3. Równoległobok i jego własności

RsMopfCDZR9dw

W bieżącym materiale przekonamy się jak dużo ciekawych problemów można rozwiązać dostrzegając własności czworokąta, którego przeciwległe boki są równoległe.

Przedstawimy i udowodnimy kilka warunków równoważnych, które opisują równoległobok. Ważną grupą problemów, które można rozwiązać wykorzystując własności równoległoboku są te, w których w założeniach lub tezie występuje środek odcinka.

Materiał ten opierał się będzie głównie na wiadomościach ze szkoły podstawowej, co nie znaczy, że przedstawione przykłady i ćwiczenia będą łatwe.

Twoje cele

Określisz warunki równoważne opisujące równoległobok.
Wykorzystasz równoległobok do uzasadnienia własności środkowej w trójkącie prostokątnym.
Zastosujesz własność równoległoboku do wyznaczania najkrótszej drogi.
Zastosujesz własności równoległoboku do rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej.

Zacznijmy od definicji:

równoległobok

Definicja: równoległobok

Czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe, nazywany równoległobokiem.

o równoległoboku

Twierdzenie: o równoległoboku

Niech $A B C D$ będzie czworokątem wypukłym oraz niech $E$ będzie punktem przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ .

R1beAXUde2aAE

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD, którego przekątne przecinają się w punkcie E.

Wówczas następujące warunki są równoważne:

proste $A B$ i $C D$ są równoległe oraz proste $B C$ i $D A$ są równoległe;

$|A B| = |C D|$ oraz $|B C| = |D A|$ ;

$|A B| = |C D|$ oraz proste $A B$ i $C D$ są równoległe;

$|A E| = |E C|$ oraz $|B E| = |E D|$ .

Zanim pokażemy równoważność powyższych warunków zastanówmy się, czy musimy udowadniać równoważności każdej pary.

Zauważmy, że jeżeli udowodnimy ciąg implikacjiimplikacjaimplikacji:

1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1

to tym samym udowodnimy równoważność każdych dwóch powyższych warunków.

Sprawdźmy wynikającą równoważność na przykładzie warunków $2$ i $4$ .

Ciąg implikacji $2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4$ pociąga za sobą prawdziwość implikacji $2 \Rightarrow 4$ . Natomiast ciąg implikacji $4 \Rightarrow 1 \Rightarrow 2$ pociąga prawdziwość implikacji $4 \Rightarrow 2$ .
Łącząc $2 \Rightarrow 4$ , $4 \Rightarrow 2$ otrzymujemy równoważność warunków $2 \Leftrightarrow 4$ .
Analogicznie można pokazać, że przytoczony na początku ciąg implikacji pociąga równoważność każdej innej pary warunków.

Teraz możemy przejść do dowodu twierdzenia o równoległoboku:

$(1) \Rightarrow (2)$ :

Ponieważ $A B$ oraz $C D$ są równoległe więc $|∢ B A C| = |∢ D C A|$ . Analogicznie, proste $B C$ i $D A$ są równoległe, więc $|∢ B C A| = |∢ D A C|$ . Stąd wniosek, że trójkąty $A B C$ i $C D A$ są przystające (cecha kąt‑bok‑kąt), skąd otrzymujemy tezę $|A B| = |C D|$ oraz $|B C| = |D A|$ .

$(2) \Rightarrow (3)$ :

Z równości $|A B| = |C D|$ oraz $|B C| = |D A|$ wynika, że trójkąty $A B C$ i $C D A$ są przystające (cecha bok‑bok‑bok). Wobec tego $|∢ B A C| = |∢ D C A|$ i w konsekwencji proste $A B$ i $C D$ są równoległe.

$(3) \Rightarrow (4)$ :

Ponieważ proste $A B$ oraz $C D$ są równoległe, więc $|∢ E A B| = |∢ E C D|$ oraz $|∢ E B A| = |∢ E D C|$ . Te dwie równości, wraz z równością $|A B| = |C D|$ dowodzą, że trójkąty $A B E$ i $C D E$ są przystające (cecha kąt‑bok‑kąt). Stąd wnioskujemy $|A E| = |E C|$ oraz $|B E| = |E D|$ .

$(4) \Rightarrow (1)$ :

Z równości $|A E| = |E C|$ , $|B E| = |E D|$ wynika, że trójkąty $A B E$ i $C D E$ są przystające (cecha bok‑kąt‑bok). Wobec tego $|∢ E A B| = |∢ E C D|$ , skąd wynika, że proste $A B$ i $C D$ są równoległe. Analogicznie dowodzimy, że proste $B C$ i $D A$ są równoległe.

Wykorzystamy teraz równoważność powyższych warunków w rozwiązaniu kilku ciekawych problemów:

Przykład 1

Punkt $M$ jest środkiem boku $B C$ trójkąta $A B C$ . Wówczas $|∢ B A C| = 90 °$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|A M| = \frac{1}{2} |B C|$ .

R1XpqkgZmeKjc

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołku A. Zaznaczono odcinek łączący wierzchołek A, z punktem M, który stanowi środek boku BC trójkąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $D$ punkt symetryczny do punktu $A$ względem punktu $M$ . Wówczas czworokąt $A B D C$ jest równoległobokiem:

RAc1lXhjRKQZd

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD, którego przekątne przecinają się w punkcie M.

Zauważmy, że jeżeli $|∢ B A C| = 90 °$ to również $|∢ A C D| = 90 °$ . Wtedy trójkąty $B A C$ i $C D A$ są przystające, stąd $|A M| = \frac{1}{2} |A D| = \frac{1}{2} |B C|$ .

Odwrotnie: jeżeli $|A M| = \frac{1}{2} |B C|$ to $|A D| = |B C|$ i trójkąty $B A C$ i $D C A$ są przystające, stąd wniosek, że kąty $B A C$ i $D C A$ są równe. Ponadto suma ich miar jest równa $180 °$ , więc miara każdego z nich musi być równa $90 °$ .

Przykład 2

Punkty $K$ i $L$ są środkami boków $A C$ i $B C$ trójkąta $A B C$ . Wówczas proste $K L$ i $A B$ są równoległe oraz $|K L| = \frac{1}{2} |A B|$

R1ONo38uRmoEw

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, o podstawie AB. Zaznaczono poziomy odcinek KL, łączący środki ramion trójkąta.

Rozwiązanie

R1dM0xqyoZupo

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, o podstawie AB. Zaznaczono poziomy odcinek KL, łączący środki ramion trójkąta. Odcinek KL przedłużono o wartość jego długości i zaznaczono punkt S. Liniami przerywanymi punkt S połączono z wierzchołkiem C oraz wierzchołek B z punktem K.

Niech $S$ będzie obrazem symetrycznym punktu $K$ względem punktu $L$ . Wówczas czworokąt $K B S C$ jest równoległobokiem, wobec tego odcinki $K C$ i $B S$ są równoległe i mają równą długość. Z założeń $|A K| = |K C|$ , więc czworokąt $A B S K$ jest równoległobokiem, zatem proste $K L$ i $A B$ są równoległe, oraz $|K L| = \frac{1}{2} |K S| = \frac{1}{2} |A B|$ .

Powyższe twierdzenie nazywane jest twierdzeniem o linii środkowej w trójkącielinia środkowa w trójkącielinii środkowej w trójkącie

Wykorzystamy teraz powyższy przykład do charakterystyki czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków dowolnego czworokąta $A B C D$ .

Przykład 3

Punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ są odpowiednio środkami boków $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ czworokąta $A B C D$ (rysunek). Pokażemy, że $K L M N$ to równoległobok.

R1LxYuwXQMI60

Na ilustracji przedstawiono czworokąt ABCD. Zaznaczono cztery punkty. Punkt K stanowi środek boku AB, punkt L stanowi środek boku BC, punkt M stanowi środek boku DC, punkt N stanowi środek boku AD.

Rozwiązanie

R1IAV05spHbhx

Wystarczy, że wykorzystamy tezę poprzedniego przykładu analizując trójkąty $A B C$ i $A C D$ . Otrzymamy, że odcinki $K L$ i $N M$ są równoległe do $A C$ oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt (na podstawie własności $3$ ) jest równoległobokiem.

