4. Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Rugxl3pYb4aoJ

Twierdzenie cosinusów to twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie. Jest ono wykorzystywane w szczególności do obliczania długości boków i miar kątów w trójkącie czy do określania rodzaju trójkąta. W życiu codziennym możemy je wykorzystać w pomiarach geodezyjnych (obliczenie współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego) albo w budownictwie (wyliczenie rzeczywistych długości krokwi przy danych kątach pochylenia połaci dachu i długościach rzutów krokwi).

W tym materiale zapoznasz się z innymi zastosowaniami tego twierdzenia.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie pozwalające rozstrzygać, czy trójkąt o podanych bokach jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny.
Poznasz typowe zastosowania twierdzenia cosinusów do obliczeń geometrycznych, w szczególności poznasz i udowodnisz wzór na długość dwusiecznej trójkąta
Poznasz zastosowania twierdzenia cosinusów w dowodach geometrycznych.
Poznasz twierdzenie Stewarta.

Przypomnijmy najpierw twierdzenie Pitagorasa, dokładnie wskazując jego założenia i tezę.

Pitagorasa

Twierdzenie: Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej.

Przy oznaczeniach jak na rysunku

R1K75WiowMLd1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Trójkąt leży na poziomej przyprostokątnej A C o długość b. Jego druga przyprostokątna B C ma długość a, natomiast jego przeciwprostokątna A B ma długość c.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Zwróć uwagę, że twierdzenie Pitagorasa stosujemy wtedy, gdy wiemy, ze trójkąt jest prostokątny. Jest to założenie tego twierdzenia. Równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , jaka wtedy zachodzi, to teza twierdzenia. Nie możemy zatem stosować tego twierdzenia w sytuacji, gdy znamy długości boków trójkąta, a chcemy rozstrzygnąć, czy ten trójkąt jest prostokątny. Okazuje się, że prawdziwa jest też implikacja odwrotna, a więc mamy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości którychś dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku tego trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny.

Jeśli więc oznaczymy długości boków trójkąta przez $a$ , $b$ i $c$ , przy czym $a \leq b \leq c$ , to twierdzenie to możemy sformułować następująco:

Jeżeli $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie to dostarcza nam kryterium, pozwalające rozstrzygać, czy trójkąt jest prostokątny, czy też nie jest.

Przykład 1

Rozstrzygniemy, czy trójkąt o bokach długości $145$ , $143$ i $24$ jest prostokątny.

Rozwiązanie

Wystarczy sprawdzić, czy $24^{2} + 143^{2}$ jest równe $145^{2}$ . Obliczmy zatem $24^{2} + 143^{2} = 576 + 20449 = 21025$ oraz $145^{2} = 21025$ , zatem $24^{2} + 143^{2} = 145^{2}$ . Z twierdzenie odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy więc, że ten trójkąt jest prostokątny.

Przykład 2

Rozstrzygniemy, czy trójkąt o bokach długości $147$ , $145$ i $24$ jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim przykładzie sprawdzamy, czy $24^{2} + 145^{2}$ jest równe $147^{2}$ . To, że równość $24^{2} + 145^{2} = 147^{2}$ nie jest prawdziwa możemy stwierdzić bez obliczania wartości lewej i prawej strony. Wystarczy na przykład zauważyć, że cyfrą jedności liczby $24^{2}$ jest $6$ , cyfrą jedności liczby $145^{2}$ jest $5$ , więc cyfrą jedności liczby $24^{2} + 145^{2}$ jest $1$ . Natomiast cyfrą jedności liczby $147^{2}$ jest $9$ . Wobec tego trójkąt nie jest prostokątny.

Z przyprowadzonego rozumowania nie możemy jednak wywnioskować, czy jest on ostrokątnytrójkąt ostrokątnyostrokątny, czy rozwartokątny. Rozstrzygniemy to, wykorzystując twierdzenie cosinusów. Oznaczmy przez $α$ kąt tego trójkąta leżący naprzeciw najdłuższego boku tego trójkąta, a więc boku o długości $147$ i zastosujmy twierdzenie cosinusów dla tego kąta. Otrzymujemy równość

$147^{2} = 24^{2} + 145^{2} - 2 \cdot 24 \cdot 145 \cdot \cos α$

Stąd obliczmy

$\cos α = \frac{24^{2} + 145^{2} - 147^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 145} = \frac{576 + 21025 - 21609}{6960} = \frac{- 8}{6960} = - \frac{1}{870}$

Wartość cosinusa, jaką otrzymaliśmy jest ujemna, a to oznacza, że $α$ jest kątem rozwartym.

Stąd wnioskujemy, że trójkąt jest rozwartokątnytrójkąt rozwartokątnyrozwartokątny.

Analizując Przykład 2 bez trudu zauważysz, że w gruncie rzeczy nie interesowała nas dokładna wartość $\cos α$ , ale tylko to, czy jest to liczba ujemna, czy dodatnia.

Jeśli więc $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta, natomiast $α$ , $β$ , $γ$ – kąty tego trójkąta leżące – odpowiednio – naprzeciw boków tych długościach, to z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

Stąd:

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

\cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}

\cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

Każdy z mianowników ułamków stojących po prawych stronach tych równości jest dodatni, więc o znaku każdego z ułamków decyduje znak licznika tego ułamka.

