4. Działania na wektorach w układzie współrzędnych

RS8uC5pQz50U8

Wektory, podobnie jak inne obiekty geometryczne, możemy umieścić w układzie współrzędnych. Wówczas możemy opisać liczbami wektory, ale również działania na nich. Kontynuując koncepcję Kartezjusza połączymy świat geometrii ze światem liczb i algebry.

Twoje cele

Obliczysz współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę w zależności od współrzędnych tego wektora i liczby.
Obliczysz współrzędne sumy/różnicy wektorów w zależności od współrzędnych dodawanych/odejmowanych wektorów.
Zastosujesz własności działań na wektorach do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Iloczyn wektora przez liczbę

Rozważmy wektor o współrzędnych $[a; b]$ i zaczepmy go w początku prostokątnego układu współrzędnych.

RdWhszYYGFn4b

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez liczb na podziałce. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor o współrzędnych a;b. Punkt zaczepienia wektora to początek układu współrzędnych.

Zrzutujemy teraz wektor na osie układu współrzędnych: jego rzut na oś $x$ ma współrzędne $[a; 0]$ , zaś jego rzut na oś $y$ ma współrzędne $[0; b]$ .

Oczywiście $[a; 0] + [0; b] = [a; b]$ .

R13P1o8Xa2Mse

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor o punkcie zaczepienia w początku układu współrzędnych. Wektor ma współrzędne a;b. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor a;0 oznaczony na osi poziomej X, wektor 0;b oznaczony na osi pionowej Y.

Wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych $[a; 0]$ przez liczbę $k$ ma współrzędne $[k a; 0]$ (zgodnie z definicją), zaś wektor będący iloczynem wektora na osi o współrzędnych $[0; b]$ przez liczbę $k$ ma współrzędne $[0; k b]$ .

R1AcyTrBbk0OI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś pionową oznaczono jako Y, poziomą jako X. W pierwszej ćwiartce, wzdłuż osi X narysowano wektor a;0 oraz wzdłuż osi Y wektor 0;b. Narysowano sumę tych dwóch wektorów, powstał wektor o współrzędnych a;b. Na osiach zaznaczono również wektory powstałe po przemnożeniu wektorów a;0 i 0;b przez pewne dodatnie k. Tak powstały wektory ka;0 oraz 0;kb.

Zauważmy teraz, że $[k a; 0] + [0; k b] = [k a; k b]$

RMEin7uJ0sUkw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Układ posiada oś pionową Y oraz oś poziomą X. W pierwszej ćwiartce narysowano wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych o współrzędnych a;b. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor a;0 oznaczony na osi X, wektor 0;b oznaczony na osi Y. Wektor a;b przemnożono przez dodatni współczynnik k, tworząc wektor ka;kb. Wektor ten rozłożono na składowe: wektor ka;0 oznaczony na osi X, wektor 0;kb oznaczony na osi Y.

Powyższe rozumowanie stanowi argument za następującym faktem:

Współrzędne iloczynu wektoraWspółrzędne iloczynu wektora $\vec{u} = [a; b]$ przez liczbę rzeczywistą $k$ są równe $k \vec{u} = k [a; b] = [k a; k b]$ .

Przykład 1

Iloczyn wektora $\vec{u} = [2; - 3]$ przez liczbę $k = 2$ jest wektorem o współrzędnych $2 \vec{u} = 2 \cdot [2; - 3] = [2 \cdot 2; 2 \cdot (- 3)] = [4; - 6]$ .

Przypomnijmy przy tej okazji zależność między długością wektora $k \vec{u}$ a długością wektora $\vec{u}$ . Zgodnie ze wzorem na długość wektora w układzie współrzędnych mamy $|k \vec{u}| = |[k a; k b]| = \sqrt{{(k \cdot g a)}^{2} + {(k \cdot b)}^{2}} = \sqrt{k^{2} a^{2} + k^{2} b^{2}} =$
$= \sqrt{k^{2} (a^{2} + b^{2})} = |k| \sqrt{a^{2} + b^{2}} = |k| \cdot |[a; b]| = |k| \cdot |\vec{u}|$

co jest algebraicznym potwierdzeniem definicji przyjętej w lekcji o temacie “Iloczyn wektora przez liczbę”.

Przykład 2

Wyznaczymy punkty, które dzielą odcinek o końcach $A = (1; 2)$ i $B = (5; 4)$ na trzy odcinki o równych długościach.

Szukane punkty nazwijmy $X$ i $Y$ . Wektor $\vec{A B}$

ma współrzędne $\vec{A B} = [5 - 1; 4 - 2] = [4; 2]$ .

Zauważmy, że wektor

$\vec{A X} = \frac{1}{3} \vec{A B} = \frac{1}{3} [4; 2] = [\frac{4}{3}; \frac{2}{3}]$

ma długość równą $\frac{2}{3}$ długości wektora $A B$ , zaś wektor

$\vec{A Y} = \frac{2}{3} \vec{A B} = \frac{2}{3} [4; 2] = [\frac{8}{3}; \frac{4}{3}]$

ma długość równą $\frac{2}{3}$ długości wektora $A B$ .

Aby otrzymać współrzędne punktu $X$ , wystarczy do współrzędnych punktu $A = (1; 2)$ dodać współrzędne wektora

$\vec{A X} = [\frac{4}{3}; \frac{2}{3}]$ ,

zatem $X = (\frac{7}{3}; \frac{8}{3})$ .

Aby otrzymać współrzędne punktu $Y$ , wystarczy do współrzędnych punktu $A = (1; 2)$ dodać współrzędne wektora

$\vec{A Y} = [\frac{8}{3}; \frac{4}{3}]$ ,

zatem $Y = (\frac{11}{3}; \frac{10}{3})$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj poniższą infografikę, a następnie rozwiąż zadanie.

R16QaHzKs9soG

Polecenie 2

R10Dz9ZO8ePvk

Suma i różnica wektorów w układzie współrzędnych

Rozważmy wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ . Przypomnijmy, że aby dodać wektory umieszczamy początek drugiego z nich w punkcie będącym końcem pierwszego. Przeanalizujmy poniższy rysunek.

Po wykonaniu rzutowania wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $X$ otrzymamy wektory $\vec{u_{x}}$ i $\vec{v_{x}}$ o współrzędnych $[a; 0]$ i $[c; 0]$ . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów $\vec{u_{x}}$ i $\vec{v_{x}}$ jest rzutem sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $X$ i ma współrzędne $[a + c; 0]$ . Wynika to z definicji dodawania wektorów na osi.

Po wykonaniu rzutowania wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $Y$ , otrzymamy wektory $\vec{u_{y}}$ i $\vec{v_{y}}$ o współrzędnych $[0; b]$ i $[0; d]$ . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów $\vec{u_{y}}$ i $\vec{v_{y}}$ jest rzutem sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $Y$ i ma współrzędne $[0; b + d]$ .

Możemy stąd wyciągnąć wniosek, że współrzędne sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ to $[a + c; b + d]$ .

R2L7DoYQQX1Bf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Ilustracja głównie przedstawia pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie przedstawiono trójkąt zbudowany z trzech wektorów. Wektor pierwszy to wektor a;b. W jego końcu zaczepiony jest wektor c;d. Trzeci wektor, który domyka trójkąt jest sumą obu wymienionych już wektorów. Jest on zaczepiony w początku pierwszego wektora, a jego koniec pokrywa się z końcem drugiego wektora. Trzeci wektor jest postaci: a+c;b+d. Na obu osiach zaznaczono rzuty pierwszego i drugiego wektora. Rzuty te również są wektorami. Rzuty pierwszego wektora to: poziomy: a;0, pionowy: 0;b. Rzuty drugiego wektora to: poziomy: c;0, pionowy: 0;d.

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla różnicy dwóch wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dochodząc do wniosku, że współrzędne różnicy wektorów o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są równe $[a - c; b - d]$ .

Powyższy opis nie jest formalnym dowodem w sensie matematycznym, pomaga jednak zrozumieć koncepcję działań na współrzędnych wektorów. Zapiszemy teraz wnioski z powyższych rozważań w postaci twierdzeń.

o współrzędnych sumy dwóch wektorów

Twierdzenie: o współrzędnych sumy dwóch wektorów

Współrzędne sumywspółrzędne sumy wektorówWspółrzędne sumy dwóch wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów.

Dowód

Niech $\vec{u} = [a_{1}; b_{1}]$ , $\vec{v} = [a_{2}; b_{2}]$ oraz $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{B C}$ , gdzie $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , $C = (x_{C}, y_{C})$ .

Wówczas $\vec{u} + \vec{v} = \vec{A C}$ oraz $\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}]$ , $\vec{B C} = [x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B}]$ , $\vec{A C} = [x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}]$ .

Przy czym

$x_{B} - x_{A} = a_{1}, y_{B} - y_{A} = b_{1}$ ,

$x_{C} - x_{B} = a_{2}, y_{C} - y_{B} = b_{2}$ .

