5. Nierówności podwójne - M_R_W01_M4 Nierówności liniowe

R1VBnWngfUgsq

5*. Nierówności podwójne

Czasami rozwiązanie zadania wymaga zapisania i rozwiązania podwójnej nierówności. Aby zaznaczyć na osi liczbowej zbiór rozwiązań podwójnej nierówności i podać rozwiązanie, należy ją przedstawić w postaci układu nierówności.

Treści dotyczące układów nierówności wykraczają poza podstawę programową i są nieobowiązkowe.

Twoje cele

Zapiszesz nierówność podwójną jako układ dwóch nierówności.
Zaznaczysz na osi liczbowej zbiór rozwiązań podwójnej nierówności liniowej.
Zapiszesz (jeżeli to będzie możliwe) w postaci przedziału liczbowego zbiór rozwiązań nierówności podwójnej.

Przykład 1

Zapiszemy zbiór rozwiązań układu nierówności $\{\begin{matrix} x > - 2 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ w postaci przedziału liczbowego.

W tym celu na osi liczbowej zaznaczamy część wspólną obu nierówności.

RYbrNroHEhFa0

Ilustracja przedstawia poziomą oś x o wartościach opisanych od minus dwa do siedem. Na osi zaznaczony został przedział od minus dwa do trzy. Przedział jest lewostronnie otwarty i prawostronnie zamknięty.

Rozwiązaniem układu nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $(- 2, 3⟩$ .

Przykład 2

Rozwiążemy podwójną nierównośćnierówność podwójnapodwójną nierówność $2 x - 1 \leq 3 x + 1 \leq x + 5$ .

Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału liczbowego.

Aby rozwiązać nierówność podwójnąnierówność podwójnanierówność podwójną $2 x - 1 \leq 3 x + 1 \leq x + 5$ , zapiszemy ją w postaci koniunkcji dwóch nierówności.

$2 x - 1 \leq 3 x + 1$ i $3 x + 1 \leq x + 5$

Następnie każdą nierówność rozwiążemy osobno.

2 x - 1 \leq 3 x + 1

2 x - 3 x \leq 1 + 1

- x \leq 2

x \geq - 2

Rozwiązanie drugiej nierówności.

3 x + 1 \leq x + 5

3 x - x \leq 5 - 1

2 x \leq 4

x \leq 2

Zbiór rozwiązań nierówności to $⟨- 2, 2⟩$ .

Przykład 3

Rozwiążemy teraz nierówność podwójną, przekształcając jednocześnie jej każdą stronę.

- 4 \leq 2 x + 6 \leq 5

Od każdej strony nierówności odejmujemy liczbę $6$ .

- 4 \leq 2 x + 6 \leq 5 | - 6

- 4 - 6 \leq 2 x + 6 - 6 \leq 5 - 6

- 10 \leq 2 x \leq - 1

Następnie każdą stronę nierówności dzielimy przez liczbę $2$ .

- 10 \leq 2 x \leq - 1 | : 2

- 5 \leq x \leq - \frac{1}{2}

Zbiór rozwiązań nierówności to $⟨- 5, - \frac{1}{2}⟩$ .

Przykład 4

Rozwiążemy teraz nierówność z wartością bezwzględną: $|x| < 1$ .

W tym celu zapiszemy nierówność podwójną $- 1 < x < 1$ .

Następnie nierówność podwójną zapiszemy jako koniunkcję dwóch nierówności.

\{\begin{matrix} x < 1 \\ x > - 1 \end{matrix}

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba rzeczywista należąca do przedziału $(- 1, 1)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją i przeanalizuj przykład pokazujący sposób rozwiązywania nierówności podwójnej oraz nierówności z wartością bezwzględną.

R1PVSTBA6DSRM

Polecenie 2

Rozwiąż nierówność podwójną.

0 < \frac{2}{3} x - 5 < 1

x \in (7 \frac{1}{2}, 9)

Polecenie 3

Rozwiąż nierówność z wartością bezwzględną $|x - 3| < 5$ .

x \in (- 2, 8)

Przykład 5

Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności podwójnej $4 < x - 1 < 3 x$ w postaci przedziału liczbowego.

