6.* Asymptoty funkcji (DODATEK)

RkDUTHzijrBmb

Z niektórymi krzywymi związane są pewne proste, które pozwalają lepiej przybliżyć kształt tych krzywych. Proste te nazywamy asymptotami. Są trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i ukośne. Asymptoty nie są częścią wykresu, stanowią jedynie linie pomocnicze przy szkicowaniu wykresów. Słowo asymptota pochodzi z języka greckiego i oznacza „nie łączące się”. Terminu asymptota jako linii, która nie przecina gałęzi hiperboli, użył po raz pierwszy Apoloniusz z Pergi (ok. 260 p.n.e. - ok. 190 p.n.e.).

Twoje cele

Poznasz definicję asymptoty pionowej.
Dowiesz się, jak wyznaczyć i zapisać równanie asymptoty pionowej.
Poznasz definicję asymptoty ukośnej wykresu funkcji.
Wyznaczysz równania asymptot ukośnych wykresu funkcji.
Poznasz definicję asymptoty poziomej wykresu funkcji.
Wyznaczysz równania asymptot poziomych wykresu.

Asymptota

Asymptotą krzywej $y = f (x)$ jest prosta, do której coraz bardziej zbliża się krzywa, gdy wzdłuż niej się przemieszczamy.

Asymptota pionowa

Zajmiemy się asymptotami pionowymi wykresu funkcji.

Analizujemy funkcję określoną w otoczeniu punktu $c$ .

Granica danej funkcji może zależeć od tego, czy zbliżamy się do punktu $c$ od lewej lub prawej strony. Odpowiednie granice oznaczamy wówczas symbolami:

$\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ - granica lewostronna, lim $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ - granica prawostronna.

Jeżeli granica lewostronna funkcji $f$ jest równa granicy prawostronnej, to wówczas funkcja ma w punkcie $c$ granicę obustronną.

Spójrzmy na wykres funkcji poniżej.

R1GB9wAH2ZKhs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano przesuniętą krzywą wykładniczą f biegnącą w trzeciej, czwartej i pierwszej ćwiartce. W trzeciej ćwiartce krzywa zatacza łagodny łuk ku górze, przecina ujemną półoś O Y, zatacza łuk w czwartej ćwiartce, przecina dodatnią półoś O X i biegnie niemal pionowo do góry, wypłaszczając się do pionowej prostej zaznaczonej linią przerywaną. Prosta ta jest asymptotą pionową i określona jest równaniem x równa się c.

Wykres funkcji „zbliża się” z „lewej strony” do prostej o równaniu $x = c$ , co możemy zapisać następująco: $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = + \infty$ .

asymptota pionowa lewostronna

Definicja: asymptota pionowa lewostronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową lewostronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = - \infty$ albo $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = \infty$ .

Przeanalizujemy teraz wykres funkcji poniżej.

RBaYUzHTZCrDe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano wykres funkcji logarytmicznej f znajdujący się w czwartej i w pierwszej ćwiartce. W czwartej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo do góry, wypłaszczając się do pionowej prostej zaznaczonej linią przerywaną. Jest to asymptota pionowa funkcji określona równaniem x równa się c. Krzywa logarytmiczna przecina dodatnią półoś O X i zakręca w prawo w pierwszej ćwiartce, łagodnie rosnąc.

Wykres funkcji „zbliża się” z „prawej strony” do prostej o równaniu $x = c$ , co możemy zapisać następująco: $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = - \infty$ .

asymptota pionowa prawostronna

Definicja: asymptota pionowa prawostronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową prawostronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = - \infty$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = \infty$ .

Wykres funkcji przedstawionej na rysunku poniżej ma asymptotę pionową obustronną.

