R3J2CGjLbf0Kk

4. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

R1X9ENalSlVXY1

Obraz sprzed kilkuset lat przedstawia starszego brodatego mężczyznę z wieńcem laurowym na głowie. Mężczyzna siedzi przy stoliku i pochyla się nad kartką, na której rozrysowano pewne obiekty matematyczne. Na stole leżą książki, stoi kałamarz z piórem, klepsydra oraz globus. Przed kartką leży ekierka, cyrkiel oraz niewielkie lusterko w drewnianej ramie. — Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, domena publiczna.

Według anegdoty Archimedes został poproszony przez władcę Syrakuz o sprawdzenie, czy jego korona została istotnie w całości wykonana ze złota, czy też raczej ze stopu srebra ze złotem. Archimedes miał dokonać pomiaru w następujący sposób: Najpierw zanurzył w naczyniu z wodą koronę i zaznaczył poziom wody. Następnie wyjął koronę i zanurzył w wodzie pewną ilość czystego złota ważącego dokładnie tyle co korona. Różnica poziomów okazała się na tyle wyraźna, że złotnik został oskarżony o oszustwo. Gdyby bowiem korona była w istocie wykonana z czystego złota, to miałaby tę samą objętość, co włożone po niej do wody złoto, a w konsekwencji w obu przypadkach woda podniosłaby się do tego samego poziomu.

W życiu codziennym wiele problemów można opisać za pomocą zależności pomiędzy dwiema niewiadomymi. W niektórych przypadkach dogłębna analiza tych problemów pozwala na zapisanie zależności pomiędzy wielkościami za pomocą wzoru funkcji liniowej oraz przedstawienie graficzne w postaci wykresu.

W materiale przedstawimy różne zastosowania własności funkcji liniowej w zadaniach z kontekstem z życia codziennego. Opierając się na materiale teoretycznym oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Przeanalizujesz różne sytuacje, w których można wykorzystać własności funkcji liniowej.
Zapiszesz wzór, określisz dziedzinę oraz naszkicujesz wykres odpowiedniej funkcji, która opisuje podany problem.
Zastosujesz własności funkcji liniowej w zadaniach z kontekstem praktycznym.
Wykorzystasz własności funkcji liniowej do matematycznego modelowania rzeczywistości.

Przypomnijmy definicję funkcji liniowejfunkcja liniowafunkcji liniowej.

Funkcję określoną na zbiorze $ℝ$ wzorem

f (x) = a x + b

gdzie:

$a, b \in ℝ$ nazywamy funkcją liniową.

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Funkcje liniowefunkcja liniowaFunkcje liniowe mają szerokie zastosowanie do badania różnych współzależności. Pokażemy zastosowanie własności funkcji liniowych na przykładach zadań związanych z kontekstem realistycznym.

W wielu przypadkach dziedziną funkcji opisującej sytuacje rzeczywiste, będą tylko liczby dodatnie.

Przykład 1

Grupa sportowców biegnie na długim dystansie ze średnią prędkością $15 \frac{km}{h}$ . Do mety pozostało im $30 km$ .

a) Wyznaczymy wzór opisujący odległość $d$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$ .

b) Obliczymy, ile czasu potrzeba sportowcom, by dotrzeć do mety.

Rozwiązanie:

a) Wzór funkcji opisujący odległość $d$ $[km]$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$ $[h]$ przedstawia się następująco:

$d (t) = 30 - 15 \cdot t$ , gdzie $t \in ⟨0, 2⟩$ .

b) Do wyznaczenia czasu, jaki jest potrzebny sportowcom, by dotrzeć do mety, wystarczy obliczyć miejsce zerowe funkcji, opisującej zależność odległości grupy sportowców od mety, przy określonym upływie czasu.

Zatem:

$0 = 30 - 15 \cdot t$ .

Wobec tego $t = 2$ .

Ponieważ $t = 2 \in ⟨0, 2⟩$ , to czas potrzebny do dotarcia do mety wynosi $2$ godziny.

Przykład 2

Firma organizuje imprezy weekendowe w hotelu. Każdy uczestnik płaci $500 zł$ . Kwota ta ma pokryć koszty pokoju, wyżywienia i oferowanych atrakcji. Hotel oczekuje zapłaty $6000 zł$ za korzystanie z atrakcji i $300 zł$ za każdego uczestnika.

a) Obliczymy, ilu uczestników powinno przyjechać na imprezę, aby przyniosła ona firmie zysk.

b) Naszkicujemy wykresy funkcji dochodu oraz funkcji kosztów, w zależności od liczby uczestników.

Rozwiązanie:

a) Niech $n$ oznacza liczbę uczestników ( $n \geq 0$ ). Zapiszemy wzorami dwie funkcje: dochodu $d (n)$ i kosztu $k (n)$ .

Wówczas:

$d (n) = 500 n$ ,

$k (n) = 6000 + 300 n$ .

Dodatkowo możemy zapisać funkcję zysku, która wyraża się wzorem:

$z (n) = d (n) - k (n)$ .

Wyznaczymy, przy jakiej liczbie uczestników koszty imprezy są równe dochodom.

Wobec tego $d (n) = k (n)$ , gdy

$500 n = 6000 + 300 n$ .

Zatem $n = 30$ , czyli dla liczby uczestników większej od $30$ dochody firmy będą większe od kosztów (czyli impreza przyniesie zysk).

b) Wykresy zależności funkcji dochodu oraz funkcji kosztu od liczby uczestników przedstawiają się następująco:

R1GDn22MRleuu

Ilustracja przedstawia poziomą oś Y od zera do czterdziestu, jednostką są uczestnicy, oraz pionową oś Y od zera do czternastu tysięcy, jednostka są złote. Na wykresie zaznaczono także dwie proste, prostką k przechodzącą przez punkty nawias zero średnik sześć tysięcy koniec nawiasu oraz punkt nawias dziesięć dziewięć tysięcy koniec nawiasu. Prosta d przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz punkt nawias dwadzieścia średnik osiem tysięcy koniec nawiasy. Obie proste przecinają się w punkcie nawias trzydzieści średnik piętnaście tysięcy koniec nawiasu.

Przykład 3

Szkoła ma do wyboru dwie opcje korzystania z usług kserograficznych:

Wypożyczenie sprzętu za $1400 zł$ rocznie i $0, 20 zł$ za kopię każdej strony.
Zakup sprzętu za $2200 zł$ płatne jednorazowo i $0, 18 z ł$ za kopię każdej strony.

a) Obliczymy, która z opcji jest bardziej opłacalna dla szkoły przy rocznym użytkowaniu na poziomie $10000$ stron.

b) Wyznaczymy, jaki będzie koszt przy każdej z opcji, jeżeli rocznie szkoła wykonuje $12000$ kopii.

c) Sprawdzimy, dla jakiej liczby stron koszty użytkowania w obu ofertach są równe.

Rozwiązanie:

Zapiszemy za pomocą wzorów funkcje $f_{1}$ i $f_{2}$ , które przedstawiają całkowity koszt korzystania z usług kserograficznych odpowiednio w pierwszej i drugiej opcji.

Niech $x$ oznacza liczbę kopii ( $x \geq 0$ ). Wówczas:

$f_{1} (x) = 1400 + 0, 20 x$ ,

$f_{2} (x) = 2200 + 0, 18 x$ .

a) Jeżeli $x = 10000$ , to:

$f_{1} (10000) = 1400 + 0, 20 \cdot 10000 = 3400$ ,

$f_{2} (10000) = 2200 + 0, 18 \cdot 10000 = 4000$ .

b) Jeżeli $x = 12000$ , to:

$f_{1} (12000) = 1400 + 0, 20 \cdot 12000 = 3800$ ,

$f_{2} (12000) = 2200 + 0, 18 \cdot 12000 = 4360$ .

c) Do wyznaczenia liczby kopii, przy której koszty w obu ofertach są równe, rozwiązujemy równanie:

$f_{1} (x) = f_{2} (x)$

$1400 + 0, 20 x = 2200 + 0, 18 x$ .

Ponieważ $x \geq 0$ , zatem $x = 40000$ .

Koszty przy obu ofertach są równe, gdy wykona się $40000$ kopii.

Przykład 4

Koszt eksploatacji samochodu jest powiązany z liczbą przejechanych kilometrów:

jeżeli samochód przejedzie $5000 km$ , to koszt wynosi $5150 zł$ ,

jeżeli samochód przejedzie $2000 km$ , to koszt wynosi $2060 zł$ .

a) Wyznaczymy wzór opisujący zależność kosztu rocznej eksploatacji samochodu od liczby przejechanych kilometrów.

b) Naszkicujemy wykres zależności kosztu eksploatacji samochodu od liczby przejechanych kilometrów.

c) Obliczymy koszt eksploatacji samochodu, który przejechał $20000 km$ .

Rozwiązanie:

a) Oznaczmy przez $x$ liczbę przejechanych kilometrów ( $x \geq 0$ ).

Niech $f (x) = a x + b$ będzie funkcją opisującą omawianą zależność.

Do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2060 = 2000 \cdot a + b \\ 5150 = 5000 \cdot a + b \end{cases}$

Zatem $a = 1, 03$ i $b = 0$ .

Funkcja wyraża się wzorem $f (x) = 1, 3 \cdot x$ .

b) Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 1, 3 \cdot x$ dla $x \geq 0$ przedstawia się następująco:

R1LBxWmL7rgqQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do ośmiu oraz pionową oś Y od zero do sześciu. Na wykresie zaznaczono również półprostą f przechodzącą przez punkty nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, nawias pięć średnik sześć koniec nawiasu.

c) Obliczamy:

$f (20000) = 1, 03 \cdot 20000 = 20600$ .