Najpierw zapiszemy koniunkcję dwóch nierówności $\{\begin{matrix} 4 < x - 1 \\ x - 1 < 3 x \end{matrix}$ i rozwiążemy układ nierówności.

\{\begin{matrix} 4 < x - 1 \\ x - 1 < 3 x \end{matrix}

\{\begin{cases} - x < - 1 - 4 \\ x - 3 x < 1 \end{cases}

\{\begin{cases} - x < - 5 \\ - 2 x < 1 \end{cases}

\{\begin{cases} x > 5 \\ x > - \frac{1}{2} \end{cases}

Nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste większe od $5$ .

Zatem rozwiązaniem układu nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $(5, \infty)$ . Jest to przedział nieograniczony otwartyprzedział nieograniczony otwartyprzedział nieograniczony otwarty.

Przykład 6

Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności podwójnej $5 \leq x - 2 \leq 2 x$ w postaci przedziału liczbowego.

Najpierw zapiszemy koniunkcję dwóch nierówności $\{\begin{cases} 5 \leq x - 2 \\ x - 2 \leq 2 x \end{cases}$ i rozwiążemy układ nierówności.

\{\begin{cases} 5 \leq x - 2 \\ x - 2 \leq 2 x \end{cases}

\{\begin{cases} - x \leq - 2 - 5 \\ x - 2 x \leq 2 \end{cases}

\{\begin{cases} - x \leq - 7 \\ - x \leq 2 \end{cases}

\{\begin{cases} x \geq 7 \\ x \geq - 2 \end{cases}

Nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe $7$ .

Zatem rozwiązaniem układu nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $⟨7, \infty)$ .

Jest to przedział nieograniczony lewostronnie domkniętyprzedział nieograniczony lewostronnie domknięty.

Przykład 7

Rozwiążemy podwójną nierówność $2 x - 1 \leq 3 x + 1 < x + 7$ . Wybierzemy ze zbioru rozwiązań nierówności wszystkie liczby naturalne, które spełniają nierówność podwójną.

Aby rozwiązać nierówność podwójną $2 x - 1 \leq 3 x + 1 < x + 7$ rozpiszemy ją na koniunkcję dwóch nierówności.

2 x - 1 \leq 3 x + 1 \land 3 x + 1 < x + 7

Następnie rozwiążemy każdą nierówność koniunkcji.

2 x - 1 \leq 3 x + 1 \land 3 x + 1 < x + 7

2 x - 3 x \leq 1 + 1 \land 3 x - x < 7 - 1

- x \leq 2 \land 2 x < 6

x \geq - 2 \land x < 3

Stąd: $x \in ⟨- 2, 3)$ .

Z podanego przedziału wybierzemy wszystkie liczby naturalne, które spełniają nierówność podwójną. Będzie to zbiór $\{0, 1, 2\}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy teraz układ nierówności $\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} < 5 \\ |x - 2| < 2 \end{matrix}$ .

Zauważmy, że wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem w pierwszej nierówności można zapisać za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

\{\begin{matrix} \sqrt{{(x - 3)}^{2}} < 5 \\ |x - 2| < 2 \end{matrix}

Wiemy, że $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

Zatem otrzymujemy układ dwóch nierówności z wartością bezwzględną.

\{\begin{matrix} |x - 3| < 5 \\ |x - 2| < 2 \end{matrix}

Układ tych nierówności zapiszemy jako koniunkcję dwóch nierówności.

|x - 3| < 5

|x - 2| < 2

Najpierw rozwiążemy pierwszą nierówność $|x - 3| < 5$ . Jest ona równoważna podwójnej nierówności $- 5 < x - 3 < 5$ .

Do obu stron nierówności dodamy liczbę $3$ .

- 2 < x < 8

Zatem rozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział $(- 2, 8)$ .

Analogicznie rozwiążemy drugą nierówność z wartością bezwzględną.

| x - 2 | < 2

- 2 < x - 2 < 2

0 < x < 4

Zatem rozwiązaniem drugiej nierówności jest przedział $(0, 4)$ .

Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna rozwiązań obu nierówności. Zilustrujemy to graficznie.

