2. Rysowanie wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

R1HaEkfCT2JZQ

Nie musimy mieć wzoru funkcji liniowej, aby narysować jej wykres. W tym materiale wykorzystamy poznane wiadomości o funkcji liniowej i nauczymy się rysować wykresy funkcji liniowych na podsatwie ich własności.

Twoje cele

Naszkicujesz wykres funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach.
Wykorzystasz wykresy funkcji liniowej do rozwiązywania zadań.
Utrwalisz wiadomości związane z funkcją liniową.

Przypomnijmy. Funkcję postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniowąfunkcja liniowafunkcją liniową, „ $a$ ” nazywamy współczynnikiem kierunkowym, „ $b$ ” – wyrazem wolnym.

Wykresem funkcji $y = a x + b$ , gdzie $x \in ℝ$ , jest prosta przecinająca oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ i nachylona do osi $X$ pod takim kątem $α$ , że $tg α = a$ .

Wykres funkcji liniowej sporządzamy zazwyczaj tak, że znajdujemy jego punkty wspólne z osiami układu współrzędnych, a następnie prowadzimy przez nie prostą.

Dla funkcji $y = a x + b$ , $a \neq 0$ , są to punkty: $A = (- \frac{b}{a}, 0)$ i $B = (0, b)$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest rosnąca, $a > 0$ .
R1FQXSKNV9mRG
$y < 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$ , $y > 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest malejąca, $a < 0$ .
R1O0XoMfplJy3
$y < 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$ , $y > 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest stała, $a = 0$ .
R16A8vDuOmkmH
$y < 0$ gdy $b < 0$ dla $x \in ℝ$ , $y > 0$ gdy $b > 0$ dla $x \in ℝ$ .

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji liniowej, do wykresu której należą punkty: $M = (20, 100)$ oraz $N = (60, 300)$ .

Mamy podane współrzędne dwóch punktów, ale trudno je umieścić w układzie współrzędnych, w związku z tym musimy znaleźć wzór funkcji i na jego podstawie narysować wykres szukanej funkcji.

Jeżeli punkt $M = (20, 100)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$100 = a \cdot 20 + b$ .

Jeżeli punkt $N = (60, 300)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$300 = a \cdot 60 + b$

otrzymujemy dwa równania: $100 = 20 a + b$ i $300 = 60 a + b$ .

Wyznaczając „ $b$ ” z pierwszego równania: $b = 100 - 20 a$ i podstawiając do drugiego otrzymujemy:

$300 = 60 a + 100 - 20 a \Rightarrow 200 = 40 a$ stąd $a = 5$

$b = 100 - 20 a$ więc $b = 100 - 100 = 0$

$a = 5$ i $b = 0$ więc $y = 5 x$ jest to prosta, której wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Wybieramy dwa punkty, które umożliwią nam narysowanie wykresu funkcji: $A = (0, 0)$ i $B = (1, 5)$ .

R1W0qHnzL0Qx9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą rosnącą. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych w punkcie A, oraz ma zaznaczony punkt B o współrzędnych 1;5.

Przykład 2

Narysujemy wykres funkcji liniowej mając dane jej miejsce zerowe $x_{0} = - \frac{1}{2}$ i punkt $B = (0, - 2)$ , przez który przechodzi wykres tej funkcji.

Z treści zadania wynika, że mamy podane punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: $A = (- \frac{1}{2}, 0)$ i $B = (0, - 2)$ .

R1Y22tXVwoLMw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową osią Y od minus 2 do dwóch. Zaznaczono na nim prostą rosnącą o punktach o współrzędnych A Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą rosnącą. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych w punkcie A, oraz ma zaznaczony punkt B o współrzędnych 1;5. , B 0;-2.

Przykład 3

Narysujemy wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji liniowej, wiedząc, że jest on równoległy do wykresu funkcji $y = - \frac{1}{3} x - 6$ i że przechodzi on przez punkt $P = (3, 1)$ . Podamy miejsce zerowe tej funkcji a następnie obliczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych.

Jeśli proste $y = a x + b$ i $y = c x + d$ są równoległe, to $a = c$ .

Prosta $y = a x + b$ jest równoległa do prostej $y = - \frac{1}{3} x - 6$ więc $a = - \frac{1}{3}$ .