Przykład 5

Temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $[° C]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w stopniach Fahrenheita $[° F]$ według wzoru $[° F] = [° C] \cdot \frac{9}{5} + 32$ , a temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $[° C]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w Kelvinach $[° K]$ według wzoru $[° K] = [° C] + 273, 15$ . Wyznaczymy wzór zależności pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$[° C] = \frac{5}{9} \cdot ([° F] - 32)$

oraz

$[° C] = [° K] - 273, 15$

Zatem prawdziwa jest równość:

$[° K] - 273, 15 = \frac{5}{9} \cdot ([° F] - 32)$

Wobec tego:

$[^{\circ} K] = \frac{5}{9} \cdot ([^{\circ} F] - 32) + 273, 15$

Otrzymany wzór przedstawia zależność pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Przykład 6

Funkcja $f$ określa miarę kąta (w stopniach) między wskazówką godzinową a wskazówką minutową zegara w zależności od czasu $t$ (w minutach), między północą a godziną pierwszą.

a) Wyznaczymy wzór funkcji $f$ .

b) Podamy miarę kąta między wskazówkami zegara o godzinie $0 : 20$ .

Rozwiązanie:

a) Ponieważ $1 h = 60 \min$ , zatem po upływie $1 \min$ wskazówka minutowa zegara wyznaczy kąt o mierze $6 °$ .

Wskazówka godzinowa zegara po upływie $1 \min$ wyznaczy kąt o mierze $0, 5 °$ .

Czyli po upływie $1 m i n$ kąt między wskazówką godzinową, a wskazówką minutową zegara będzie miał miarę $5, 5 °$ .

Wobec tego wzór funkcji $f$ przedstawia się następująco:

$f (t) = 5, 5 ° \cdot t$ , gdzie $t \in ⟨0, 60⟩$ .

b) Obliczamy:

$f (20) = 5, 5 ° \cdot 20 = 110 °$

Wobec tego miara kąta wyznaczonego przez wskazówki minutową i godzinową zegara o godz. $0 : 20$ wynosi $110 °$ .

Przykład 7

Zależność pomiędzy drogą $s$ a czasem $t$ , jaki jest potrzebny na jej przebycie w ruchu jednostajnym po linii prostej, jest zależnością liniową:

s = v t

gdzie współczynnik proporcjonalnościwspółczynnik proporcjonalnościwspółczynnik proporcjonalności $v$ to prędkość.

Przykład 8

W pewnym przybliżeniu możemy powiedzieć, że podatek dochodowy jest funkcją osiągniętego dochodu, bowiem danemu dochodowi $D$ w ustalonym roku możemy przypisać w jednoznaczny sposób odpowiadający mu podatek $P$ . Oznaczmy przez $K$ roczną kwotę wolną od podatku. Jeżeli wszyscy płatnicy indywidualni płacą w ramach obowiązku podatkowego ten sam procent $p$ od dochodu osiągniętego ponad kwotę wolną od podatku, to zachodzi wzór:

P = \frac{p}{100} (D - K)

i mamy do czynienia z podatkiem liniowym. Jego nazwa bierze się stąd, że zależność między $D$ i $P$ jest zależnością liniową. Wzór ten dokładniej przeanalizujemy w kolejnym przykładzie.

Ważne!

W rzeczywistości system podatkowy jest bardziej skomplikowany chociażby ze względu na rozmaite ulgi podatkowe takie jak zwolnienie z płacenia podatków przez osoby do $26$ roku życia, odliczenie od kwoty naliczonego podatku składki zdrowotnej w wysokości $7, 75 %$ , czy wiele innych ulg, które możemy odliczać od podatku. W kolejnych przykładach i zadaniach będziemy jednak rozważać uproszczony model, w którym w gruncie rzeczy dochód i podstawę obliczenia podatku można utożsamiać.

Przykład 9

W wielu krajach osoby o wyższych dochodach płacą wyższe podatki od zarobków powyżej pewnej kwoty. W Polsce w $2022$ roku wyróżnia się dwa progi podatkowe. Dochody poniżej $120000 zł$ rocznie obłożono podatkiem w wysokości $17 %$ , a powyżej tej kwoty $32 %$ . Ponadto, kwota wolna od podatku wynosi $30000 zł$ rocznie.

Dodatkowo, w pierwszym i w drugim progu podatkowym odejmujemy tzw. kwotę zmniejszającą podatek, która wynosi $5100 zł$ (kwota ta wynika stąd: $30000 zł \cdot 17 % = 5100 zł$ ).

Aby lepiej zrozumieć istotę kwoty pomniejszającej podatek, obliczymy (w modelu uproszczonym), ile podatku zapłaci osoba, która zarobiła w poprzednim roku $200000 zł$ .

Osoba wpada w drugi próg podatkowy, więc podatek jaki zapłaci wyniesie:

$120000 \cdot 0, 17 - 5100 + (200000 - 120000) \cdot 0, 32 = 20400 - 5100 + 25600 = 40900$ .

Możemy obliczyć podatek również inaczej, dzieląc całkowity przychód na progi. Wtedy nie będzie trzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek.

Oznaczmy też dla ułatwienia kwotę całkowitą przychodu jako $x$ , część nieopodatkowaną tej kwoty jako $x_{0}$ , część wpadającą do pierwszego progu podatkowego jako $x_{1}$ oraz część wpadającą do drugiego progu podatkowego jako $x_{2}$ .