R1RRfEVjjzaQq

Grafika przedstawia oś liczbową x z opisanymi wartościami od minus trzech do jedenastu. Na osi zaznaczone są dwa przedziały. Pierwszy przedział od minus dwóch do ośmiu jest obustronnie otwarty. Drugi przedział od zera to czterech jest również obustronnie otwarty.

Rozwiązaniem układu nierówności jest przedział $(0, 4)$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą rodzaje podwójnych nierówności wraz z przykładami.

R1VXGPGHKHUCD1

Ilustracja przedstawia trzy kartki papieru zapisane równaniami matematycznymi. Pierwsza kartka przedstawia następujące nierówności : minus, trzy, mniejszy niż, x, mniejszy niż, zero oraz minus, pięć, mniejszy równy, x, mniejszy równy, siedem. Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniami są przedziały ograniczone. W opisie tej kartki znajdują się cztery osie x, na pierwszej zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty od a do b, obok którego znajduje się napis: nawias, a, przecinek, b, zamknięcie nawiasu. a, mniejszy niż, a, mniejszy niż, b. Na drugiej osi zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty od a do b, a napis brzmi następująco: a, przecinek, b. a, mniejszy równy, x, mniejszy równy, b. Na trzeciej osi również znajduje się przedział od a do b, natomiast ten jest lewostronnie domknięty, obok znajduje się napis: a, przecinek, b. a, mniejszy równy, x, mniejszy niż, b. Na czwartej osi znajduje się przedział od a do b, który jest prawostronnie domknięty, obok znajduje się napis: nawias a, przecinek, b zamknięcie nawiasu ostrego. a, mniejszy niż, x, mniejszy równy, b. Druga kartka przedstawia dwie następujące nierówności podwójne: x, minus, trzy, mniejszy niż, x, mniejszy niż, jeden oraz nierówność x, minus, jeden, mniejszy niż, x, mniejszy niż, dwa. Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniami są przedziały nieograniczone otwarte, do opisu tej kartki dołączone zostały dwie osie x z zaznaczonymi przedziałami. Na pierwszej osi zaznaczony został przedział od a do plus nieskończoności, jest to przedział lewostronnie otwarty, obok jest napis: nawias, a, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Na drugiej osi zaznaczony został przedział prawostronnie otwarty od minus nieskończoności do a, obok niego znajduje się napis: nawias, minus, nieskończoność, przecinek, a, zamknięcie nawiasu. Trzecia kartka również przedstawia dwie nierówności: dwa, mniejszy równy, x, mniejszy równy, x, plus, jeden oraz x, mniejszy równy, x, plus, trzy, mniejszy równy, pięć. Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniem jest przedział nieograniczony domknięty. Do tego opisu również dołączone zostały dwie osie z zaznaczonymi przedziałami. Na pierwszej osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od a do plus nieskończoności, obok niego jest napis: nawias ostry a indeks dolny, przecinek, koniec indeksu dolnego, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu. Na drugiej osi zaznaczono przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do a, jest on podpisany: nawias, minus, nieskończoność, przecinek, a, zamknięcie nawiasu ostrego.

Ilustracja przedstawia trzy kartki papieru zapisane równaniami matematycznymi. Pierwsza kartka przedstawia następujące nierówności : $- 3 < x < 0$ oraz $- 5 \leq x \leq 7$ . Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniami są przedziały ograniczone. W opisie tej kartki znajdują się cztery osie x, na pierwszej zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty od a do b, obok którego znajduje się napis: $(a, b)$ . $a < a < b$ . Na drugiej osi zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty od a do b, a napis brzmi następująco: $<a, b>$ . $a \leq x \leq b$ . Na trzeciej osi również znajduje się przedział od a do b, natomiast ten jest lewostronnie domknięty, obok znajduje się napis: $<a, b)$ . $a \leq x < b$ . Na czwartej osi znajduje się przedział od a do b, który jest prawostronnie domknięty, obok znajduje się napis: $(a, b ⟩$ . $a < x \leq b$ . Druga kartka przedstawia dwie następujące nierówności podwójne: $x - 3 < x < 1$ oraz nierówność $x - 1 < x < 2$ . Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniami są przedziały nieograniczone otwarte, do opisu tej kartki dołączone zostały dwie osie x z zaznaczonymi przedziałami. Na pierwszej osi zaznaczony został przedział od a do plus nieskończoności, jest to przedział lewostronnie otwarty, obok jest napis: $(a, + \infty)$ . Na drugiej osi zaznaczony został przedział prawostronnie otwarty od minus nieskończoności do a, obok niego znajduje się napis: $(- \infty, a)$ . Trzecia kartka również przedstawia dwie nierówności: $2 \leq x \leq x + 1$ oraz $x \leq x + 3 \leq 5$ . Są to nierówności podwójne, których rozwiązaniem jest przedział nieograniczony domknięty. Do tego opisu również dołączone zostały dwie osie z zaznaczonymi przedziałami. Na pierwszej osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od a do plus nieskończoności, obok niego jest napis: $⟨ a_{,} + \infty)$ . Na drugiej osi zaznaczono przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do a, jest on podpisany: $(- \infty, a⟩$ .

