1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna - M_R_W05_M2 Rozwiązywanie układów równań liniowych

RoDQNLyeCwdRu

1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna

Na rysunku obok przedstawiono zbiór płaszczyzn, będący ilustracją graficzną układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

R1NwzwktebKGo1

Ilustracja przedstawia sześcian, którego ściany są przeźroczyste. Wewnątrz sześcianu umieszczone zostały trzy płaszczyzny, zostały one umieszczone pod różnymi kątami.

W tym materiale zajmiemy się najprostrzym układem równań – układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Interpretacją geometryczną układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi są dwie proste. Dzięki niej możemy graficznie rozwiązać układ równań. Ta metoda, choć nie zawsze dokładna, często pomaga nam radzić sobie nie tylko z matematycznymi problemami.

Twoje cele

Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Określisz liczbę rozwiązań układu równań na podstawie jego ilustracji graficznej.
Odczytasz rozwiązanie układu równań liniowych na podstawie jego interpretacji geometrycznej.
Potrafisz rozpoznać problemy prowadzące do wykorzystania interpretacji geometrycznej układów równań liniowych.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcjękoniunkcjakoniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera, > $c_{1}$ i $c_{1}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Przy czym może być tylko jedna taka para liczb, może być nieskończenie wiele takich par lub układ równań może nie mieć rozwiązania.

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Aby rozwiązać graficznie układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi należy narysować obie proste i odczytać współrzędne ich punktów wspólnych (o ile istnieją).

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się – mają nieskończenie wiele punktów wspólnych,

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

A zatem ze względu na położenie prostych, będących wykresami równań składowych układu

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

można wyróżnić trzy rodzaje układów równań.

1. Oznaczony układ równańukład równań oznaczonyOznaczony układ równań (układ równań niezależnych) – jedno rozwiązanie.

RZOzFpGIQIjKd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa wykresy funkcji liniowej. Pierwsza o wzorze a1x+b1y=c1 Druga o wzorze. a2x+b2y=c2 Przecinają się w punkcie p,q

Proste określone równaniami $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ oraz $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ mają jeden punkt wspólny.

Współrzędne tego punktu $(p, q)$ tworzą parę liczb, która spełnia oba równania.

Rozwiązaniem układu jest zatem para liczb

\{\begin{cases} x = p \\ y = q \end{cases}

2. Nieoznaczony układ równańukład równań nieoznaczonyNieoznaczony układ równań (układ równań zależnych) – nieskończenie wiele rozwiązań.

R12jRrH7Ee1rU

Proste określone równaniami $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ oraz $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ pokrywają się, zatem każda para współrzędnych punktów spełniająca jedno równanie, spełnia również drugie z nich. Takich par postaci

\{\begin{cases} x = t \in ℝ \\ y = - \frac{a_{1}}{b_{1}} t + \frac{c_{1}}{b_{1}} = - \frac{a_{2}}{b_{2}} t + \frac{c_{2}}{b_{2}} \end{cases}

jest nieskończenie wiele.

3. Sprzeczny układ równańukład równań sprzecznySprzeczny układ równań – brak rozwiązań.

Rynymg2dAlBFT

Proste określone równaniami $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ oraz $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ są równoległe i nie mają punktów wspólnych. Nie istnieje zatem para liczb, która spełniałaby jednocześnie dwa równania.

Taki układ nie posiada rozwiązań.

Przykład 1

Korzystając z metody graficznej, znajdziemy rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ - 4 x = - 9 + y \end{cases}$ .

Przekształcamy każde z równań do postaci kierunkowej.

$2 x + y = 5$ oraz $- 4 x = - 9 + y$

$y = - 2 x + 5$ oraz $y = - 4 x + 9$

Aby wyznaczyć współrzędne punktów, przez które przechodzą proste będące wykresami równań, możemy skorzystać z tabelek.

