Przykłady zależności opisanych proporcjonalnością prostą

W tym materiale zaprezentowane są przykłady zależności opisanych proporcjonalnością prostą. Zapoznaj się z nimi przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiałach Wielkości wprost proporcjonalneDbqAeHEQAWielkości wprost proporcjonalne oraz Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalneDvOsPUlJTWielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne.

Przykład 1

Zależność między długością $d$ przekątnej kwadratu a długością $x$ jego boku jest określona wzorem

d (x) = x \sqrt{2}

RWRYLFCeZeRBo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest $\sqrt{2}$ .

Przykład 2

Zależność między wysokością $h$ trójkąta równobocznego a długością $a$ jego boku jest określona wzorem:

h (a) = \frac{a \sqrt{3}}{2}

R3r3UcyZ9BtyV1

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 3

Zależność między obwodem $L$ koła a promieniem tego koła jest określona wzorem:

L (r) = 2 π r

R16pwlF9uzVGJ1

Zależność ta to proporcjonalność prosta a współczynnikiem tej proporcjonalności jest $2 π$ .

Funkcja liniowa
Przejdźmy teraz do funkcji opisanych tym samym wzorem co proporcjonalność prosta, a więc $f (x) = a x$ , ale określonych dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . O liczbie $a$ nie będziemy już zakładać, że musi być dodatnia. Zastanówmy się, jak wygląda wykres takiej funkcji.

Wykres funkcji

f (x) = a x

Twierdzenie: Wykres funkcji

f (x) = a x

Wykresem funkcji $f (x) = a x$ , gdzie $a$ to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu $y = a x$ .

Wykres funkcji $f (x) = a x$ , gdzie $x \in ℝ$ to prosta, która przechodzi przez każdy z punktów postaci $(x, a \cdot x)$ .

W praktyce do jej narysowania wystarczy zaznaczyć punkt $(0, 0)$ i odpowiednio dobrany inny punkt $(x, a \cdot x)$ .

Przykład 4

Wykresem funkcji
$f (x) = 2 x$
jest prosta przechodząca przez punkty $(0, 0)$ i $(1, 2)$ . Wykres ten jest zbiorem punktów $(x, y)$ , których współrzędne spełniają równanie $y = 2 x$ , czyli punktów leżących na prostej opisanej równaniem $y = 2 x$ .

Wykresem funkcji
$f (x) = - 3 x$
jest prosta opisana równaniem $y = - 3 x$ , przechodząca przez punkty $(0, 0)$ i $(1, - 3)$ .

Wykresem funkcji
$f (x) = \frac{5}{4} x$
jest prosta opisana równaniem $y = \frac{5}{4} x$ , przechodząca przez punkty $(0, 0)$ i $(4, 5)$ .

Wykresem funkcji
$f (x) = - 1, 4 \cdot x$
jest prosta opisana równaniem $y = - 1, 4 \cdot x$ , przechodząca przez punkty $(0, 0)$ i $(5, - 7)$ .

Polecenie 1

Wykonaj polecenia zawarte w aplecie.

RNlAceitjbTYr11

Zapoznaj się z opisem apletu.

Aplet przedstawia wykresy różnych proporcjonalności prostych danych wzorem ogólnym $f (x) = a x$ , gdzie $a$ jest pewnym współczynnikiem, który możemy wybrać. Wykres każdej proporcjonalności prostej jest prostą, która przechodzi przez punkt $(0, 0)$ i ma współczynnik kierunkowy $a$ . Wybierając różne współczynniki $a$ możemy analizować różne proporcjonalności proste. Rozważmy dwa przypadki:

Niech $a = 3$ , wówczas proporcjonalność prosta wyraża się wzorem $f (x) = 3 x$ . Oznacza to, że każdemu argumentowi przyporządkowana jest wartość trzykrotnie od niego większa. Do wykresu tej proporcjonalności należą zatem punkty $(1, 3)$ , $(2, 6)$ , $(- 2, - 6)$ .
Niech $a = - 4$ , wówczas proporcjonalność prosta wyraża się wzorem $f (x) = - 4 x$ . Oznacza to, że każdemu argumentowi przyporządkowana jest wartość tego argumentu pomnożona przez $- 4$ . Do wykresu tej proporcjonalności należą zatem punkty $(1, - 4)$ , $(2, - 8)$ , $(- 2, 8)$ .

W dalszej części będziemy zajmować się funkcjami określonymi wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a$ , $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.
Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji $f (x) = a x$ o $b$ jednostek wzdłuż osi $Y$ otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem

g (x) = f (x) + b

a więc

g (x) = a x + b

Zatem wykresem funkcji $g$ jest prosta równoległa do prostej o równaniu

y = a x

Przykład 5

Wykresem funkcji
$f (x) = - 2 x - 3$
jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y = - 2 x$ i przechodząca przez punkt $(0, - 3)$ , czyli prosta o równaniu
$y = - 2 x - 3$ .
R1RLgzHVMHvLS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykresem funkcji
$f (x) = - 3 x + 4$
jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y = - 3 x$ i przechodząca przez punkt $(0, 4)$ , czyli prosta o równaniu
$y = - 3 x + 4$ .
RKYeJrVDFeQUo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykresem funkcji
$f (x) = \frac{4}{5} x + 2$
jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y = \frac{4}{5} x$ i przechodząca przez punkt $(0, 2)$ , czyli prosta o równaniu
$y = \frac{4}{5} x + 2$ .
R12XqhIHBXLwG1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykresem funkcji
$f (x) = - 1, 4 \cdot x - 1$
jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y = - 1, 4 \cdot x$ i przechodząca przez punkt $(0, - 1)$ , czyli prosta o równaniu
$y = - 1, 4 \cdot x - 1$ .
RevSbHuzGPRqO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.