1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej - M_R_W10_M2 Własności funkcji kwadratowej

RRyhDwvUzJW3g

1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Wiele czynności życiowych wykonujemy zgodnie z określonym schematem postępowania, czyli algorytmem. Podobnie jest z obliczaniem miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej ma istotne znaczenie do odkrywania ciekawych własności funkcji kwadratowej. Mając daną postać funkcji kwadratowej, możemy na kilka różnych sposobów wyznaczyć punkty przecięcia z osią $X$ , o ile istnieją. Kolejne kroki w wyznaczaniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej można połączyć z tworzeniem schematów blokowych na lekcji informatyki.

Nabycie umiejętności określania różnorodnych własności funkcji na podstawie wzoru i wykresu pozwala na wyjaśnienie wielu problemów matematycznych

Twoje cele

Ustalisz algorytm obliczania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Wyznaczysz miejsca zerowe funkcji kwadratowej z użyciem wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Sprawdzisz istnienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej w zadaniach z parametrami.

Miejsce zerowe

Definicja: Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej będziemy określać na różne sposoby:

poprzez odczytywanie z wykresu funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej,
z wykorzystaniem definicji miejsca zerowego,
z zastosowaniem wzorów na miejsca zerowe, w zależności od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej.

Graficznie miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe funkcji określamy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

Przykład 1

Odczytamy wartości miejsc zerowych z wykresu funkcji kwadratowej $f$ , której wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

RM0vGOerVshu3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa od minus 2 do czterech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w punkcie 0;3. Funkcja posiada miejsca zerowe w punktach minus 3 oraz trzy.

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $(- 3)$ oraz $3$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oraz $a \neq 0$ , to:

gdy $Δ > 0$ , funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 3 x^{2} - 3$ .

Ponieważ $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = 36$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

R1CeeLngSyexw

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=3x2-3. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie o współrzędnych 0;-3. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: -1;0 oraz 1;0.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 0 = 9$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Rctik0LhdEL1k

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-2x2+3x. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w pierwszej ćwiartce układu. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: 0;0 oraz 32;0.

gdy $Δ = 0$ , funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

Ponieważ $a = 1$ oraz $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RRDD2nPUOUkGl

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=x2-6x+9. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 3;0. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x - 4$ .

Ponieważ $a = - 1$ oraz $Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

RvnTeS0njkF6M

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-x2+4x-4. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 2;0. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

gdy $Δ < 0$ , funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = - 7$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1ea0NoM7r1CO

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=2x2+3x+2. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ .

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ oraz $Δ = 0^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 1) = - 2$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R11d0gnygeNZ9

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=-12x2-1. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych 0;-1. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Każda funkcja kwadratowa ma co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej możemy wyznaczyć korzystając z równości $f (x) = 0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ określonej wzorem:

a) $f (x) = x^{2} + 4 x$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} + 4 x = 0$ , które zapisujemy w postaci $x (x + 4) = 0$ , zatem $x = 0$ lub $x = - 4$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $0$ oraz $(- 4)$ .

b) $f (x) = x^{2} - 9$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} - 9 = 0$ , które zapisujemy w postaci $x^{2} = 9$ , zatem $x = - 3$ lub $x = 3$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $(- 3)$ oraz $3$ .

c) $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , które przekształcamy do postaci ${(x - 3)}^{2} = 0$ , zatem $x - 3 = 0$ , czyli $x = 3$ .

Funkcja $f$ ma jedno miejsce zerowe $3$ .

d) $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , które przekształcamy do postaci $x^{2} + 4 x + 4 - 1 = 0$ .

Zatem ${(x + 2)}^{2} = 1$ , czyli $x + 2 = 1$ lub $x + 2 = - 1$ .

Obliczamy, że $x = - 1$ lub $x = - 3$

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $(- 1)$ oraz $(- 3)$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ , to miejsca zerowe obliczamy w następujących krokach:

wypisujemy wartości współczynników $a$ , $b$ , $c$ ,
obliczamy $∆$ ,
wybieramy jedną z trzech poniższych możliwości.

Jeżeli:

$∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowemiejsce zerowemiejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$
$∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$∆ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Przykład 3

Obliczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + x + 12$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12 = 49 > 0$ , zatem funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Wyznaczamy

$x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{49}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 - 7}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$

$x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{49}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 + 7}{- 2} = \frac{6}{- 2} = - 3$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $4$ oraz $(- 3)$ .

Przykład 4

Obliczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = {(x - 2)}^{2} - 4$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $f$ rozwiązujemy równanie:

${(x - 2)}^{2} - 4 = 0$

Równanie po przekształceniu zapisujemy w postaci ${(x - 2)}^{2} = 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniom: $x - 2 = 2$ lub $x - 2 = - 2$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $0$ oraz $4$ .

Wiedząc o tym, że liczba miejsc zerowychmiejsce zerowemiejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika, możemy znajdować wartości parametrów we wzorze funkcji kwadratowej, znając liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} - b x + 1$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $Δ = 0$ .

