6. Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów - M_R_W06_M2 Twierdzenie Talesa, podobieństwo trójkątów

R1RL3ZueRafsm

6. Zastosowanie cech podobieństwa trojkątów

RIeby3i92qNuc1

Ilustracja przedstawia osobę oglądającą mur obronny z wieżą, wieża ma wysokość h, obserwator jest w odległości d od wieży. Wieża wraz obserwatorem tworzą trójkąt prostokątny, w którym wysokość wieży i odległość obserwatora są przyprostokątnymi.

Wyobraźmy sobie, że za pomocą ekierki chcemy zmierzyć wysokość oglądanej wieży. Oczywiście, nie chodzi tu o wspinaczkę na wieżę i wielokrotne odmierzanie długości zaznaczonych na naszej ekierce. Wygodniejszy (i bezpieczniejszy) sposób pomiaru opiera się na wykorzystaniu podobieństwa pewnych trójkątów.
Wystarczy bowiem stanąć w takiej odległości od wieży, aby jej wierzchołek widzieć wzdłuż najdłuższego boku ekierki, a jednocześnie jedno z krótszych ramion ekierki ustawić poziomo tak, jak to jest zaprezentowane na rysunku.
W tej sytuacji podobne są: mały trójkąt prostokątny z ekierki i duży trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych odpowiada wysokości wieży.
Oznacza to, że w każdym z tych trójkątów stosunek odpowiednich boków jest taki sam. Pozostaje więc zmierzyć odległość obserwatora od podstawy wieży, a następnie - korzystając z odpowiednich proporcji - obliczyć jej wysokość.

Twoje cele

Zastosujesz cechy podobieństwa trójkątów do obliczania boków trójkątów podobnych w danej skali.
Wykorzystasz podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań.
Zastosujesz cechy podobieństwa trójkątów do uzasadniania podobieństwa trójkątów.
Zastosujesz cechy podobieństwa trójkątów w sytuacjach typowych i problemowych.

Przypomnijmy, że z definicji figur podobnych wynika, że jeśli trójkąt $D E F$ jest obrazem trójkąta $A B C$ w podobieństwie o skali $s > 0$ , przy czym punkty $D$ , $E$ i $F$ są obrazami punktów odpowiednio $A$ , $B$ i $C$ w tym podobieństwie, to

|D E| = s \cdot |A B|

|E F| = s \cdot |B C|

|D F| = s \cdot |A C|

ROKISipzYTdrd

Ilustracja prezentuje dwa trójkąty podobne. Pierwszy mniejszy, trójkąt A B C oraz drugi większy D E F. Odcinki A B i D E są podstawami obu trójkątów i są w kolorze niebieskim. Odcinki A C i D F są w kolorze żółtym natomiast odcinki B C i E F są w kolorze czerwonym.

Równości te możemy zapisać w postaci

s = \frac{|D E|}{|A B|}

s = \frac{|E F|}{|B C|}

s = \frac{|D F|}{|A C|}

Możemy zatem powiedzieć, że skala podobieństwa trójkątów to stosunek długości boku trójkąta będącego obrazem do boku trójkąta wyjściowego. Pokażemy, że skalę podobieństwa trójkątów możemy wyznaczyć, obliczając stosunek długości innych odpowiadających sobie wielkości w tych trójkątach, na przykład obwodów tych trójkątów.

Ponieważ

L_{D E F} = |D E| + |E F| + |D F| = s \cdot |A B| + s \cdot |B C| + s \cdot |A C| =

= s \cdot (|A B| + |B C| + |A C|) = s \cdot L_{A B C}

więc

s = \frac{L_{D F F}}{L_{A B C}}

Podobnie możemy wykazać, że skala podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ jest równa stosunkowi opowiadających sobie wysokości tych trójkątów lub stosunkowi długości odpowiadających sobie środkowych.

Zauważmy też, że jeżeli skala podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ jest równa $s$ , to skala podobieństwa trójkąta $A B C$ do trójkąta $D E F$ jest równa $\frac{1}{s}$ .

Pokażemy teraz ważną własność pól trójkątów podobnych.

Twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych

Twierdzenie: Twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych trójkątów.

Dowód

Niech $s > 0$ będzie skalą podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ .

Wówczas $|D E| = s \cdot |A B|$ i $|D F| = s \cdot |A C|$ .

Oznaczmy $α = |∢ B A C| = |∢ E D F|$ .

RvYwhx6FX1Psw

Stosunek pól trójkątów $D E F$ i $A B C$ jest równy

\frac{P_{D E F}}{P_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} |D E| \cdot |D F| \cdot \sin α}{\frac{1}{2} |A B| \cdot |A C| \cdot \sin α} = \frac{s \cdot |A B| \cdot s \cdot |A C|}{|A B| \cdot |A C|} = s^{2}

To kończy dowód.

Ta sama własność jest też prawdziwa w przypadku dowolnych figur podobnych. Jej dowód w przypadku wielokątów wynika z faktu, że każdy wielokąt można podzielić na parami rozłączne trójkąty.

Nie trudno też zauważyć, że stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi ich skali podobieństwa.

Szczególnym przypadkiem figur podobnych są figury przystające. Skala ich podobieństwa jest równa $1$ .

Relacja podobieństwa figur jest:

Zwrotna, tzn. każda figura jest podobna do samej siebie. Możemy to zapisać $f ~ f$ .

Symetryczna, tzn. jeżeli figura $f$ jest podobna do figury $g$ , to figura $g$ jest podobna do figury $f$ . Możemy to zapisać: jeżeli $f ~ g$ , to $g ~ f$ .

Przechodnia, tzn. jeżeli figura $f$ jest podobna do figury $g$ i figura $g$ jest podobna do figury $h$ , to figura $f$ jest podobna do figury $h$ . To możemy zapisać: jeżeli $f ~ g$ i $g ~ h$ , to $f ~ h$ .

Pokażemy kilka przykładów, w których wykażemy, że trójkąty są podobne lub wykorzystamy podobieństwo trójkątów.

Przykład 1

Trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Punkt $D$ jest spodkiem wysokościspodek wysokości trójkątaspodkiem wysokości $C D$ opuszczonej z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta.

R15j5CBVEMdN4

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, leżący na przyprostokątnej A C. Kąt prosty zaznaczony jest przy wierzchołku C, z którego została poprowadzona wysokość upuszczona na przeciwprostokątną A B w punkcie D.

Wykaż, że trójkąty $A B C$ , $A C D$ i $C B D$ są podobne.

Rozwiązanie

Oznaczmy $|∢ C A B| = α$ .

RdV5iKTDeMTJy

Trójkąty $A D C$ i $A B C$ są prostokątne, mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ , więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta otrzymujemy $|∢ A B C| = 180 ° - |∢ A C B| - |∢ C A B| = 180 ° - 90 ° - α = 90 ° - α$ oraz $|∢ A C D| = 180 ° - |∢ C D A| - |∢ C A D| = 180 ° - 90 ° - α = 90 ° - α$ .

Zatem $|∢ A B C| = |∢ A C D|$ .

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty $A D C$ i $A B C$ są podobne.

Trójkąt $C B D$ jest prostokątny oraz $|∢ A B C| = 90 ° - α$ , więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta otrzymujemy $|∢ D C B| = 180 ° - |∢ C D B| - |∢ D B C| = 180 ° - 90 ° - (90 ° - α) = α$ .

Wobec tego kąty trójkąta $C B D$ są takie same jak kąty trójkątów $A D C$ i $A B C$ , co oznacza, że trójkąt $C B D$ jest podobny do każdego z trójkątów $A D C$ i $A B C$ .

To należało wykazać.

Przykład 2

Trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D E F$ w skali $4$ , trójkąt $K L M$ jest podobny do trójkąta $D E F$ w skali $3$ . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

RNV4yrDK42E7f

Ilustracja przedstawia trzy trójkąty podobne o różnych wielkościach, trójkąt A B C największy, trójkąt D E F najmniejszy oraz trójkąt K L M . Boki podobne wszystkich trzech trójkątów zostały zaznaczone tym samym kolorem. Boki A B, D E i K L na niebiesko. Boki A C, D F i K M na żółto oraz boki B C, E F i L M na czerwono.

