Definicja logarytmu. Własności logarytmu

Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty, dla których

1. funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=2^x$ przyjmuje wartość $32$,

2. funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=3^x$ przyjmuje wartość $\frac{1}{9}$,

3. funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=4^x$ przyjmuje wartość $-16$,

4. funkcja wykładnicza $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ przyjmuje wartość $5$,

5. funkcja wykładnicza $f\left(x\right)={\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ przyjmuje wartość $1$.

Rozwiązanie.

1. Ponieważ $2^5=32$, więc $2^x=32$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=5$.

2. Ponieważ $3^{-2}=\frac{1}{9}$, więc $3^x=\frac{1}{9}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=-2$.

3. Funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=4^x$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje taki argument $x$, dla którego $4^x=-16$.

4. Ponieważ ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}=5$, więc ${\left(\frac{1}{5}\right)}^x=5$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=-1$.

5. Ponieważ ${\left(\frac{3}{4}\right)}^0=1$, więc ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$.

Argument $x$, dla którego funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=2^x$ przyjmuje wartość $9$, jest rozwiązaniem równania $2^x=9$. Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że $x$ jest liczbą z przedziału $\left(3,4\right)$.

Argument ten oznaczamy symbolicznie

a zapis ${\log }_{2}9$ czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm przy podstawie dwa z dziewięciu”.

Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość

Uwaga. Liczba ${\log }_{2}9$ nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite $p$ i $q$, dla których prawdziwa jest równość
${\log }_{2}9=\frac{p}{q}$, to prawdą byłoby również, że $2^{\frac{p}{q}}=9$, stąd $2^p=9^q$. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą parzystą (jako iloczyn $p$ dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn $q$ dziewiątek).

Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą $a$, różną od $1$. Przyjmujemy, że argument $b$, dla którego funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=a^x$ przyjmuje wartość $c$, to

Ponieważ funkcja wykładnicza $f$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określamy tylko dla dodatniej liczby $c$.

Logarytmem ${\log }_{a}c$ dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ nazywamy wykładnik $b$ potęgi, do której należy podnieść $a$, aby otrzymać $c$.

${\log }_{a}c=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^b=c$.

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

1. ${\log }_{2}4$

2. ${\log }_{3}81$

3. $\log 1000000$

4. ${\log }_{123}1$

5. ${\log }_{17}17$

Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że ${\log }_a{a}^c=c$. Korzystając z tego spostrzeżenia, mamy:

1. ${\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2$,

2. ${\log }_{3}81={\log }_3{3}^4=4$,

3. $\log 1000000=\log 10^6=6$,

4. ${\log }_{123}1={\log }_{123}123^0=0$,

5. ${\log }_{17}17={\log }_{17}17^1=1$.

Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od $1$ liczby rzeczywistej $a$

oraz

Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.

1. ${\log }_6\frac{1}{6}$

2. ${\log }_2\frac{1}{8}$

3. ${\log }_3\frac{1}{9}$

4. ${\log }_5\mathrm{0,2}$

5. $\log \mathrm{0,00001}$

Rozwiązanie.

1. Ponieważ $\frac{1}{6}=6^{-1}$, więc ${\log }_6\frac{1}{6}={\log }_6{6}^{-1}=-1$.

2. Ponieważ $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3}$, więc ${\log }_2\frac{1}{8}= {\log }_2{2}^{-3}=-3$.

3. Ponieważ $\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$, więc ${\log }_3\frac{1}{9}= {\log }_3{3}^{-2}=-2$.

4. Ponieważ $\mathrm{0,2}=\frac{1}{5}=5^{-1}$, więc ${\log }_5\mathrm{0,2}= {\log }_5{5}^{-1}=-1$.

5. Ponieważ $\mathrm{0,00001}=\frac{1}{100 000}=\frac{1}{10^5}=10^{-5}$, więc $\log \mathrm{0,00001}=\log 10^{-5}=-5$.

Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.

1. ${\log }_{\frac{1}{7}}\frac{1}{49}$

2. ${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{8}{27}$

3. ${\log }_{\frac{4}{5}}\frac{5}{4}$

4. ${\log }_{\frac{5}{2}}\mathrm{0,16}$

Rozwiązanie.

1. Ponieważ $\frac{1}{49}={\left(\frac{1}{7}\right)}^2$, więc ${\log }_{\frac{1}{7}}\frac{1}{49}={\log }_{\frac{1}{7}}{\left(\frac{1}{7}\right)}^2=2$.

2. Ponieważ $\frac{8}{27}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3$, więc ${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{8}{27}={\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=3$.

3. Ponieważ ${\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}=\frac{4}{5}$, więc ${\log }_{\frac{4}{5}}\frac{5}{4}={\log }_{\frac{4}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}=-1$.

4. Ponieważ $\mathrm{0,16}=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-2}$, więc ${\log }_{\frac{5}{2}}\mathrm{0,16}={\log }_{\frac{5}{2}}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-2}=-2$.

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

1. ${\log }_2\sqrt{2}$

2. $\log \sqrt[3]{10}$

3. ${\log }_{9}3$

4. ${\log }_{8}2$

Rozwiązanie.

1. Ponieważ $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$, więc ${\log }_2\sqrt{2}={\log }_2{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

2. Ponieważ $\sqrt[3]{10}=10^{\frac{1}{3}}$, więc $\log \sqrt[3]{10}=\log 10^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

3. Ponieważ $9=3^2$, więc $3=9^{\frac{1}{2}}$, co oznacza, że ${\log }_{9}3={\log }_9{9}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

4. Ponieważ $2^3=8$, więc $2=8^{\frac{1}{3}}$, co oznacza, że ${\log }_{8}2={\log }_8{8}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

Rozwiążemy równanie

1. $3^x=5$

2. $2^x=\frac{9}{11}$

3. $7^x=\frac{1}{4}$

4. $10^x=2$

Korzystamy z definicji logarytmu.

1. Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f\left(x\right)=3}^x$ przyjmuje wartość $5$, to $x={\log }_{3}5$.

2. Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f\left(x\right)=2}^x$ przyjmuje wartość $\frac{9}{11}$, to $x= {\log }_2\frac{9}{11}$.

3. Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f\left(x\right)=7}^x$ przyjmuje wartość $\frac{1}{4}$, to $x={\log }_7\frac{1}{4}$.

4. Argument, dla którego funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=10^x$ przyjmuje wartość $2$, to $x=\log 2$.

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

1. $2^{{\log }_{2}3}$

2. $7^{{\log }_{7}11}$

3. $1000^{\log 2}$

4. ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{5}6}$

W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ prawdziwa jest równość $a^{{\log }_{a}c}=c$. Wobec tego

1. $2^{{\log }_{2}3}=3$

2. $7^{{\log }_{7}11}=11$

3. $1000^{\log 2}={\left(10^3\right)}^{\log 2}=10^{3\log 2}={\left(10^{\log 2}\right)}^3=2^3=8$

4. ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{5}6}={\left(5^{-1}\right)}^{{\log }_{5}6}=5^{-{\log }_{5}6}={\left(5^{{\log }_{5}6}\right)}^{-1}=6^{-1}=\frac{1}{6}$

Wyznaczymy wszystkie liczby $x$, dla których określone jest wyrażenie

1. ${\log }_3\left(x-5\right)$

2. ${\log }_2\left(2x+7\right)$

3. ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(3x-x^2\right)$

4. $\log \frac{x^2+2}{x-2}$

Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od $1$, jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich. Wobec tego

1. wyrażenie ${\log }_3\left(x-5\right)$ jest określone tylko dla tych $x$, które spełniają nierówność $x-5>0$, czyli dla $x>5$.

2. wyrażenie ${\log }_2\left(2x+7\right)$ jest określone tylko dla tych $x$, które spełniają nierówność $2x+7>0$, czyli dla $x>-\frac{7}{2}$.

3. wyrażenie ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(3x-x^2\right)$ jest określone tylko dla tych $x$, które spełniają nierówność $3x-x^2>0$. Zatem $x^2-3x<0$, $x\left(x-3\right)<0$. Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdzamy, że $x\in \left(0,3\right)$.

4. wyrażenie $\log \frac{x^2+2}{x-2}$ jest określone tylko dla tych $x$, które spełniają nierówność $\frac{x^2+2}{x-2}>0$. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie $x^2+2$ jest dodatnie, więc nierówność $\frac{x^2+2}{x-2}>0$ jest równoważna nierówności $x-2>0$. Zatem wyrażenie $\log \frac{x^2+2}{x-2}$ jest określone wyłącznie dla $x>2$.

Wyznaczymy wszystkie liczby $x$, dla których wyrażenie ${\log }_{x}9$ ma wartość $2$.

Podstawa $x$ logarytmu zapisanego po lewej stronie równania ${\log }_{x}9=2$ musi być liczbą dodatnią i różną od $1$.

Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że ${\log }_{x}9=2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x^2=9$.

Wobec tego $x=3$ lub $x=-3$.

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza, że jedyną liczbą, dla której wyrażenie ${\log }_{x}9$ ma wartość $2$, jest $x=3$.