$x$	$0$	$1$
$y = - 2 x + 5$	$5$	$3$

oraz

$x$	$0$	$1$
$y = - 4 x + 9$	$9$	$5$

Rysujemy wykresy równań i odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.

RPVxXEKZmBvJI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nich dwie proste. Pierwsza o wzorze 2x+y=5. Druga o wzorze -4x=-9+y. Wykresy funkcji liniowej przecinają się w punkcie 2,1

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Przykład 2

Znajdziemy współrzędne wierzchołków trójkąta, o którym wiadomo, że jego ramiona zawierają się w prostych:

$k : y - 2 = 0$ ,

$l : - x + 2 y = 0$ ,

$m : - 3 x + 2 y = 4$ .

Rysujemy wykresy tych równań w jednym układzie współrzędnych.

R1OnYdn16UD6V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim trzy proste. Prosta m wyrażona wzorem -3x+2y=4. Prosta k wyrażona wzorem y-2=0. Oraz prosta l wyrażona wzorem -x+2y=0. Proste m oraz k przecinają się w punkcie 2,0. Proste k oraz l przecinają się w punkcie 4,2. Proste m oraz l przecinają się w punkcie -2,-1

Na rysunku widzimy, że proste parami się przecinają, tworząc trójkąt. Współrzędne punktów przecięcia prostych $A$ , $B$ oraz $C$ , to odpowiednio rozwiązania układów równań:

współrzędne punktu $A$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} - x + 2 y = 0 \\ - 3 x + 2 y = 4 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $B$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} - x + 2 y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $C$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} y - 2 = 0 \\ - 3 x + 2 y = 4 \end{cases}$ .

R1JzCdcq6woru

Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów $A$ , $B$ oraz $C$ .

RAtFke5XvFS5O

A zatem współrzędne wierzchołków trójkąta to $A = (- 2, - 1)$ , $B = (4, 2)$ oraz $C = (0, 2)$ .

Ważne!

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, to para liczb będąca rozwiązaniem układu równań opisujących te proste.

Przykład 3

Dany jest czworokąt $A B C D$ , w którym współrzędne wierzchołków są rozwiązaniami podanych układów równań.

Obliczymy pole tego czworokąta, wiedząc, że:

współrzędne punktu $A$ to rozwiązanie układu $\{\begin{cases} x - y = - 6 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $B$ to rozwiązanie układu $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 15 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $C$ to rozwiązanie układu $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 15 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $D$ to rozwiązanie układu $\{\begin{cases} y - 3 = 0 \\ x - y = - 6 \end{cases}$ .

Wykonujemy odpowiedni rysunek.

R197PFb03yxa7

Ilustracja przedstawia układ równań. Zaznaczono na nim cztery proste. Dwie poziome wyrażone wzorami y-1=0 oraz y-3=0. Dwie inne wyrażone wzorem 2x+3y=15 oraz x+y=-6. Przecięcia prostych tworzą trapez A B C D.

Na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że czworokąt $A B C D$ to trapez, możemy też odczytać współrzędne wierzchołków.

ROuDNyBeFfYOd

Wiemy zatem, że: $A = (- 5, 1)$ , $B = (6, 1)$ , $C = (3, 3)$ , $D = (- 3, 3)$ .

Możemy też odczytać długości odcinków potrzebnych do obliczenia pola tego trapezu:

podstawy $|A B| = 11$ , $|C D| = 6$ ,

wysokość trapezu $|D E| = 2$ .

Obliczamy pole

$P = \frac{1}{2} \cdot (|A B| + |C D|) \cdot |D E|$

$P = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 2 = 17$

Pole trapezu wynosi $17$ .

Przykład 4

Interpretacja graficzna pomaga nam przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.

Kasia wyszła rano na spacer. Szła z prędkością $4 \frac{km}{h}$ . Godzinę później Magda, tą samą trasą, pobiegła z prędkością $8 \frac{km}{h}$ . Po jakim czasie od wyjścia Kasi, dziewczynki się spotkają?

