• Poznasz podstawowe własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej $a$.

• Korzystając z własności modułu, uprościsz wyrażenia z wartością bezwzględną.

• Zastosujesz wartość bezwzględną liczby podczas dowodzenia twierdzeń.

Oblicz.

Zauważ, że w każdym z przypadków otrzymujemy liczbę nieujemną.

Oblicz wartość wyrażenia

$a=\left|-5\right|+2·\left|-\frac{3}{4}\right|-\left|2\frac{1}{2}\right|$.

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

$\left|-5\right|=5$

$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$

$\left|2\frac{1}{2}\right|=2\frac{1}{2}$

Następnie, pamiętając o kolejności wykonywania działań, obliczamy wartość wyrażenia $a$.

$a=5+2·\frac{3}{4}-2\frac{1}{2}=5+\frac{3}{2}-2\frac{1}{2}=5+1\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}=4$

Oblicz wartość wyrażenia

$b=\left|\sqrt{3}\right|-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\left(-3\right)·\left|-\left(-\sqrt{2}\right)\right|-\left(-2\right)·\left|-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right|$.

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Ponownie korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

$\left|\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$

$\left|-\left(-\sqrt{2}\right)\right|=\left|\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$

Ostatnią wartość bezwzględną możemy obliczyć dwoma sposobami.

I sposób

Doprowadzamy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci i określamy jego znak, a następnie opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R1QL8xFuDolcx

Na ilustracji przedstawione jest równanie rozwiązane pierwszym sposobem. $\left|-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right|=\left|-\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|=\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=$, przy czym pod ostatnim modułem dodano, że $\sqrt{2}-\sqrt{3}>0$, więc dalej po znaku równości zapisano: $=-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

II sposób

Określamy znak wyrażenia pod modułem i opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R1X0ukKgTyItJ

Na ilustracji rozwiązane jest to samo równanie, jednak drugim sposobem. Mamy: $\left|-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right|=$, przy czym na dole pod modułem dopisano, że $-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)<0$, a na górze nad modułem zapisano, że $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0$. Całe równanie jest więc następujące: $\left|-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right|=-\left[-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

Teraz, pamiętając o kolejności wykonywania działań oraz zasadach dodawania i odejmowania pierwiastków, obliczamy wartość wyrażenia $b$.

$b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\left(-3\right)·\sqrt{2}+2·\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=$

Pierwiastki, które maja taka samą liczbę podpierwiastkową oznaczono takim samym kolorem.

Porównaj liczby $\left|a\right|$ i $\left|b\right|$.

Zauważ, że $a$ i $b$, to liczby przeciwne.

Zwróć uwagę, że liczby w trzeciej i czwartej kolumnie są takie same.

A zatem wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe.

Przeanalizuj przykłady. Skorzystaj ze znanych Ci własności pierwiastków

• $\sqrt{a^2}=a$, dla $a\ge 0$,

• $\sqrt{a^2}=-a$, dla $a<0$.

Na pewno widzisz, że w powyższych przykładach otrzymany wynik jest zawsze liczbą dodatnią. Przykłady te obrazują kolejną własność wartości bezwzględnej.

Jeśli liczba $x$ pod pierwiastkiem jest kwadratem pewnego wyrażenia $a$, to pierwiastek z liczby $x$ jest wartością bezwzględną z liczby $a$.

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}$, korzystając z powyższej własności.

Korzystając z własności: $\mathrm{ }\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, otrzymujemy:

Wyrażenie w module jest ujemne (sprawdź to), a zatem korzystając z algebraicznej definicji własności bezwzględnej dla $a<0$, możemy zapisać:

A zatem:

Znajdź liczbę $x$, spełniającą warunek $\left|4x-8\right|=16$.

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

W liczbie pod modułem wyłączamy przed nawias liczbę $4$.

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z iloczynu dwóch liczb, jako iloczyn dwóch modułów.

Obliczamy wartość bezwzględną liczby $4$.

Dzielimy obie strony równania przez $4$.

Otrzymujemy wyrażenie

Wiesz, że:

$4=\left|4\right|$ lub $4=\left|-4\right|$

Stąd:

$x-2=4$ lub $x-2=-4$

A zatem:

$x=6$ lub $x=-2$.