Ponieważ skala podobieństwa trójkąta $A B C$ do trójkąta $D E F$ jest równa $4$ , więc $|A B| = 4 \cdot |D E|$ .

Skala podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $D E F$ jest równa $3$ , więc $|K L| = 3 \cdot |D E|$ .

Skala podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $A B C$ jest równa $\frac{|K L|}{|A B|} = \frac{3 \cdot |D E|}{4 \cdot |D E|} = \frac{3}{4}$ .

Przykład 3

Trójkąt $A B C$ jest równoboczny. Punkty $D$ , $E$ i $F$ leżą na bokach odpowiednio $A B$ , $B C$ i $A C$ tego trójkąta oraz $|A D| : |D B| = |B E| : |E C| = |C F| : |F A| = 1 : 2$ . Odcinki $A E$ , $B F$ i $C D$ wyznaczają trójkąt $K L M$ , jak na rysunku.

R9HQUqwAOREpI

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Z każdego wierzchołka poprowadzony został odcinek, który dzieli przeciwległy bok na dwie części w stosunku 1:2, z wierzchołka A poprowadzony odcinek pada na bok B C w punkcie E. Odcinek C E jest dwa razy dłuższy od odcinka B E. Z wierzchołka B poprowadzony odcinek pada na bok A C w punkcie F. Odcinek A F jest dwa razy dłuższy od odcinka C F. Z wierzchołka C poprowadzony odcinek pada na bok A B w punkcie D. Odcinek B D jest dwa razy dłuższy od odcinka A D. Przecinające się odcinki poprowadzone z wierzchołków trójkąta A B C tworzą mniejszy trójkąt K L M. Odcinki A E i D C przecinają się w punkcie K. Odcinki A E i B F przecinają się w punkcie L. Ostatnie dwa odcinki B F i C D przecinają się w punkcie M.

Wykaż, że trójkąt $K L M$ jest podobny do trójkąta $A B C$ i oblicz skalę tego podobieństwa.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że trójkąt $K L M$ jest podobny do trójkąta $A B C$ wystarczy wykazać, że trójkąt $K L M$ jest równoboczny.

Oznaczmy przez $a$ długość boku trójkąta $A B C$ . Wtedy

$|A D| = |B E| = |C F| = \frac{1}{3} a$ oraz $|B D| = |C E| = |A F| = \frac{2}{3} a$ .

Stąd i z równości $|∢ B A C| = |∢ A B C| = |∢ A C B| = 60 °$ wynika, na mocy cechy bkb, że trójkąty $A B E$ , $B C F$ i $C A D$ są przystające. Stąd otrzymujemy

$|∢ A E B| = |∢ B F C| = |∢ C D A|$ oraz $|∢ B A E| = |∢ C B F| = |∢ A C D|$ .

To z kolei, wraz z równością $|A D| = |B E| = |C F|$ , oznacza, że trójkąty $A D K$ , $B E L$ i $C F M$ są przystające (cecha kbk).

Wobec tego $|∢ A K D| = |∢ B L E| = |∢ C M F|$ .

Ponieważ $|∢ A K D| = |∢ M K L|$ , $|∢ B L E| = |∢ K L M|$ i $|∢ C M F| = |∢ L M K|$ , gdyż są to pary kątów wierzchołkowych, więc $|∢ M K L| = |∢ K L M| = |∢ L M K|$ .

Zatem trójkąt $K L M$ jest równoboczny.

Obliczmy teraz skalę podobieństwa tego trójkąta do trójkąta $A B C$ . Skala ta jest równa stosunkowi długości boków tych trójkątów. Ponieważ trójkąt $K L M$ jest równoboczny, więc $|∢ M K L| = |∢ K L M| = |∢ L M K| = 60 °$ .