Możemy narysować sytuację opisaną w zadaniu na wykresie. Na osi odciętych zaznaczamy czas $[t]$ , na osi rzędnych – pokonaną drogę $[s]$ .

R8cjXkQI1xxNB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi odciętych zaznaczono czas wyrażony w godzinach, a na osi rzędnych pokonaną drogę wyrażoną w kilometrach. Droga pokonana przez kasie została wyrażona prostą liniową mającą miejsce zerowe w punkcie 0,0 oraz przechodzi przez punkt 1,4. Droga pokonana przez Magdę ma miejsce zerowe równe 1. Proste przecinają się w punkcie 2,8

Korzystając z interpretacji geometrycznej możemy odczytać, że dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od początku spaceru Kasi. Widzimy również, że pokonają w tym czasie $8 km$ .

Możemy też, korzystając ze wzoru na prędkość $v = \frac{s}{t}$ , zapisać równania prostych, w których zawierają się powyższe wykresy.

R18HJih1ZffzK

Sprawdzimy jeszcze, czy prawidłowo odczytaliśmy rozwiązanie układu.

$4 t = 8 \cdot (t - 1) | : 4$

$t = 2 t - 2$

$t = 2$

$s = 4 t = 8$

A zatem dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od wyjścia Kasi na spacer i pokonają w tym czasie $8$ kilometrów.

Przykład 5

Wyznaczymy parametry $m$ oraz $n$ , dla których układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest układem:

a) oznaczonym,

b) nieoznaczonym,

c) sprzecznym.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy interpretację geometryczną układu równań.

Równanie $x + 2 y = 6$ zapisujemy w innej postaci i rysujemy jego wykres.

$x + 2 y = 6$

$2 y = - x + 6 | : 2$

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

R1B2yV4S4pkYe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze y=-12x+3 Funkcja przecina oś rzędnych w punkcie 3 oraz oś odciętych w punkcie 6.

Drugie równanie również przekształcamy.

$m x + y = n$

$y = - m x + n$

Aby układ był oznaczony, prosta $y = - m x + n$ musi mieć punkt wspólny z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

Przykłady takich prostych przedstawiono na rysunku.

RpWhy8IiKK5SO

A zatem proste $y = - \frac{1}{2} x + 3$ oraz $y = - m x + n$ nie mogą być równoległe, więc ich współczynniki kierunkowe nie mogą być równe.

$- m \neq - \frac{1}{2}$

$m \neq \frac{1}{2}$

Współczynnik $n$ może być dowolny, ponieważ prosta $y = - m x + n$ może przeciąć oś $Y$ w dowolnym punkcie.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest oznaczony dla $\{\begin{cases} m \neq - \frac{1}{2} \\ n \in ℝ \end{cases}$ .

Aby układ był nieoznaczony, prosta $y = - m x + n$ musi mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

R1FtKMAV9kOCC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze y=-12x+3 pod spodem zapisano wzór y=-mx+n

Proste te muszą się pokrywać, a więc współczynniki muszą być sobie odpowiednio równe.

A zatem układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest nieoznaczony dla $\{\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n = 3 \end{cases}$ .

Aby układ był sprzeczny, prosta $y = - m x + n$ nie może mieć żadnego punktu wspólnego z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

R1a3LDiz4W15k

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze y=-12x+3 pod spodem zapisano wzór y=-mx+n. Prosta wyrażona tym wzorem przecina oś rzędnych w punkcie jeden oraz ma miejsce zerowe w punkcie dwa.

Proste te muszą być równoległe i nie mogą mieć punktów wspólnych, a więc współczynniki kierunkowe muszą być takie same, ale wyrazy wolne muszą się różnić.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest sprzeczny dla $\{\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n \neq 3 \end{cases}$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj animację, a następnie wykonaj polecenie 2.