Zatem, jeśli wszystkie liczby

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ są dodatnie, co jest równoważne temu, że prawdziwe są wszystkie trzy nierówności

$b^{2} + c^{2} > a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} > b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ , to cosinusy wszystkich trzech kątów trójkąta są dodatnie, co oznacza, że wszystkie trzy kąty trójkąta są ostre, a to oznacza, że trójkąt jest ostrokątny.

Jeśli jedna z liczb

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ jest równa zero, co jest równoważne temu, że prawdziwa jest jedna z równości

$b^{2} + c^{2} = a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to oznacza, że jeden z cosinusów kąta trójkąta jest równy zero, a więc jeden z kątów trójkąta jest prosty, a to oznacza, że trójkąt jest prostokątnytrójkąt prostokątnyprostokątny.

Nawiasem mówiąc, mamy wtedy do czynienia z sytuacją, o której mówi twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli natomiast jedna z liczb

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ jest ujemna, co jest równoważne temu, że prawdziwa jest jedna z nierówności

$b^{2} + c^{2} < a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} < b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ , to oznacza, że jeden z cosinusów kąta trójkąta jest ujemny, a więc jeden z kątów trójkąta jest rozwarty, a to oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny.

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie rozstrzygające, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątnytrójkąt ostrokątnyostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny. Możemy powiedzieć, że jest to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego.

uogólnione twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego

Twierdzenie: uogólnione twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta, to trójkąt ten jest:

ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ i $a^{2} + c^{2} > b^{2}$ i $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ,

prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ lub $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ lub $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ,

rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ lub $a^{2} + c^{2} < b^{2}$ lub $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Jeśli jesteśmy w stanie ustalić, który z boków trójkąta jest najdłuższy (wtedy kąt leżący naprzeciw tego boku jest największy), to wystarczy sprawdzić jak ma się suma kwadratów długości dwóch krótszych boków do kwadratu długości najdłuższego. To znaczy:

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta oraz $a \leq b \leq c$ , to trójkąt ten jest:

ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ,

prostokątnytrójkąt prostokątnyprostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ,

rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Polecenie 1

Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta $A B C$ . Obserwuj, jaki rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) otrzymałeś. Jednocześnie obserwuj, jaka jest relacja między kwadratem długości boku trójkąta a sumą kwadratów długości pozostałych dwóch boków.

Wyniki obserwacji sformułuj w postaci twierdzenia, rozstrzygającego, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny.

W symulacji interaktywnej zmieniano położenie wierzchołków trójkąta $A B C$ . obserwując, jaki rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) otrzymano. Jednocześnie obserwowano, jaka jest relacja między kwadratem długości boku trójkąta a sumą kwadratów długości pozostałych dwóch boków.

Wyniki obserwacji sformułuj w postaci twierdzenia, rozstrzygającego, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny.

R1Lg1FmlgyPu4

Polecenie 2

Ustal położenie dwóch wierzchołków $A$ i $B$ trójkąta $A B C$ tak, żeby bok $A B$ miał długość $10$ i był poziomy. Zmieniaj położenie wierzchołka $C$ tak, żeby trójkąt $A B C$ był prostokątny i miał kąt prosty przy wierzchołku $C$ . Jaką figurą jest zbiór wszystkich takich punktów $C$ ? Narysuj tę figurę.

Tą figurą jest okrąg o średnicy $A B$ bez punktów $A$ i $B$ .

R16749YQgU4gt

Ilustracja prezentuje trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B, gamma przy wierzchołku C. Figura leży na poziomym boku A B. Trójkąt ten jest wpisany w okrąg o średnicy A B. Punkt C podobnie jak punkty A i B jest zawarty wewnątrz okręgu.

Polecenie 3

Ustal położenie dwóch wierzchołków trójkąta $A B C$ , np. wierzchołków $A$ i $B$ . Zmieniaj położenie wierzchołka $C$ tak, żeby trójkąt $A B C$ był rozwartokątny i miał kąt rozwarty przy wierzchołku $C$ . Jaką figurą jest zbiór wszystkich takich punktów $C$ ? Narysuj tę figurę.

Tą figurą jest wnętrze koła o średnicy $A B$ bez tej średnicy.

RGqhiPjxd9zz2

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B, gamma przy wierzchołku C. Figura leży na poziomym boku A B będącym jednocześnie średnicą zielonego koła. Punkt C znajduje się w środku koła o średnicy A B.

Często, poza długościami boków trójkąta, chcemy obliczyć długości innych odcinków w trójkącie. Jednym z takich odcinków jest środkowa trójkąta. Przeanalizujmy sposób postępowania w rozwiązaniu takiego zagadnienia.

Przykład 3

Wyprowadzimy wzór na długość środkowej $A D$ trójkąta $A B C$ o bokach długości $a = |B C|$ , $b = |A C|$ , $c = |A B|$ .