Podobnie, odcinki $M L$ i $N K$ są równoległe do odcinka $D B$ oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt $K L M N$ jest równoległobokiem.

Spójrzmy, jak możemy wykorzystać równoległobok w zadaniach optymalizacyjnych.

Przykład 4

Po dwóch stronach rzeki o równoległych brzegach znajdują się dwa domki położone w punktach $A$ i $B$ (rysunek). W którym miejscu należy wybudować most $X Y$ , prostopadły do brzegów rzeki, aby droga łącząca oba domki i biegnąca przez most była najkrótsza?

R1Ow46ffGo044

Na ilustracji przedstawiono rzekę, której szerokość stanowi odległość od punktu X do Y. Po jednej stronie rzeki znajduje się domek w punkcie A, oraz po drugiej stronie znajduje się domek w punkcie B. Linią zaznaczono drogę łączącą kolejno punkty A, X, Y, B.

Rozwiązanie

R1TQb54awHJIj

Zastanowimy się, kiedy łamana $A X Y B$ jest najkrótsza. Zauważmy, że brzegi rzeki są równoległe, więc jej szerokość, a więc długość mostu jest zawsze taka sama.

Możemy zatem pominąć długość mostu $X Y$ . Nasze zadanie polega więc na znalezieniu takiego miejsca przy brzegu rzeki, żeby suma długości odcinków $A X + Y B$ była najmniejsza z możliwych.

Wyznaczmy taki punkt $C$ , aby czworokąt $A X Y C$ był równoległobokiem. Wtedy

$|A X| + |Y B| = |C Y| + |Y B| \geq |C B|$

Ostatnia nierówność wynika z nierówności trójkąta.
Równość zachodzi, jeżeli punkt $Y$ leży na odcinku $C B$ .

Zatem szukanym punktem na brzegu rzeki jest punkt przecięcia prostej $C B$ z „górnym” brzegiem rzeki – punkt $Z$ .
W tym miejscu należy wybudować most.

Przykład 5

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta równobocznego $A B C$ o boku długości $1$ . Proste $A P$ , $B P$ , $C P$ przecinają odcinki $B C$ , $C A$ , $A B$ odpowiednio w punktach $D$ , $E$ , $F$ (rysunek).

Zastanówmy się jakie jest ograniczenie górne sumy: $|P D| + |P E| + |P F|$

R1NvXHbokjNCo

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny ABC, o podstawie AB. Wewnątrz trójkąta zaznaczono punkt P. Zaznaczono punkt E leżący na boku AC, punkt D leżący na boku BC, punkt F leżący na boku AB. Linią przerywaną połączono punkt P z wierzchołkami A, B, C, trójkąta.

Rozwiązanie

Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta przechodzące przez punkt $P$ :

RzjMJTwQAAVGF

Analizując dokładnie powyższy rysunek zwrócimy uwagę na najważniejsze aspekty rozwiązania:

powstają trzy równoległoboki: $A K P G$ , $L B H P$ , $J P I C$ i trzy trójkąty równoboczne: $K L P$ , $P H I$ , $G P J$ .

odcinek leżący wewnątrz trójkąta równobocznego jest krótszy od jego boku.

Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy:

$|P D| + |P E| + |P F| < |P H| + |P G| + |K L| = |A K| + |K L| + |L B| = |AB|$ .

Zatem ograniczenie górne naszej sumy jest równe $|A B| = 1$ .

Polecenie 1

Na każdym boku równoległoboku zbudowano kwadrat. Środki symetrii kwadratów są wierzchołkami pewnego czworokąta. Poruszaj wierzchołkami równoległoboku i obserwuj zachodzące zmiany. Zauważ, że powstały czworokąt jest zawsze kwadratem.

Zapoznaj się z opisem apletu, który dotyczy równoległoboku i kwadratów zbudowanych na każdym z jego boków.

R1EJ0nHKkOJj0

Polecenie 2

W równoległoboku $A B C D$ o bokach $6$ i $12$ połączono środek $S$ boku $A B$ $(|A B| = 12)$ z wierzchołkami $C$ i $D$ . Wykaż, że kąt $D S C$ jest kątem prostym.

Narysujmy równoległobok $A B C D$ .

RL5BSV5TD5ntA

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD. Długość ramienia AD. wynosi 6, natomiast długość podstawy AB. wynosi dwanaście. Zaznaczono punkt S, stanowiący środek podstawy AB.

Skoro punkt $S$ jest środkiem boku $|A S| = 6$ . Zatem trójkąt $A S D$ jest trójkątem równoramiennym. Analogicznie trójkąt $S B C$ jest trójkątem równoramiennym. Oznaczmy przez $α$ kąt ostry tego równoległoboku. Kąt rozwarty ma zatem miarę $180 ° - α$ .

R1bWfGRhXfKwY

W trójkącie $A S D$ mamy: $|∢ A S D| = |∢ A D S| = \frac{180 ° - α}{2} = 90 ° - \frac{1}{2} α$ . W trójkącie $S B C$ mamy: $|∢ B S C| = |∢ B C S| = \frac{180 ° - (180 ° - α)}{2} = \frac{1}{2} α$ .

Stąd:

$|∢ D S C| = 180 ° - |∢ A S D| - |∢ B S C| = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} α) - \frac{1}{2} α =$

$= 180 ° - 90 ° + \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} α = 90 °$ .

R1GqmIQF8vO021

Ćwiczenie 1

RxBxIV7WzMxmU1

Ćwiczenie 2

R44mcknLFzj4a21

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Punkt $E$ jest takim punktem na boku $A B$ równoległoboku $A B C D$ , że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$

Prosta $D E$ przecina przekątną $A C$ w punkcie $F$ . Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $60$ . Oblicz pole trójkąta $A E F$ .

Wiemy, że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$ , więc możemy oznaczyć: $|A E| = a$ , $|E B| = 2 a$ .

R1ZTrRvhRtDe6

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD, o podstawie dolnej AB i górnej DC. Zaznaczono punkt E na równoległoboku, taki że odległość AE wynosi a, natomiast odległość EB wynosi 2a. Zaznaczono przekątną AC równoległoboku, oraz odcinek DE, które przecinają się w punkcie F. Zacieniowano trójkąt AFE.

Wtedy długość boku $|A B| = |C D| = 3 a$ .

Z równoległości boków otrzymujemy równość kątów $|∢ F A B| = |∢ F C D|$ oraz $|∢ A E F| = |∢ C D F|$ .

Zatem trójkąty $A E F$ i $C D F$ są podobne w skali $\frac{|A E|}{|C D|} = \frac{a}{3 a} = \frac{1}{3}$ .

Wysokości opuszczone z odpowiednich wierzchołków są również w tej samej skali, więc możemy oznaczyć je odpowiednio $h$ i $3 h$ .

RQGj21BotH2XV

Zatem wysokość równoległoboku to $4 h$ .

Wiemy, że: $P = 3 a \cdot 4 h = 60$ , czyli $a h = 5$ .

Zatem szukane pole trójkąta $A E F$ jest równe: $P = \frac{1}{2} a h = \frac{5}{2}$ .

R1X6QFclgYqtr2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że w równoległoboku $A B C D$ suma kwadratów długości boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych:

${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|D A|}^{2} = {|A C|}^{2} + {|B D|}^{2}$

Oznaczmy jak na rysunku:

RWq7qn0G1PKhX

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD. Długość podstaw AB i DC oznaczono literą a, natomiast długość ramion AD i BC oznaczono literą b. Wartości kątów w równoległoboku wynoszą odpowiednio BETA dla kąta ostrego, oraz ALFA dla kąta rozwartego.