Oczywiście zachodzi: $x = x_{0} + x_{1} + x_{2}$ .

Wyobraźmy sobie $200000 zł$ jako oś, na której zaznaczamy cztery punkty: punkt początkowy $0$ , punkt $30000$ , punkt $120000$ i punkt $200000$ . Dzielą one oś na trzy odcinki o długościach: $30000$ , $90000$ i $80000$ . Odcinek pierwszy reprezentuje nieopodatkowaną część dochodu, odcinek drugi reprezentuje część dochodu opodatkowaną na $17 %$ , a odcinek trzeci część opodatkowaną na $32 %$ . Czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami mamy trzy odcinki o następujących długościach:
$x_{0} = 30000 - 0 = 30000$ ,
$x_{1} = 120000 - 30000 = 90000$ ,
$x_{2} = 200000 - 120000 = 80000$ .

R1ecq9mP9Jhg8

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy. Na osi naniesiono trzy odcinki jeden po drugim. Pierwszy opisany jest jako x indeks dolny 0 równa się 30000 i biegnie od zera do współrzędnej 30000; drugi podpisany jest jako x indeks dolny 1 równa się 90000; ma on początek w punkcie o współrzędnej 30000 i o końcu w punkcie 120000; trzeci odcinek podpisano jako x indeks dolny 2 równa się 80000; jego początek znajduje się w punkcie o współrzędnej 120000, a koniec 200000

Jest to bardziej skomplikowany przypadek z Przykładu $2$ . Tutaj również korzystamy ze wzoru $P = \frac{p}{100} (D - K)$ , przy czym różnica w nawiasie to nasze długości odcinków na osi. Zatem w warunkach naszego zadania wzór ten wygląda tak:

$P = \frac{p_{0}}{100} \cdot K + \frac{p_{1}}{100} (D_{1} - K) + \frac{p_{2}}{100} (D_{2} - (D_{1} - K) - K)$ ,

przy czym $P$ – to kwota należnego podatku,
$p_{0} = 0$ ,
$p_{1} = 17$ ,
$p_{2} = 32$ ,
$K = 30000$ ,
$D_{1} = 120000$ ,
$D_{2} = 200000$ .

W takim modelu nie potrzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek. Prześledźmy kolejne kroki rozwiązania.

Od kwoty $30000 zł$ osoba ta nie zapłaci podatku.
W pierwszym progu mamy do rozliczenia $90000 zł$ – jest to drugi odcinek na osi. Zatem
$90000 zł \cdot 17 % = 15300 zł$
Reszta kwoty rozliczana jest w drugim progu podatkowym bez dodatkowych ulg.
$80000 zł \cdot 32 % = 25600 zł$

Zatem osoba zapłaci $0 zł + 15300 zł + 25600 zł = 40900 zł$ podatku.

Lub też, korzystając ze wzoru:

$P = \frac{0}{100} \cdot 30000 + \frac{17}{100} (120000 - 30000) + \frac{32}{100} (200000 - (120000 - 30000) - 30000) =$

$= 0 + \frac{17}{100} \cdot 90000 + \frac{32}{100} \cdot (200000 - 120000 + 30000 - 30000) =$

$= 0 + 15300 + \frac{32}{100} \cdot 80000 = 0 + 15300 + 25600 = 40900$ .

W rezultacie, jeśli przez $x$ oznaczymy podstawę obliczenia podatku (wyrażoną w złotych), a przez $P (x)$ należny od niej podatek w roku $2022$ , to okaże się, iż funkcję $P (x)$ opisać możemy za pomocą poniższej tabeli.

Progi podatkowe (przychód całkowity) $[zł]$	Naliczony podatek	Obliczenia	Kwota podatku $[zł]$
$0$ – $30000$	$0 %$	$x_{0} \cdot 0$	$0$
$30000$ – $120000$	$17 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17$	$0$ – $15300$
$120000$ i wzwyż	$32 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17 + x_{2} \cdot 0, 32$	$15300 + 0, 32 x_{2}$

Funkcja $P (x)$ , mimo że sama nie jest funkcją liniową, to jednak w każdym z wypisanych wyżej przedziałów dana jest przez zależność liniową, a jej wykres złożony jest z dwóch odcinków i półprostej.

R1euagKlBn98K

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy z podziałką co 10000 oraz z pionową osią Y od zera do sześćdziesięciu tysięcy z podziałką co 10 tysięcy. Na płaszczyźnie narysowano wykres o początku w punkcie o współrzędnych nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres w pierwszej części biegnie po osi X do punktu o współrzędnej 30000; poniżej podpisano tę część wykresu jako x indeks dolny 0 równa się 30 tysięcy. Przez punkt o współrzędnej 30000 poprowadzono linią przerywaną pionową oś oddzielającą pierwszą część wykresu. Druga część wykresu to ukośny odcinek biegnący od punktu o współrzędnych nawias 30000 przecinek 0 zamknięcie nawiasu do punktu nawias 120000 przecinek 15300; przez prawy koniec odcinka poprowadzono linią przerywaną prostą oddzielającą drugą część wykresu. Część ta podpisana jest jako x indeks dolny 1 równa się 90 tysięcy. Trzecia część wykresu jest ukośną półprostą o początku w punkcie o współrzędnych nawias 120000 przecinek 15300 zamknięcie nawiasu. Półprosta ta biegnie między innymi przez punkt o współrzędnych nawias 200000 przecinek 40900 zamknięcie nawiasu. Przez ten punkt również poprowadzono linią przerywaną pionową prostą. Ta część wykresu podpisana jest jako x indeks dolny 2 równa się 80 tysięcy. Poprowadzono także linią przerywaną trzy poziome pomocnicze proste określające wysokość podatku od danej kwoty. Proste te leżą na wysokościach: 5100 oraz 15300 i 40900

