1. Odczytywanie własności funkcji z wykresu

R7dxfklKEBb3B

Wykresy w wielu dziedzinach są nośnikami ważnych informacji: finansowych, giełdowych, statystycznych, medycznych. Wiemy, że jednym z powszechnie wykonywanych badań lekarskich jest elektrokardiogram. Wynik badania otrzymujemy w postaci wykresu funkcji napięcia elektrycznego, wytworzonego na skutek skurczu mięśnia sercowego, w zależności od czasu. Na podstawie takiego wykresu można odczytać prawidłową lub zaburzoną czynność serca.

R1T4F8Xmf1JYQ

Ilustracja przedstawia dwa odczyty czynności serca. Z lewej strony znajduje się prawidłowy odczyt rytmu serca, jest on okresowy, czyli powtarza się co jakiś okres. Po prawej stronie znajduje się odczyt zaburzonego rytmu serca, jest on nieregularny.

Umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu, jak widzimy powyżej, jest bardzo przydatna nie tylko z punktu widzenia umiejętności matematycznych. W tym temacie skupimy się na doskonaleniu umiejętności matematycznych w zakresie odczytywania własności funkcji z wykresu.

Twoje cele

Odczytasz z wykresu funkcji:
- jej dziedzinę,
- zbiór wartości,
- miejsca zerowe,
- argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
- argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
- maksymalne przedziały monotoniczności funkcji,
- różnowartościowość funkcji,
- najmniejszą/największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.
Naszkicujesz wykres funkcji spełniający podane własności.

Odczytywanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcjidziedzina funkcjiDziedzina funkcji takiej, że $y = f (x)$ to zbiór wszystkich argumentów $x$ , dla których funkcja jest określona. Dziedzinę funkcji $f$ oznaczamy przez $D$ lub $D_{f}$ .

RIO1di4qwizaX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 5 i pionową osią y od minus 3 do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment to ukośny odcinek zaczynający się w punkcie nawias minus sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończący się w punkcie nawias minus trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu. Na oś x naniesiono rzuty obu fragmentów wykresu, są to odcinki od minus sześciu do minus trzech i od minus dwóch do trzech.

Na rysunku powyżej mamy wykres funkcji $f$ . Jej dziedziną jest zbiór:

$D_{f} = ⟨- 6, - 3⟩ \cup ⟨- 2, 3⟩$ . Na rysunku został on zaznaczony na osi $X$ kolorem pomarańczowym.

Odczytywanie zbioru wartości funkcji

Z wykresu funkcji często można odczytać nie tylko wartość, jaką ta funkcja przyjmuje dla danego argumentu, ale także zbiór wszystkich liczb, które są wartościami tej funkcji.
Zbiór ten nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji $f : D \to Y$ to zbiór tych wszystkich $y \in Y$ , dla których istnieje taki argument $x \in D$ , że $f (x) = y$ . Zbiór wartości funkcji $f$ oznaczamy przez $f (D)$ lub $f (D_{f})$ albo po prostu $Z W_{f}$ .

R1LViyDleCpSG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie którego wartość y jest równa 6, a wartość x jest mniejsza niż 1. Oba punkty należące do tego fragmentu są zamalowane. Drugi fragment to ukośny odcinek rozpoczynający się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średni minus trzy, a kończy się w niezamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa. W układzie zaznaczono dodatkowo dwa zamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz dwa niezamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. W układzie liniami przerywanymi zaznaczono również cztery poziome proste o równaniach y=6, y=-1, y=-2 oraz y=-3.

Przy odczytywaniu zbioru wartości funkcji wygodnie jest poprowadzić odpowiednie proste poziome (równoległe do osi $X$ ). Zbiór wartości funkcji przedstawionej na rysunku został zaznaczony na osi $Y$ kolorem wrzosowym. Zapisujemy: $Z W_{f} = (- 3, - 2) \cup ⟨- 1, 6⟩$ .

Odczytywanie miejsc zerowych funkcji

RVkoyOw5fBf7s

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z trzech fragmentów. Pierwszy fragment jest ukośnym odcinkiem zaczynającym się w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik minus dwa i kończącym się w punkcie nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się również w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez środek układu współrzędnych. Trzeci fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu.

Miejsca zerowe funkcji odczytamy z wykresu. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osią $X$ – miejsca te zostały zaznaczone na rysunku kolorem czerwonym. Miejsca zerowe to argumenty, dla których $f (x) = 0$ , w tym przypadku mamy trzy miejsca zerowe, $x = - 4$ , $x = 0$ oraz $x = 4$ , dla tych argumentów $f (- 4) = 0$ , $f (0) = 0$ oraz $f (4) = 0$ .

Odczytywanie wartości dodatnich lub ujemnych funkcji

R5Q8Y1HgT5HFi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 5 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik jeden, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w puncie nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu biegnie po łuku do punktu nawias pięć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie po łuku do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

Wartości dodatnie funkcji odczytamy z części wykresu nad osią $X$ , która składa się z punktów o drugiej współrzędnej dodatniej, co oznacza, że nierówność $f (x) > 0$ zachodzi dla $x \in (1, 3)$ . Wartości nieujemne funkcji odczytamy, gdy $f (x) ⩾ 0$ a to zachodzi dla $x \in ⟨1, 3⟩ \cup \{8\}$ .