Znajdź liczbę $x$, spełniającą warunek $\left|\frac{x-5}{2}\right|=3$.

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z ilorazu dwóch liczb, jako iloraz dwóch modułów.

Obliczamy wartość bezwzględną liczby $2$.

Mnożymy obie strony równania przez $2$.

Otrzymujemy wyrażenie

Wiesz, że:

$6=\left|6\right|$ lub $6=\left|-6\right|$

Stąd:

$x-5=6$ lub $x-5=-6$

A zatem:

$x=11$ lub $x=-1$.

1. $\left|a\right|\ge 0$, $a\in \mathrm{ℝ}$

2. $\left|a\right|=\left|-a\right|$, $a\in \mathrm{ℝ}$

3. $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, $a\in \mathrm{ℝ}$

4. $\left|a·b\right|=\left|a\right|·\left|b\right|$, $a\in \mathrm{ℝ}$, $b\in \mathrm{ℝ}$

5. $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$, $a\in \mathrm{ℝ}$, $b\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

Zapisz wyrażenie $\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+3$ w najprostszej postaci, wiedząc, że $x<1$.

Określamy znak wyrażeń znajdujących się pod symbolami wartości bezwzględnej aby, korzystając z definicji, opuścić te symbole.

Możemy to zrobić następująco:

1. Korzystamy z założenia:
   $x<1$.

2. Odejmujemy od obu stron nierówności $1$, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie tożsame z tym, które znajduje się w pierwszej wartości bezwzględnej.
   $x<1 \left|-1\right.$
   $x-1<0$

3. Otrzymaliśmy nierówność, dzięki której wiemy, że wyrażenie znajdujące się pod pierwszym modułem jest ujemne, a zatem:
   $\left|x-1\right|=-x+1$.

4. Ponownie korzystamy z założenia
   $x<1$.

5. Tym razem od obu stron nierówności odejmujemy $2$, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie tożsame z tym, które znajduje się w drugiej wartości bezwzględnej.
   $x<1 \left|-2\right.$
   $x-2<-1<0$

6. A zatem wyrażenie znajdujące się pod drugim modułem jest również ujemne, stąd:
   $\left|x-2\right|=-x+2$.

Zapisujemy wyrażenie $\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+3$ w najprostszej postaci, dla $x<1$.

$\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+3=\left(-x+1\right)+\left(-x+2\right)+3=-x+1-x+2+3=-2x+6$

Zapisz wyrażenie $\left|x-2\right|-2·\left|4-x\right|-4$ w najprostszej postaci, wiedząc, że $x\in ⟨2, 4⟩$.

Określamy znak wyrażeń znajdujących się pod symbolami wartości bezwzględnej aby, korzystając z definicji, opuścić te symbole.

Możemy to zrobić następująco:

1. Korzystamy z założenia
   $2\le x\le 4$.

2. Otrzymaliśmy nierówność, dzięki której wiemy, że wyrażenie znajdujące się w pierwszym module jest nieujemne, a zatem
   $\left|x-2\right|=x-2$.

3. Ponownie korzystamy z założenia.
   $2\le x\le 4$

4. Tym razem, aby otrzymać wyrażenie, które znajduje się w drugiej wartości bezwzględnej, musimy dokonać przekształceń.
   $2\le x\le 4 \left|·\left(-1\right)\right.$ – mnożymy strony nierówności przez $\left(-1\right)$
   $-2\ge -x\ge -4$
   $-4\le -x\le -2 \left|+4\right.$ – do stron nierówności dodajemy $4$:
   $0\le -x+4\le 2$.

5. A zatem wyrażenie znajdujące się w drugim module jest również nieujemne, stąd:
   $\left|4-x\right|=4-x$.

Zapisujemy wyrażenie $\left|x-2\right|+2·\left|4-x\right|-4$ w najprostszej postaci, dla $x\in ⟨2, 4⟩$.

$\left|x-2\right|+2·\left|4-x\right|-4=\left(x-2\right)+2·\left(4-x\right)-4=x-2+8-2x=6-x$

Zapisz wyrażenie $\left|x-2\right|-2x$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

W tym przykładzie najpierw zapisujemy wyrażenie $\left|x-2\right|$ bez symbolu wartości bezwzględnej zgodnie z definicją modułumoduł liczby rzeczywistej $a$modułu.