Rozwiązanie

$I$ sposób:
Przyjmijmy standardowe oznaczenia trójkąta oraz oznaczmy długość środkowej $A D$ symbolem $m_{a}$ , jak na rysunku.
R10FBvwUPPPLZ
Z twierdzenia cosinusów zastosowanego dla kąta $β$ w trójkątach $A B C$ i $A B D$ otrzymujemy
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ oraz $m_{a}^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + c^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} a c \cos β$ .
Ponieważ długości boków trójkąta $A B C$ mamy dane, więc otrzymany układ równań zawiera dwie niewiadome, $m_{a}$ i $\cos β$ . Wystarczy więc z jednego z tych równań wyznaczyć niewiadomą $\cos β$ i podstawić otrzymaną wielkość do drugiego równania. Otrzymamy wtedy równanie z niewiadomą $m_{a}$ .
W naszym przypadku: $\cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ , więc stąd i z drugiego równania otrzymujemy
$m_{a}^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + c^{2} - \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2} = \frac{1}{4} a^{2} + c^{2} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} c^{2} + \frac{1}{2} b^{2} =$
$= \frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{4} (2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2})$ ,
skąd $m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ .
W ten sposób wyprowadziliśmy wzór na długość środkowej trójkątawzór na długość środkowej trójkąta.

$II$ sposób:
Przyjmijmy standardowe oznaczenia trójkąta, jak na rysunku.
RmO1z7q6heAuu
Podobnie, jak w I sposobie dwukrotnie wykorzystamy twierdzenie cosinusów, ale tym razem zastosujemy je w trójkątach $A B D$ i $A C D$ dla kątów $φ$ i $180 ° - φ$ . Otrzymujmy wtedy
$c^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + m_{a}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot m_{a} \cos φ$ oraz $b^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + m_{a}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot m_{a} \cos (180 ° - φ)$ .
Ponieważ $\cos (180 ° - φ) = - \cos φ$ , więc otrzymane równości możemy zapisać w postaci
$c^{2} = \frac{1}{4} a^{2} + m_{a}^{2} - a m_{a} \cos φ$ oraz $b^{2} = \frac{1}{4} a^{2} + m_{a}^{2} + a m_{a} \cos φ$ .
W ten sposób otrzymaliśmy, tak jak to było w I sposobie rozwiązania, układ dwóch równań z niewiadomymi $m_{a}$ i $\cos φ$ . Dodając te równania stronami, otrzymujemy $b^{2} + c^{2} = \frac{2}{4} a^{2} + 2 m_{a}^{2}$ . Stąd $m_{a}^{2} = \frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{4} (2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2})$ , więc $m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ .

Przykład 4

Wyprowadzimy wzór na długość dwusiecznejwzór na długość dwusiecznej $A D$ trójkąta $A B C$ o bokach długości $a = |B C|$ , $b = |A C|$ , $c = |A B|$ .

Rozwiązanie

Przypomnijmy na początek, że dwusieczną trójkąta nazywamy odcinek, którego jednym z końców jest wierzchołek trójkąta, a drugim punkt przecięcia dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku z przeciwległym bokiem. Oznaczmy $|A D| = d_{α}$ .

RImH49bouCS1m

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok AB ma miarę c, bok AC ma miarę B, a bok BC ma miarę a. Z punktu a poprowadzono dwusieczną podpisaną d indeks dolny alfa koniec indeksu na bok BC. Tworzy się tam punkt D dzielący bok BC na pół. Utworzyły się dwa trójkąty. Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa.

W pierwszym etapie rozwiązania wyznaczymy długości odcinków $B D$ i $C D$ w zależności od długości boków trójkąta. Niech $|B D| = x$ . Wtedy $|C D| = a - x$ .

R15Lod0dd00CQ

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta mamy $\frac{|C D|}{|A C|} = \frac{|B D|}{|A B|}$ , czyli $\frac{a - x}{b} = \frac{x}{c}$ . Stąd $b x = a c - c x$ , więc $b x + c x = a c$ . Zatem $(b + c) x = a c$ , skąd $x = \frac{a c}{b + c}$ , czyli $|B D| = \frac{a c}{b + c}$ . Wobec tego $|C D| = a - x = a - \frac{a c}{b + c} = \frac{a b}{b + c}$ .

Drugi etap dowodu przeprowadzimy dwoma sposobami, analogicznymi do sposobów omówionych w Przykładzie 1.