Wartości ujemne funkcji odczytamy z części wykresu poniżej osi $X$ , która składa się z punktów o drugiej współrzędnej ujemnej, co oznacza, że nierówność $f (x) < 0$ zachodzi dla $x \in (3, 8)$ . Wartości niedodatnie funkcji odczytamy wtedy, gdy $f (x) ⩽ 0$ a to zachodzi dla $x \in \{1\} \cup ⟨3, 8⟩$ .

Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji

Rn3Vh20V4OCv3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osią y od minus 2 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w niezamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus jeden, gdzie zmienia swój bieg i ukośnie do punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Znajdujemy na osi $X$ maksymalne przedziały monotoniczności funkcjifunkcje monotonicznemonotoniczności funkcji $f$ .

Na podanym wykresie funkcja jest:

malejąca w przedziale $(- 3, 2⟩$ ,

rosnąca w przedziale $⟨2, 4⟩$ ,

stałafunkcja stałastała w przedziale $⟨4, 6)$ .

Odczytywanie różnowartościowości funkcji

ReqUTr8I0Pmtz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 9 i pionową osią y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli przecinają oś x w punktach nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, drugi punkt ma współrzędne nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Na paraboli zaznaczono dwa punkty, pierwszy z nich ma współrzędne nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a drugi z nich ma współrzędne nawias pięć średnik trzy zamkniecie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono prostą o równaniu y=3, przechodzi ona przez punkty zaznaczone na paraboli. Z punktów tych liniami przerywanymi poprowadzono odcinki łączące je z osią x.

Funkcja nie jest różnowartościowa, bo istnieją dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Wystarczy, gdy narysujemy na przykład prostą $y = 3$ . Przecina ona wykres funkcji w punktach $(1, 3)$ i $(5, 3)$ . Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość równą $3$ dla $x = 1$ i $x = 5$ .

Odczytywanie najmniejszej lub największej wartości funkcji

R18ZkuAhinTyo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, krzywa ta biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Z W = ⟨- 3, 2⟩

Najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa $(- 3)$ . Jest ona przyjmowana np. dla $x = 2$ . Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najniżej na wykresie.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa $2$ . Jest ona przyjmowana dla $x = 4$ . Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najwyżej na wykresie.

RMx2j93qbIEfA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w środku układu współrzędnych.

Z W = ⟨0, \infty)

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨0, \infty)$ . Najmniejsza wartość funkcji $f$ równa $0$ jest przyjmowana dla $x = 0$ . Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości największej.

Inne własności funkcji

Na podstawie wykresu funkcji możemy podać argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość. Zwróć uwagę, że funkcja $f$ , której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_{1}$ i $x_{2}$ .

RoVQm9LIdaIMa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x pionową osią y . W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie odwróconej litery V. Przyjmując, że jedna kratka ma wartość jeden wierzchołek go wykresu znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono poziomą półprostą y, zaczynającą się od osi y, która znajduje się na wysokości jeden. Miejsca przecięcia się tej półprostej z wykresem f zrzucono na oś x, punkt znajdujący się bliżej osi y podpisano x1, a znajdujący się dalej od osi podpisano x2.

Zauważmy, że $f (x) > y$ dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ , natomiast $f (x) < y$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Odczytamy na podstawie wykresu funkcji $f$ jej własności.

R4mS5dgBaNXLd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartości $f (D) = ⟨1, \infty)$ ,

miejsca zerowe funkcji $x = 0$ oraz $x = 2$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (0, 2)$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, \infty)$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$ ,

funkcja ma wartość najmniejszą $y = - 1$ dla $x = 1$ , nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 2

Odczytamy z wykresu funkcji $f$ jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartości dodatnie oraz ujemne, najmniejszą wartość i największą wartość oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.

RNo7ni4DCHsgk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 6 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch części. Pierwsza z nich zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię tej paraboli rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik try zamknięcie nawiasu, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie którego wartość y jest równa minus pięć.

Rozwiązanie:

$D = ⟨- 4, 3)$ ,

$f (D) = (- 5, 4⟩$ ,

miejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $x = - 2$ oraz $x = 2$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 4, - 1)$ oraz $⟨- 1, 0⟩$ , malejąca w przedziale $⟨0, 3)$ ,

wartości dodatnie $f (x) > 0$ dla $x \in (- 2, 2)$ ,
wartości ujemne $f (x) < 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 2) \cup (2, 3)$ ,
funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max} = 4$ dla $x = 0$ .

Przykład 3

Odczytamy własności funkcji $f$ , której wykres przedstawiony jest na rysunku poniżej.

Rn5ItoRX0wXnm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 2 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, następnie przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu nawias zero średnik siedem zamknięcie nawiasu i następie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik zero, gdzie łagodnie przechodzi do czwartej ćwiartki układu tam zmienia swój bieg i przechodząc prze punkt nawias siedem średnik zero dociera do punktu nawias dziewięć średnik cztery, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w punkcie nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza układ współrzędnych w czwartej ćwiartce układu.

