x = 0

x = 3

lub

x = - \frac{1}{3}

, 2.

x = 0

lub

x = 4

, 3.

x = 0

x = 1

lub

x = - \frac{1}{2}

, 4.

x = 1

, 5.

x = 0

, 6.

x = 2

lub

x = 6

.
3. Rozwiązaniem równania

x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} = 0

jest liczba 1.

x = 0

x = 3

lub

x = - \frac{1}{3}

, 2.

x = 0

lub

x = 4

, 3.

x = 0

x = 1

lub

x = - \frac{1}{2}

, 4.

x = 1

, 5.

x = 0

, 6.

x = 2

lub

x = 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyłączamy przed nawias wyrażenie $x^{2}$ i otrzymujemy $x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$ . Ponieważ lewa strona równania jest zapisana w postaci iloczynu, a prawa jest równa zero, równanie możemy zapisać w postaci dwóch warunków $x^{2} = 0$ lub $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ . Pierwszy warunek jest spełniony dla $x = 0$ , drugi możemy zapisać w postaci równoważnej, korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy ${(x - 4)}^{2} = 0$ , co z kolei jest równoważne postaci $x - 4 = 0$ , stąd $x = 4$ . Równanie ma więc dwa rozwiązania $x_{1} = 0$ oraz $x_{2} = 4$ .
W równaniu $2 x^{3} - x^{2} - x = 0$ wyłączamy przed nawias $x$ i otrzymujemy $x (2 x^{2} - x - 1) = 0$ , co możemy zapisać w postaci dwóch warunków $x = 0$ lub $2 x^{2} - x - 1 = 0$ . Dla drugiego równania obliczamy $Δ = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$ . Ponieważ delta jest większa od zera, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania $x = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}$ oraz $x = \frac{1 + 3}{4} = 1$ . Równanie ma więc trzy rozwiązania $x = 0$ , $x = - \frac{1}{2}$ lub $x = 1$ .
W równaniu $x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} = 0$ wyłączamy przed nawias $x^{2}$ i otrzymujemy $x^{2} (x^{2} - 5 x + 7) = 0$ . Ponieważ lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, to równanie jest równoważne dwóm równaniom $x^{2} = 0$ lub $x^{2} - 5 x + 7 = 0$ . Z pierwszego mamy $x = 0$ , zaś drugie jest równaniem kwadratowym, które rozwiązujemy, obliczając

Δ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 7 = 25 - 28 < 0

Ponieważ $Δ < 0$ równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ćwiczenie 20

RvxsZujZLVHoY

Rozwiąż równanie, a następnie przeciągnij i upuść rozwiązania tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania

x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0

są liczby 1.

x = - 6

lub

x = 1

, 2.

x = 5

x = 3

lub

x = - 2

, 3.

x = - 2

x = 1

lub

x = - 1

, 4.

x = - \frac{4}{5}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 5.

x = 3

x = 2

lub

x = - 2

, 6.

x = - \frac{4}{3}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 7.

x = - 4

x = 1

lub

x = - 2

, 8.

x = - 6

lub

x = 0

.
2. Rozwiązaniem równania

x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} + 6 x = 0

są liczby 1.

x = - 6

lub

x = 1

, 2.

x = 5

x = 3

lub

x = - 2

, 3.

x = - 2

x = 1

lub

x = - 1

, 4.

x = - \frac{4}{5}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 5.

x = 3

x = 2

lub

x = - 2

, 6.

x = - \frac{4}{3}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 7.

x = - 4

x = 1

lub

x = - 2

, 8.

x = - 6

lub

x = 0

.
3. Rozwiązaniem równania

3 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 8 = 0

są liczby 1.

x = - 6

lub

x = 1

, 2.

x = 5

x = 3

lub

x = - 2

, 3.

x = - 2

x = 1

lub

x = - 1

, 4.

x = - \frac{4}{5}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 5.

x = 3

x = 2

lub

x = - 2

, 6.

x = - \frac{4}{3}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 7.

x = - 4

x = 1

lub

x = - 2

, 8.

x = - 6

lub

x = 0

.
4. Rozwiązaniem równania

x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0

są liczby 1.

x = - 6

lub

x = 1

, 2.

x = 5

x = 3

lub

x = - 2

, 3.

x = - 2

x = 1

lub

x = - 1

, 4.

x = - \frac{4}{5}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 5.

x = 3

x = 2

lub

x = - 2

, 6.

x = - \frac{4}{3}

x = \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{2}

, 7.

x = - 4

x = 1

lub

x = - 2

, 8.

