Przykłady przesunięcia punktów w układzie współrzędnym

W tym materiale zawarte są przykłady dotyczące przesunięcia punktów w układzie współrzędnych. Materiał ten jest dobrym wstępem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z tej tematyki: Przesunięcie wykresu funkcji o wektor - zadaniaDj3uK8XxLPrzesunięcie wykresu funkcji o wektor - zadania.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczmy punkt $A = (1, 1)$ . W wyniku przesunięcia tego punktu o $3$ jednostki wzdłuż osi $X$ i o $5$ jednostek wzdłuż osi $Y$ , otrzymujemy punkt

B = (4, 6)

Stosując pojęcie wektora, powiemy, że po przesunięciu punktu $A$ o wektor $[3, 5]$ , otrzymamy punkt

B = (4, 6)

Po przesunięciu punktu $A = (x, y)$ o $p$ jednostek wzdłuż osi $X$ i o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$ , otrzymujemy punkt

B = (x + p, y + q)

Stosując pojęcie wektora, po przesunięciu punktu $A$ o wektor $[p, q]$ , otrzymamy punkt

B = (x + p, y + q)

RfFpKUFZ61Nds1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R1Pwx4SRUsuEj1

Przykład 3

Rozpatrzmy trójkąt $A B C$ o wierzchołkach:

A = (- 3, 7)

B = (2, 4)

C = (- 1, - 1)

W wyniku przesunięcia trójkąta $A B C$ o $3$ jednostki wzdłuż osi $X$ i o $(- 7)$ jednostek wzdłuż osi $Y$ , otrzymujemy trójkąt $A_{1} B_{1} C_{1}$ o wierzchołkach:

A_{1} = (0, 0)

B_{1} = (5, - 3)

C_{1} = (2, - 8)

Obrazem trójkąta $A B C$ w przesunięciu o wektor $[3, - 7]$ jest trójkąt $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

R1Dz9jzocCfDm1

Polecenie 1

Wykonaj zadanie zawarte w poniższym aplecie.

RGvaNiD97tMeA1

RTlaeYYGrn61B

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

W równoległoboku $A B C D$ dane są wierzchołki:

A = (- 3, - 1)

B = (- 1, 4)

C = (5, 5)

Chcemy znaleźć współrzędne punktu $D$ . Z własności równoległoboku wiemy, że odcinki $A D$ i $B C$ są równe i równoległe. Zatem jeżeli obrazem punktu $B$ będzie punkt $C$ w pewnym przesunięciu, to w tym samym przesunięciu obrazem punktu $A$ będzie punkt $D$ .

Przesuwając punkt $B$ o $6$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$ i o $1$ jednostkę w górę wzdłuż osi $Y$ , otrzymujemy punkt $C$ . Aby otrzymać punkt $D$ , należy w podobny sposób przesunąć punkt $A$ . Stąd $D = (- 3 + 6, - 1 + 1) = (3, 0)$ .

Uwaga:
Współrzędne punktu $D$ można również obliczyć, korzystając z tego, że punkt przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ jest środkiem każdej z nich.

W wyniku przesunięcia punktu $A = (x_{A}, y_{A})$ o $x_{B} - x_{A}$ jednostek wzdłuż osi $X$ i o $y_{B} - y_{A}$ jednostek wzdłuż osi $Y$ otrzymujemy punkt $B = (x_{B}, y_{B})$ .