Rozwiązanie:

$D = ℝ$ ,
$f (D) = (- \infty, 7⟩$ ,
miejsca zerowe funkcji $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 1, 3, 7, 10\}$ ,
funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca w przedziałach $(- \infty, 0⟩$ oraz $⟨6, 9⟩$ , malejąca w przedziałach $⟨0, 6⟩$ oraz $⟨9, \infty)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (- 1, 3) \cup (7, 10)$ ,
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (3, 7) \cup (10, \infty)$ ,
funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max} = 7$ dla $x = 0$ ,
funkcja nie jest różnowartościowa.

Przykład 4

Z wykresu funkcji $f$ odczytamy jej miejsca zerowe, zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 0$ oraz nierówności $f (x) ⩽ 0$ .

Rozwiązanie:

RtlkFqbhDHqDY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden, następnie przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa dalej biegnie również po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 3)$ , $f (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 3, 6⟩$ ,

Rg5UN6d0SndCI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do zamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, - 1, 3, 5\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (3, 5)$ , $f (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 1, 3⟩ \cup \{- 3, 5\}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z dynamicznym wykresem funkcji (aplet własności funkcji). Zmieniając wielkość parametru $n$ na suwaku, możesz zmieniać elementy wykresu funkcji oraz zaznaczając odpowiednie pola dotyczące własności funkcji sprawdzać, czy poprawnie odczytujesz z wykresu własności wybranej funkcji.

RVVEZHQ7ULKTR

Polecenie 2

Na podstawie wykresu w aplecie dla $n = 3$ przeanalizuj przebieg wykresu funkcji i odczytaj z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności funkcji. Za dziedzinę funkcji przyjmij przedział $⟨- 8; 2⟩$ .

RpF3wwbfB1Da3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 9 do 4 i pionową osią y od minus 4 do siedem. W układzie zaznaczono wykres będący krzywą, która rozpoczyna w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu dalej biegnie on ukośnie do punktu nawias minus pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu, następnie dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie dalej ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Na osi x zaznaczono rzut tego wykresu, jest to obszar od minus osiem do dwa. Na oś y również zrzutowano wykres, jest to obszar od minus trzy do sześć.

$D_{f} = ⟨- 8, 2⟩$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 3, 6⟩$ ,

miejsca zerowe funkcji: $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\}$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 8, - 5⟩$ , oraz $⟨- 2, 2⟩$ , malejąca w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ .

Polecenie 3

Na podstawie wykresu w aplecie dla $n = 4$ przeanalizuj przebieg wykresu funkcji i odczytaj z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności funkcji. Za dziedzinę funkcji przyjmij przedział $⟨- 8, 5⟩$ .

R10Ri0zpVCS81

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 5 i pionową osią y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono wykres będący krzywą, która rozpoczyna w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus osim średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie on ukośnie do punktu nawias minus pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu, następnie dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie dalej ukośnie do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. Na osi x zaznaczono rzut tego wykresu, jest to obszar od minus dziewięć do pięć. Na oś y również zrzutowano wykres, jest to obszar od minus trzy do sześć.

$D_{f} = ⟨- 8, 5⟩$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 3, 6⟩$ ,

miejsca zerowe funkcji: $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\} \cup ⟨2, 5⟩$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 8, - 5⟩$ , oraz $⟨- 2, 2⟩$ , malejąca w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ , stała w przedziale $⟨2, 5⟩$ .

Poza podstawowymi własnościami funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartość największa/najmniejsza, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne) na podstawie wykresu funkcji możemy podać również argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

Funkcja $f$ , której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_{1}$ i $x_{2}$ .

RgllnKLXNbVbZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Ma on kształt odwróconej litery V o wierzchołku w punkcie nawias cztery średnik cztery. Jego lewe ramię przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramie przecina oś x w punkcie nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu. Na wysokości rzędnej równej jeden linią przerywaną zaznaczono poziomą półprostą podpisaną literą y. Z miejsc przecięcia się tej półprostej z wykresem poprowadzono pionowe odcinki do osi x. Pierwszy punkt zrzutowany na oś x podpisano x1, a drugi x2.

Nierówność $f (x) > y$ jest spełniona dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ , natomiast $f (x) < y$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} - 2 x + 4 & dla x \in (- \infty, 2) \\ x^{2} - 6 x + 8 & dla x \in ⟨2, 4) \\ 4 - x & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

R1LFVkv1gHldU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu aż do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik minus jeden i dalej biegnie po łuku do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias pięć średnik minus jeden i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu tej funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą.

Rozwiązanie:

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ℝ$ ,

miejsca zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji: $x = 2$ , $x = 4$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 2)$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$ ,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨3, 4⟩$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- \infty, 3⟩$ oraz dla $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani wartości największej.

Przykład 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 2 & dla x \in (- \infty, - 2) \\ |x| & dla x \in ⟨- 2, 4) \\ 3 & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

Odczytamy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 2$ i nierówności $f (x) \leq 2$ oraz dziedzinę funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą..

RIdnErozycHWR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

$f (x) > 2$ dla $x \in (2, \infty)$ ,

$f (x) \leq 2$ dla $x \in (- \infty, 2⟩$ ,

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ⟨ 0, 4)$ ,

miejsce zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji: $x = 0$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨0, 4)$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- 2, 0⟩$ ,

funkcja jest stałafunkcja stałastała dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ oraz $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja ma wartością najmniejszą $y = 0$ dla $x = 0$ , nie ma wartości największej.

Przykład 7

Dany jest wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 5 & dla x \in (- \infty, - 5) \\ |x| & dla x \in ⟨- 5, 3) \\ 1 & dla x \in ⟨3, \infty) \end{cases}$ .

R1HYvNP9215vs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus pięć średnik pięć zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązania równań: $f (x) = 3$ i $f (x) = 1$ oraz zbiory rozwiązań nierówności $f (x) > 3$ i $f (x) \leq 1$ .

Rozwiązanie:

$f (x) = 3$ dla $x = - 3$ ,

$f (x) = 1$ dla $x \in \{- 1, 1\} \cup ⟨3, \infty)$ ,

$f (x) > 3$ dla $x \in (- \infty, - 3)$ ,

$f (x) \leq 1$ dla $x \in ⟨- 1, 1⟩ \cup ⟨3, \infty)$ ,

Przykład 8

Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ .

RGWqjB9ZswBvd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus dwa i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik dw zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie przez punkt nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązanie równania:

a) $f (x) = 0$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 0$ ,

b) $f (x) = 2$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq 2$ ,

c) $f (x) = 3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \leq 3$ .

Rozwiązanie:

a) $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 1, 1, 4\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 4)$ ,

b) $f (x) = 2$ dla $x = 2$ , $f (x) \geq 2$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩ \cup \{2\}$ ,

c) $f (x) = 3$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ , $f (x) \leq 3$ dla $x \in ℝ$ .

Przykład 9

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = x^{3}$ i $g (x) = x$ .

R6hte66IWzLIV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Wykres funkcji f o kształcie funkcji trzeciego stopnia. Pojawia się on na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i biegnie dalej po łuku przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, gdzie występuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku do punk tu nawias jeden średnik jeden zamknięci nawiasu stamtąd biegnie ukośnie o wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Wykres funkcji g jest ukośną prostą, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresów:

a) rozwiązanie równania $x^{3} = x$ ,

b) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ ,

c) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

Rozwiązanie:

a) Rozwiązując równanie $x^{3} = x$ wystarczy zobaczyć na wykresie, w jakich punktach przecięły się wykresy funkcji $f$ i $g$ oraz podać pierwsze współrzędne tych punktów, więc $x \in \{- 1, 0, 1\}$ .

b) Ustalając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ obserwujemy, że wykres funkcji $f$ jest położony poniżej wykresu funkcji $g$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ .

c) Wyznaczając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ obserwujemy, dla jakich argumentów wykres funkcji $f$ jest położony powyżej wykresu funkcji $g$ i dołączamy te argumenty, dla których wartości funkcji $f$ i $g$ są równe, wystarczy podać dopełnienie zbioru rozwiązań z podpunktu b), stąd $x \in ⟨- 1, 0⟩ \cup ⟨1, \infty)$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podane zadanie. Sprawdź poprawność Twoich rozwiązań z rozwiązaniami przedstawionymi w animacji.

R130Vyg0eHf9Z

Polecenie 5

Na podstawie wykresu przedstawionego w animacji odczytaj z wykresu rozwiązanie równania: $f (x) = - 3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq - 3$ .

Rozwiązaniem równania $f (x) = - 3$ jest $x = 3$ .

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) \geq - 3$ jest przedział $⟨- 3, 5)$ .

Na podstawie wykresów funkcji możemy określić jej własności. Na przykład dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, znaki funkcji, jej różnowartościowość, itp. Można powiedzieć, że w ten sposób „czytamy” wykres funkcji. Równie ważną umiejętnością jest szkicowanie wykresu funkcji, który spełnia zadane własności.

Szkicowanie wykresu funkcji o zadanych własnościachSzkicowanie wykresu funkcji o zadanych własnościach odbywa się w trzech etapach:

I etap – wyznaczamy obszar, w którym znajduje się wykres funkcji. Aby to zrobić, potrzebna jest znajomość dziedziny i zbioru wartości funkcji;
II etap – zaznaczamy punkty charakterystyczne dla wykresu;
III etap – szkicujemy wykres funkcji, która spełnia pozostałe zadane własności.

Przykład 10

Naszkicujemy wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = ⟨- 1, 5)$ , $Z W_{f} = ⟨- 2, 4)$
$f (1) = - 2$ oraz $f (0) = - 1$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, 3)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨- 1, 1)$
funkcja jest stała w przedziale $⟨3, 5)$
funkcja ma jedno miejsce zerowe

Rozwiązanie

I etap

Przyjmijmy, że $D_{f} = ⟨- 1, 5)$ , $Z W_{f} = ⟨- 2, 4)$

R1OU8pG8SlNmr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 proste. Pierwsza z nich z to pozioma prosta narysowana ciągłą linią o równaniu y=-2, druga prosta również jest pozioma, namalowana została linią przerywaną i ma równaniu y=4. Trzecia prosta jest pionowa,została namalowana linią ciągłą i ma równanie x=-1,ostatnia prosta jest również pozioma, została namalowana linią przerywaną i ma równanie x=5. Na płaszczyźnie zaznaczono obszar pomiędzy prostymi, ma on kształt kwadratu.

Możemy narysować dodatkowe linie pomocnicze.

W przypadku, gdy koniec jednego przedziału jest otwarty, odpowiednio zaznaczamy linie przerywane.

Otrzymaliśmy obszar, w którym narysujemy wykres spełniający kolejne warunki.

