Tożsamości trygonometryczne - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale poznasz kilka tożsamości trygonometrycznych. Zapoznaj się z nim przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - zadaniaDVQDRFeu4Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - zadania.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym (przy oznaczeniach takich jak na rysunku)

a^{2} + b^{2} = c^{2}

R1GKEBauDYgyy1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta ostrego, leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości $a$ . Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym mamy

\sin α = \frac{a}{c}

\cos α = \frac{b}{c}

Wówczas:

{(\sin α)}^{2} + {(\cos α)}^{2} = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym wynika, że wartość $tg α$ możemy wyrazić za pomocą $\sin α$ i $\cos α$ .

\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = tg α

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Twierdzenie: 1

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwe są równości

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

\frac{\sin α}{\cos α} = tg α

Powyższe zależności określają związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego.