Pojęcie logarytmu

Rozpatrzmy funkcję wykładniczą fx=ax, gdzie a jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, różną od 1.

Jak wiemy, funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział 0,+. Ponadto dla ustalonej dodatniej wartości y istnieje dokładnie jeden argument x, taki że ax=y.

Rdl1LGp8gmFUk1
Animacja przedstawia wykres funkcji rosnącej f(x) =2 po potęgi x leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczono zależności: 2 do potęgi x =4 gdy x =2
Przykład 1

Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty, dla których

  1. funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 32,

  2. funkcja wykładnicza fx=3x przyjmuje wartość 19,

  3. funkcja wykładnicza fx=4x przyjmuje wartość -16,

  4. funkcja wykładnicza fx=15x przyjmuje wartość 5,

  5. funkcja wykładnicza fx=34x przyjmuje wartość 1.

Rozwiązanie.

  1. Ponieważ 25=32, więc 2x=32 wtedy i tylko wtedy, gdy x=5.

  2. Ponieważ 3-2=19, więc 3x=19 wtedy i tylko wtedy, gdy x=-2.

  3. Funkcja wykładnicza fx=4x przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje taki argument x, dla którego 4x=-16.

  4. Ponieważ 15-1=5, więc 15x=5 wtedy i tylko wtedy, gdy x=-1.

  5. Ponieważ 340=1, więc 34x=1 wtedy i tylko wtedy, gdy x=0.

Przykład 2

Argument x, dla którego funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 9, jest rozwiązaniem równania 2x=9. Z wykresu funkcji f odczytujemy, że x jest liczbą z przedziału 3,4.

Argument ten oznaczamy symbolicznie

x=log29,

a zapis log29 czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm przy podstawie dwa z dziewięciu”.

Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość

2log29=9.

Uwaga. Liczba log29 nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite pq, dla których prawdziwa jest równość
log29=pq, to prawdą byłoby również, że 2pq=9, stąd 2p=9q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą parzystą (jako iloczyn p dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn q dziewiątek).

Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą a, różną od 1. Przyjmujemy, że argument b, dla którego funkcja wykładnicza fx=ax przyjmuje wartość c, to

b=logac.

Ponieważ funkcja wykładnicza f przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określamy tylko dla dodatniej liczby c.

Logarytm
Definicja: Logarytm

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.

logac=b wtedy i tylko wtedy, gdy ab=c.

Zapamiętaj!

Z definicji wynika

logaac=c oraz alogac=c

Liczbę c w zapisie logac nazywamy liczbą logarytmowaną.

Logarytm log10x można też zapisać jako logx. Taki logarytm nazywamy logarytmem dziesiętnym.

RBnchan3DdziN1
Animacja przedstawia funkcję wykładniczą f(x) =2 do potęgi x. Korzystając z wykresu tej funkcji możemy wyznaczyć argumenty, dla których wartość funkcji jest równa: 2 do potęgi x =2 gdy x =1
Przykład 3

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. log24

  2. log381

  3. log1000000

  4. log1231

  5. log1717

Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że logaac=c. Korzystając z tego spostrzeżenia, mamy:

  1. log24=log222=2,

  2. log381=log334=4,

  3. log1000000=log106=6,

  4. log1231=log1231230=0,

  5. log1717=log17171=1.

Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a

loga1=logaa0=0

oraz

logaa=logaa1=1.
Przykład 4

Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.

  1. log616

  2. log218

  3. log319

  4. log50,2

  5. log0,00001

Rozwiązanie.

  1. Ponieważ 16=6-1, więc log616=log66-1=-1.

  2. Ponieważ 18=123=2-3, więc log218= log22-3=-3.

  3. Ponieważ 19=132=3-2, więc log319= log33-2=-2.

  4. Ponieważ 0,2=15=5-1, więc log50,2= log55-1=-1.

  5. Ponieważ 0,00001=1100 000=1105=10-5, więc log0,00001=log 10-5=-5.

Przykład 5

Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.

  1. log17149

  2. log23827

  3. log4554

  4. log520,16

Rozwiązanie.