Trójkąt $A D K$ jest podobny do trójkąta $A E B$ , ponieważ: $|∢ D A K| = |∢ B A E|$ (kąt wspólny), $|∢ A K D| = |∢ A B C| = 60 °$ oraz $|∢ A D C| = |∢ B E A|$ (cecha kkk).

Zatem $\frac{|A K|}{|K D|} = \frac{|A B|}{|B E|} = \frac{a}{\frac{1}{3} a} = 3$ , skąd $|A K| = 3 |K D|$ , ale $|K D| = |L E|$ , więc $|A K| = 3 |L E|$ .

Trójkąty $A L F$ i $A C E$ są podobne, gdyż mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ oraz $|∢ A L F| = |∢ A C E| = 60 °$ .

Zatem $\frac{|A L|}{|L F|} = \frac{|A C|}{|C E|} = \frac{a}{\frac{2}{3} a} = \frac{3}{2}$ , skąd $|L F| = \frac{2}{3} |A L|$ , ale $|L F| = |K E|$ , więc $|K E| = \frac{2}{3} |A L|$ .

Zatem $|K L| + |L E| = \frac{2}{3} (|A K| + |K L|)$ . Stąd $\frac{1}{3} |K L| + |L E| = \frac{2}{3} |A K|$ , czyli $\frac{1}{3} |K L| + |L E| = \frac{2}{3} \cdot 3 |L E|$ , więc $\frac{1}{3} |K L| = |L E|$ , ale $|L E| = \frac{1}{3} |A K|$ , wobec tego $|K L| = |A K| = 3 |L E|$ .

Zatem $|K L| = \frac{3}{7} |A E|$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B E$ otrzymujemy

${|A E|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B E|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B E| \cdot \cos 60 ° =$

$= a^{2} + {(\frac{1}{3} a)}^{2} - 2 a \cdot \frac{1}{3} a \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{9} a^{2}$

Stąd $|A E| = \frac{a \sqrt{7}}{3}$ .

Wobec tego $|K L| = \frac{3}{7} \cdot \frac{a \sqrt{7}}{3} = \frac{a \sqrt{7}}{7}$ .

Zatem skala podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $A B C$ jest równa $\frac{|K L|}{|A B|} = \frac{\frac{a \sqrt{7}}{7}}{a} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Przykład 4

Trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Punkt $D$ jest spodkiem wysokości $C D$ opuszczonej z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta.

RTVkBdq8hcEs6

Udowodnij, że obwody trójkątów $A C D$ , $C B D$ i $A B C$ spełniają równość

${(L_{A C D})}^{2} + {(L_{C B D})}^{2} = {(L_{A B C})}^{2}$ .

Dowód

Trójkąty $A C D$ , $C B D$ i $A B C$ są podobne, co wykazaliśmy w przykładzie 1. Pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $A C D$ , $C B D$ , czyli

$P_{A B C} = P_{A C D} + P_{C B D}$ .

Stąd, dzieląc obie strony tej równości przez $P_{A B C}$ , otrzymujemy

$1 = \frac{P_{A C D}}{P_{A B C}} + \frac{P_{C B D}}{P_{A B C}}$ .

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych figur, a skala podobieństwa figur podobnych jest równa stosunkowi obwodów tych figur, więc powyższą równość możemy zapisać w postaci

$1 = {(\frac{L_{A C D}}{L_{A B C}})}^{2} + {(\frac{L_{C B D}}{L_{A B C}})}^{2}$ , czyli $1 = \frac{{(L_{A C D})}^{2}}{{(L_{A B C})}^{2}} + \frac{{(L_{C B D})}^{2}}{{(L_{A B C})}^{2}}$ .

Stąd, mnożąc obie strony otrzymanej równości przez ${(L_{A B C})}^{2}$ , otrzymujemy

${(L_{A B C})}^{2} = {(L_{A C D})}^{2} + {(L_{C B D})}^{2}$ .

To kończy dowód.

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią zadania pierwszego w poniższej animacji. Spróbuj je rozwiązać samodzielnie, a następnie sprawdź swój tok rozumowania z animacją. Wciśnij pauzę, gdy czas odtwarzania będzie równy $3 : 50$ .

