Matematyka jest nauką, która stanowi istotne wsparcie dla innych dziedzin, zwłaszcza dla nauk przyrodniczych i informatycznych. Nauczanie matematyki w szkole opiera się na trzech fundamentach: nauce rozumowania matematycznego, kształceniu sprawności rachunkowej i przekazywaniu wiedzy o właściwościach obiektów matematycznych.
Rozumowanie matematyczne to umiejętność poszukiwania rozwiązania danego zagadnienia. Dobrze kształcona rozwija zdolność myślenia konstruktywnego, premiuje postępowanie nieschematyczne i twórcze. Ponadto rozumowanie matematyczne narzuca pewien rygor ścisłości: dowód matematyczny musi być poprawny. Dobre opanowanie umiejętności rozumowania matematycznego ułatwia w życiu codziennym odróżnianie prawdy od fałszu.
Sprawność rachunkowa jest niezwykle ważnym elementem nauczania matematyki, nawet obecnie, kiedy wiele rachunków wykonuje się za pomocą sprzętu elektronicznego. Ważnym celem ćwiczenia sprawności rachunkowej jest kształtowanie wyobrażenia o wielkościach liczb, a w konsekwencji doskonalenie umiejętności precyzyjnego szacowania wyników. Takie wyobrażenie ułatwia codzienne życie, na przykład planowanie budżetu domowego.
Wiedza o właściwościach obiektów matematycznych pozwala na swobodne operowanie nimi i stosowanie obiektów matematycznych do opisu bądź modelowania zjawisk obserwowanych w rzeczywistości. Właściwości matematyczne modeli przekładają się często na konkretne właściwości obiektów rzeczywistych.
I.
Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
2.
Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
4.
Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
3.
Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
1)
wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2)
przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, nie trudniejsze niż:
a)
dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
b)
dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;
3)
stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
4)
stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay,, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay;
5)
stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: |x + 4| = 5, |x - 2| < 3, |x + 3| ≥ 4;
6)
stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
1)
stosuje wzory skróconego mnożenia: (a + b)3, (a-b)3, a3 - b3, an - bn;
2)
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3)
rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu W(x) = 2x3 - √3x2 + 4x - 2√3;
4)
znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
5)
dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x - a;
6)
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
7)
dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne w przypadkach nie trudniejszych niż: 
1)
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
2)
rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
3)
rozwiązuje równania wymierne postaci 
gdy wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
gdy wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
1)
stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
2)
rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci 
lub 
lub
1)
odczytuje i interpretuje wartości funkcji, określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
2)
wykorzystuje własności funkcji liniowej, kwadratowej i funkcji f(x) = a/x do rozwiązywania zadań, również w zastosowaniach praktycznych;
3)
posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
1)
oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
a)
b)
3)
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
4)
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny;
5)
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
6)
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
7)
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
1)
wykorzystuje definicję funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0○ do 180○;
2)
korzysta z wzorów sin2α + cos2α = 1, tgα = sin α / cos α;
3)
stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 
4)
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
1)
wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2)
rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (stosuje min. twierdzenie cosinusów), stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3)
stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
4)
stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
5)
przeprowadza dowody geometryczne.
1)
posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.);
2)
posługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2;
3)
oblicza odległość punktu od prostej;
4)
znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
5)
wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
1)
rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2)
posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3)
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4)
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
5)
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6)
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
7)
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
XI.
Kombinatoryka. Uczeń zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
1)
obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2;
2)
obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
1)
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2)
oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
3)
oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.
XIII.
Optymalizacja. Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Zastosowania logarytmów. Przy nauczaniu logarytmów warto podkreślić ich zastosowanie w wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych, których przebieg opisuje funkcja logarytmiczna. Procesy takie zachodzą, gdy w przedziale czasowym pewna wielkość zawsze rośnie (lub maleje) ze stałą krotnością. Poniższe przykładowe zadania ilustrują zastosowania logarytmu.
Z1. Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log A / A0, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0 = 10-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 25 kwietnia 2015 r. w Nepalu miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 7,8 w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia ziemi.
Z2. Chory przyjął dawkę 100 mg leku. Masę tego leku pozostałą w organizmie po czasie t określa zależność M(t) = a · bt. Po pięciu godzinach organizm usuwa 30% leku. Oblicz, ile leku pozostanie w organizmie chorego po upływie doby.
