Za pomocą graficznego rozwiązania nierówności można narysować w układzie współrzędnych serce:

R7JK92QASEBRL

Na ilustracji zaprezentowany jest układ współrzędnych. Fragment poziomej osi X jest przedstawiony od minus sześciu do siedmiu, natomiast pionowej osi Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie przedstawiony jest wykres w kształcie serca z wnętrzem zaznaczonym kolorem. Wykres opisany jest przez następującą nierówność: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, pięć y, mianownik, cztery, koniec ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z cztery wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy równy, dwadzieścia.

• Przedstawisz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą.

• Zaznaczysz na osi liczbowej zbiór rozwiązań zapisany za pomocą przedziału otwartego i przedziału domkniętego.

• Wybierzesz te liczby spełniające  podany warunek, które należą do zbioru rozwiązań nierówności.

• Sformułujesz definicję nierówności tożsamościowych oraz definicję  nierówności sprzecznych.

• Rozpoznasz nierówności tożsamościowe i nierówności sprzeczne.

• Dopiszesz do nierówności takie wyrażenia arytmetyczne lub algebraiczne, aby otrzymać nierówność tożsamościową lub sprzeczną.

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą $x>2$.

R1XU9CDKPRRJ8

Na ilustracji przedstawiona jest oś liczbowa z zaznaczonymi liczbami od minus dwa do sześciu. Liczba dwa oznaczona jest pustym kółkiem oraz wyróżniona kolorem jest część osi na prawo od tej liczby.

Na osi liczbowej liczbę $2$ oznaczamy pustym kółeczkiem. Zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą składa się z wszystkich liczb, które są większe od $2$. Oznacza to, że liczba $2$ nie spełnia nierówności, czyli nie należy do zbioru rozwiązań tej nierówności. W zbiorze rozwiązań nierówności nie można wskazać najmniejszej liczby spełniającej tą nierówność.

Zbiór rozwiązań nierówności możemy zapisać również za pomocą przedziału liczbowego obustronnie otwartego $x\in \left(2, \infty \right)$.

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności $x\le 3$.

R1OALZH1MGBDP

Na ilustracji przedstawiony jest fragment poziomej osi X od minus dwa do sześciu. Liczba trzy oznaczona jest zamalowanym kółkiem oraz wyróżniona kolorem jest część osi na lewo od tej liczby.

Na osi liczbowej liczbę $3$ oznaczamy zamalowanym kółeczkiem. Zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą składa się z wszystkich liczb, które są mniejsze lub równe 3. Oznacza to, że liczba $3$ spełnia nierówność, czyli należy do zbioru rozwiązań tej nierówności. W zbiorze rozwiązań nierówności liczba $3$ jest największą liczbą spełniającą tą nierówność.

Zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomąZbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą możemy zapisać również za pomocą przedziału liczbowego prawostronnie domkniętego $x\in (-\infty , 3⟩$.

Rozwiążemy nierówność $x+2\ge 3x+5$ i przedstawimy interpretację graficzną zbioru rozwiązań nierówności z jedną niewiadomąinterpretacja graficzna zbioru rozwiązań nierówności z jedną niewiadomąinterpretację graficzną zbioru rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą.

Od obu stron nierówności odejmujemy $3x$.

Redukujemy wyrazy podobne.

Od obydwu stron nierówności odejmujemy $2$.

Redukujemy wyrażenia podobne.

Obydwie strony nierówności dzielimy przez $-2$. Pamiętamy o zmianie znaku nierówności na przeciwny.

Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej.

R1T2z3cmAc2LN

Na ilustracji przedstawiony jest fragment poziomej osi X od minus pięciu do trzech. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus jeden i jedna druga.

Rozwiążemy nierówność $4x-2\left(x-1\right)\le -3x+7$ i podamy wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

Najpierw rozwiążemy nierówność.

Ponieważ $x$ ma być liczbą naturalną: $x\in \left\{0, 1\right\}$.

Podamy i zaznaczymy na osi liczbowej zbiór rozwiązań następującej nierówności.

Jeżeli pomnożymy liczbę całkowitą ujemną $k$ przez dwa, do otrzymanego iloczynu dodamy $7$, a następnie otrzymaną sumę pomnożymy przez $2$, to otrzymamy liczbę większą od $1$.

Najpierw zapiszemy i rozwiążemy nierówność wynikającą z treści zadania.

Ponieważ $k$ jest liczbą całkowitą ujemną $k\in \left\{-3, -2, -1\right\}$.

RvfnZoL8Z7BIb

Na ilustracji przedstawiony jest fragment poziomej osi X od minus pięciu do trzech. Na osi zaznaczone są trzy punkty: minus trzy, minus dwa i minus jeden.

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności $x^2>-9$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy $0$). Prawa strona nierówności jest  liczbą ujemną. Zatem nierówność $L>P$ jest zawsze prawdziwa.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2>-9$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności $x+\frac{2x-4}{2}<2\left(x+3\right)$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Nierówność ta jest zawsze prawdziwa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce $x$.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x+\frac{2x-4}{2}<2\left(x+3\right)$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Nierównością tożsamościowąnierówność tożsamościowaNierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności $x^2<-2$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy $0$). Prawa strona nierówności jest  liczbą ujemną. Zatem nierówność $L<P$ jest zawsze fałszywa. Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tę nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2<-2$ jest zbiór pusty.

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności $x+\frac{3x-1}{2}>\mathrm{2,5}\left(x+1\right)$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Nierówność ta jest zawsze fałszywa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce $x$.

Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tą nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x+\frac{3x-1}{2}>\mathrm{2,5}\left(x+1\right)$ jest zbiór pusty.

Nierównością sprzecznąnierówność sprzecznaNierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełniona żadna liczba należącą do dziedziny tej nierówności.

wszystkie  liczby rzeczywiste, która spełniają tę nierówność

zaznaczenie zbioru rozwiązań nierówności na osi liczbowej

nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności

nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności