• Rozpoznasz nierówność kwadratową.

• Rozwiążesz nierówność kwadratową.

• Wyznaczysz takie współczynniki nierówności, aby jej rozwiązaniem był określony zbiór.

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną $x^2-16\le 0$.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\le 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x+4\right)$.

$x-4=0$ lub $x+4=0$

$x=4$ lub $x=-4$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$. Parabola ma ramiona skierowane „do góry”, bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni i wykres przechodzi przez wyznaczone punkty.

RW70HlFD0JF5n

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-4; 4$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus czterech wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus cztery przechodzi pod oś i biegnie pod osią do czwórki. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od czwórki do plus nieskończoności wykres przebiega nad osią.

Zbiór rozwiązań:  $x\in ⟨-4, 4⟩$.

Rozwiążemy nierówność $x^2+1<0$.

Lewa strona nierówności jest liczbą dodatnią, a prawa strona jest równa zero. Zatem nierówność jest sprzeczna. Nie posiada rozwiązań.

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną $-3x^2+6x<0$.

Wyłączymy $3x$ przed nawias.

$3x\left(-x+2\right)<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=3x\left(-x+2\right)$.

$3x\left(-x+2\right)=0$

$x=0$ lub $x=2$

Szkicujemy parabolę, która ma ramiona skierowane „do dołu” i przechodzi na osi $X$ przez punkty o współrzędnej odpowiednio$\left(0\right)$ i $\left(2\right)$.

RLCfPei9SHvdQ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $0; 2$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W zerze przechodzi nad oś i biegnie nad nią do dwójki. W dwójce wykres znowu przechodzi pod oś, co podkreślono minusami.

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiązaniem nierówności jest $\left(-\infty , 0\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $0<x^2\le 9$.

Zapiszemy nierówność w postaci koniunkcji nierówności $x^2>0$ i $x^2\le 9$.

Korzystając z wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności $x^2>0$.

RnIVLbi5FM7a7

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonym na niej za pomocą niezamalowanego kółka zerem. Przez punkt ten poprowadzono wykres wielomianu w kształcie paraboli tak, że wierzchołek pokrywa się z zerem, a ramiona wykresu skierowane są do góry. Po obu stronach ramion fakt, iż wykres znajduje się nad osią, oznaczono plusami.

Rozwiążemy teraz nierówność $x^2\le 9$.

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\le 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$.

$x=3$ lub $x=-3$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$.

ReZ0FJPy3H4du

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-3; 3$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią. W minus trójce wykres przebija pod oś i biegnie pod nią do trójki, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W trójce wykres przechodzi nad oś i biegnie nad nią do plus nieskończoności.

Zbiór rozwiązań nierówności $x^2\le 9$ to $x\in ⟨-3, 3⟩$.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2>0\\ x^2\le 9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}\\ x\in ⟨-3, 3⟩\end{array}\iff \right.x\in \left.⟨-3, 0\right)\cup \left(0, 3\right.⟩$

Zbiór rozwiązań podwójnej nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że

$x\in \left.⟨-3, 0\right)\cup \left(0, 3\right.⟩$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $-x^2\le -\sqrt{3}x$ .

Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności.

$-x^2+\sqrt{3}x\le 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x\left(-x+\sqrt{3}\right)\le 0$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=x\left(-x+\sqrt{3}\right)$ rozwiązujemy równanie $x\left(-x+\sqrt{3}\right)=0$.

$x=0$ lub $-x+\sqrt{3}=0$

$x=0$ lub $x=\sqrt{3}$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^2$ jest ujemny.

R1TyMsLWwqPKM

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i $\sqrt{3}$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie $\sqrt{3}$. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(-\mathrm{\infty },0>\cup <\sqrt{3},\mathrm{\infty })$.

Wyznaczymy sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności

$(5-x)(5+x)\ge 0$ i $x\left(5-x\right)>0$.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem nierówności $(5-x)(5+x)\ge 0$.

$x=5 \vee x=-5$

R7KbOwQHcwtGa

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-5; 5$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus pięciu wykres znajduje się pod osią. W minus piątce wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

Zbiór całkowitych rozwiązań nierówności to $\left\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$.

Rozwiążemy nierówność $x\left(5-x\right)>0$.

$x=0 \vee x=5$

Rj2YxAwfvgGI6

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $0; 5$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią. W zerze wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

Całkowite rozwiązania tej nierówności  to $\left\{1, 2, 3, 4\right\}$.

Wyznaczymy teraz sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności.

$\left\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}\cap \left\{1, 2, 3, 4\right\}=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$

$\left\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}\cup \left\{1, 2, 3, 4\right\}=$

$=\left\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$.

Obliczymy, dla jakich $x$ funkcja $f\left(x\right)=2x^2+1$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2$.

Warunki zadania będą spełnione dla $x$ należących do zbioru rozwiązań nierówności $f\left(x\right)>g\left(x\right)$.

$2x^2+1>{\left(x-1\right)}^2$

$2x^2+1>x^2-2x+1$

$x^2+2x>0$

$x\left(x+2\right)>0$

$x=0$ lub $x=-2$

R1RrkCsXhlHkx

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-2; 0$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami. W minus dwójce wykres przebija pod oś i biegnie pod nią do zera. W zerze wykres przebija nad oś, co również oznaczono plusami.

Funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g$ dla $x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(0, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową zupełnąnierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratową zupełną $x^2-x-2>0$.

Skorzystamy z własności odpowiedniej  funkcji  kwadratowej. W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $f\left(x\right)=x^2-x-2$ rozwiążemy najpierw równanie $x^2-x-2=0$.

$∆={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9$

$\sqrt{∆}=3$

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$

$x_2=\frac{1+3}{2}=2$

Następnie na osi liczbowej zaznaczymy miejsca zerowe utworzonej funkcji oraz szkicujemy parabolę, będącą wykresem tej funkcji, przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do góry, bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni.

RkpLNGUjLDGtN

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: 1 oraz 2. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od punktu 1. Nad osią x, a pod parabolą znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od punktu 2, nad osią x, a pod parabolą również znajdują się dwa znaki plus.

Z wykresu odczytujemy, że $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową z niewiadomąnierówność kwadratowa z niewiadomą $x$nierówność kwadratową z niewiadomą $x$:

$-x^2-6x-9<0$.

Obliczamy miejsce zerowe odpowiedniej  funkcji $f\left(x\right)=-x^2-6x-9$.

$-{\left(x+3\right)}^2=0$

$x=-3$

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, a ramiona paraboli będącej wykresem funkcji skierowane są do dołu, bo współczynnik przy $x^2$ jest liczbą ujemną.

R1Q7AX0OGmokh

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczony jest jeden punkt o współrzędnej minus 3. Punkt ten jest wierzchołkiem paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Po lewej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą również znajdują się dwa znaki minus.

Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności $x^2-2x+5\le 0$.

$∆={\left(-2\right)}^2-4·1·5=4-20=-16<0$.

Rozpatrzymy najpierw równanie $x^2-2x+5=0$. Równanie nie ma pierwiastków. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem parabola, będąca interpretacją geometryczną równania, znajduje się nad osią $X$.

RDAHWirYWbUQE

Ilustracja przedstawia oś x. Nad osią znajduje się parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od paraboli nad osią x znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od paraboli, nad osią x również znajdują się dwa znaki plus.

Nierówność jest sprzeczna.

Rozwiążemy nierówność $-2x^2+x-7<0$.

$∆=1^2-4·\left(-2\right)·\left(-7\right)=1-56=-55<0$.

Równanie $-2x^2+x-7=0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Ramiona paraboli, bedącej interpretacją geometryczną równania, skierowane są do dołu, zatem parabola znajduje się pod osią $X$.

RBopqJelcXxJW

Ilustracja przedstawia oś x. Pod osią znajduje się parabola z ramionami skierowanymi do dołu. Po lewej stronie od paraboli pod osią x znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od paraboli, pod osią również znajdują się dwa znaki minus.

Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$.

Dane są zbiory $A$ i $B$. Wyznaczymy zbiór $A\cap B$.

$A=\left\{x\in \mathrm{ℝ} : x^2-x-6\le 0\right\}$,

$B=\left\{x\in \mathrm{ℝ} : -x^2+3x+4\ge 0\right\}$.

Rozwiążemy najpierw nierówność $x^2-x-6\le 0$.

Korzystając z wzorów Viete’a, zapiszemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej.

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le 0$

$x=3$ lub $x=-2$

RdxDThwTheHGd

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: minus 2 oraz 3. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Część paraboli znajdująca się pomiędzy tymi punktami jest pod osią. Pod osią x a nad parabolą, pomiędzy tymi punktami znajdują się dwa znaki minus.

$x\in ⟨-2, 3⟩$, czyli $A=⟨-2, 3⟩$

Rozwiążemy nierówność $-x^2+3x+4\ge 0$.

$-(x+1)(x-4)\ge 0$

$x=-1$ lub $x=4$

R1TSMd5WGdb9Y

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: minus 1 oraz 4. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w dół. Część paraboli znajdująca się pomiędzy tymi punktami jest nad osią. Nad osią x a pod parabolą, pomiędzy tymi punktami znajdują się dwa znaki plus.

$x\in ⟨-1, 4⟩$ czyli $B=⟨-1, 4⟩$

Wyznaczymy teraz część wspólną zbiorów $A$ i $B$.

R1AsYHk245gmw

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są 4 punkty o współrzędnych kolejno: minus 2, minus 1, 3 oraz 4. Punkty te połączone są w pary odpowiednio: minus 2 z 3 oraz minus 1 z 4. Punkty zostały połączone ze sobą w taki sposób, że pionowe linie wychodzące z tych punktów, są połączone poziomą linią tworząc z osią x prostokąt. Oba prostokąty znajdują się nad osią x. Prostokąt utworzony z punktów minus 2 i 3 jest niższy i ma kolor niebieski. Prostokąt utworzony z punktów minus 1 i 4 jest wyższy i ma kolor różowy.

Zatem $A\cap B=⟨-1, 3⟩$.

każda nierówność postaci

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$

nierówność, w której współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

jest to każda nierówność postaci:

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$

nierówność, w której wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$