2. Kąt skierowany

R1CeCVpAceAlA

Używane obecnie jednostki czasu (godzina równa $60$ minut i minuta równa $60$ sekund) oraz miara kąta (stopień dzieli się na $60$ minut a minuta na $60$ sekund) pochodzą z sześćdziesiątkowego zapisu liczb stworzonego ponad $4$ tysiące lat temu przez Babilończyków.

R14MK72dwDGhg

Ilustracja przedstawia zegar ścienny. — Zegar
Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

W tym materiale określimy kąt jako miarę obrotu. Wprowadzimy również pojęcie kąta skierowanego i jego miary głównej.

Twoje cele

Poznasz pojęcie kąta skierowanego.
Wyznaczysz miarę główną kąta skierowanego.
Posłużysz się kątem jako miarą obrotu przy rozwiązywaniu zadań.

Aby określić miarę kąta, należy zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie stwierdzić, ile razy kąt jednostkowy mieści się w danym kącie. Przypomnijmy podstawowe informacje dotyczące miary stopniowej kąta.

Miara stopniowa. Kąt pełny ma $360$ równych części zwanych stopniami; $1$ stopień to $\frac{1}{360}$ część kąta pełnego. Stopnie dzielimy na minuty $(1 ° = 60')$ minuty na sekundy $(1 ’ = 60 ’ ’)$ .

W mierze stopniowej:

kąt zerowy ma miarę $α = 0 °$ ;
kąt ostry ma miarę $α \in (0 °; 90 °)$ ;
kąt prosty ma miarę $α = 90 °$ ;
kąt rozwarty ma miarę $α \in (90 °; 180 °)$ ;
kat półpełny ma miarę $α = 180 °$ ;
kąt wklęsły ma miarę $α \in (180 °; 360 °)$ ;
kąt pełny ma miarę $α = 360^{\circ}$ .

Kąty, o których wspominaliśmy wyżej, mają miary z przedziału $⟨0 °; 360 °⟩$ .
Liczby, np. $2330^{\circ}$ , $(- 6320 °)$ , $1260 °$ nie były miarami żadnych kątów.
Rozszerzamy więc pojęcie kąta, wprowadzając kąt jako miarę obrotu.

Kąt jako miara obrotu. Kąt płaski, którego jedno ramię wyróżniamy jako początkowe, a drugie jako końcowe, nazywamy kątem skierowanym. Kąt skierowanyKąt skierowanyKąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej o początku w punkcie $O$ . Obrót dookoła punktu $O$ może odbywać się w dwóch kierunkach. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy za dodatni, kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy za ujemny.

RevXZqrKytiP9

Ilustracja przedstawia dwa takie same ramiona tworzące kąt przy wierzchołku O. W pierwszym poprowadzono kąt α z dolnego ramienia do górnego, w drugim poprowadzono kąt -α z górnego ramienia do dolnego.

Niech $α$ będzie kątem skierowanym. Wybierzmy układ współrzędnych $X O Y$ tak, aby wierzchołek kąta $α$ był początkiem tego układu a dodatnia półoś $X$ początkowym ramieniem kąta skierowanego. Półprosta $O P$ jest ramieniem końcowym kąta skierowanego.

R4AHYVdtrLa8D

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z punktu O będącego początkiem układu współrzędnych poprowadzono prostą do punktu A znajdującego się w trzeciej ćwiartce układu. Od osi X do odcinka poprowadzono kąt o mierze -α.

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą dodatnią, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

R11smvLbQKU9A

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą ujemną, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara:

RUFOC16piUSrB

Półprostą $O P$ możemy obrócić całkowitą ilość razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry $α$ .
Każdy całkowity obrót to obrót o $360 °$ . Jeżeli wykonano $k$ obrotów, to półprosta zakreśliła kąt: $k \cdot 360 ° + α$ , $k \in ℤ$ .

Gdy półprostą $O P$ obrócimy całkowitą ilość razy w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry $α$ , to przy $k$ pełnych obrotach półprosta zakreśli kąt: $- k \cdot 360 ° - α$ , $k \in ℤ$ .

Każdy kąt o mierze stopniowej można przedstawić w postaci: $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in <0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ .

Kąt $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in <0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ , jest miarą pełnych obrotów półprostej $O P$ wokół punktu $O$ i obrotu o kąt $α$ (w kierunku: zgodnym z ruchem wskazówek zegara, gdy $k < 0$ , a w przeciwnym, gdy $k > 0$ ). Ramiona kąta $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $k \in ℤ$ , pokrywają się z ramionami kąta $α$ , więc kąty te możemy ze sobą utożsamiać.