Obliczamy $Δ = {(- b)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = b^{2} - 8$

Do wyznaczenia wartości parametru $b$ rozwiązujemy równanie

$b^{2} - 8 = 0$ , zatem $b = - 2 \sqrt{2}$ lub $b = 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ nie ma miejsc zerowych, przy założeniu, że $a > 0$ .

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ .

Obliczamy:

$Δ = b^{2} - 4 a$ .

Zakres wartości parametru $b$ określimy przez rozwiązanie nierówności

$b^{2} - 4 a < 0$

Nierówność możemy zapisać w postaci $b < 2 \sqrt{a}$ i $b > - 2 \sqrt{a}$ , zatem $b \in (- 2 \sqrt{a}, 2 \sqrt{a})$ .

Przykład 7

Wyznaczymy liczbę miejsc zerowych funkcji określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x$ w zależności od wartości parametru $b$ , jeżeli $a \neq 0$ .

Obliczamy:

$Δ = {(b + 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 0 = {(b + 1)}^{2}$

funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} < 0$ , czyli $b \in \emptyset$ ,
funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $Δ = 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} = 0$ , czyli $b = - 1$ ,
funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy $Δ > 0$ , zatem ${(b + 1)}^{2} > 0$ , czyli $b \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

Przykład 8

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + (m - 2) x - 2$ ma miejsce zerowe równe $1$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , więc $f (1) = 0$ .

Po podstawieniu $x = 1$ , otrzymujemy równanie: $0 = - 3 + (m - 2) - 2$ , z czego wynika że $m = 7$ .

Przykład 9

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} + x + (m - 4)$ ma dwa miejsca zerowe.

Rozwiązanie:

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

Obliczamy $∆ = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 4) = 1 - 8 \cdot (m - 4) = 1 - 8 m + 32 = - 8 m + 33$ .

Zapisujemy warunek: $∆ > 0$ , stąd $- 8 m + 33 > 0$ .

Z tej nierówności wynika, że $m < \frac{33}{8}$ .

Przykład 10

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = m x^{2} + 2 x + m$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Rozwiązanie:

Jeżeli $∆ = 0$ i $m \neq 0$ , to funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Drugi z warunków musi być spełniony, bo z treści zadania wiemy, że funkcja ma być kwadratowa.

Zapisujemy warunek: $∆ = 0$ , stąd $4 - 4 m^{2} = 0$ . Z tego równania wynika, że $m = 1$ lub $m = - 1$ . Obie liczby są różne od zera, zatem spełniają warunki zadania.

Jeżeli wzór funkcji kwadratowej możemy zapisać za pomocą iloczynu czynników liniowych, to miejscami zerowymi funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ są liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ .

Przykład 11

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $x_{1} = - 8$ oraz $x_{2} = 2$ .

Jeżeli liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , wówczas wartość współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ możemy obliczyć ze wzoru:

p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Przykład 12

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe. Obliczymy wartość drugiego miejsca zerowego, jeżeli jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $(- 2)$ , zaś pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ wynosi $p = 4$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenie: $x_{2}$ – drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f$ .

W celu wyznaczenia wartości tego miejsca zerowego, rozwiązujemy równanie:

$4 = \frac{- 2 + x_{2}}{2}$

Zatem $x_{2} = 10$ .

Polecenie 1

Poniżej przedstawiono schemat interaktywny dotyczący określania miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru. Przeanalizuj działanie schematu, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RypXouBTGZ6mw1

Polecenie 2

Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem:

a) $f (x) = 2 x^{2} - 1$

b) $f (x) = x^{2} - 6 x$

c) $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$

d) $f (x) = x^{2} - x - 12$

a) $2 x^{2} - 1 = 0$ , czyli $x^{2} = \frac{1}{2}$ , zatem $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) $x^{2} - 6 x = 0$ , czyli $x (x - 6) = 0$ , zatem $x = 0$ lub $x - 6 = 0$ .

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $0$ oraz $6$ .

c) $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ , czyli ${(x + 5)}^{2} = 0$ , zatem $x + 5 = 0$

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $(- 5)$ .

d) $x^{2} - x - 12 = 0$

$∆ = 49$ oraz $\sqrt{∆} = 7$

$x_{1} = \frac{1 - 7}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $(- 3)$ oraz $4$ .

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm określający miejsca zerowe funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru.

RInKnx74A3fLX

Przygotuj w języku Python algorytm określający miejsca zerowe funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