$I$ sposób:
Zastosujmy twierdzenie cosinusów dla kąta $β$ w trójkątach $A B C$ i $A B D$ .
RiHzHPjX65DK1
Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok AB ma miarę c, bok AC ma miarę B, a bok BC ma miarę a. Z punktu a poprowadzono dwusieczną podpisaną d indeks dolny alfa koniec indeksu na bok BC. Tworzy się tam punkt D dzielący bok BC na pół. Utworzyły się dwa trójkąty. Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa. Bok CD ma miarę $a - x$ a bok BD ma miarę x. Kąt przy wierzchołku B ma miarę beta.
Otrzymujmy w ten sposób układ równań
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ oraz $d_{α}^{2} = x^{2} + c^{2} - 2 \cdot x c \cos β$
z niewiadomymi $d_{α}$ , $x$ i $\cos β$ . Z poprzedniej części dowodu mamy jednak $x = \frac{a c}{b + c}$ , więc otrzymujemy układ równań
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ oraz $d_{α}^{2} = {(\frac{a c}{b + c})}^{2} + c^{2} - 2 \cdot \frac{a c}{b + c} \cdot c \cos β$
z dwiema niewiadomymi $d_{α}$ i $\cos β$ . Z pierwszego równania wyznaczamy $\cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ (możemy też wyznaczyć $2 a c \cos β = a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ). Stąd i z drugiego równania dostajemy
$d_{α}^{2} = {(\frac{a c}{b + c})}^{2} + c^{2} - 2 \cdot \frac{a c}{b + c} \cdot c \cdot \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ .
Pozostaje tylko doprowadzić ten wynik do prostszej postaci.
$d_{α}^{2} = \frac{a^{2} c^{2}}{{(b + c)}^{2}} + c^{2} - c \cdot \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{b + c} =$
$= \frac{c}{{(b + c)}^{2}} (a^{2} c + c {(b + c)}^{2} - (b + c) (a^{2} + c^{2} - b^{2})) =$
$= \frac{c}{{(b + c)}^{2}} (a^{2} c + (b + c) (c (b + c) - (a^{2} + c^{2} - b^{2}))) =$
$= \frac{c}{{(b + c)}^{2}} (a^{2} c + (b + c) (b c - a^{2} + b^{2})) =$
$= \frac{c}{{(b + c)}^{2}} (a^{2} c + b^{2} c - a^{2} b + b^{3} + b c^{2} - a^{2} c + b^{2} c) =$
$= \frac{c}{{(b + c)}^{2}} (b^{2} c - a^{2} b + b^{3} + b c^{2} + b^{2} c) = \frac{b c}{{(b + c)}^{2}} (b^{2} + 2 b c + c^{2} - a^{2}) =$
$= \frac{b c}{{(b + c)}^{2}} ({(b + c)}^{2} - a^{2})$
Zatem $d_{α} = \frac{\sqrt{b c ({(b + c)}^{2} - a^{2})}}{b + c}$ .

$II$ sposób:
Zastosujmy twierdzenie cosinusów dla kątów $φ$ i $180 ° - φ$ w trójkątach $A C D$ i $A B D$ .
RnIum2GeliPKa
Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok AB ma miarę c, bok AC ma miarę B, a bok BC ma miarę a. Z punktu a poprowadzono dwusieczną podpisaną d indeks dolny alfa koniec indeksu na bok BC. Tworzy się tam punkt D dzielący bok BC na pół. Utworzyły się dwa trójkąty. Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa. W trójkącie ACD kąt przy wierzchołku D ma miarę $φ$ , w trójkącie ABD kąt przy wierzchołku D ma miarę $180 ° - φ$
Otrzymujemy w ten sposób układ równań
$b^{2} = d_{α}^{2} + {|C D|}^{2} - 2 d_{α} \cdot |C D| \cos φ$ oraz $c^{2} = d_{α}^{2} + {|B D|}^{2} - 2 d_{α} \cdot |B D| \cos (180 ° - φ)$ .
Stosując wzór redukcyjny $\cos (180 ° - φ) = - \cos φ$ , możemy ten układ zapisać w postaci
$b^{2} = d_{α}^{2} + {|C D|}^{2} - 2 d_{α} \cdot |C D| \cos φ$ oraz $c^{2} = d_{α}^{2} + {|B D|}^{2} + 2 d_{α} \cdot |B D| \cos φ$ .
Mnożąc obie strony pierwszego równania przez $|B D|$ , a drugiego przez $|C D|$ , otrzymujemy
$|B D| \cdot b^{2} = |B D| \cdot d_{α}^{2} + |B D| \cdot {|C D|}^{2} - 2 d_{α} \cdot |B D| \cdot |C D| \cos φ$
oraz
$|C D| \cdot c^{2} = |C D| \cdot d_{α}^{2} + |C D| \cdot {|B D|}^{2} + 2 d_{α} \cdot |C D| \cdot |B D| \cos φ$ .
Dodając stronami, dostajemy kolejno:
$|B D| \cdot b^{2} + |C D| \cdot c^{2} = |B D| \cdot d_{α}^{2} + |C D| \cdot d_{α}^{2} + |B D| \cdot {|C D|}^{2} + |C D| \cdot {|B D|}^{2}$ ,
$|B D| \cdot b^{2} + |C D| \cdot c^{2} = (|B D| + |C D|) \cdot d_{α}^{2} + |B D| \cdot |C D| \cdot (|B D| + |C D|)$ .
Ponieważ $|B D| + |C D| = a$ oraz $|B D| = \frac{a c}{b + c}$ i $|C D| = \frac{a b}{b + c}$ , co wykazaliśmy w pierwszym etapie rozwiązania, więc równanie to możemy zapisać w postaci
$\frac{a c}{b + c} \cdot b^{2} + \frac{a b}{b + c} \cdot c^{2} = a \cdot d_{α}^{2} + \frac{a c}{b + c} \cdot \frac{a b}{b + c} \cdot a$ .
Dzieląc obie strony równania przez $a$ , otrzymujemy kolejno
$\frac{c}{b + c} \cdot b^{2} + \frac{b}{b + c} \cdot c^{2} = d_{α}^{2} + \frac{a c}{b + c} \cdot \frac{a b}{b + c}$ ,
$\frac{b^{2} c + b c^{2}}{b + c} = d_{α}^{2} + \frac{a^{2} b c}{{(b + c)}^{2}}$ ,
$d_{α}^{2} = \frac{b^{2} c + b c^{2}}{b + c} - \frac{a^{2} b c}{{(b + c)}^{2}}$ ,
$d_{α}^{2} = \frac{b c (b + c)}{b + c} - \frac{a^{2} b c}{{(b + c)}^{2}}$ ,
$d_{α}^{2} = \frac{b c ({(b + c)}^{2} - a^{2})}{{(b + c)}^{2}}$ .
Zatem $d_{α} = \frac{\sqrt{b c ({(b + c)}^{2} - a^{2})}}{b + c}$ .