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y = - \frac{1}{3} x + b$ .

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (3, 1)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$y = - \frac{1}{3} x + b$

$1 = (- \frac{1}{3}) \cdot 3 + b$

$1 = - 1 + b$

$b = 2$

$b = 2$ więc mamy punkt przecięcia z osią $Y$ : $A = (0, 2)$ . Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty $P = (3, 1)$ i $A = (0, 2)$ :

R1Bwy3vPFunTC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do pięciu i pionową osią Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez punkty. A 0;2, P 3;1.

Aby obliczyć pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych potrzebujemy punktu przecięcia z osią $X$ : $(x_{0}, 0)$ .

Miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji możemy obliczyć ze wzoru:

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{(- \frac{1}{3})} = 6$ .

Pole powstałego trójkąta obliczamy ze wzoru:

$P = \frac{1}{2} c \cdot d$ , gdzie $c$ i $d$ to długości przyprostokątnych otrzymanego trójkąta.

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ .

Przykład 4

Narysujemy wykres funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $M = (- 2, 3)$ i która przyjmuje wartości dodatnie tylko w przedziale $(- \infty, 1)$ , zaś wartości ujemne tylko w przedziale $(1, + \infty)$ .

Funkcja $y = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(- \infty, 1)$ , zaś ujemne w przedziale $(1, + \infty)$ , oznacza to, że $x_{0} = 1$ jest miejscem zerowym tej funkcji.

$x_{0} = 1$ , więc mamy punkt przecięcia z osią $X$ : $A = (1, 0)$

Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $M = (- 2, 3)$ i $A = (1, 0)$ :

RDRpnh9PbI0QI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz osią pionową Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty M o współrzędnych -2;3, oraz A o współrzędnych 1;0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą rysowanie wykresów funkcji liniowej na podstawie danych własności tych funkcji. Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

R1XC9NybTLRoj

Polecenie 2

Narysuj wykres funkcji liniowej $y = a x + b$ , mając dany współczynnik $a = 2$ oraz punkt $P = (- 2, - 2)$ należący do wykresu tej funkcji.

Z treści zadania: $a = 2$ stąd $y = 2 x + b$ .

Punkt $P = (- 2, - 2)$ należy do wykresu funkcji $y = 2 x + b$ więc: $- 2 = 2 \cdot (- 2) + b \Rightarrow - 2 = - 4 + b$ stąd $b = 2$

$b = 2$ więc mamy punkt przecięcia z osią $Y$ : $A = (0, 2)$

Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty $P = (- 2, - 2)$ i $A = (0, 2)$ :

R1dGafcA1WvJf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech i pionową osią Y od minus 2 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty P -2;-2, A 0;2.

Polecenie 3

Narysuj wykres funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dany punkt $M = (- 4, 2)$ i jest równoległy do wykresu funkcji $y = \frac{1}{2} x - 3$ .

Proste $y = a x + b$ i $y = c x + d$ są równoległe, więc $a = c$ .

Prosta $y = a x + b$ jest równoległa do prostej $y = \frac{1}{2} x - 3$ więc $a = \frac{1}{2}$ .

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y = \frac{1}{2} x + b$

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (- 4, 2)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$y = \frac{1}{2} x + b$

$2 = \frac{1}{2} \cdot (- 4) + b$

$2 = - 2 + b$

$b = 4$

$b = 4$ więc mamy punkt przecięcia z osią $Y$ : $A = (0, 4)$

Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $P = (- 4, 2)$ i $A = (0, 4)$ .

R1J5Txiw8jpUY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do dwóch i pionową osią Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty P -4;2, A 0;4.

Ćwiczenie 1

Zaznacz współczynnik kierunkowy funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku.

R5sDEiD3nkaak

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 1 do sześciu oraz pionową osią od minus 2 do trzech. Prosta przecina oś Y w punkcie minus dwa oraz oś X w punkcie trzy.