Przykład 1

Narysujemy kąt o mierze $135 °$

Rozwiązanie

RlwZ9PYl3nogb

Przykład 2

Narysujemy kąt o mierze $(-135 °)$ .

Rozwiązanie

RgY53J4vnPUNa

Przykład 3

Przedstawimy kąty o miarach $1100 °$ i $(- 1060 °)$ w postaci $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in (0 °; 360 °)$ i $k \in ℤ$ .

Rozwiązanie

$1100 ° = 360 ° + 360 ° + 360 ° + 20 ° = 3 \cdot 360 ° + 20 °$
$- 1060 ° = - 360 ° + - 360 ° + (- 360 °) + 20 ° = - 3 \cdot 360 ° + 20 °$

Zauważmy, że miarę kąta $20 °$ możemy traktować jako resztę z dzielenia liczb $1100 °$ i $(- 1060 °)$ przez $360 °$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, czy:

ramiona kąta o mierze $930 °$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $210 °$ .
ramiona kąta o mierze $(- 1560 °)$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $70 °$ .

Rozwiązanie

$930 ° = 2 \cdot 360 ° + 210 °$ , zatem ramiona kąta o mierze $930 °$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $210 °$ .
$- 1560 ° = - 5 \cdot 360 ° + 240 °$ , zatem ramiona kąta o mierze $(- 1560 °)$ nie pokrywają się z ramionami kąta o mierze $70 °$ .

Przykład 5

Wyznaczymy miarę kąta, jaki wskazówka minutowa zegara zakreśliła od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ .

Rozwiązanie

Zgodnie z określeniem kąta skierowanegoKąt skierowanykąta skierowanego wskazówki zegara zakreślają kąty o mierze będącej liczbą ujemną

Wskazówka minutowa w ciągu godziny zakreśla kąt $(- 360 °)$ , a w ciągu minuty kąt: $(- 360 °) : 60 = - 6 °$ .

Od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ minęły $4$ godziny i $10$ minut.

Obliczamy miarę kąta, jaki zakreśliła wskazówka minutowa: $4 \cdot (- 360 °) + 10 \cdot (- 6 °) = - 1440 ° - 60 ° = - 1500 °$

Odp. Wskazówka minutowa zegara od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ zakreśliła kąt o mierze $(- 1500 °)$ .

Przykład 6

Obliczymy, którą godzinę wskaże zegar, jeżeli o $8^{15}$ jego wskazówkę minutową obrócimy o kąt:

$α = - 90 °$ ;
$α = 90 °$ .

Rozwiązanie

W czasie $1$ godziny wskazówka minutowa zakreśla kąt o mierze $360 °$ , czyli w ciągu minuty zakreśla kąt o mierze $\frac{360^{\circ}}{6} = 6^{\circ}$ .
$- 90 ° = 0 \cdot (- 360 °) + 15 \cdot (- 6 °)$ , zatem miara tego kąta odpowiada $15$ minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $α = - 90 °$ , więc zakreśliliśmy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara: dodajemy $15$ minut do $8^{15}$ .
Odp. Zegar wskaże godzinę $8^{30}$ .
Zauważmy, że $90 ° = 0 \cdot 360 ° + 15 \cdot 6 °$ , zatem miara tego kąta odpowiada również $15$ minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $α = 90 °$ , więc zakreśliliśmy kąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: odejmujemy $15$ minut od $8^{15}$ .
Odp. Zegar wskaże godzinę $8^{00}$ .

Przykład 7

Określimy miarę kąta, o jaki obróci się Ziemia wokół własnej osi w ciągu $5$ godzin.

Rozwiązanie

Ruch obrotowy Ziemi to obrót Ziemi wokół własnej osi. Czas jednego obrotu wynosi $23$ godziny $56$ minut i $4$ sekundy. Dla obliczeń czasu przyjmuje się dobę $24$ -godzinną. Ruch obrotowy Ziemi odbywa się z zachodu na wschód. Patrząc z rzutu na biegun północny, Ziemia porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zatem miara zakreślonego przez nią kąta jest liczbą dodatnią.

Jeżeli Ziemia wykonuje pełen obrót: $360 °$ w ciągu $24$ -godzinnej doby, to w ciągu $1$ godziny zakreśla kąt $360 ° : 24 = 15 °$ , czyli w ciągu $5$ godzin: $15 ° \cdot 5 = 75 °$ .

Odp. W ciągu $5$ godzin Ziemia obróci się wokół własnej osi o kąt o mierze $75 °$ .

miara główna kąta skierowanego

Definicja: miara główna kąta skierowanego

Najmniejszą nieujemną miarę kąta skierowanego nazywamy miarą główną tego kąta.