Zarówno w przypadku wyprowadzenia wzoru na długość środkowej trójkąta, jak i wzoru na długość dwusiecznej trójkąta korzystaliśmy dwukrotnie z twierdzenia cosinusów w dwóch trójkątach, przy czym twierdzenie to stosowaliśmy dla tego samego kąta lub dla kątów, które sumowały się do $180 °$ . Warto tę technikę zapamiętać.

Środkowa trójkąta oraz dwusieczna trójkąta to szczególne przypadki odcinka, którego jednym z końców jest wierzchołek trójkąta, a drugim punkt leżący na przeciwległym boku. Okazuje się, że istnieje zależność między długością takiego odcinka, a długościami odcinków powstałych na boku trójkąta i długościami boków trójkąta. Zależność ta została podana i udowodniona przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta. Sformułujemy i udowodnimy tą zależność.

Stewarta

Twierdzenie: Stewarta

Punkt $D$ leży na boku $A B$ trójkąta $A B C$ oraz $|A B| = c$ , $|B C| = a$ , $|A C| = b$ , $|C D| = d$ , $|A D| = x$ , $|B D| = y$ , jak na rysunku.

R14Mo2vte6hhT

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Bok AB ma miarę c, bok AC ma miarę B, a bok BC ma miarę a. Z wierzchołka C poprowadzono prostą d na bok AB tworząc punkt D dzielący bok na dwie długości x oraz y.

Wtedy prawdziwa jest równość:

a^{2} x + b^{2} y = d^{2} c + c x y

Dowód

Niech $φ = |∢ A D C|$ . Wtedy $|∢ B D C| = 180 ° - φ$ .

R1NXutYNB2TaS

Z twierdzenia cosinusów dla kątów $φ$ i $180 ° - φ$ w trójkątach $A D C$ i $B C D$ otrzymujemy układ równań
$b^{2} = d^{2} + x^{2} - 2 d x \cos φ$ oraz $a^{2} = d^{2} + y^{2} - 2 d y \cos (180 ° - φ)$ .
Ponieważ $\cos (180 ° - φ) = - \cos φ$ , więc możemy ten układ zapisać w postaci
$b^{2} = d^{2} + x^{2} - 2 d x \cos φ$ oraz $a^{2} = d^{2} + y^{2} + 2 d y \cos φ$ .
Mnożąc obie strony pierwszego równania przez $y$ , a drugiego przez $x$ , otrzymujemy
$b^{2} y = d^{2} y + x^{2} y - 2 d x y \cos φ$ oraz $a^{2} x = d^{2} x + x y^{2} + 2 d x y \cos φ$ .
Stąd, po zsumowaniu stron tych równań, dostajemy kolejno:
$a^{2} x + b^{2} y = d^{2} x + d^{2} y + x^{2} y + x y^{2}$ ,
$a^{2} x + b^{2} y = d^{2} (x + y) + (x + y) x y$ .
Ponieważ $x + y = c$ , więc otrzymujemy
$a^{2} x + b^{2} y = d^{2} c + c x y$ .
To kończy dowód.

Znajomość tego twierdzenia oraz umiejętność jego zastosowania nie jest objęta wymaganiami podstawy programowej, warto jednak je pamiętać, gdyż pozwala znacznie skrócić rozwiązanie problemu w niektórych sytuacjach.

Polecenie 4

Zapoznaj się z rozwiązaniem zadania z pierwszego przykładu w zamieszczonej animacji.

RpZ0sjAHXkQba

Polecenie 5

Wykorzystując metodę omówioną w pierwszym przykładzie zamieszczonym w tej animacji, oblicz długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ , w którym $|∢ B A C| = 60 °$ , $|B C| = 13$ i $|A C| = 8$ . Porównaj otrzymany rezultat z rezultatem z przykładu. Zastanów się, co jest przyczyną innego rezultatu.

Sporządźmy rysunek pomocniczy i oznaczmy przez $c$ długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ .

RhXbC88vq5liM

Ilustracja przedstawia trójkąt AB C. Bok AB ma miarę c, bok CB ma miarę 13 a bok AC ma miarę 8. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni.

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy równanie $13^{2} = 8^{2} + c^{2} - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60 °$ . Stąd otrzymujemy kolejno:
$169 = 64 + c^{2} - 8 c$ , $c^{2} - 8 c + 16 - 121 = 0$ , ${(c - 4)}^{2} - 121 = 0$ , $(c - 4 - 11) (c - 4 + 11) = 0$ , $(c - 15) (c + 7) = 0$ .