Powyższy wykres funkcji opisać możemy następującym układem równań:

$\{\begin{cases} 0, dla x < 30000 \\ 0, 17 \cdot x - 5100, dla 30000 ⩽ x < 120000 \\ 0, 32 \cdot (x - 120000) - 15300, dla x ⩾ 120000 \end{cases}$ .

Jak możemy zauważyć, funkcja liniowa w tym przypadku rozbija się na trzy przedziały. Zatem im bardziej złożony problem, tym bardziej złożony nasz model.

Przykład 10

Korzystając z tabelki z przykładu $3$ , obliczymy, ile wynosi w roku $2022$ w Polsce należny podatek od podstawy obliczenia podatku równej $36789 zł$ .

Rozwiązanie:

Liczba $36789$ jest mniejsza od $120000$ i większa od $30000$ , zatem wpada do pierwszego progu podatkowego. Rozbijmy więc odpowiednio kwotę przychodu.

$x = x_{0} + x_{1} = 30000 + 6789$

Zatem wiemy już, że opodatkowana kwota to $x_{1} = 6789$ .

Obliczmy teraz jak opodatkowanie przedstawia się w całości.

W ogólności mamy:

$P (x) = P (x_{0} + x_{1}) = 0 \cdot x_{0} + 0, 17 \cdot x_{1}$ .

Podstawmy do powyższego równania dane z zadania.

$P (36789) = P (30000 + 6789) = 0 \cdot 30000 + 0, 17 \cdot 6789 = 0 + 1154, 13 = 1154, 13$

Odpowiedź: Należny podatek wynosi $1154, 13 zł$ .

Polecenie 1

Obejrzyj galerię zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RWe0k4X7cnM1E

RTnCDhpQGBHI5

RdYu2fPdcpWwN

R1TsTUSlkURlJ

R15DAgGKupNFf

Polecenie 2

Wiadomo, że pojemność baku samochodowego wynosi $50$ litrów. Na przejechanie $100 km$ samochód zużywa $8$ litrów paliwa.

Podaj wzór funkcji, która opisuje zależność pomiędzy ilością paliwa, które pozostało w baku samochodu, a liczbą przejechanych kilometrów, a następnie oblicz:

a) ile kilometrów pokona samochód, gdy bak jest pełny,

b) ile litrów paliwa pozostanie w baku, gdy samochód przebędzie drogę długości $20 km$ .

Ilość paliwa w baku samochodu, w zależności od liczby przejechanych kilometrów, określa wzór $f (x) = 50 - 0, 08 x$ , gdzie $x$ oznacza liczbę przejechanych kilometrów.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$ : $50 - 0, 08 x \geq 0$

Zatem $x \in ⟨0, 625⟩$ .

a) W celu wyznaczenia liczby kilometrów, jakie może pokonać samochód przy pełnym baku, wystarczy rozwiązać równanie:

$50 - 0, 08 x = 0$ .

$x = 625$ .

Odpowiedź: Ponieważ $x = 625 \in ⟨0, 625⟩$ , zatem samochód może pokonać $625 km$ przy pełnym baku paliwa.

b) Obliczamy:

$f (20) = 50 - 0, 08 \cdot 20 = 50 - 1, 6 = 48, 4$ .

Odpowiedź: Jeżeli samochód przebędzie drogę $20 km$ , to w baku samochodu pozostanie $48, 4 l$ paliwa.

Polecenie 3

Rozwiąż test.

Zastosowania funkcji liniowej51555Brawo! Udało Ci się zaliczyć test!Niestety, nie udało Ci się zaliczyć testu. Spróbuj ponownie.

Test

Zastosowania funkcji liniowej

Liczba pytań:

Limit czasu:

15 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Zastosowania funkcji liniowej

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R75a7nRN12gsa

R1UiF4CficNDj

RKRIaKdx5mcHC

RSrf3y1kJJ1QG

RcRbUKnprlmlG

RRlnvJwYtKxyH

RGqxZtgqbTtdk

R1POs6lfCFHxc

R1b6BcCKx7k1Q

RIRFadE4IGWnN

R1Kz34zVEa2oD

Rs7jEbkdB2QoH

Rwg6p6d4rRRda

R4utQDpPFit0O

R18626Ii9BHpk

Polecenie 4

Wioślarz, płynąc ze stałą prędkością z prądem rzeki, przebył drogę z punktu $A$ do punktu $B$ w czasie $1$ godziny. Podróż powrotna zajęła mu $1, 5$ godziny. Znajdź stosunek prędkości wioślarza (względem wody w rzece) do szybkości nurtu rzecznego.