RVhmIWgUEYR0g1

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. a znak równości None. Linia 3. delta znak równości None. Linia 4. wynik znak równości None. Linia 5. b znak równości None. Linia 6. c znak równości None. Linia 8. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Określanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Linia 9. na podstawie jej wzoru ax kareta 2 plus bx plus c znak równości 0 kropka. Linia 10. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 11. def Miejsca podkreślnik zerowych podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 12. global x przecinek a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 13. a znak równości 1. Linia 14. b znak równości minus 2. Linia 15. c znak równości 0. Linia 16. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 17. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest równanie kwadratowe kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 18. else dwukropek. Linia 19. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kareta 2 minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek c przecinek apostrof zamknij nawias okrągły apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 20. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 21. print otwórz nawias okrągły apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny 0 przecinek to funkcja nie ma miejsc zerowych kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 22. else dwukropek. Linia 23. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 24. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości 0 przecinek to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci dwukropek x podkreślnik 1 znak równości x podkreślnik 2 znak równości apostrof przecinek apostrof minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 25. else dwukropek. Linia 26. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x4 zamknij nawias okrągły for x4 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny zamknij nawias ostrokątny 0 przecinek to funkcja ma dwa miejsca zerowe postaci dwukropek x podkreślnik 1 znak równości apostrof przecinek apostrof otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły minus √ apostrof przecinek delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły przecinek x podkreślnik 2 znak równości otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły plus √ apostrof przecinek delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 28. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 29. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 30. def delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 31. global x przecinek a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 32. delta znak równości b asterysk b minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły a asterysk c zamknij nawias okrągły. Linia 33. return delta. Linia 35. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 36. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 37. def znak otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 38. global a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 39. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 40. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 41. else dwukropek. Linia 42. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 43. return wynik. Linia 46. Miejsca podkreślnik zerowych podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
a = None
delta = None
wynik = None
b = None
c = None

"""Określanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej
na podstawie jej wzoru ax^2 + bx + c = 0.
"""
def Miejsca_zerowych_funkcji_kwadratowej():
  global x, a, delta, wynik, b, c
  a = 1
  b = -2
  c = 0
  if a == 0:
    print('To nie jest równanie kwadratowe.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Δdelta=(', b, ')^2-4*(', a, ')*(', c, ')']]))
    if delta2() < 0:
      print('Ponieważ Δdelta<0, to funkcja nie ma miejsc zerowych. ')
    else:
      if delta2() == 0:
        print(''.join([str(x3) for x3 in ['Ponieważ Δdelta=0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci: x_1=x_2=', '-(', b, ')/2*(', a, ').']]))
      else:
        print(''.join([str(x4) for x4 in ['Ponieważ Δdelta>0, to funkcja ma dwa miejsca zerowe postaci: x_1=', '(-(', b, ')-√', delta2(), ')/2*(', a, '), x_2=(-(', b, ')+√', delta2(), ' )/2*(', a, ').']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def delta2():
  global x, a, delta, wynik, b, c
  delta = b * b - 4 * (a * c)
  return delta

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, delta, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '-' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+' + str(x)
  return wynik


Miejsca_zerowych_funkcji_kwadratowej()

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem i przeanalizuj, jak zmienia się liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej wraz ze zmianą wartości współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

Mając podane współczynniki $a, b, c$ funkcji kwadratowej, określ ilość miejsc zerowych, jakie posiada określona funkcja.

R1S5QSHRwtQvx

RBY3WBitmhiIJ

R1G9cKDoRhHJA

R1FxvikSvQiZR

R6vo5Bih7z3Wa

RSkTdsPboIHYK

Polecenie 5

Podaj liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowych określonych wzorami:

a) $f (x) = x^{2} + 5$

b) $f (x) = - x^{2} + 10 x - 25$

c) $f (x) = x^{2} - 2 x$

a) Obliczamy:

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 20$

Ponieważ $Δ < 0$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

b) Obliczamy:

$Δ = 10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25) = 0$

Ponieważ $Δ = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

c) Obliczamy:

$Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4$

Ponieważ $Δ > 0$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Rf1gP0aStrWCk1

Ćwiczenie 1

Połącz wzór funkcji kwadratowej f z odpowiadającymi tej funkcji miejscami zerowymi: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

RApRVm8SsFDYi1

Ćwiczenie 2

RtEgTpY21uxvZ2

Ćwiczenie 3

RCXEcXHw4tt3q2

Ćwiczenie 4

RDcKcvIiyIrZR2

Ćwiczenie 5

RNSsrH7GHIgsm2

Ćwiczenie 6

R19n0GsTGu8nW3

Ćwiczenie 7

R2BC4TKWLzlct3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 4$ .

R7k8hWY2kep38

R17tCQ7Hj952p

RI7Z9CR1NDcof1

Ćwiczenie 10

RsYxHeeWNkeMY2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Funkcja $f$ jest określona za pomocą wzoru $f (x) = 2 x^{2} - x + c$ .

RrVo5ajD2xH0W

Ćwiczenie 13

R18u4tTt2icFu

Ćwiczenie 14

R1Wsamrs46o0o

Ćwiczenie 15

R5bF8YQO56rNE

Ćwiczenie 16

Wyznacz wartość parametru $p$ , dla którego funkcja określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} - p x + 3$ nie ma miejsc zerowych.

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ .

Obliczamy wartość $Δ < 0$ :

$Δ = {(- p)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = p^{2} - 24$

Do wyznaczenia wartości parametru $p$ rozwiązujemy nierówność:

$p^{2} - 24 < 0$ .

Zatem $p \in (- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6})$ .

Słownik

miejsce zerowe

argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0, pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

funkcja kwadratowa

funkcja określona za pomocą wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

2. Oś symetrii wykresu, zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej

M_R_W10_M2 Własności funkcji kwadratowej

1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Słownik