Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II

Wskazówki na tarczy zegara pokazują godzinę ${12}^{00}$. Obliczmy, za ile minut obie wskazówki zegara utworzą kąt $90°$:

1. po raz pierwszy,

2. po raz drugi.

Ruch po okręgu opisujemy za pomocą prędkości kątowej. Dla zegara prawidłowo odmierzającego czas prędkość wskazówki godzinowej to $30$ stopni na godzinę ($\frac{30°}{\mathrm{h}}$), a wskazówki minutowej to $360$ stopni na godzinę ($\frac{360°}{\mathrm{h}}$).

Oznaczmy przez $x$ czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz pierwszy od godziny $12^{00}$ utworzyły kąt $90°$. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o $90°$ większy niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową.

Wobec tego:

A zatem po raz pierwszy wskazówki utworzą kąt $90°$ po upływie $16\frac{4}{11}$ minut.

RnsSu7gS0pihb1

Ilustracja przedstawia okrągły zegar z trzema wskazówkami. Najkrótsza i najgrubsza wskazówka godzinowa wskazuje godzinę dwunastą. Wskazówka minutowa, która jest dłuższa od godzinowej wskazuje szesnaście minut. Najcieńsza wskazówka sekundowa wskazuje dwadzieścia jeden sekund. Podsumowując zegar na ilustracji wskazuje godzinę dwunastą szesnaście i dwadzieścia jeden sekund.

Oznaczmy przez $y$ czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz drugi od godziny $12^{00}$ utworzyły kąt $90°$. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o $270°$ większy, niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

Stąd wniosek, że wskazówki po raz drugi utworzą kąt $90°$ po upływie $49\frac{1}{11}$ minuty.

RbN5NroqNIHlY1

Ilustracja przedstawia okrągły zegar z trzema wskazówkami. Najkrótsza i najgrubsza wskazówka przekroczyła godzinę dwunastą i zbliża się do wskazania godziny pierwszej. Wskazówka minutowa, która jest dłuższa od godzinowej wskazuje czterdzieści dziewięć minut. Najcieńsza wskazówka sekundowa wskazuje pięć sekund. Podsumowując zegar na ilustracji wskazuje godzinę dwunastą czterdzieści dziewięć i pięć sekund.

Na szkolną akademię z okazji Święta Niepodległości przyszło $520$ uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie $164$ krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było $7$ razy więcej niż pozostałych. Ustalimy, ile krzeseł było zajętych.

Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to $\frac{7}{8}\cdot 520$, czyli $455$ osób.

Oznaczmy przez $x$ liczbę zajętych krzeseł, a przez $y$ – liczbę zajętych ławek.

Wówczas

skąd

Wobec tego $x=67$, czyli podczas akademii było zajętych $67$ krzeseł.

Dwie maszyny tłoczą detale tego samego typu. W poniedziałek pierwsza maszyna pracowała $10$ godzin, a druga $8$ godzin i razem maszyny wyprodukowały $1940$ detali. We wtorek pierwsza maszyna pracowała $3$ godziny, a druga $5$ godzin i razem wyprodukowały $894$ takie detale. Ustalimy, ile godzin potrzebuje oddzielnie każda z maszyn, aby wyprodukować $5880$ detali.

Oznaczmy:

$x$ – liczba detali produkowanych przez pierwszą maszynę w ciągu godziny,

$y$ – liczba detali produkowanych przez drugą maszynę w ciągu godziny.

Otrzymujemy układ równań

Zatem

skąd

Czyli

Stąd wniosek, że pierwsza maszyna wykona $5880$ detali w ciągu $60$ godzin, a druga – w ciągu $49$ godzin.