R17bkKSLDAqu5

Polecenie 2

Rozwiąż graficznie układ równań $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 \\ 2 \cdot (x - 3) + y = y - 2 \end{cases}$ .

$\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 8 \\ 2 \cdot (x - 3) + y = y - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} 2 y = - 3 x + 8 \\ 2 x - 6 = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{3}{2} x + 4 \\ x = 2 \end{cases}$

RqGvtAQzid6vh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste. Pionową o wzorze x=2 oraz drugą y=-32x+4. Przecinają się w punkcie 2,1

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}

Polecenie 3

Przeanalizuj infografikę.

Rrj0ujn2hkMDI1

Ilustracja przedstawia układ równań z dwiema niewiadomymi, równanie to ma postać: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec równania, koniec układu równań. Przy czym x i y znajdujące się w obu równaniach to niewiadome, natomiast a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego to współczynniki przy niewiadomej x, z kolei b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego to współczynniki przy niewiadomej y. Wyrazy wolne to c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Następnie przedstawione zostały rodzaje układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jako pierwszy przedstawiono układ oznaczony.Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia wykresów należy do zbioru rozwiązań każdego z równań – jest rozwiązaniem układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste przecinają się w jednym punkcie, który został zaznaczony zamalowaną kropką i podpisany literą A. Pod grafiką znajduje się napis: Jedno rozwiązanie postaci nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, koniec równania, koniec układu równań. Drugi rodzaj układu to układ nieoznaczony. Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa pokrywają się.
Współrzędne każdego punktu leżącego na prostej są rozwiązaniem układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste pokrywają się. Pod grafiką znajduje się napis: Nieskończenie wiele rozwiązań postaci: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, średnik, x, należy do, liczby rzeczywiste, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, początek ułamka, minus, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, koniec równania, trzecie równanie, równa się, początek ułamka, minus, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, koniec równania, koniec układu równań. Trzeci rodzaj układu to układ sprzeczny. Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa nie mają punktów wspólnych.
Układ równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań nie posiada rozwiązania. >. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste są do siebie równoległe i nie przecinają się w żadnym punkcie. Pod grafiką znajduje się napis: Brak rozwiązań.

Polecenie 4

Rysunek przedstawia interpretacje geometryczne trzech różnych układów równań.

RslTco9iTBXGs

R1RKg7xJ0PHTC

R9bPr1eVnK1GA

Pierwsza ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach minus, trzy x, plus, y, równa się, pięć oraz x, minus, dwa y, równa się, zero. Proste przecinają się w jednym punkcie. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.
Druga ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach trzy x, minus, y, równa się, minus, dwa oraz trzy x, minus, y, równa się, jeden. Proste są do siebie równoległe. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.
Trzecia ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach dwa x, plus, y, równa się, trzy oraz cztery x, plus, dwa y, równa się, sześć. Proste nakładają się na siebie. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.

Ćwiczenie 1

RWbzQS9fcb9Be

RWiIMCrRo1apY

Ćwiczenie 2

RDgrNzH9K4LAT

R18U5dEygu5kJ

nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedna pionową przecinającą się w punkcie minus cztery na osi odciętych. Oraz drugą mającą miejsce zerowe w punkcie minus sześć., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste przecinające się., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim prostą przecinającą się na osi rzędnych w punkcie jeden. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, t, należy do, liczby rzeczywiste, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, t, plus, jeden, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedna pionową przecinającą się w punkcie minus cztery na osi odciętych. Oraz drugą mającą miejsce zerowe w punkcie minus sześć., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste przecinające się., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim prostą przecinającą się na osi rzędnych w punkcie jeden. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, cztery, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedna pionową przecinającą się w punkcie minus cztery na osi odciętych. Oraz drugą mającą miejsce zerowe w punkcie minus sześć., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste przecinające się., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim prostą przecinającą się na osi rzędnych w punkcie jeden.