RRxc10M5dat9s

Polecenie 2

Zapoznaj się z treścią drugiego zadania i wyjaśnieniami dotyczącymi tej treści. W tym celu obejrzyj fragment animacji od momentu, gdy czas odtwarzania będzie równy $3 : 50$ do momentu, gdy czas ten będzie równy $4 : 42$ . Samodzielnie uzasadnij, że trójkąty $A B O$ i $D O C$ są podobne, a następnie wykorzystaj to w dalszym rozwiązywaniu zadania. Sprawdź swój tok rozumowania z animacją. Wciśnij pauzę w chwili $7 : 39$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z treścią trzeciego zadania. W tym celu odtwórz animację od chwili $7 : 39$ , wykonaj polecenia podane na filmie.

Ry0q5Kka0CroB1

Ćwiczenie 1

RC4em7R9Yby0p1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są podobne. Obwód trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ .

Obwód $L_{D E F}$ trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ , więc $L_{D E F} = 80 % \cdot L_{A B C} = \frac{8}{10} L_{A B C}$ .

Skala podobieństwa trójkątów jest równa stosunkowi ich obwodów.

Zatem skala $s$ podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ jest równa $s = \frac{L_{D E F}}{L_{A B C}} = \frac{\frac{8}{10} \cdot L_{A B C}}{L_{A B C}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

R1eSF91EiaswI2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Punkty $D$ i $E$ leżą na boku $A C$ trójkąta $A B C$ i dzielą ten bok na odcinki $A D$ , $D E$ i $C E$ o równych długościach. Punkty $F$ i $G$ leżą na boku $B C$ tego trójkąta i również dzielą ten bok na odcinki $B F$ , $F G$ i $C G$ o równych długościach, jak na rysunku.

R16vhWcbSXBLt

RDkJS0jyhHHTE

RVG5SZZowa0Tf

Ćwiczenie 6

Pola dwóch trójkątów podobnych są równe $27$ i $36$ . Promień okręgu opisanego na mniejszym z tych trójkątów jest równy $6$ . Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz promień okręgu opisanego na większym z tych trójkątów.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, zatem $s^{2} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ .

Stąd skala podobieństwa mniejszego trójkąta do większego jest równa $s = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Niech $R$ oznacza promień większego okręgu, wtedy $\frac{6}{R} = s$ .

Zatem $\frac{6}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd $R = 4 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Obwód równoległoboku $A B C D$ jest równy $24$ , a stosunek długości obu wysokości tego równoległoboku jest równy $1 : 5$ . Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Niech $E$ i $F$ oznaczają spodki wysokości równoległoboku $A B C D$ poprowadzonych z wierzchołka $A$ .

Oznaczmy też $|∢ A B C| = δ$ .

Możemy założyć, że $|A E| : |A F| = 1 : 5$ .

R15ktUKqNqKNp

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D. Przy przeciwległych wierzchołkach B i D oznaczono kąty wewnętrzne sigma. Górny poziomy bok C D przedłużono w lewą stronę. Od lewego dolnego wierzchołka A poprowadzono w górę odcinek A E, gdzie punkt E leży na przedłużeniu górnego boku. W ten sposób utworzono trójkąt prostokątny A D E z kątem prostym przy wierzchołku E. Następnie przedłużono w dół prawy bok B C oraz poprowadzono prostopadły do niego odcinek z wierzchołka A do punktu F leżącego na przedłużeniu boku B C. Zaznaczono kąt prosty przy A F B.

Przeciwległe kąty rówoległoboku są równe, więc $|∢ A B C| = |∢ A D C| = δ$ .

Z twierdzenia o kątach przyległych wynika, że $|∢ A D E| = |∢ A B F| = 180 ° - δ$ .

Kąty $A E D$ i $A F B$ są proste, więc trójkąty $A E D$ i $A F B$ są podobne, co wynika z cechy kkk podobieństwa trójkątów.

Zatem $\frac{|A D|}{|A B|} = \frac{|A E|}{|A F|} = \frac{1}{5}$ . Stąd $|A B| = 5 |A D|$ .