  1. Ponieważ 149=172, więc log17149=log17172=2.

  2. Ponieważ 827=233, więc log23827=log23233=3.

  3. Ponieważ 54-1=45, więc log4554=log4545-1=-1.

  4. Ponieważ 0,16=16100=425=252=52-2, więc log520,16=log5252-2=-2.

Przykład 6

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. log22

  2. log103

  3. log93

  4. log82

Rozwiązanie.

  1. Ponieważ 2=212, więc log22=log2212=12.

  2. Ponieważ 103=1013, więc log103=log1013=13.

  3. Ponieważ 9=32, więc 3=912, co oznacza, że log93=log9912=12.

  4. Ponieważ 23=8, więc 2=813, co oznacza, że log82=log8813=13.

Własności logarytmu

Przykład 7

Rozwiążemy równanie

  1. 3x=5

  2. 2x=911

  3. 7x=14

  4. 10x=2

Korzystamy z definicji logarytmu.

  1. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=3x przyjmuje wartość 5, to x=log35.

  2. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 911, to x= log2911.

  3. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=7x przyjmuje wartość 14, to x=log714.

  4. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=10x przyjmuje wartość 2, to x=log2.

Przykład 8

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. 2log23

  2. 7log711

  3. 1000log2

  4. 15log56

W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a prawdziwa jest równość alogac=c. Wobec tego

  1. 2log23=3

  2. 7log711=11

  3. 1000log2=103log2=103log2=10log 23=23=8

  4. 15log56=5-1log56=5-log56=5log56-1=6-1=16

Przykład 9

Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie

  1. log3x-5

  2. log22x+7

  3. log153x-x2

  4. logx2+2x-2

Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od 1, jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich. Wobec tego

  1. wyrażenie log3x-5 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność x-5>0, czyli dla x>5.

  2. wyrażenie log22x+7 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność 2x+7>0, czyli dla x>-72.

  3. wyrażenie log153x-x2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność 3x-x2>0. Zatem x2-3x<0, xx-3<0. Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdzamy, że x0,3.

  4. wyrażenie logx2+2x-2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność x2+2x-2>0. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie x2+2 jest dodatnie, więc nierówność x2+2x-2>0 jest równoważna nierówności x-2>0. Zatem wyrażenie logx2+2x-2 jest określone wyłącznie dla x>2.

Przykład 10

Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logx9 ma wartość 2.

Podstawa x logarytmu zapisanego po lewej stronie równania logx9=2 musi być liczbą dodatnią i różną od 1.

Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że logx9=2 wtedy i tylko wtedy, gdy x2=9.

Wobec tego x=3 lub x=-3.

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza, że jedyną liczbą, dla której wyrażenie logx9 ma wartość 2, jest x=3.