II etap

Przyjmiemy, że $f (1) = - 2$ oraz $f (0) = - 1$

R17PvvktBU9dU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i dwa punkty. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Pierwszy z punktów jest zamalowany i ma współrzędne nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, drugi punkt również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

III etap

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, 3)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨- 1, 1)$
funkcja jest stała w przedziale $⟨3, 5)$
funkcja ma jedno miejsce zerowe

RjAiBiucQqOSw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i wykres fukcji y=fx. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z dwóch części, rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie, którego wartość x jest równa minus jeden, a wartość y znajduje się pomiędzy zero a minus jeden, dalej wykres biegnie po łuku przez zamalowany punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, aż do punktu, który również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi fragment wykresu rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Pytanie problemowe:

Czy istnieje tylko jedna funkcja spełniająca powyższe warunki?

Rozważmy wykres funkcji $y = g (x)$ . Przeanalizujmy, czy spełnia ona wszystkie zadane warunki dla funkcji $y = f (x)$ z etapów: I, II oraz III.

R1UMIykXKkIxA

Okazuje się, że obie funkcje $f$ i $g$ spełniają zadane warunki. Można zatem uznać, że istnieje nieskończenie wiele funkcji spełniających zadane warunki.

Przykład 11

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ spełniającej jednocześnie następujące warunki:

$D_{f} = ⟨- 4, 3⟩$ - I etap
$Z W_{f} = ⟨- 3, 3⟩$ - I etap
$f (- 2) = - 2$ - II etap
$f (x) < 0$ dla $x \in (- 3, 2)$ - III etap; stąd wyznaczamy miejsca zerowe funkcji.

Rozwiązanie

I i II etap

R1dw2i84qNDMy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki i punkt. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

Przechodzimy do trzeciego etapu:

RnX47Uhlri5mp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki, punkt i wykres funkcji y=fx. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres zaczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Na tym etapie wykres funkcji nie spełnia jeszcze warunku zadanej dziedziny i zbioru wartości. Jednak została uwzględniona wartość najmniejsza funkcji.

RiovfujrMjeAc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Powstał przykładowy wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej jednocześnie wszystkie zadane warunki.

Przykład 12

Narysujemy wykres funkcji, w przypadku której obszar położenia wykresu funkcji jest określony tylko przez zbiór wartości funkcji.

Niech funkcja $f$ spełnia następujące własności:

$Z W_{f} = ⟨1, 4⟩ \cup (5, 7⟩$ - I etap wyznaczania obszaru
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu $x = - 4$ - II etap: zaznaczenie punktu szczególnego - np. $(- 4, 1)$
$f (x) > 0$ dla $x \in< - 4, 2 > \cup (3, 5 ⟩$ - III etap: pozostałe własności

Rozwiązanie

RINkBTR0XSWLV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono cztery poziome proste i wykres funkcji y=fx. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y=7. Druga prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie y=5. Trzecia prosta jest również namalowana linią przerywaną i ma równanie y=4. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie y=1. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, druga część ma początek w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias pięć średnik siedem zamknięcie nawiasu.

W przypadku tej funkcji nasuwa się ciekawy wniosek dotyczący dziedziny funkcji. Nie jest ona bowiem podana w sposób oczywisty, jednak biorąc pod uwagę przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór wartości funkcji, można zauważyć, że warunek dotyczący zbioru argumentów, dla których $f (x) > 0$ , dotyczy również dziedziny funkcji.

Uwaga

Na rysunku linią przerywaną zaznaczona jest prosta y=4. Jednak liczba 4 należy do zbioru wartości funkcji. Zauważmy więc, że nie ważny jest sposób zaznaczania danego obszaru, ale ważny jest końcowy efekt, czyli sporządzony wykres.

Przykład 13

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ , która spełnia następująca warunki:

$D_{f} = (- 4, 4)$
$Z W_{f} = ⟨- 2, 5⟩$ - zaznaczamy obszar
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨2, 4)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, 1⟩$ - na wykresie zaznaczono kolorem fioletowym
wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$

Rozwiązanie

R1cglZiphcA2q

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono cztery proste i wykres funkcji y=fx. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y=5. Druga prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y=-2. Trzecia prosta jest pionowa i namalowana linią przerywaną, ma równanie x=-4. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie x=4. Wykres składa się z trzech niebieskich fragmentów i dwóch fioletowych fragmentów. Pierwsza niebieska część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Drugi niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawiasu minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu zamalowanego na fioletowo o współrzędnych nawis zero średnik pięć zamknięcie nawiasu. Trzeci niebieski fragment zaczyna się w punkcie zamalowanym na fioletowo o współrzędnych nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pierwszy fioletowy fragment zaczyna się zamalowanym punkcie nawias zero średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fioletowy fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Przy samodzielnej pracy można otrzymać inny wykres, ważne aby spełniał zadane własności.

Polecenie 6

Przeanalizuj infografikę, zwróć uwagę na wskazówki. Następnie wykonaj samodzielnie polecenia pod infografiką oraz przeanalizuj przykładowe rozwiązania.