Zatem $c = 15$ lub $c = -7$ . Drugie z tych rozwiązań jest ujemne, więc istnieje tylko jeden taki trójkąt $A B C$ , którego bok $A B$ ma długość $15$ . Pozostaje odpowiedź na pytanie dlaczego w tym przypadku otrzymaliśmy tylko jeden trójkąt, a nie dwa, tak jak w przykładzie na filmie. Wystarczy zauważyć, że okrąg o środku $C$ i promieniu $13$ przecina ramię $A B$ kąta $60 °$ tylko w jednym punkcie, gdyż $13 > 8$ . Prostą zawierającą to ramię przecina w dwóch punktach, jak na rysunku.

RR8o90trHo1Hn

Ilustracja przedstawia trójkąt AB C. Bok AB ma miarę 15, bok CB ma miarę 13 a bok AC ma miarę 8. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni. Przedłużono podstawę AB. Z wierzchołka C poprowadzono prostą na przedłużenie. Z punktu B poprowadzono łuk do miejsca przecięcia prostej, a przedłużenia tworząc punkt B indeks dolny 1 koniec indeksu. Odcinek AB indeks dolny 1 koniec indeksu ma długość 7 jednostek.

Ten drugi punkt $B_{1}$ przecięcia odpowiada drugiemu (ujemnemu) rozwiązaniu naszego równania.

Polecenie 6

Zapoznaj się z rozwiązaniem drugiego zadania w zamieszczonej animacji. Wykorzystując omówioną metodę, oblicz długość przekątnej trapezu równoramiennego o bokach długości $3$ , $5$ , $5$ , $7$ . Jeśli wcześniej nie rozwiązywałeś zadań z sekcji „Sprawdź się”, to po rozwiązaniu tego zadania, wykonaj Ćwiczenie 7 z sekcji „Sprawdź się”.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R4JGOEumoyQUC

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. Podstawa AB ma miarę 7, bok BC i AD ma miarę 5, podstawa CD ma miarę 3. Przekątna AC ma miarę d. Kąt przy wierzchołku B ma miarę alfa, a kąt przy wierzchołku D ma miarę beta.

Ponieważ trapez jest równoramienny, więc kąty $A D C$ i $B C D$ są równe, czyli $|∢ A D C| = |∢ D C B| = β$ . Suma kątów jednostronnych $A B C$ i $D C B$ jest równa $180 °$ , gdyż proste $A B$ i $C D$ są równoległe. Zatem $α + β = 180 °$ . Stąd $β = 180 ° - α$ . Z twierdzenie cosinusów dla trójkątów $A B C$ i $A C D$ otrzymujemy

$d^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos β$ . Ponieważ $\cos β = \cos (180 ° - α) = - \cos α$ , więc drugie równanie możemy zapisac w postaci $d^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos α$ . Otrzymujemy zatem

$d^{2} = 49 + 25 - 70 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 9 + 25 + 30 \cdot \cos α$ ,

czyli

$d^{2} = 74 - 70 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 34 + 30 \cdot \cos α$

Mnożąc pierwsze równanie przez $3$ , a drugie przez $7$ , otrzymujemy

$3 d^{2} = 222 - 210 \cdot \cos α$ oraz $7 d^{2} = 238 + 210 \cdot \cos α$ .

Dodając stronami te równania otrzymujemy

$10 d^{2} = 460$ , czyli $d^{2} = 46$ . Stąd $d = \sqrt{46}$ .

R10Qe9gGSyyPi1

Ćwiczenie 1

Rfy0UjRPNBAko1

Ćwiczenie 2

Dokonaj klasyfikacji trójkątów o podanych długościach boków, przeciągając podane długości boków trójkąta do odpowiedniej kategorii. Trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć

RNFJi6pW8TDOc1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dwusieczne kątów $A B C$ i $B A C$ trójkąta $A B C$ przecinają się w punkcie $D$ , jak na rysunku.

R6MUGd3VOZ7TW

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Dwusieczne kątów A B C i B A C przecinają się w punkcie D. Obie przecinające się półproste wraz z odcinkiem A B tworzą nowy mniejszy trójkąt A B D wewnątrz trójkąta A B C.

R134Dy70tVAza

RbtxD3J3nZIoY2

Ćwiczenie 5

RS9eVqkOQsAnJ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi.

Niech $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ oznaczają trzy kolejne dodatnie liczby całkowite i niech będą one długościami boków trójkąta. Trójkąt ten jest rozwartokątny tylko wtedy, gdy prawdziwa jest nierówność $n^{2} + {(n + 1)}^{2} < {(n + 2)}^{2}$ . Stąd otrzymujemy kolejno:

$n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 < n^{2} + 4 n + 4$

$n^{2} - 2 n - 3 < 0$

$(n + 1) (n - 3) < 0$

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n + 1 > 0$ .
Zatem otrzymujemy $n - 3 < 0$ , czyli $n < 3$ . Wobec tego $n = 1$ lub $n = 2$ . Gdy $n = 1$ , to $n + 1 = 2$ i $n + 2 = 3$ . Te liczby nie mogą być długościami boków trójkąta, gdyż suma dwóch mniejszych z nich nie jest większa od trzeciej – największej. Gdy $n = 2$ , to $n + 1 = 3$ i $n + 2 = 4$ . Trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ i $4$ istnieje, gdyż $2 + 3 > 4$ . Zatem istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi, jest to trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ , $4$ .