Oznaczmy przez $v_{1}$ prędkość wioślarza, a przez $v_{2}$ szybkość nurtu rzecznego, przy czym obie wielkości niech będą wyrażone w $\frac{km}{h}$ . Z warunków zadania wynika, że – płynąc z prądem rzeki, a więc z prędkością $v = v_{1} + v_{2}$ względem brzegu – wioślarz pokonał dystans $|A B|$ (wyrażony w $km$ ) w czasie $1$ godziny. A zatem:

$(v_{1} + v_{2}) \cdot 1 = |A B|$ .

Płynąc pod prąd, wioślarz poruszał się względem brzegu z prędkością $v = v_{1} - v_{2}$ i drogę $|A B|$ pokonał w czasie $1, 5$ godziny. A zatem:

$(v_{1} - v_{2}) \cdot \frac{3}{2} = |A B|$ .

Z powyższych równań otrzymujemy:

$v_{1} + v_{2} = \frac{3}{2} (v_{1} - v_{2})$ ,

$\frac{5}{2} v_{2} = \frac{1}{2} v_{1}$ ,

$v_{1} = 5 v_{2}$ .

Prędkość wioślarza była $5$ razy większa od szybkości nurtu rzecznego.

Polecenie 5

Jeden stop zawiera złoto z miedzią w stosunku $2 : 3$ , a drugi w stosunku $2 : 1$ . Ile należy wziąć każdego stopu, aby otrzymać $32 g$ stopu, w którym stosunek złota do miedzi będzie równy $1 : 1$ ?

Oznaczmy przez $x$ liczbę gramów pierwszego stopu, a przez $y$ liczbę gramów drugiego stopu.

Ponieważ otrzymany stop ma ważyć $32 g$ , więc:

$x + y = 32$ .

Ponadto, wiemy, że w otrzymanym stopie $\frac{1}{2}$ masy stanowi masa złota, więc złoto w tym stopie waży $16 g$ . Ponieważ w pierwszym stopie $\frac{2}{5}$ stanowi złoto, a w drugim złoto stanowi $\frac{2}{3}$ stopu, więc zachodzi równość:

$\frac{2}{5} x + \frac{2}{3} y = 16$ .

Rozwiązujemy zatem układ dwóch równań liniowych:

$\{\begin{cases} x + y = 32 \\ \frac{2}{5} x + \frac{2}{3} y = 16 \end{cases}$ .

Stąd $x = 20$ oraz $y = 12$ .

Należy wziąć $20 g$ pierwszego stopu i $12 g$ drugiego.

Polecenie 6

W pewnym państwie kwota wolna od podatku wynosi $3600 €$ rocznie, a podatek jest równy $15 %$ . Reformatorzy proponują, aby kwotę wolną od podatku znieść, a podatek obniżyć do $10 %$ .

a) Określ funkcje $f$ oraz $g$ , które miesięcznym zarobkom w wysokości $x €$ przypisują roczny podatek (wyrażony w euro) odpowiednio w systemie zreformowanym i niezreformowanym.

b) Naszkicuj wykresy funkcji $f$ oraz $g$ w przedziale $⟨0, 1000⟩$ .

c) Oblicz, ile trzeba miesięcznie zarabiać, by po reformie płacić niższy podatek.

a) Oznaczmy zarobki miesięczne przez $x$ . W systemie niezreformowanym w ogóle nie zapłacimy podatku, jeśli miesięcznie zarabiamy nie więcej niż:

$\frac{3600}{12} = 300 (€)$ .

A zatem $g (x) = 0$ dla wszystkich $x$ z przedziału $⟨0, 300⟩$ . Jeśli zarabiamy miesięcznie więcej niż $300 €$ , to nasz całoroczny podatek wynosi:

$g (x) = \frac{15}{100} (12 x - 3600) = \frac{9}{5} x - 540 (€)$ .

Tymczasem po reformie od każdego zarobku odprowadzimy całoroczny podatek zgodnie ze wzorem:

$f (x) = \frac{1}{10} \cdot 12 x = \frac{6}{5} x$ .

b) Funkcja $f$ jest funkcją liniową, więc jej wykresem na rozważanym przedziale jest fragment linii prostej, w naszym przypadku przechodzącej przez początek układu współrzędnych i np. punkt $(500, 600)$ .

Z kolei wykres funkcji $g$ rysujemy oddzielnie dla przedziału $⟨0, 300⟩$ oraz $⟨300, 1000⟩$ . Na pierwszym z tych przedziałów funkcja $g$ jest stale równa zeru. Na drugim z tych przedziałów wykresem funkcji $g$ jest odcinek przechodzący przez punkt $(300, 0)$ i np. punkt $(800, 900)$ .

c) Podatnik zapłaci po reformie mniejszy podatek, gdy spełniona będzie nierówność:

$f (x) < g (x)$

czyli: $\frac{6}{5} x < \frac{9}{5} x - 540$ .