R6sdQsi9k1J1d

Polecenie 7

Narysuj wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = (- 5, - 2) \cup (2, 5)$
$Z W_{f} = (- 1, 0⟩ \cup \{4\}$
$f (4) = 0$
funkcja rosnąca w $(4, 5)$
$f (x) < 0$ dla $x \in (4, 5)$
wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$

Przykładowy wykres:

RANKEFWEgHo8k

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono siedem prostych i wykres funkcji y=fx. Pierwsza prosta jest pozioma, namalowana linią ciągłą i ma równanie y=4. Druga prosta jest również pozioma ,namalowana linią ciągłą i ma równanie y=0. Trzecia prosta jest pozioma i namalowana linią przerywaną, ma równanie y=-1. Czwarta prosta jest pionowa, namalowana linią przerywaną i ma równanie x=-5. Piąta prosta jest pionowa i namalowana linią przerywaną jej równanie to: x=-2. Szósta prosta również jest pionowa i namalowana linią przerywaną a jej równanie to: x=2. Ostatmia prosta również jest pionowa i namalowana linią przerywaną a jej równanie to: x=5. Wykres składa się z czterech niebieskich fragmentów i dwóch fioletowych fragmentów. Pierwszy niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus piec średnik zero zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment jest zamalowanym punktem o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Trzeci niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias minus dwa średnik cztery. Czwarty niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik cztery. Pierwszy fioletowy fragment to zamalowany punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi fioletowy fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Porównaj swój wykres z powyższym. Co zauważyłeś/aś?

Polecenie 8

Narysuj wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = ⟨- 4, 4⟩$
$Z W_{f} = ⟨- 5, 5⟩$
$f (1) = - 5$
$f (3) = 2$
miejscami zerowymi funkcji są argumenty $- 2$ oraz $2$
funkcja stała w $⟨3, 4⟩$
funkcja rosnąca w $⟨1, 2⟩$
wykres funkcji symetryczny względem początku układu współrzędnych

Przykładowy wykres:

RRpd0u0Ao7yNg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono cztery proste i wykres funkcji y=fx. Pierwsza prosta jest pozioma, namalowana linią ciągłą i ma równanie y=5. Druga prosta jest również pozioma ,namalowana linią ciągłą i ma równanie y=-5. Trzecia prosta jest pionowa, namalowana linią ciągłą i ma równanie x=-4. Czwarta prosta również jest pionowa i namalowana linią ciągłą a jej równanie to: x=4. Wykres rozpoczyna się w punkcie zamalowanym na niebiesko o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie do zamalowanego na niebiesko punktu nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do zmalowanego na fioletowo punktu nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego na niebiesko punktu nawias minus jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przechodząc przez środek układu współrzędnych do zmalowanego na fioletowo punktu nawias jeden średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, stąd biegnie fragment wykresu zaznaczony kolorem fioletowym do punktu zamalowanego na fioletowo nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej mamy niebieski fragment wykresu, który biegnie do punktu zamalowanego na fioletowo o współrzędnych nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd poziomo biegnie fioletowy fragment wykresu do punktu zamalowanego na fioletowo o współrzędnych nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Dziedziną funkcji jest zbiór:

RoBsn0S4Ho8Q5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 11 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono wykres f, który składa się z trzech fragmentów. Pierwsza część pojawia się w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu nawias dziewięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, tam zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias jedenaście średnik pięć zamknięcie nawiasu.

RwmN7fPNGvBU6

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Zbiorem wartości tej funkcji jest:

R1RVm0cIR1bbF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 11 i pionową osią y od minus 7 do cztery. W układzie zaznaczono wykres f, który składa się z trzech fragmentów. Pierwsza część pojawia się w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, tu zmienia swój bieg i biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias siedem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias siedem średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias dziewięć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, tam zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias dziesięć średnik minus siedem zamknięcie nawiasu.

R1IwV42SoMHij

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R1HcWBL6Btb1g

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 10 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono wykres f, który jest krzywą zaczyna się on w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu do punktu nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do punktu nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie on ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias dziesięć średnik pięć zamknięcie nawiasu.

R1ONTL62xvdgq

Ćwiczenie 4

R1KuSXdvCfr5l

RrG1JLP6vK0Su

Ćwiczenie 5

RRiJchEMDCekk

R1HXHc1OqkbzN

Ćwiczenie 6

Na podstawie analizy przedstawionego na rysunku wykresu funkcji zaznacz poprawnie opisane własności funkcji:

R18YwB5wfQyY7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 3 do 8 i pionową osią y od minus 6 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z trzech części. Pierwsza część jest krzywą, która rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawiasu minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus sześć zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugą częścią jest zamalowany punkt o współrzędnych nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik cztery skąd biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu.

RGf5Y7TZwq93Z

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R1ATcPASC9abo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 5 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do punktu o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do punktu o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

R1LqjlJi1hIo1

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R2UQQcL4Gn8bQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 7 do 6 i pionową osią y od minus 5 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd biegnie poziomo do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do punktu o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu. Dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do punktu o współrzędnych nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu o współrzędnych nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

dziedzinę funkcji,
zbiór wartości,
miejsca zerowe,
argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
maksymalne przedziały monotoniczności funkcji,
różnowartościowość funkcji,
najmniejszą i największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.