Ponieważ każdy kąt skierowany możemy zapisać w postaci $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in ⟨0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ , to miarą głównąmiara główna kąta skierowanegomiarą główną tego kąta jest $α$ . Miara główna kąta $α \in ⟨0 °, 360 °)$ .

Przykład 8

Wyznaczymy miarę główną kątów skierowanych o miarach $1358 °$ oraz $(- 890 °)$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $1358 ° = 3 \cdot 360 ° + 278 °$ , zatem miarą główną tego kąta jest $α = 278 °$ .

Wyznaczymy teraz miarę główną kąta $(- 685 °)$ . Mamy zatem: $- 685 ° = - 2 \cdot 360 ° + 35 °$ , co oznacza, że miarą główną tego kąta jest $α = 35 °$ .

Przykład 9

Obliczymy różnicę miar głównych kątów o miarach $(- 600 °)$ oraz $1505 °$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw miary główne kątów $(- 600 °)$ oraz $1205 °$ :

$- 600 ° = - 2 \cdot 360 ° + 120 °$ , zatem miara główna tego kąta wynosi $α_{1} = 120 °$ ,

$1505 ° = 4 \cdot 360 ° + 65 °$ , zatem miara główna tego kąta wynosi $α_{2} = 65 °$ .

Ostatecznie: $α_{1} - α_{2} = 120 ° - 65 ° = 55 °$ .

Przykład 10

Miara kąta $β$ wynosi $1958 °$ , zaś kąt $γ \in (- 2000 °; - 1800 °)$ . Miara główna kąta $β$ jest o $39 °$ mniejsza od miary głównej kąta $γ$ . Wyznaczymy miarę kąta $γ$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy miarę główną $α$ kąta $β$ : $1958 ° = 5 \cdot 360 ° + 158 °$ , zatem $α = 158 °$ .

Miara główna kąta $γ$ wynosi więc: $α_{2} = 158 ° + 39 ° = 197 °$ .

Skoro $γ \in (- 2000 °; - 1800 °)$ , to $γ = - 6 \cdot 360 ° + 197 ° = - 1963 °$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą kąt jako miarę obrotu. Następnie rozwiąż zadania.

R1AmmO1obZKfq

Polecenie 2

Przedstaw kąty: $2400 °$ i $(- 456 °)$ w postaci $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in (0 °; 360 °)$ i $k \in ℤ$

$2400 ° = 6 \cdot 360 ° + 240 °$

$- 456 ° = (- 2) \cdot 360 ° + 264 °$

Polecenie 3

Którą godzinę wskaże zegar, jeżeli o $14^{45}$ jego wskazówkę minutową obrócimy o kąt:

$762 °$ ,
$(- 762 °)$ .

Wskazówka minutowa w ciągu godziny zakreśla kąt $360 °$ , a w ciągu minuty kąt: $360 ° : 60 = 6 °$ .
$762 ° = 2 \cdot 360 ° + 42 ° = 2 \cdot 360 ° + 7 \cdot 6 °$
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $762 °$ , więc zakreśliliśmy kąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: odejmujemy $2$ godziny i $7$ minut od $14^{45}$ .
Wskazówka minutowa w ciągu godziny zakreśla kąt: $(- 360 °)$ , a w ciągu minuty kąt: $- 360 ° : 60 = - 6 °$ .
$- 762 ° = 2 \cdot (- 360 °) - 42 ° = 2 \cdot (- 360 °) + 7 \cdot (- 6 °)$ , czyli odpowiada ten kąt $2$ godzinom i $7$ minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $(- 762 °)$ , więc zakreślamy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara: dodajemy $2$ godziny i $7$ minut do $14^{45}$

Zegar wskaże $12^{38}$ .
Zegar wskaże $16^{52}$ .

RdNcOaqmLeZgh1

Ćwiczenie 1

R1H7jHgRdM1Oo1

Ćwiczenie 2

RCdTUSYzAWgug2

Ćwiczenie 3

R12UED8HWzgJA2

Ćwiczenie 4

R9qT5n9M2T4Dq2

Ćwiczenie 5

R1ZxfDMmxZTVb2

Ćwiczenie 6

R1AChymUCPCFJ3

Ćwiczenie 7

R16KZYq0kNLuD3

Ćwiczenie 8

Słownik

kąt skierowany

para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego. Ramię początkowe kąta skierowanego to dodatnia półoś $X$ . Ramię końcowe kąta skierowanego to półprosta o początku w punkcie $O$

miara główna kąta skierowanego

najmniejsza nieujemna miara kąta skierowanego

1. Trygonometria kąta ostrego – powtórzenie wiadomości z klasy 1.

3. Miara łukowa kąta

2. Kąt skierowany

Słownik