$\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& \mathrm{dla} x-2\ge 0\\ -\left(x-2\right),& \mathrm{dla} x-2<0\end{array}\right.,$

czyli

$\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& \mathrm{dla} x\ge 2\\ 2-x,& \mathrm{dla} x<2\end{array}\right..$

Zapisujemy wyrażenie $\left|x-2\right|-2x$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej.

1. dla $x\ge 2$
   $\left|x-2\right|-2x=x-2-2x=-x-2$

2. dla $x<2$
   $\left|x-2\right|-2x=2-x-2x=2-3x$

Podsumowując:

$\left|x-2\right|-2x=\left\{\begin{array}{ll}-x-2,& \mathrm{dla} x\ge 2\\ 2-3x,& \mathrm{dla} x<2\end{array}\right..$

Zapisz wyrażenie $\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Najpierw zapisujemy wyrażenia bez symbolu wartości bezwzględnej zgodnie z definicją modułu.

$\left|2x-4\right|=\left\{\begin{array}{ll}2x-4,& \mathrm{dla} 2x-4\ge 0\\ -\left(2x-4\right),& \mathrm{dla} 2x-4<0\end{array}\right.,$

czyli

$\left|2x-4\right|=\left\{\begin{array}{ll}2x-4,& \mathrm{dla} x\ge 2\\ 4-2x,& \mathrm{dla} x<2\end{array}\right.$

oraz

$\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-5,& \mathrm{dla} x-5\ge 0\\ -\left(x-5\right),& \mathrm{dla} x-5<0\end{array}\right.,$

czyli

$\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-5,& \mathrm{dla} x\ge 5\\ 5-x,& \mathrm{dla} x<5\end{array}\right..$

Możemy wykonać rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy znak wartości wyrażeń znajdujących się w modułach, w wyznaczonych wyżej przedziałach liczbowych.

Rh5MA5Itsc4L1

Na rysunku pomocniczym przedstawiony jest fragment poziomej osi $X$ od minus pięciu do dziesięciu. Nad osią zaznaczone są przedziały dla wartości bezwzględnej dla dwóch wyrażeń. Pierwsze z nich wynosi $\left|x5\right|$. Na osi zaznaczone są dwa przedziały dla tego wyrażenia: $\left(-\infty ;-5\right)$ określony znakiem minus oraz przedział $⟨5;+\infty )$ określony znakiem plus. Drugie wyrażenie wynosi $\left|2x-4\right|$. Dla tego wyrażenia zaznaczone są przedziały: $\left(-\infty ;2\right)$, określony znakiem minus oraz przedział $⟨2;+\infty )$, określony znakiem plus.

A zatem:

1. Dla $x\in \left(-\infty , 2\right)$ mamy:

$2x-4<0$, więc $\left|2x-4\right|=4-2x$ i $x-5<0$, więc $\left|x-5\right|=5-x$.

2. Dla $x\in \left.⟨2, 5\right)$ mamy:

$2x-4>0$, więc $\left|2x-4\right|=2x-4$ i $x-5<0$, więc $\left|x-5\right|=5-x$.

3. Dla $x\in \left.⟨5, +\infty \right)$ mamy:

$2x-4>0$, więc $\left|2x-4\right|=2x-4$ i $x-5>0$, więc $\left|x-5\right|=x-5$.

Zapisujemy wyrażenie $\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej.

1. Dla $x\in \left(-\infty , 2\right)$:

$\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|=\left(4-2x\right)-\left(5-x\right)=4-2x-5+x=-x-1$.

2. Dla $x\in \left.⟨2, 5\right)$:

$\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|=\left(2x-4\right)-\left(5-x\right)=2x-4-5+x=3x-9$.

3. Dla $x\in \left.⟨5, +\infty \right)$:

$\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|=\left(2x-4\right)-\left(x-5\right)=2x-4-x+5=x+1$.

Podsumowując:

$\left|2x-4\right|-\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{ll}-x-1,& \mathrm{dla} x\in \left(-\infty , 2\right)\\ 3x-9,& \mathrm{dla} x\in \left.⟨2, 5\right)\\ x+1,& \mathrm{dla} x\in \left.⟨5, +\infty \right)\end{array}\right.$.

iloczyn wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

iloraz wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $a$