$|A B| = |C D| = a$ ; $|B C| = |D A| = b$ ; $|∢ A B C| = α$ , $|∢ B A D| = β$ . Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $A B C$ oraz dla trójkąta $A B D$ . Otrzymujemy:

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B C| \cdot \cos α = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α$ oraz

${|B D|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|A D|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |A D| \cdot \cos β = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β$

Ponieważ w równoległoboku $α + β = 180 °$ to $\cos β = \cos (180 ° - α) = - \cos α$ . Uwzględniając powyższą uwagę i dodając stronami wcześniejsze równości otrzymujemy, co należało udowodnić:

${|A C|}^{2} + {|B D|}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β =$

$= a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos α = 2 a^{2} + 2 b^{2} =$

$= {|A B|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|D A|}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

W równoległoboku $A B C D$ punkt $E$ jest środkiem boku $B C$ , natomiast punkt $F$ środkiem boku $C D$ . Odcinki $A E$ i $A F$ przecinają przecina przekątną $B D$ odpowiednio w punktach $G$ i $H$ .

R4F9oefBP7FeB

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD. Zaznaczono punkt F stanowiący środek boku DC, oraz punkt E stanowiący środek boku BC. Zaznaczono przekątną BDrównoległoboku. Wierzchołek A połączono z punktem F i E, przecinając przekątną kolejno w punkcie H i G.

R1L7uAx3x6Xez

Ćwiczenie 8

W czworokącie wypukłym $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ są równej długości (rysunek). Punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ . Wykaż, że prosta $M N$ tworzy równe kąty z przekątnymi $A C$ i $B D$ .

R4dHUeymLbwjg

Na ilustracji przedstawiono czworokąt ABCD. Zaznaczono odcinek MN, łączący środki boków AD i BC. Poprowadzono przekątne AC i BD. Zaznaczono kąty między prostą MN a przekątnymi czworokąta.

Oznaczmy środek odcinka $A B$ przez $K$ , środek $C D$ przez $L$ , punkt przecięcia przekątnych przez $G$ , punkt przecięcia prostej $M N$ z przekątnymi $A C$ i $B D$ odpowiednio przez $E$ , $F$ (rysunek):

RYbPdThdjvvsO

Na ilustracji przedstawiono czworokąt ABCD. Zaznaczono odcinek MN, łączący środki boków AD i BC. Środek boku DC stanowi punkt L, natomiast środek boku AB stanowi punkt K. Zielonym kolorem połączono punkty M, K, N, L tworząc czworokąt. Poprowadzono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie G.. Przekątna AC przecina odcinek MN w punkcie E. Przekątna BD przecina odcinek MN w punkcie F. Zacieniowano powstały trójkąt EFG. Zaznaczono kąty między prostą MN a przekątnymi, czyli przy wierzchołkach E, F i G.

Z własności odcinka łączącego środki ramion w trójkącie otrzymujemy, że proste $K N$ i $M L$ są równoległe do przekątnej $A C$ , natomiast proste $K M$ i $N L$ są równoległe do przekątnej $B D$ . Zatem czworokąt $K N L M$ jest równoległobokiem.

Co więcej, długości tych odcinków są równe połowie długości przekątnych. Z założeń zadania wiemy, że $|A C| = |B D|$ , więc czworokąt $K N L M$ jest rombem.

Wnioskujemy więc, że trójkąt $M N L$ jest trójkątem równoramiennym.

Wiemy też, że $M L ∥ A C$ i $N L ∥ B D$ , czyli, że kąty przy wierzchołkach $M$ i $N$ w trójkącie $M N L$ są równe kątom przy wierzchołkach $E$ i $F$ w trójkącie $E F G$ .

Trójkąt $E F G$ jest więc również trójkątem równoramiennym, a to jest równoważne z tezą naszego zadania.

Uwaga! W rozwiązaniu zadania nie było konieczne rozważanie punktu $K$ . Można było rozwiązanie sprowadzić do podobieństwa trójkątów $M N L$ i $E F G$ .
Jednak fakt, że środki boków czworokąta są wierzchołkami równoległoboku (lub rombu, gdy przekątne czworokąta są równe) jest na tyle ważny i użyteczny, że warto było to odnotować w rozwiązaniu tego zadania.

Słownik

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta

implikacja

zdanie „jeżeli $p$ , to $q$ ”, co zapisujemy $p \Rightarrow q$

2. Trapez i jego własności

4. Deltoid i jego własności

3. Równoległobok i jego własności

Słownik