Polecenie 5

Rozwiąż nierówności przedstawione w infografice i zapisz przedział liczbowy, który jest rozwiązaniem nierówności:

a) $- 3 < x < 0$ ,

b) $- 5 \leq x \leq 7$ ,

c) $x - 3 < x < 1$ ,

d) $x - 1 < x < 2$ ,

e) $2 \leq x \leq x + 1$ ,

f) $x \leq x + 3 \leq 5$ .

RUtvup88k2M8d

a) $x \in (- 3, 0)$ ,

b) $x \in ⟨- 5, 7⟩$ ,

c) $x \in (- \infty, 1)$ ,

d) $x \in (- \infty, 2)$ ,

e) $x \in ⟨2, \infty)$ ,

f) $x \in (- \infty, 2⟩$ .

RAiD5fWKQLkfp1

Ćwiczenie 1

RmtJmme8VVr3d1

Ćwiczenie 2

R1BChIkTqMvvK2

Ćwiczenie 3

R1AjntjTjxS4c2

Ćwiczenie 4

R1XNZu0ExmKyo2

Ćwiczenie 5

RlLy9lMOgkae52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

R1B4xKHzUoMGV

RBFuHynnMnasi

Ćwiczenie 8

Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań układu nierówności.

a) $\{\begin{matrix} x + 3 > 0 \\ 2 x - 2 < x + 2 \end{matrix}$

b) $\{\begin{matrix} 2 x - 1 > - 4 \\ 4 x + 3 < x + 2 \end{matrix}$

c) $\{\begin{matrix} - 3 x - 1 \leq 3 \\ 5 x + 2 \leq 2 x - 1 \end{matrix}$

a) $x \in (- 3, 4)$

b) $x \in (- 1 \frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$

c) $x \in ⟨- 1 \frac{1}{3}, - 1⟩$

Ćwiczenie 9

Rozwiąż nierówność $|x + 4| < 1$ .

$x \in (- 5, - 3)$

Pokaż ćwiczenia:

R1RlPKkMpOIZX1

Ćwiczenie 10

RX9AXQugi2Xss1

Ćwiczenie 11

R1NDkFrIh0VND2

Ćwiczenie 12

Rl1ebx6o2HrKs2

Ćwiczenie 13

RrrYPvt5IEeoy2

Ćwiczenie 14

R1Vqz6PXww8ZB2

Ćwiczenie 15

R1bvLup1qRswZ2

Ćwiczenie 16

R8tlzKiIEPCYO3

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Rozwiąż układ nierówności:

\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}} < 5 \\ |x - 1| < 4 \end{matrix}

x \in (- 3, 5)

Słownik

nierówność podwójna

nierówności z tymi samymi niewiadomymi, którą można zapisać za pomocą układu dwóch nierówności

przedział nieograniczony otwarty

przedział typu $(- \infty, a)$ lub $(a, \infty)$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą

przedział nieograniczony prawostronnie/ lewostronnie domknięty

przedział typu $(- \infty, a⟩$ lub $⟨a, \infty)$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą

4. Zadania tekstowe prowadzące do nierówności liniowych

M_R_W01_M4 Nierówności liniowe

5*. Nierówności podwójne

Słownik