Ponieważ

$x_{C} - x_{A} = (x_{C} - x_{B}) + (x_{B} - x_{A}) = a_{1} + a_{2}$ i

$y_{C} - y_{A} = (y_{C} - y_{B}) + (y_{B} - y_{A}) = b_{1} + b_{2}$ ,

więc

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{A C} = [x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}] = [a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}]$ .

o współrzędnych różnicy dwóch wektorów

Twierdzenie: o współrzędnych różnicy dwóch wektorów

Współrzędne różnicywspółrzędne różnicy wektorówWspółrzędne różnicy dwóch wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów.

Dowód można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku Twierdzenia o sumie wektorów.

Przykład 3

Dane są wektory $\vec{u} = [- 2; 4]$ i $\vec{v} = [1; - 3]$ .

Wówczas $\vec{u} + \vec{v} = [- 2; 4] + [1; - 3] = [- 2 + 1; 4 - 3] = [- 1; 1]$

oraz $\vec{u} - \vec{v} = [- 2; 4] - [1; - 3] = [- 2 - 1; 4 - (- 3)] = [- 3; 7]$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby suma wektorów $\vec{u} = [m^{2}; 1 - m]$ i $\vec{v} = [1; 2]$ była równa $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ .

Współrzędne sumy wektorówwspółrzędne sumy wektorówWspółrzędne sumy wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych wektorów dodawanych, zatem zachodzi następujący warunek $[m^{2}; 1 - m] + [1; 2] = [2; 4]$ , który jest równoważny warunkowi $[m^{2} + 1; 1 - m + 2] = [2; 4]$ .

Przypomnijmy, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, zatem gdy spełnione są jednocześnie równania: $m^{2} + 1 = 2$ oraz $1 - m + 2 = 4$ . Z pierwszego wynika, że $m \in \{- 1, 1\}$ , zaś z drugiego $m = - 1$ . Ponieważ oba równania mają być spełnione jednocześnie, więc warunki zadania spełnia tylko $m = - 1$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj galerię zdjęć, a następnie rozwiąż zadania.

R1ENIVtsfvAEz

1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Ilustracja głównie przedstawia pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie przedstawiono trójkąt zbudowany z trzech wektorów. Wektor pierwszy to wektor nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. W jego końcu zaczepiony jest wektor nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Trzeci wektor, który domyka trójkąt jest sumą obu wymienionych już wektorów. Jest on zaczepiony w początku pierwszego wektora, a jego koniec pokrywa się z końcem drugiego wektora. Trzeci wektor jest postaci: nawias kwadratowy, a, plus, c, średnik, b, plus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Na obu osiach zaznaczono rzuty pierwszego i drugiego wektora. Rzuty te również są wektorami. Rzuty pierwszego wektora to: poziomy: nawias kwadratowy, a, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego, pionowy: nawias kwadratowy, zero, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rzuty drugiego wektora to: poziomy: nawias kwadratowy, c, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego, pionowy: nawias kwadratowy, zero, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Na ilustracji obok obu osi narysowano klamry zamykające oba rzuty na każdej osi. Pod klamrami zapisano sumy obu rzutów. Odpowiednio są to: pod osią X sumą obu rzutów jest wektor nawias kwadratowy, a, plus, c, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego po lewej stronie osi Y sumą obu rzutów jest wektor nawias kwadratowy, zero, średnik, b, plus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. {audio} Rzuty prostokątne wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego na oś X mają współrzędne nawias kwadratowy a, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma tych rzutów ma współrzędne nawias kwadratowy a, plus, c, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rzuty prostokątne wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego na oś Y mają współrzędne nawias kwadratowy zero, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy zero, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma tych rzutów ma współrzędne nawias kwadratowy zero, średnik, b, plus, d zamknięcie nawiasu kwadratowego. Zatem suma wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego ma współrzędne nawias kwadratowy a, plus, c, przecinek, b, plus, d zamknięcie nawiasu kwadratowego.