Obwód równoległoboku $A B C D$ jest równy $L_{A B C D} = 24$ , ale $L_{A B C D} = 2 |A B| + 2 |A D|$ .

Otrzymujemy więc $2 |A B| + 2 |A D| = 24$ , czyli $|A B| + |A D| = 12$ .

Zatem $5 |A D| + |A D| = 12$ , skąd $|A D| = 2$ , więc $|A B| = 5 |A D| = 5 \cdot 2 = 10$ .

Ćwiczenie 8

Wysokości $C D$ i $A E$ trójkąta równobocznego $A B C$ przecinają się w punkcie $M$ .

RN0dLLVtaLOBf

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Z wierzchołka C poprowadzona została wysokość upuszczona na bok A B w punkcie D. Z wierzchołka A poprowadzona została wysokość upuszczona na bok B C w punkcie E. Obie wysokości przecinają się w punkcie M i tworzą dwa nowe trójkąty, pierwszy D E M oraz drugi AED.

Wykaż, że trójkąty $D E M$ i $A E D$ są podobne i skala tego podobieństwa jest równa $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Niech $|A B| = |B C| = |A C| = a$ .

Punkty $D$ i $E$ są środkami boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ , więc $|D B| = |B E| = \frac{1}{2} a$ .

Kąt $D B E$ jest równy $60 °$ , więc trójkąt $D B E$ jest równoboczny.

Zatem $|D E| = \frac{1}{2} a$ , ale $|A D| = \frac{1}{2} a$ , więc trójkąt $A E D$ jest równoramienny.

Ponieważ $|∢ D A E| = 30 °$ , więc $|∢ D E A| = 30 °$ .

Ponieważ trójkąt $D B E$ jest równoboczny, więc $|∢ B D E| = 60 °$ .

Zatem $|∢ M D E| = |∢ M D B| - |∢ B D E| = 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Równość $|∢ M D E| = |∢ M E D| = 30 °$ oznacza, że trójkąt $D E M$ jest równoramienny i podobny do trójkąta $A E D$ .

Skala tego podobieństwa jest równa $\frac{|D E|}{|A E|}$ .

Ze wzoru na wyskość trójkąta równobocznego otrzymujemy $\frac{|D E|}{|A E|} = \frac{\frac{1}{2} a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ćwiczenie 9

Cięciwy $A B$ i $C D$ okręgu przecinają się w punkcie $M$ .

RiUyhH7r61Ax2

Ilustracja przedstawia okrąg oraz dwie cięciwy A B i D C przecinające się w punkcie M.

Udowodnij, że $|A M| \cdot |B M| = |C M| \cdot |D M|$ .

Rozważmy trójkąty $A M D$ i $C M B$ .

RC5dnQR0oWl2o

Ilustracja przedstawia okrąg oraz dwie cięciwy A B i D C przecinające się w punkcie M. Połączenie punktów A D oraz B i C utworzyło dwa nowe trójkąty. A M D oraz B M C. Podpisane zostały także kąty. Kąt alfa przy wierzchołku A i C, kąt beta przy wierzchołku D i B oraz kąt wierzchołkowy gamma przy wierzchołku M.

Kąty $B A D$ i $D C B$ są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $B D$ okręgu.

Podobnie kąty $A B C$ i $A D C$ są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $A C$ okręgu.

Kąty $A M D$ i $C M B$ są równe, gdyż są to kąty wierzchołkowe.

Wobec tego trójkąty $A M D$ i $C M B$ są podobne (cecha kkk).

Zatem $\frac{|A M|}{|D M|} = \frac{|C M|}{|B M|}$ .

Stąd wynika równość $|A M| \cdot |B M| = |C M| \cdot |D M|$ , co kończy dowód.

Słownik

spodek wysokości trójkąta

punkt wspólny wysokości i prostej, na którą ta wysokość została opuszczona

5. Cechy podobieństwa trójkątów

M_R_W06_M2 Twierdzenie Talesa, podobieństwo trójkątów

6. Zastosowanie cech podobieństwa trojkątów

Słownik