$D_{f} = ⟨- 7, 5)$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 5, 3⟩$ ,

$f (x) = 0$ dla $x \in ⟨- 7, - 3⟩ \cup \{- 1\}$ ,

$f (x) < 0$ dla $x \in (- 3, - 1)$ ,

$f (x) > 0$ dla $x \in (- 1, 5)$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ ,
funkcja jest malejąca w przedziałach $⟨- 3, - 2⟩$ oraz $⟨3, 5)$ ,
funkcja jest stała w przedziałach $⟨- 7, - 3⟩$ oraz $⟨0, 3⟩$ ,

funkcja nie jest różnowartościowa, bo na przykład $f (0) = f (3)$ ,

wartość najmniejsza $y_{\min} = - 5$ dla $x = - 2$ ,
wartość największa funkcji $y_{\max} = 3$ dla $x \in ⟨0, 3⟩$ .

Ćwiczenie 9

Dany jest wykres funkcji

Rcvf0mION3B5M

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 8 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik sześć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias trzy średnik minus sześć, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias osiem średnik cztery zamknięcie nawiasu.

REDfZOioNTaRR

RD4cfF10OsZz2

R1ErvzUHBdIi8

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RZtveUZrdaC9p

R8xF67MB8LfCo

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RCKB26XkvTKh1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 7 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu.

R1e4BHli1x1Bg

Dostępne opcje do wyboru: x, równa się, minus, trzy, nawias ostry, zero przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, trzy przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, minus, osiem, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias, minus, jeden przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, x, równa się, minus, jeden, nawias ostry, minus, osiem, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias, minus, trzy, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, osiem przecinek siedem, zamknięcie nawiasu. Polecenie: Przeciągnij odpowiednie elementy, aby powstał poprawny opis własności funkcji. - dziedzina funkcji D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia ,
- zbiór wartości f nawias, D, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia ,
- miejsca zerowe funkcji luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia ,
- funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x, należy do luka do uzupełnienia ,
- funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x, należy do luka do uzupełnienia suma zbiorów luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest rosnąca w przedziale luka do uzupełnienia oraz luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest malejąca w przedziałach: luka do uzupełnienia oraz luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest stała w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest nierosnąca w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest niemalejąca w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja ma wartością najmniejszą y, równa się, minus, trzy dla x, równa się, minus, osiem lub x, równa się, minus, dwa, funkcja ma wartością największą y, równa się, trzy dla x, należy do luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 3 & dla x \in (- \infty, - 1) \\ |x - 2| & dla x \in ⟨- 1, 6) \\ - 2 & dla x \in ⟨6, \infty) \end{cases}$ .

RLWus3cN11UiM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w trzeciej ćwiartce i biegnie poziomo do punktu nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do niezamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery. Druga część ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa i biegnie poziomo aż wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RHs3z5L4YSLkN

Połącz w odpowiednie pary: zbiór rozwiązań równania f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań nierówności f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań równania f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań nierówności f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, jeden to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 13

RmWhlxxI1yLKr

R1U9VY1YqOSFi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z dwóch części. Pierwsza ma swój początek w punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Druga część ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamkniecie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamkniecie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma kształt litery V, jej wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu dalej biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 14

Dany jest wykres funkcji:

RFYCuOzcaQ1wJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=x−2−3, która ma kształt litery V, jej wierzchołek znajduje się w punkcie nawias dw średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono poziomą prostą o równaniu y=1.

R1Ly828JuruxJ

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : (- 5, 4) \to ℝ$ .

RGL1g3HVnlRLY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 4 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias trzy średnik jeden jeden zamknięcie nawiasu stąd biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu.

RNwJ8ueJ7tf7N

Ćwiczenie 16

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ , $g (x) = |x|$ .

RTsYwIZsQWhxw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy to wykres funkcji f, która ma ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry, jej wierzchołek znajduje się w środku układu współrzędnych. Drugi wykres g ma kształt litery V, której wierzchołek również znajduje się w środku układu współrzędnych. Wykresy przecinają się w punktach nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

zbiór rozwiązań równania $f (x) = g (x)$ ,

zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ ,

zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

$f (x) = g (x)$ dla $x = - 4$ , $x = 0$ , $x = 4$ ,

$f (x) < g (x)$ dla $x \in (- 4, 0) \cup (0, 4)$ ,

$f (x) \geq g (x)$ dla $x \in (- \infty, - 4⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

Ćwiczenie 17

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = 2 - x$ .

RpX9saNj2Qqxn

Odczytaj z wykresu rozwiązanie równania $x^{2} = 2 - x$ oraz nierówności $x^{2} \geq 2 - x$ .

$x^{2} = 2 - x$ dla $x = - 2$ lub $x = 1$ .

$x^{2} \geq 2 - x$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩ \cup ⟨1, \infty)$ .

Ćwiczenie 18

Rk5jKxa7Djs1g

RefDlyj1IzibG

Połącz w pary opis obszaru w prostokątnym układzie współrzędnych z dziedziną i zbiorem wartości funkcji. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią przerywaną i rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią przerywaną i rozpoczyna się w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 19

Do podanego wykresu dobierz własności funkcji.

R1GPudYdb2t4N

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo to zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, najpierw biegnie poziomo do punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie poziomo do punktu nawias dziewięć średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

RMqaZgChRXZDL

Ćwiczenie 20

Przyjrzyj się uważnie przedstawionym wykresom.