R10SuJmgLHmky

RaMktJcu8oO02

R841wYu7v9cLL

R1eZvjbRNSuq2

1. {audio} Rozważmy punkty A i B o współrzędnych odpowiednio równych nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i nawias dwa, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu. Wyznaczymy współrzędne takiego punktu S, aby suma wektorów wektor A S i wektor B S była wektorem zerowym. Niech współrzędne punktu S będą równe nawias x, średnik, y zamknięcie nawiasu. Wówczas wektor wektor A S ma współrzędne nawias kwadratowy x, minus, jeden, średnik, y, minus, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, zaś wektor wektor B S ma współrzędne nawias kwadratowy x, minus, dwa, średnik, y, plus, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma wektorów wektor A S i wektor B S ma współrzędne nawias kwadratowy dwa x, minus, trzy, średnik, dwa y, minus, dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego, które mają być z założenia równe zerom. Wynika stąd, że x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zaś y, równa się, jeden. Zatem punkt S ma współrzędne nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Slajd przedstawia rozwiązanie przykładu. Niech A, równa się, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu oraz B, równa się, nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wyznaczymy taki punkt S, równa się, nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu, aby wektor A S, plus, wektor B S, równa się, wektor zero. Mamy więc: nawias kwadratowy, x, minus, jeden, średnik, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, x, minus, dwa, średnik, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy, x, minus, jeden, plus, x, minus, dwa, średnik, y, minus, trzy, plus, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy, dwa x, minus, trzy, średnik, dwa y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego Otrzymujemy z powyższego następujący układ równań: dwa x, minus, trzy, równa się, zero i dwa y, minus, dwa, równa się, zero. Rozwiązaniem układu równań są: x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka oraz y, równa się, jeden. Zatem ostatecznie otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: S, równa się, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.

Polecenie 4

RI7vlI8lWFx06

Danym wektorom przyporządkuj ich sumy. Wariant pierwszy. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 1; - 2]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 3; - 3]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} + \vec{v}$ to. Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} + \vec{v} = [- 6; - 9]$ ; b) $\vec{u} + \vec{v} = [- 5; - 2]$ ; c) $\vec{u} + \vec{v} = [- 4; - 5]$ ; d) $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ . Wariant drugi: Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 2; - 3]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 4; - 6]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} + \vec{v}$ to. Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} + \vec{v} = [- 6; - 9]$ ; b) $\vec{u} + \vec{v} = [- 5; - 2]$ ; c) $\vec{u} + \vec{v} = [- 4; - 5]$ ; d) $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ . Wariant trzeci. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 3; - 3]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [5; 7]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} + \vec{v}$ to. Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} + \vec{v} = [- 6; - 9]$ ; b) $\vec{u} + \vec{v} = [- 5; - 2]$ ; c) $\vec{u} + \vec{v} = [- 4; - 5]$ ; d) $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ . Wariant czwarty. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 2; 4]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 3; - 6]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} + \vec{v}$ : Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} + \vec{v} = [- 6; - 9]$ ; b) $\vec{u} + \vec{v} = [- 5; - 2]$ ; c) $\vec{u} + \vec{v} = [- 4; - 5]$ ; d) $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ .

Polecenie 5

R11F0jNHutgBn

Danym wektorom przyporządkuj ich różnice. Wariant pierwszy. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [2; 5]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 1; 5]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} - \vec{v}$ to. Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} - \vec{v} = [0; 2]$ ; b) $\vec{u} - \vec{v} = [3; 0]$ ; c) $\vec{u} - \vec{v} = [1; - 3]$ ; d) $\vec{u} - \vec{v} = [- 5; - 9]$ . Wariant drugi. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 3; - 2]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 3; - 4]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} - \vec{v}$ to: Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} - \vec{v} = [0; 2]$ ; b) $\vec{u} - \vec{v} = [3; 0]$ ; c) $\vec{u} - \vec{v} = [1; - 3]$ ; d) $\vec{u} - \vec{v} = [- 5; - 9]$ . Wariant trzeci. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 3; - 4]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [2; 5]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} - \vec{v}$ to: Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} - \vec{v} = [0; 2]$ ; b) $\vec{u} - \vec{v} = [3; 0]$ ; c) $\vec{u} - \vec{v} = [1; - 3]$ ; d) $\vec{u} - \vec{v} = [- 5; - 9]$ . Wariant czwarty. Współrzędne wektora $\vec{u}$ : $\vec{u} = [- 3; - 5]$ . Współrzędne wektora $\vec{v}$ : $\vec{v} = [- 4; - 2]$ . Współrzędne wektora $\vec{u} - \vec{v}$ to: Możliwe odpowiedzi: a) $\vec{u} - \vec{v} = [0; 2]$ ; b) $\vec{u} - \vec{v} = [3; 0]$ ; c) $\vec{u} - \vec{v} = [1; - 3]$ ; d) $\vec{u} - \vec{v} = [- 5; - 9]$ .

Polecenie 6

Ro6CB51HTLf3i

Dane są punkty $A = (- 3; 2), B = (1; 3), C = (2; - 3), D = (3; - 2)$ . Rozwiąż test.

RjVzVehcwYIPD

R2cZj431uQU9G

R1VBC3LB3OzAE

R12p5hGunXt0o

R1Rf46OrbBnbz1

Ćwiczenie 1

RRyg8NYbFCPkw1

Ćwiczenie 2

R1Og1YTToTmhp1

Ćwiczenie 3

R1D56LZ12lYOJ2

Ćwiczenie 4

Rap3qEdzB6AGK21

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.. X, równa się, nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty A, równa się, nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego.. Y, równa się, nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty A, równa się, nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego.. Z, równa się, nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty A, równa się, nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek A B na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego.

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że punkt $S$ , który dzieli odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ w taki sposób, że długość odcinka $B S$ jest dwa razy dłuższa niż długość odcinka $A S$ o współrzędnych $(\frac{x_{B} + 2 x_{A}}{3}, \frac{x_{B} + 2 y_{A}}{3})$ .

Zauważmy, że $\vec{AS} = \frac{1}{3} \vec{AB}$ .

Niech punkt $S$ ma współrzędne $(x_{S}, y_{S})$ .

Wówczas $\vec{AS} = [x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}]$

oraz $\vec{SB} = [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ .

Zatem prawdziwa jest równość:

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = \frac{1}{3} [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ ,

która jest równoważna równości

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [\frac{1}{3} (x_{B} - x_{S}); \frac{1}{3} (y_{B} - y_{S})]$ .

Przypomnijmy, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, czyli gdy zachodzą oba równania jednocześnie:

$x_{S} - x_{A} = \frac{1}{3} (x_{B} - x_{S})$ oraz $y_{S} - y_{A} = \frac{1}{3} (y_{B} - y_{S})$ .

Po wyznaczeniu z nich wielkości $x_{S}$ i $y_{S}$ otrzymujemy

$S = (\frac{x_{B} + 2 x_{A}}{3}; \frac{y_{B} + 2 y_{A}}{3})$ ,

co kończy dowód.

R1381JNjdzdj631

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że środek $S$ wektora o początku $A = (x_{A}; y_{A})$ i końcu $B = (x_{B}; y_{B})$ ma współrzędne $X_{S} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Niech $S$ ma współrzędne $(x_{S}; y_{S})$ . Wówczas możemy zauważyć, że $\vec{AS} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ , czyli

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = \frac{1}{2} [x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}]$ ,

co jest równoważne równaniu

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [\frac{1}{2} (x_{B} - x_{A}); \frac{1}{2} (y_{B} - y_{A})]$ .

Po przekształceniu daje to współrzędne punktu

$S$ : $x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ i $y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Ćwiczenie 9

Na odcinku o końcach $A = (1; 2)$ i $B = (5; - 3)$ wyznacz taki punkt $X$ , aby długość wektora $\vec{X B}$ była cztery razy większa niż długość wektora $\vec{A X}$ .

Zauważmy, że $\vec{XB} = 4 \vec{AX}$ . Niech punkt $X$ ma współrzędne $(a; b)$ .
Wówczas $[5 - a; - 3 - b] = 4 \cdot [a - 1; b - 2]$ , co jest równoważne równaniu $[5 - a; - 3 - b] = [4 (a - 1); 4 (b - 2)]$ .
Wynika stąd, że $5 - a = 4 (a - 1)$ i $- 3 - b = 4 (b - 2)$ . Czyli $a = \frac{9}{5}$ i $b = 1$ .
Zatem $X = (\frac{9}{5}; 1)$ .

RtcS6Cep2RidA1

Ćwiczenie 10

RRCv9xYbUEY0s1

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

R1CxCMtinvZYl

Ćwiczenie 13

RATtyjGXZqxRR

Ćwiczenie 14

R14WNIAZ9K5OG

Ćwiczenie 15

R1WjEKfCszEFW

Ćwiczenie 16

R1EwdUVEGKmXY1

Ćwiczenie 17

Udowodnij, że współrzędne różnicy wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych wektorów składowych.

RFzkm7qxAmtGA

Niech $\vec{u} = [a_{1}; b_{1}]$ , $\vec{v} = [a_{2}; b_{2}]$ .

Wówczas $- \vec{u} = - [a_{1}; b_{1}] = [- a_{1}; - b_{1}]$ .

Zatem $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- \vec{v}) = [a_{1}; b_{1}] + [- a_{2}; - b_{2}] = [a_{1} - a_{2}; b_{1} - b_{2}]$ .

Co kończy dowód.

Słownik

współrzędne iloczynu wektora przez liczbę

współrzędne iloczynu wektora o współrzędnych $[a; b]$ przez liczbę $k$ są równe $[k a; k b]$

współrzędne sumy wektorów

współrzędne wektora będącego sumą wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów

współrzędne różnicy wektorów

współrzędne wektora będącego różnicą wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów

3. Wektor w układzie współrzędnych

5. Równoległość i prostopadłość wektorów. Iloczyn skalarny wektorów.