$\frac{3}{5} x > 540$ ,

$x > 900$ .

R18nfb9aNUEUg

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do 1100 z podziałką co 100 oraz z pionową osią Y od zera do 1100 z podziałką co sto. Na płaszczyźnie przedstawiono wykresy dwóch funkcji. Funkcja f to ukośna półprosta o początku w punkcie nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie w prawo w górę. Drugi wykres zaczyna się w tym samym punkcie co pierwszy i początkowo biegnie po poziomej osi do współrzędnej x równa się trzysta. Z tego punktu wykres odbija w górę w prawo. Wykresy przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias 900 przecinek 1060 zamknięcie nawiasu.

Po reformie niższy podatek zapłacą ci, którzy zarabiają ponad $900 €$ miesięcznie.

R1HRvqOx6qfmz1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RE513L4ZeA7U3

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zero do ośmiu, jednostką jest czas mierzony w sekundach, oraz pionową oś Y od zera do trzydziestu pięciu, jednostką są metry. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji przechodzący przez punkty nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias dwa średnik dziesięć koniec nawiasu, nawias cztery średnik dwadzieścia koniec nawiasu.

RYZlFx3fxQ6Ra

Ćwiczenie 3

Funkcja określona wzorem $y = 1800 + 16 x$ opisuje koszt (w złotych) produkcji zabawek w pewnej firmie. Jedna zabawka kosztuje $16 zł$ , a $x$ oznacza liczbę wyprodukowanych zabawek.

R1FzSgEdwuPVU

Ćwiczenie 4

Wynajęcie sali treningowej na godzinę od poniedziałku do piątku kosztuje $100 zł$ i $4 zł$ za każdą osobę, a w weekendy $60 zł$ i $8 zł$ za każdą osobę.

RpKwuYoKBn9ay

RvFZtHR7gH6iS2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

W zbiorniku znajdowało się $400$ litrów wody. Po odkręceniu kurka odpływowego w ciągu każdej minuty wypływa $25$ litrów wody.

R1OSj5HlrHxfW

Ćwiczenie 7

Funkcja podaży pewnego towaru (ilości towaru, jakie producenci dostarczają na rynek) jest określona wzorem $f (x) = - x + 10$ , a funkcja popytu tego towaru (ilości towaru, które nabywcy kupują po określonej cenie) wyraża się wzorem $g (x) = x + 4$ , gdzie $x \geq 0$ .

a) Wyznacz punkt równowagi rynkowej (ilość danego towaru, przy jakiej popyt jest równy podaży).

b) Określ, przy jakiej liczbie sprzedanego towaru podaż jest większa od popytu.

c) Naszkicuj wykresy funkcji popytu i podaży.

a) Do wyznaczenia punktu równowagi rynkowej rozwiązujemy równanie:

$- x + 10 = x + 4$

Zatem $x = 3$ .

Popyt jest równy podaży (tzw. punkt równowagi rynkowej), gdy ilość sprzedanego towaru wynosi $3$ .

b) Do wyznaczenia ilości danego towaru, przy jakiej podaż jest większa od popytu rozwiązujemy nierówność:

$- x + 10 > x + 4$

Wobec tego $x < 3$ .

Podaż jest większa od popytu, gdy ilość sprzedanego towru jest mniejsza od $3$ i większa lub równa $0$ .

c) Wykresy popytu i podaży przedstawiają się następująco:

RM1GHr27bI7LE

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dziesięciu oraz pionową oś Y od zera do dziesięciu. Na rysunku zaznaczono również dwa wykres funkcji liniowej. Pierwszy wykres określa popyt i zaczyna się w punkcie nawias zero średnik cztery koniec nawiasu, oraz przechodzi przez punkty nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu, nawias pięć średnik dziewięć koniec nawiasu. Drugi wykres określa podaż i zaczyna się w punkcie nawias zero średnik dziesięć koniec nawiasu. Przechodzi również prze punkty nawias dwa średnik osiem koniec nawiasu, nawias pięć średnik pięć koniec nawiasu, nawias siedem średnik trzy koniec nawiasu. Oba wykresy przecinają się w punkcie nawias trzy średnik siedem koniec nawiasu.

Ćwiczenie 8

Zależność między stopniami Celsjusza $(T_{C})$ a Kelwinami $(T_{K})$ w układzie $S I$ opisuje wzór $T_{K} = T_{C} + 273, 15$ .

a) Naszkicuj wykres zależności między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza i Kelwinach.

b) Wyraź temperaturę $40 ° C$ w Kelwinach.

c) Wyraź temperaturę $100 ° K$ w Celsjuszach.

a) Wykres zależności między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza i Kelwinach przedstawia się następująco:

R1Qf9nPUEZ2LW

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dziewięćdziesięciu podpisaną jako T indeks dolny C koniec indeksu oraz pionową oś Y od zera do ośmiuset podpisaną jako T indeks dolny K koniec indeksu. Na rysunku zaznaczono również półprostą T indeks dolny K koniec indeksu równa się T indeks dolny C koniec indeksu dodać dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście. Wykres ten zaczyna się w punkcie nawias zero średnik dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście koniec nawiasu i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias trzydzieści średnik trzysta koniec nawiasu, nawias siedemdziesiąt pięć średnik trzysta siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście koniec nawiasu.

b) Jeżeli $T_{C} = 40 ° C$ , to:

$T_{K} = 40 + 273, 15 = 311, 15 [° K]$ .