Rd7ucFMr8moi3

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych a, b oraz c z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie b zaznaczono wykres funkcji y=fx składający się z dwóch części. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, który biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias dwa średnik minus trzy. W układzie c zaznaczono wykres funkcji y=fx składający się z dwóch części. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku przez środek układu współrzędnych do niezamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, który biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik minus dwa.

R1E1OijQ6yfls

Do każdego wykresu dopasuj dwie z podanych niżej własności. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. Wykres

a : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa Wykres

b : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa Wykres

c : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa

Ćwiczenie 21

RevE5qFpqS93H

R1QulMEvh8yVh

Który z poniższych wykresów spełnia wszystkie z podanych własności funkcji:

Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu ostrego,
f nawias, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero,
maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca to nawias ostry, minus, sześć, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu ostrego?

Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu, którego wartość y jest równa jeden a wartość x znajduje się pomiędzy minus 4 i minus 5,dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik cztery zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu, którego wartość y jest równa jeden, a wartość x leży pomiędzy 4 i 5, dalej biegnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias sześć średnik dwa zamkniecie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 22

Uzupełnij poniższy wykres funkcji tak, aby spełniał wszystkie podane własności:
$D_{f} = ⟨ - 4, 7 ⟩$ , $f (4) = 3$ oraz funkcja jest stała w $⟨ 4, 7 ⟩$ .

RPJsMtXIWyxuU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osia y od minus 2 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik dwa zamkniecie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Przykładowa odpowiedź:

RfAXtKzNbsOSJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osia y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono punkt -4,0 zamalowaną kropką, w układzie zaznaczono też wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik dwa zamkniecie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu. Dodatkowo w układzie zaznaczono jeszcze odcinek o końcach w zamalowanych punktach 4,3, 7,3.

Ćwiczenie 23

Uzupełnij poniższy wykres funkcji tak, aby spełniał wszystkie podane własności:
$D_{f} = ⟨- 3, 7⟩$ , $Z W_{f} = ⟨- 3, 3⟩ \cup \{5\}$ , $f (2) = 0$ funkcja stała w $⟨- 3, 0)$ ; $(4, 7⟩$ .

RbFqh1z1e44Om

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osia y od minus 3 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Przykładowa odpowiedź:

RqIIvG7lHnCSL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 8 i pionową osia y od minus 3 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx składający się z trzech fragmentów. Fragment pierwszy rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci fragment ma początek w niezamalowanym punkcie nawias cztery średnik pięć, skąd biegnie poziomo do zamalowanego punku nawias siedem średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 24

Uzupełnij poniższy wykres tak, aby spełniał poniższe własności:
$D_{f} = ⟨- 8, 8⟩ ∖ \{0\}$ , $f (5) = - 4$ funkcja stała w $⟨5, 8⟩$ , wykres funkcji symetryczny względem początku układu współrzędnych.

R9wjYAZGcJAbe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 8 i pionową osia y od minus 5 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Przykładowa odpowiedź:

R1LxDH5uM6arD

Ćwiczenie 25

a) Naszkicuj wykres funkcji $f$ spełniającej podane własności:

$D_{f} = ⟨- 6, 3)$
$Z W_{f} = ⟨- 1, 2⟩ \cup ⟨4, 6⟩$
$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3; 0\}$
$f (2) = 6$
Funkcja rosnąca w $⟨- 6, - 2)$ ; $⟨1, 2⟩$
Funkcja malejąca w $⟨- 2, 1)$ , $(2, 3)$

b) Poproś kolegę lub koleżankę, aby na podstawie narysowanego przez ciebie wykresu funkcji $f$ określił/a następujące własności funkcji: $D_{f}$ , $Z W_{f}$ , miejsca zerowe, $f (2)$ , zbiór argumentów dla których funkcja $f$ jest rosnąca oraz malejąca.

c) Porównajcie wspólnie własności funkcji zapisane przez kolegę lub koleżankę z tymi, które miała spełniać funkcja $f$ (podane w pkt. a).

Jeśli własności się nie zgadzają, poszukajcie wspólnie błędu w wykresie lub opisie własności i ustalcie prawidłowe rozwiązanie.

Przykładowa odpowiedź:

RNgIP5yD8dQNe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 4 i pionową osia y od minus 2 do 6. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y=fx, który składa się z czterech części. Pierwszy fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Trzeci fragment zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu. Czwarty fragment ma swój początek w niezamalowanym punkcie nawias dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Słownik

dziedzina funkcji

dziedziną funkcji $y = f (x)$ nazywamy zbiór wszystkich elementów $x$ , dla których funkcja jest określona

zbiór wartości funkcji

zbiorem wartości funkcji $f : D \to Y$ nazywamy zbiór tych wszystkich $y \in Y$ , dla których istnieje taki argument $x \in D$ , że $f (x) = y$

miejsca zerowe funkcji

argumenty, dla których $f (x) = 0$

funkcja rosnąca

funkcja, której wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja malejąca

funkcja, której wartości maleją wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja stała

funkcja, która dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość

funkcje monotoniczne

funkcje rosnące, malejące, nierosnące, niemalejące lub stałe w całej dziedzinie

naszkicować wykres o zadanych własnościach

narysować wykres, który spełnia wszystkie podane własności

2. Zastosowanie wiadomości o funkcjach

M_R_W03_M4 Podsumowanie wiadomości o funkcjach