RicMRgbv5i8Rh

Ćwiczenie 2

R1D3ry24TnYDx

R15NIckSb8f5F

y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą malejącą mającą miejsce zerowe w punkcie 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnąca przecina oś X w punkcie 5 oraz os Y w punkcie minus dwa., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe minus 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 4. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą mającą miejsce zerowe w punkcie minus 5 oraz przecina oś Y w punkcie minus dwa. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą malejącą mającą miejsce zerowe w punkcie 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnąca przecina oś X w punkcie 5 oraz os Y w punkcie minus dwa., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe minus 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 4. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą mającą miejsce zerowe w punkcie minus 5 oraz przecina oś Y w punkcie minus dwa. y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą malejącą mającą miejsce zerowe w punkcie 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnąca przecina oś X w punkcie 5 oraz os Y w punkcie minus dwa., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe minus 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 4. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą mającą miejsce zerowe w punkcie minus 5 oraz przecina oś Y w punkcie minus dwa. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą malejącą mającą miejsce zerowe w punkcie 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do piątki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnąca przecina oś X w punkcie 5 oraz os Y w punkcie minus dwa., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe minus 5 oraz wyraz wolny równy dwa., 4. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 5 do jedynki oraz pionową Y od minus 2 do dwójki. Zaznaczono prostą mającą miejsce zerowe w punkcie minus 5 oraz przecina oś Y w punkcie minus dwa.

Ćwiczenie 3

Narysuj wykres funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ , wiedząc że jest on równoległy do prostej o równaniu $y = - 5 x + 7$ i przechodzi przez punkt $P = (\frac{3}{5}, 2)$ .

R1dOiOfttmXOQ

Jeżeli proste są równoległe to mają ten sam współczynnik kierunkowy $a = - 5$ .

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (\frac{3}{5}, 2)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:
$y = - 5 x + b$
$2 = - 5 \cdot \frac{3}{5} + b$
$b = 5$ .

Mając punkt przecięcia z osią $Y$ : $A = (0, 5)$ rysujemy prostą przechodzącą przez punkty $P = (\frac{3}{5}, 2)$ i $A = (0, 5)$ .

R1WWW0Wn8dXnw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 2 do sześciu oraz pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą mającą miejsce zerowe równe jeden oraz wyraz wolny równy pięć. Zaznaczono punkty A i P na prostej o wzorze y=-5x+5.

R1DPZV14G3rtJ2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Narysuj wykres funkcji liniowej $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ , do której wykresu należy punkt $A = (- 6, 3)$ , a następnie wybierz zdanie prawdziwe.

RcwtG6uQY2bnf

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $A = (- 6, 3)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$y = - \frac{1}{3} x + b$
$3 = - \frac{1}{3} \cdot (- 6) + b$
$b = 1$ .

Mając punkt przecięcia z osią $Y$ : $B = (0, 1)$ rysujemy prostą przechodzącą przez Punkty $A = (- 6, 3)$ i $B = (0, 1)$ .

R14EDnz5Jk2Xr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do jednego oraz pionową Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono punkt A znajdujący się w drugiej ćwiartce oraz punkt B znajdujący się na osi Y. Prosta jest malejąca o wzorze y=-13x+1.

Ćwiczenie 6

Ro8hXYpMkaNE1

Wiedząc, że $f (- 210) = - 623$ wyznaczmy współczynnik kierunkowy funkcji:
$a \cdot (- 210) + 7 = - 623$
$a = 3$ .
Stąd otrzymujemy $y = 3 x + 7$ .

R1Rv5AWsDm7Pn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 5 do pięciu oraz pionową osią Y od minus 1 do siedmiu. Zaznaczono prostą rosnącą przecinającą oś X w punkcie pomiędzy minus 3 oraz minus dwa. Wyraz wolny to siedem.

RTJqZcjU0NULV3

Ćwiczenie 7

R130MRn4gPYZM3

Ćwiczenie 8

Słownik

funkcja liniowa

funkcja postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi, „ $a$ ” nazywamy współczynnikiem kierunkowym, „ $b$ ” – wyrazem wolnym

wykres funkcji

wykresem funkcji $y = a x + b$ , $x \in ℝ$ jest prosta przecinająca oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ i nachylona do osi $X$ pod takim kątem $α$ , że $tg α = a$

miejsce zerowe funkcji

taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero

1. Miejsca zerowe i monotoniczność funkcji liniowej

3. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

2. Rysowanie wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

Słownik