Wobec tego temperatura wynosząca $40 ° C$ odpowiada temperaturze $311, 15 ° K$ .

c) Jeżeli $T_{K} = 100 ° K$ , to:

$100 = T_{C} + 273, 15$

$T_{C} = - 173, 15 ° C$ .

Wobec tego temperatura $100 ° K$ odpowiada temperaturze $- 173, 15 ° C$ .

RY1Ol45AH90Cx1

Ćwiczenie 9

RjZIdtI8mPije1

Ćwiczenie 10

RM8BSFKseUwFt2

Ćwiczenie 11

R1IqhuX50U8eT2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Złotnik ma dwa stopy złota ze srebrem, jeden próby $400$ , a drugi próby $300$ . Ile musi wziąć każdego ze stopów, aby otrzymać $40 g$ stopu próby $312, 5$ ?

Ważne!

Próba jubilerska to zawartość złota w stopie z innymi metalami wyrażona w odniesieniu do $1000$ jednostek stopu, np. próba $960$ oznacza, że stop zawiera $96 %$ czystego złota.

R14IrVq5dnbCx

Ćwiczenie 14

W porannym konkursie telewizyjnym występują dwuosobowe drużyny kucharzy amatorów. W drużynie $A$ jest dwóch aktorów, z których każdy obiera $50$ ziemniaków na godzinę. Drużyna $B$ składa się z dwóch dziennikarzy, z których jeden obiera $60$ ziemniaków na godzinę, a drugi – $42$ . W konkursie trzeba w jak najkrótszym czasie obrać $100$ ziemniaków. Kto wygra konkurs, jeśli:

a) zawodnicy każdej drużyny mogą jednocześnie obierać ziemniaki;

b) każdy zawodnik obiera po $50$ ziemniaków, przy czym drugi zawodnik drużyny zaczyna obierać ziemniaki dopiero od momentu, gdy pierwszy z zawodników tej drużyny skończył obierać swoje $50$ ziemniaków?

R1GNw3pL7Nk4t

a) W drużynie aktorów $100$ ziemniaków zostało obranych w czasie jednej godziny. W drużynie dziennikarzy jeden z nich obiera jednego ziemniaka na minutę, drugi z nich obiera $\frac{42}{60} = 0, 7$ ziemniaka na minutę. Zatem razem obiorą $100$ ziemniaków w czasie $1 x + 0, 7 x = 100$ , $x \approx 59$ minut.

b) W drużynie aktorów $100$ ziemniaków zostało obranych w czasie dwóch godzin. W drużynie dziennikarzy pierwszy z nich obrał $50$ ziemniaków w ciągu $50$ minut, drugi z nich obrał $50$ ziemniaków w ciągu $0, 7 x = 50$ , $x \approx 71$ minut. Oznacza, to że razem obierali $100$ ziemniaków około $2 h 1 \min$ .

Ćwiczenie 15

Do jednego wypełnionego do połowy wodą sześciennego pojemnika o polu podstawy $1000 {cm}^{2}$ włożono kilogram złota o gęstości $19, 3 \frac{g}{{cm}^{3}}$ , a do drugiego, takiego samego włożono kilogram srebra o gęstości $10, 5 \frac{g}{{cm}^{3}}$ . Oblicz, o ile centymetrów podniósł się poziom wody w obu przypadkach.

RNi5zKhfaLoDD

Ćwiczenie 16

R1X9ENalSlVXY1

Przyjmij, że korona ważyła około $1 kg$ i miała średnicę $20 cm$ . Załóż też, że stop, z którego ją wykonano, zawierał co najmniej $30 %$ złota. Jaka powinna być dokładność pomiaru poziomu wody w odpowiednim naczyniu, by można było odróżnić koronę „fałszywą'' od wykonanej z czystego złota? Czy anegdota jest prawdopodobna?

Dokładność pomiaru musiałaby być większa niż $0, 5 mm$ , historia nie jest więc prawdopodobna.

Słownik

funkcja liniowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem

f (x) = a x + b

gdzie:
$a, b \in ℝ$

współczynnik proporcjonalności

stała $a \in ℝ ∖ \{0\}$ będąca ilorazem dwóch zmiennych $x$ i $y$ , o których mówi się, że są wprost proporcjonalne lub że zachodzi między nimi proporcjonalność prosta, co zapisujemy następująco

a = \frac{y}{x}

3. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

5. Przykłady innych funkcji, kawałkami liniowych

4. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Zastosowania funkcji liniowej

Słownik

3. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

5. Przykłady innych funkcji, kawałkami liniowych

M_R_W04_M2 Własności funkcji liniowej

4. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Zastosowania funkcji liniowej

Słownik