RG6ep8iVhcu711

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R3Uku0FFlpfPY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery proste, które przecinając się, tworzą na płaszczyźnie czworokąt. Proste te są następujące: pierwsza x dodać 2 równa się 0, druga minus x dodać 4 y równa się 10, trzecia 5 x odjąć 2 y równa się 22 oraz czwarta x odjąć 3 y równa się siedem. Punkty przecięcia prostych tworzące czworokąt mają następujące współrzędne: nawias minus 2 średnik 2 zamknięcie nawiasu oraz nawias minus 2 średnik minus 3 zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik minus 1 zamknięcie nawiasu oraz nawias 6 średnik 4 zamknięcie nawiasu.

RteVfaZ3fUW5q

R1GeCwdUfJmZZ2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Boki czworokąta zawierają się w prostych $k : x + 3 y = 9$ , $l : 2 x - 3 y = - 9$ , $m : x - 2 y = 4$ , $n : x + y = - 2$ . Korzystając z graficznej metody rozwiązywania układów równań, wyznacz współrzędne wierzchołków tego czworokąta.

RWqKVdKYZLnr2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Poprowadzono proste tworzące wielokąt. Prosta m: x-2y=4, prosta n: x+y=-2, prosta l: -2x+3y=9 oraz prosta k: x+3y=9. Wierzchołki wielokąta to 0,3, 6,1, 0,-2, -3,-1

$(0, 3)$ , $(6, 1)$ , $(- 3, 1)$ , $(0, - 2)$ .

Ćwiczenie 7

Oblicz pole i obwód figury, której boki zawierają się w prostych o równaniach $3 x + 2 y = 6$ , $3 x - 2 y = - 6$ , $5 x + 2 y = - 10$ , $5 x - 2 y = 10$ .

R1HpikUFe5Egi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Poprowadzono proste tworzące wielokąt. Pierwsza: y=32x+3, druga: y=-32x+3, trzecia: y=-52x+5, czwarta: y=52x+5. Tworzą one wielokąt A B C D. O wierzchołkach. 0,-5,0,3,0,3,-2,0

Czworokąt $A B C D$ to deltoid.

$P = \frac{|A C| \cdot |B D|}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16$

$P = 16$

$O b = |A B| + |B C| + |C D| + |A D|$

Z twierdzenia Pitagorasa

$|A B| = |A D| = \sqrt{29}$ oraz $|B C| = |C D| = \sqrt{13}$

$O b = 2 \cdot (\sqrt{13} + \sqrt{29})$

$P = 16 [j^{2}]$

$O b = 2 \cdot (\sqrt{13} + \sqrt{29})$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz wartości parametrów $m$ oraz $n$ , wiedząc, że układ równań przedstawiony na rysunku jest sprzeczny.

R1eev2eJvMf1w

Pierwsze równanie:

$x + 3 y = 3$

$3 y = - x + 3$

$y = - \frac{1}{3} x + 1$

Drugie równanie:

$x - (m - 1) y = 5 \cdot (2 n + 6)$ , $m \neq 1$

$- (m - 1) y = - x + 5 \cdot (2 n + 6) | : [- (m - 1)]$

$y = \frac{1}{m - 1} x - \frac{10 n + 30}{m - 1}$

$\frac{1}{m - 1} = - \frac{1}{3}$ oraz $- \frac{10 n + 30}{m - 1} \neq 1$

$m = - 2$ oraz $- \frac{10 n + 30}{- 2 - 1} \neq 1$

$m = - 2$ oraz $n \neq - 2, 7$

$m = - 2 \land n \neq - 2, 7$ .

Słownik

koniunkcja

zdanie złożone postaci „ $p \land q$ ” (czytamy: $p$ i $q$ ); iloczyn logiczny; część wspólna

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

rozwiązanie układu równań

układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

układ równań oznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

układ równań nieoznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb

układ równań sprzeczny

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

M_R_W05_M2 Rozwiązywanie układów równań liniowych

1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna

Słownik