x = - 6

lub

x = 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^{2}$ , a z dwóch ostatnich $(- 1)$ i otrzymujemy równanie $x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$ . W obu składnikach występuje wyrażenie $x + 2$ , możemy więc wyłączyć je przed nawias $(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$ . Wyrażenie $x^{2} - 1$ zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $(x + 2) (x - 1) (x + 1) = 0$ . Ponieważ równanie to jest zapisane w postaci iloczynu, który jest równy zero, więc możemy je zapisać równoważnie jako trzy równania $x + 2 = 0$ lub $x - 1 = 0$ lub $x + 1 = 0$ . Ostatecznie otrzymaliśmy trzy rozwiązania $x = - 2$ , $x = 1$ lub $x = - 1$ .
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^{3}$ , a z dwóch następnych $x$ i otrzymujemy równanie $x^{3} (x + 6) + x (x + 6) = 0$ . W obu składnikach występuje czynnik $x + 6$ , wyłączamy go przed nawias i otrzymujemy iloczyn równy zero $(x + 6) (x^{3} + x) = 0$ . Po wyłączeniu z drugiego czynnika $x$ mamy $(x + 6) x (x^{2} + 1) = 0$ , stąd $x + 6 = 0$ lub $x = 0$ lub $x^{2} + 1 = 0$ . Pierwsze równanie ma rozwiązanie $x = - 6$ , trzecie jest równaniem sprzecznym. Ostatecznie wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania $x = - 6$ lub $x = 0$ .
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^{2}$ , a z dwóch kolejnych $(- 2)$ i otrzymujemy równanie $x^{2} (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$ . Wspólnym czynnikiem jest $3 x + 4$ , zatem $(3 x + 4) (x^{2} - 2) = 0$ . Wyrażenie w drugim nawiasie zapisujemy, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $(3 x + 4) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) = 0$ , stąd $3 x + 4 = 0$ lub $x - \sqrt{2} = 0$ lub $x + \sqrt{2} = 0$ . Otrzymaliśmy trzy rozwiązania $x = - \frac{4}{3}$ , $x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$ .
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy $x^{2}$ , a z dwóch następnych $(- 4)$ i otrzymujemy równanie $x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$ . Po wyłączeniu wspólnego czynnika $x - 3$ mamy $(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$ . Drugi czynnik zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $(x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0$ i otrzymujemy trzy rozwiązania równania $x = 3$ , $x = 2$ lub $x = - 2$ .

Ćwiczenie 21

Uzasadnij, że iloczyn pierwiastków równania $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ jest dodatni.

R1S0fKZDzqH18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyłączamy przed nawias z dwóch pierwszych składników sumy wyrażenie $x^{2}$ , natomiast z dwóch ostatnich $- 9$ . Otrzymujemy równanie
$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$ . W obu iloczynach występuje czynnik $x + 2$ , wyłączamy go przed nawias i równanie zapisujemy w postaci $(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$ . Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przekształcamy je do postaci $(x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0$ . Skoro iloczyn jest równy zero, więc przynajmniej jeden z czynników jest zerem, zatem $x + 2 = 0$ lub $x - 3 = 0$ lub $x + 3 = 0$ . Rozwiązaniem równania są więc liczby $x = - 2$ , $x = 3$ oraz $x = - 3$ . Dwa obliczone pierwiastki są ujemne i jeden dodatni, czyli ich iloczyn jest liczbą dodatnią.

Ćwiczenie 22

Uzasadnij, że suma rozwiązań równania $x^{50} + x^{2} = 50 x^{48} + 50$ jest liczbą całkowitą.

RPRX10jRJCXsa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równanie jest równoważne równaniu $x^{50} + x^{2} - 50 x^{48} - 50 = 0$ . Z pierwszych dwóch składników wyłączamy przed nawias $x^{2}$ , a z dwóch kolejnych $(- 50)$ i otrzymujemy $x^{2} (x^{48} + 1) - 50 (x^{48} + 1) = 0$ . Po wyłączeniu wyrażenia $x^{48} + 1$ otrzymujemy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch składników, a prawa strona jest równa zero $(x^{48} + 1) (x^{2} - 50) = 0$ , stąd $x^{48} + 1 = 0$ lub $x^{2} - 50 = 0$ . Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ $x^{48} \geq 0$ , czyli $x^{48} \neq - 1$ . Drugie równanie ma dwa rozwiązania $x = \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 25} = 5 \sqrt{2}$ lub $x = - 5 \sqrt{2}$ . Zatem suma rozwiązań równania wynosi $5 \sqrt{2} + (- 5 \sqrt{2}) = 0$ , jest więc liczbą całkowitą.

Ćwiczenie 23

RxrShGgJczhWR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapiszmy wielomian $V (x)$ w postaci iloczynu. W tym celu z pierwszych dwóch składników wyłączamy przed nawias $x^{3}$ , a z dwóch kolejnych $(- 2)$ . Otrzymujemy wówczas

V (x) = x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 = x^{3} (x^{2} - 4) - 2 (x^{2} - 4)

Wspólnym czynnikiem jest $x^{2} - 4$ , który wyłączamy przed nawias i wówczas mamy

V (x) = (x^{2} - 4) (x^{3} - 2) = W (x) \cdot (x^{3} - 2)

Zatem wielomian $W (x)$ trzeba pomnożyć przez wielomian $P (x) = x^{3} - 2$ .

Ćwiczenie 24

Udowodnij, że jeżeli liczba $2$ jest rozwiązaniem równania ${(x - 2)}^{2} (x + 7) - x (x^{2} - a x + a) = 0$ , to równanie to nie ma więcej rozwiązań.

RYvIi8cnY00uE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od podstawienia pod zmienną liczby $2$ i wyznaczenia parametru $a$ . Podstaw otrzymany parametr do wielomianu i sprawdź ile rozwiązań będzie miało otrzymane równanie.

Skoro liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania, więc

{(2 - 2)}^{2} (2 + 7) - 2 (2^{2} - 2 a + a) = 0

Pierwszy składnik sumy jest równy $0$ , więc równanie sprowadza się do postaci $4 - a = 0$ , stąd $a = 4$ .

Równanie ma więc postać ${(x - 2)}^{2} (x + 7) - x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$ . Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, przekształcamy je do postaci ${(x - 2)}^{2} (x + 7) - x {(x - 2)}^{2} = 0$ , a następnie wyłączamy wspólny czynnik ${(x - 2)}^{2}$ przed nawias i otrzymujemy ${(x - 2)}^{2} (x + 7 - x) = 0$ , a ostatecznie $7 {(x - 2)}^{2} = 0$ . Jest to równanie, którego jedynym rozwiązaniem jest liczba $2$ .