To kończy dowód.

Ćwiczenie 8

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których liczby: $2 m - 3$ , $m - 1$ , $\frac{1}{2} m$ są długościami boków trójkąta ostrokątnego.

Liczby $2 m - 3$ , $m - 1$ , $\frac{1}{2} m$ będą długościami boków trójkąta, tylko wtedy, gdy będą dodatnie oraz suma dowolnych dwóch z nich będzie większa od trzeciej, czyli $2 m - 3 > 0$ i $m - 1 > 0$ i $\frac{1}{2} m > 0$ i $2 m - 3 + m - 1 > \frac{1}{2} m$ i $2 m - 3 + \frac{1}{2} m > m - 1$ i $m - 1 + \frac{1}{2} m > 2 m - 3$ . Stąd otrzymujemy $m > \frac{3}{2}$ i $m > 1$ i $m > 0$ i $m > \frac{8}{5}$ i $m > \frac{4}{3}$ i $m < 4$ . Zatem $m \in (\frac{8}{5}, 4)$ .

Wyznaczmy teraz spośród tych wartości parametru $m$ te, dla których trójkąt jest ostrokątny. Jest tak, gdy spełnione są warunki: ${(2 m - 3)}^{2} + {(m - 1)}^{2} > {(\frac{1}{2} m)}^{2}$ i ${(2 m - 3)}^{2} + {(\frac{1}{2} m)}^{2} > {(m - 1)}^{2}$ i ${(m - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} m)}^{2} > {(2 m - 3)}^{2}$ . Po uporządkowaniu każdej z tych nierówności, otrzymujemy: $\frac{19}{4} m^{2} - 14 m + 10 > 0$ i $\frac{13}{4} m^{2} - 10 m + 8 > 0$ i $\frac{11}{4} m^{2} - 10 m + 8 < 0$ . Wyróżniki trójmianów stojących po lewych stronach tych równości są równe odpowiednio $∆_{1} = 6$ , $∆_{2} = - 4$ , $∆_{3} = 12$ . Zatem druga z tych nierówności jest tożsamościowa, rozwiązaniem pierwszej jest każda liczba $m \in (- \infty, \frac{28 - 2 \sqrt{6}}{19}) \cup (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \infty)$ , a rozwiązaniem trzeciej każda liczba $m \in (\frac{20 - 4 \sqrt{3}}{11}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ . Pozostaje wyznaczyć część wspólną zbiorów $(\frac{8}{5}, 4)$ , $(- \infty, \frac{28 - 2 \sqrt{6}}{19}) \cup (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \infty)$ i $(\frac{20 - 4 \sqrt{3}}{11}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ .

Stąd $m \in (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt prostokątny $A B C$ . Ile jest równa długość dwusiecznej $C D$ tego trójkąta?

RScTqffDSlgjJ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Podstawa AC ma miarę 4 , bok CB ma miarę 3, a przeciwprostokątna długość pięć. Z wierzchołka C na przeciwprostokątną poprowadzono dwusieczną CD o mierze d.

RCUoia4LXw3hS

Ćwiczenie 10

Kąt ostry rombu jest równy $45 °$ . Ile jest równy stosunek długości przekątnych (dłuższej do krótszej)?

RoVXLiURjVGgo

Ilustracja przedstawia romb abcd długość krótszej przekątnej ma miarę a, a długość dłuższej ma miarę d. Kąt przy wierzchołku A wynosi 45 stopni

RDI1PZgfxGEJY

Ćwiczenie 11

Punkt $D$ dzieli bok $A B$ trójkąta $A B C$ na odcinki $A D$ i $B D$ o długościach $4$ i $5$ , a boki $A C$ i $B C$ tego trójkąta mają długości $8$ i $7$ , jak na rysunku.

RpTZP9vA7tbaF

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, długość boku AC ma miarę 8, a długość boku BC ma miarę 7 z wierzchołka C poprowadzono prostą x na podstawę tworząc punkt D, który dzieli podstawę AB na odcinki AD równe 4 oraz BD równe 5

RKYHFh3yRAYxB

Ćwiczenie 12

Boki trójkąta $A B C$ mają długości równe $|A B| = c$ , $|B C| = a$ i $|A C| = b$ . Punkt $D$ dzieli bok $A B$ trójkąta $A B C$ na odcinki $A D$ i $B D$ w stosunku $|A D| : |B D| = 1 : 2$ .

R1XZ5bgsJuNJW

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, długość boku AC ma miarę b, a długość boku BC ma miarę c z wierzchołka C poprowadzono prostą x na podstawę tworząc punkt D, który dzieli podstawę AB o długości c na odcinki AD oraz BD.

R1adtTfajAG7i

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że jeżeli długości $a$ , $b$ , $c$ boków trójkąta $A B C$ spełniają równanie $\frac{a}{b + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ , to kąt tego trójkąta między bokami o długościach $a$ i $c$ jest równy $60 °$ .