RcB3RzGnHLp921

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RcB3RzGnHLp92

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

W pierwszym naczyniu znajduje się dwudziestoprocentowy roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli o stężeniu $15\%$. Do trzeciego, początkowo pustego naczynia, przelano pewną ilość pierwszego roztworu, po czym dolano taką ilość roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu otrzymano roztwór o stężeniu $18\%$. W ten sposób do trzeciego naczynia przelano z pierwszego o $k\%$ więcej roztworu niż z drugiego naczynia.

Obliczymy $k$.

Opis wszystkich wielkości ujętych w zadaniu zaprezentowano w poniższej tabeli.

Rozwiązujemy równanie

Stąd $x=\frac{3}{2}y$, a zatem $x=150\%y=y+50\%y$, co znaczy, że $k=50$.

RmfqbNDTsjYYS1

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RmfqbNDTsjYYS

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Ala spytała starszą koleżankę Olę: „Ile masz lat, Olu?”. Ola odpowiedziała: „Gdy ty będziesz w moim wieku, mój ojciec będzie od ciebie $3$ razy starszy. Gdy ja byłam w twoim wieku, mieliśmy razem z moim ojcem $52$ lata, a twój wiek stanowił dwie trzecie mojego.” Obliczymy, ile lat ma Ola.

Oznaczmy:

$y$ – aktualny wiek Ali,

$x$ – aktualny wiek Oli.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

Zauważmy, że $y-\frac{2}{3}y=x-y$, czyli $x=\frac{4}{3}y$.

Ponownie wypełniamy tabelkę.

Mamy w tabelce komórkę z równaniem $52-y=\frac{10}{3}y$, skąd $y=12$. To znaczy, że $x=16$, czyli Ola ma $16$ lat.

Znajdziemy wszystkie liczby czterocyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o $1269$.

Oznaczmy:

$x$ – cyfra jedności szukanej liczby czterocyfrowej,

$y$ – liczba trzycyfrowa, która powstaje po skreśleniu ostatniej cyfry szukanej liczby czterocyfrowej.

Wtedy liczba czterocyfrowa to $10y+x$.

Zapisujemy równanie

skąd

Zauważmy, że:

• liczba $x$ może przyjmować jedną z wartości: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$,

• liczba $1269-x$ jest podzielna przez $9$.
  Ponieważ $1269=9·141$, zatem $x=0$ lub $x=9$,

• $x=0$, $y=141$, szukana liczba czterocyfrowa $1410$,

• $x=9$, $y=140$, szukana liczba czterocyfrowa $1409$.

Ustalimy, ile jest liczb trzycyfrowych, które mają następującą własność: jeżeli pomiędzy cyfrę jedności a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy liczbę o $35$ mniejszą od danej liczby trzycyfrowej.

Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy następujące oznaczenia:

$x$ – cyfra jedności,

$y$ – liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy dana liczba trzycyfrowa to $10y+x$, a iloczyn, o którym mowa w treści zadania, to $y\cdot x$.

Otrzymujemy równanie

skąd

Jeżeli teraz od obu stron równania odejmiemy $10$, to lewą stronę będziemy mogli zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych.

Ponieważ liczba $y$ jest dwucyfrowa, to liczba $y-1$ jest dodatnia, a skoro iloczyn $\left(y-1\right)\left(10-x\right)$ jest równy $25$, to liczba $10-x$ jest również dodatnia. Obie liczby $y-1$ i $10-x$ są zatem całkowitymi i dodatnimi dzielnikami liczby $25$.

Zauważmy, że liczba $x$ może przyjmować jedną z wartości: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.
Liczba $10-x$ jest dzielnikiem liczby $25$ w dwóch przypadkach:

1. $x=5$, wtedy $10-x=5$ oraz $y-1=\frac{25}{5}=5$,

2. $x=9$, wtedy $10-x=1$ oraz $y-1=25$.

W pierwszym przypadku liczba $y$ nie jest dwucyfrowa ($y=6$), czyli warunki zadania nie są spełnione.

W drugim przypadku $y=26$, skąd wniosek, że jedyną liczbą trzycyfrową o zadanych własnościach jest $269$.