R1Xwph2N2iKWf2
Ćwiczenie 1
Dane są liczby a= log28, b=log39, c=log10. Które z poniższych zależności są prawdziwe? Zaznacz poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. a<b, 2. b > c , 3. a = b + c , 4. a + b + c > 10
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ro3RQi6jIOBdd2
Ćwiczenie 2
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba log 5 125 jest o  100 większa od liczby log 5 25 ., 2. Suma liczb log 3 9 log 3 1 9 jest równa 0 ., 3. Liczby log 2 1 16 log1216 są równe., 4. Liczba log1000000 jest 3 razy większa od liczby log 100 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R62V0S9SWuOIU2
Ćwiczenie 3
Które z podanych wyrażeń są określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej x? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. log 2 3 x - 1 , 2. log 5 3 100 - x , 3. log 1 2 x + 2 , 4. log x 2 - x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZ7aHSM9mMuqR1
Ćwiczenie 4
Funkcja wykładnicza określona jest wzorem fx=5x. Zaznacz prawidłowy wniosek. Możliwe odpowiedzi: 1. f x = 2 dla x = log 2 5 , 2. f x = 3 dla x = log 5 5 3 , 3. f x = 7 dla x = log 5 7 , 4. f x = 10 dla x = log 5 2 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RuI3oAmMq3DQR2
Ćwiczenie 5
Które z podanych liczb są całkowite? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. log 2 0,125 , 2. log 5 20 , 3. 9 log 3 2 , 4. 1 0 log  1 10
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGQ1Kr6ARJ89o1
Ćwiczenie 6
Dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza określona wzorem fx=4x przyjmuje wartość 12? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. x = log 4 12 , 2. x = 3 , 3. x = log 4 3 , 4. x = log 12 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8NBA5kWnA05r1
Ćwiczenie 7
Suma log1 000+log71 jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. 101 , 2. 7 , 3. 4 , 4. 3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RJD0bluXapHwg1
Ćwiczenie 8
Liczba t jest równa log26. Która z poniższych odpowiedzi przedstawia równoważną postać tego równania? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. t = 3 , 2. 2 t = 6 , 3. t = 2 6 , 4. t = 6 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rr3hv0ET5w58e1
Ćwiczenie 9
Ile jest równa różnica log1525-log3181? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 6 , 2. 2 , 3. 2 , 4. 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LoDbUFMwZSp1
Ćwiczenie 10
Zaznacz warunek dla którego określone jest wyrażenie log133-x. Możliwe odpowiedzi: 1. x < 3 , 2. x < - 3 , 3. x > 3 , 4. x > - 3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R57cecGEW4lkQ1
Ćwiczenie 11
Dane są liczby a=log1212, b=log124, c=log1218, d=log1216. Który z tych liczb jest największa? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. a , 2. b , 3. c , 4. d
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OBB90KXjvrm1
Ćwiczenie 12
Zaznacz liczbę, która jest rozwiązaniem równania log9x=12. Możliwe odpowiedzi: 1. x = 3 , 2. x = 2 9 , 3. x = 4,5 , 4. x = 1 512
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoFcJ6JUVPig11
Ćwiczenie 13
Zaznacz liczbę równą log3238. Możliwe odpowiedzi: 1. 4 , 2. 6 , 3. 3 4 , 4. 3 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7Q7I22oTINh13
Ćwiczenie 14
Zapisz każdą z podanych liczb, nie używając logarytmu. log636=Tu uzupełnij log7343=Tu uzupełnij log121=Tu uzupełnij log2727=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 15

Rozwiąż poniższe równania.

  • 2x=5

  • 3x=10

  • 7x=2

  • 10x=99

RBNNsoZiPIbRl
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLpdwplJ4uZXT3
Ćwiczenie 16
Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. 3log35= Tu uzupełnij 2log211= Tu uzupełnij 5log54= Tu uzupełnij 10log7= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1UgakmyI6MlB3
Ćwiczenie 17
Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. log80,125= Tu uzupełnij log4164= Tu uzupełnij log31243= Tu uzupełnij log21128= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh6QIY1fSRm9r3
Ćwiczenie 18
Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. log155= Tu uzupełnij log1981= Tu uzupełnij log1211024= Tu uzupełnij log3223= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rph7DiKurcKWx3
Ćwiczenie 19
Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. log4256-log1000= Tu uzupełnij 17log17117-32log2132= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTJtkWDVJs0Om3
Ćwiczenie 20
Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu, a następnie uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. 9log38= Tu uzupełnij 100log11= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 21

Wyznacz wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie.

  1. log7-4x

  2. log21x+3

  3. log3x2-4

  4. logx2-x

RDB69UW3DwP6x
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 22

Wyznacz wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logxx-310 ma wartość 1.

R1S6begkHS4Pq
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 23

Wykaż, że 5log164+7log255=6.

RgEMM923MVYsL
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 24

Wykaż, że 41+log25=100.

RstHX5Zwqi3vX
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 25

Wykaż, że log55+log663+log774=1112.

RdE5jOig6cQmX
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 26

Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek log3a=log5b=log7c=4. Wykaż, że abc=11025.

RjBzD2rrV1kYv
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 27

Dane są liczby a=log23 oraz b=log49. Wykaż, że liczby ab są równe.

RbXDhqDEUlGds
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 28

Dane są liczby a=log57, b=log7 oraz c=log5. Wykaż, że ca=b.

R8pCHGEupbGZI
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 29

Rozstrzygnij, czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite pq, dla których zachodzi równość log35=pq.

R1X7NC0vXadV1
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.