Przyjmijmy standardowe oznaczenia w trójkącie. Musimy wykazać, że $β = 60 °$ . Mnożąc obie strony równości $\frac{a}{b + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ przez $(b + c) (a + b)$ , otrzymujemy równość równoważną
$a (a + b) + c (b + c) = (a + b) (b + c)$ . Stąd mamy $a^{2} + a b + b c + c^{2} = a b + a c + b^{2} + b c$ , czyli $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c$ .
Z twierdzenia cosinusów wiemy, że $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ , więc otrzymaną równość możemy zapisać w postaci $a^{2} + c^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β + a c$ .
Stąd dostajemy $2 a c \cos β = a c$ , skąd $\cos β = \frac{a c}{2 a c} = \frac{1}{2}$ . Ponieważ $β$ jest kątem trójkąta, więc $β = 60 °$ .
To kończy dowód.

Ćwiczenie 14

Długości dwóch sąsiednich boków równoległoboku $A B C D$ są równe $a$ i $b$ , a długości przekątnych tego równoległoboku są równe $c$ i $d$ .

R1WAWvUtK8xio

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, w którym długości dwóch sąsiednich boków są równe a i b, a długości przekątnych tego równoległoboku są równe c i d.

Udowodnij, że $c^{2} + d^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$ .

Niech $|∢ B A D| = α$ . Wtedy $|∢ A B C| = 180 ° - α$ .

Rw8GhYQwSsW8O

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego dla kąta $α$ w trójkącie $A B D$ i dla kąta $180 ° - α$ w trójkącie $A B C$ otrzymujmy
$d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α$ oraz $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (180 ° - α)$ .
Ponieważ $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ , więc możemy ten układ równań zapisać w postaci
$d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α$ oraz $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos α$ .
Sumując stronami otrzymane równości, otrzymujemy
$c^{2} + d^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$
To kończy dowód.

Ćwiczenie 15

Czworokąt $A B C D$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ , $d$ jest wpisany w okrąg, a jego przekątne mają długości $m$ i $n$ , jak na rysunku.

RXhVhKK9u8FPB

ilustracja przedstawia czworokąt abcd o bokach długości a,b,c,d wpisanych w okrąg. Jego przekątne mają długości m i n.

Udowodnij, że długość przekątnej tego czworokąta wyraża się wzorem
$m = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}}$ .

Niech $|∢ A B C| = β$ . Wtedy $|∢ A D C| = 180 ° - β$ , gdyż czworokąt $A B C D$ jest wpisany w okrąg.

RwMv7xsPxkOGT

ilustracja przedstawia czworokąt abcd o bokach długości a,b,c,d wpisanych w okrąg. Jego przekątne mają długości m i n. kąt przy wierzchołku B ma miarę beta, a kąt przy wierzchołku D ma miarę 180°-β

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego dla kąta $β$ w trójkącie $A B C$ i dla kąta $180 ° - β$ w trójkącie $A D C$ otrzymujmy
$m^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β$ oraz $m^{2} = c^{2} + d^{2} - 2 c d \cos (180 ° - β)$ .
Ponieważ $\cos (180 ° - β) = - \cos β$ , więc możemy ten układ równań zapisać w postaci
$m^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β$ oraz $m^{2} = c^{2} + d^{2} + 2 c d \cos β$ .
Mnożąc obie strony pierwszego równania przez $c d$ , a drugiego przez $a b$ , otrzymujemy
$c d m^{2} = c d a^{2} + c d b^{2} - 2 a b c d \cos β$ oraz $a b m^{2} = a b c^{2} + a b d^{2} + 2 a b c d \cos β$ .
Stąd, po zsumowaniu tych równań stronami, otrzymujemy
$a b m^{2} + c d m^{2} = a b c^{2} + a b d^{2} + c d a^{2} + c d b^{2}$ ,
$(a b + c d) m^{2} = a c \cdot b c + a d \cdot b d + a c \cdot a d + b c \cdot b d$ ,
$(a b + c d) m^{2} = a c (b c + a d) + b d (a d + b c)$ ,
$m^{2} = \frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}$ .
Stąd $m = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}}$ .
To kończy dowód.

Ćwiczenie 16

Udowodnij twierdzenie Ptolemeusza:

W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków. Przy oznaczeniach jak na rysunku

RvTqRFoCXWeR9

teza tego twierdzenia ma postać

$m n = a c + b d$ .

W dowodzie wykorzystaj wzór na długość przekątnej czworokąta wpisanego w okrąg z Ćwiczenia 7.

Przekątne czworokąta $A B C D$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wpisanego w okrąg są równe
$m = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}}$ oraz $n = \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}}$ .
Zatem
$m n = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}} \cdot \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d} \cdot \frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} =$
$= \sqrt{{(a c + b d)}^{2}} = a c + b d$ .
To kończy dowód.

Słownik

trójkąt ostrokątny

trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre

trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (dwa pozostałe są ostre)

trójkąt rozwartokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest rozwarty (dwa pozostałe są ostre)

wzór na długość środkowej trójkąta

długość środkowej trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ poprowadzonej do boku o długości $a$ jest równa:

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

wzór na długość dwusiecznej trójkąta

długość dwusiecznej trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ poprowadzonej do boku o długości $a$ jest równa:

d_{α} = \frac{\sqrt{b c ({(b + c)}^{2} - a^{2})}}{b + c}

3. Twierdzenie cosinusów

M_R_W13_M1 Twierdzenie sinusów i cosinusów

4. Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Słownik