Przekształcenia równoważne. W trakcie rozwiązywania równań i nierówności należy zwracać uwagę, że obok metody przekształceń równoważnych można stosować metodę wnioskowania (metoda analizy starożytnych). Po wyznaczeniu potencjalnego zbioru rozwiązań następuje sprawdzenie, które z wyznaczonych wartości istotnie są rozwiązaniami. W wielu sytuacjach nie warto domagać się przekształceń równoważnych, gdy metoda wnioskowania prowadzi do szybkich rezultatów. Ponadto uczniowie powinni wiedzieć, że uprawnioną metodą dowodzenia jest równoważne przekształcanie tezy.
Zastosowania algebry. Warunkiem powodzenia procesu nauczania matematyki jest sprawne posługiwanie się wyrażeniami algebraicznymi. Metody algebraiczne często dają się stosować w sytuacjach geometrycznych i na odwrót - ilustracja geometryczna pozwala lepiej zrozumieć zagadnienia algebraiczne.
Ciągi. Zagadnienie to należy omawiać tak, by uczniowie zdali sobie sprawę, że poza ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi istnieją też inne. Podobnie należy podkreślić, że poza ciągami niemalejącymi, rosnącymi, nierosnącymi, malejącymi i stałymi istnieją też takie, które nie są monotoniczne. Warto zwrócić uwagę uczniów, że niektóre ciągi opisują dynamikę procesów występujących w przyrodzie bądź społeczeństwie. Przykładowo podany w dziale VI pkt 2 lit. a ciąg opisuje szybkość rozprzestrzeniania się plotki (liczba an podaje, ile osób o plotce słyszało). Podobny model może być użyty do opisu rozprzestrzeniania się epidemii.
Rachunek prawdopodobieństwa. Uczniowie w przyszłości będą mieli do czynienia z zagadnieniami powiązanymi z losowością, które występują w różnych dziedzinach życia i nauki, np. przy analizie sondaży, zagadnień z zakresu ekonomii i badaniach rynków finansowych lub w naukach przyrodniczych i społecznych. Warto wspomnieć o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa, które pokazują typowe błędy w rozumowaniu i omówić niektóre z nich. Warto też przeprowadzać z uczniami eksperymenty, np. eksperyment, w którym uczniowie zapisują długi ciąg orłów i reszek bez losowania, a następnie zapisują ciąg orłów i reszek powstały w wyniku losowych rzutów monetą. Błędne intuicje na temat losowości podpowiadają zwykle, że nie powinny pojawiać się długie sekwencje orłów (albo reszek), podczas gdy w rzeczywistości takie długie sekwencje orłów (lub reszek) występują. Omawianie wartości oczekiwanej nie wymaga wprowadzania pojęcia zmiennej losowej. Wskazane jest raczej posługiwanie się intuicyjnym rozumieniem wartości oczekiwanej zysku czy ustalanie liczby obiektów spełniających określone własności. W ten sposób uczeń ma możliwość dostrzeżenia związków prawdopodobieństwa z życiem codziennym, ma także szanse kształtowania umiejętności unikania zachowań ryzykownych, np. przy decyzjach finansowych.
Planimetria. Rozwiązywanie klasycznych problemów geometrycznych jest skutecznym sposobem kształtowania świadomości matematycznej. Uczniowie, którzy poznają sposoby konstruowania figur, nabywają przez to wprawy w rozwiązywaniu zadań geometrycznych różnego typu. Konstrukcje można przeprowadzać w sposób klasyczny, za pomocą linijki i cyrkla, można też używać specjalistycznych programów komputerowych takich jak np. GeoGebra.
Dowody. Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Poniżej znajduje się lista twierdzeń, których dowody powinien uczeń poznać._
2.
Niewymierność liczb: √2, log25 itp.
3.
Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
4.
Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów.
5.
Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x - a wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) - dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia.
6.
Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
a)
kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku;
b)
jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach.
8.
Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to |AD| · |BD| =|CD|2, |AC|2 = |AB| · |AD| oraz |BC|2 = |AB| · |BD|.
9.
Twierdzenie o dwusiecznej. Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i punkt D leży na boku AB, to 
10.
Wzór na pole trójkąta P = 1 / 2ab sin γ.
11.
Twierdzenie sinusów.
12.
Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.