R15P7Op941FUA

Ilustracja przedstawia przekształconą i przesuniętą do góry i w prawo hiperbolę f w układzie współrzędnych. Obie części wykresu zbliżają się do siebie tworząc kształt lejka. Lewa część hiperboli znajduje się w drugiej ćwiartce, w której biegnie łagodnie w dół, przecina dodatnią półoś O Y, wpada do pierwszej ćwiartki, której wygina się niemal pionowo w dół i biegnie dalej przez czwartą ćwiartkę w dół do minus nieskończoności, wypłaszczając się do pionowej asymptoty zaznaczonej linią przerywaną. Asymptota opisana jest równaniem x równa się c. Prawa część hiperboli jest lewostronnie wypłaszczona do asymptoty i biegnie w czwartej ćwiartce od minus nieskończoności niemal pionowo w górę. Przecina dodatnią półoś O X i wpada do pierwszej ćwiartki, gdzie wygina się w prawo i biegnie dalej do plus nieskończoności.

asymptota pionowa obustronna

Definicja: asymptota pionowa obustronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową obustronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy prosta $x = c$ jest równocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną krzywej $y = f (x)$ .

Jeśli funkcja $f$ jest określona co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu $c$ , to prosta $x = c$ jest asymptotą pionową tej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic,
$\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ , jest niewłaściwa.

Przykład 1

Zbadamy, czy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ jest nieokreślona, gdy $x = 2$ , mamy bowiem wtedy $x - 2 = 0$ , a zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{2\}$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = 2$ .

Ważne!

Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną o równaniu $x = c$ tylko wtedy, gdy granica lewostronna lub prawostronna tej funkcji w punkcie $c$ jest granicą niewłaściwą.

Zatem asymptotą pionową lewostronną lub prawostronną może być tylko prosta o równaniu $x = 2$ .

Zbadamy więc istnienie granic: $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2}$ oraz $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Chcąc określić własności funkcji w punktach, w których funkcja jest nieokreślona, korzystamy z nieformalnych równości, np.:

$\frac{1}{0^{+}} = + \infty$ , im mniejszy jest dodatni mianownik, tym większy jest ułamek, stąd $+ \infty$ , oraz

$\frac{1}{0^{-}} = - \infty$ , im większy jest ujemny mianownik, tym mniejszy jest ułamek, stąd $- \infty$ .

Liczymy granicę lewostronną danej funkcji w punkcie $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Zpis $x \to 2^{-}$ oznacza, że przybliżamy się do $2$ , ale wybierając ciąg argumentów mniejszych niż $2$ („podchodzimy do $2$ z lewej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji $x - 2$ dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami ujemnymi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji $y = x - 2$ , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu $2$ :

RqIV4LECkF0DD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę dwa. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

Widzimy, że po lewej stronie od $2$ , funkcja $y = x - 2$ przyjmuje wartości ujemne.

$x \to 2^{-}$ , zatem $x - 2 \to 0^{-}$ , stąd $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2} = \{\frac{2 - 3}{0^{-}}\} = \{\frac{- 1}{0^{-}}\} = + \infty$ .

Prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji, gdyż: $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2} = + \infty$ .

Liczymy granicę prawostronną funkcji w $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Zpis $x \to 2^{+}$ oznacza, że przybliżamy się do $2$ , ale wybierając ciąg argumentów większych niż $2$ („podchodzimy do $2$ z prawej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji $x - 2$ dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami dodatnimi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji $y = x - 2$ , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu $2$ :

R4PSNjVHekiWa

Widzimy, że po prawej stronie od $2$ funkcja $y = x - 2$ przyjmuje wartości dodatnie.

$x \to 2^{+}$ , zatem $x - 2 \to 0^{+}$ , stąd $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = \{\frac{2 - 3}{0^{+}}\} = \{\frac{- 1}{0^{+}}\} = - \infty$ .

Prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji, gdyż: $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = - \infty$ .

Wykazaliśmy, że prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Przykład 2

Podamy równania asymptot pionowych wykresu funkcji $f (x) = \frac{x + 5}{16 - x^{2}}$ .

Rozwiązanie:

Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$f (x) = \frac{x + 5}{16 - x^{2}} = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ .

Funkcja $f (x) = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ jest nieokreślona dla $x = 4$ i $x = - 4$ , mamy bowiem wówczas $(4 - x) (4 + x) = 0$ . Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór $ℝ ∖ \{- 4, 4\}$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = - 4$ . Funkcja $y = 4 + x$ jest rosnąca w zbiorze $y = 4 + x$ , więc po lewej stronie $- 4$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

RVD4b51vdOLQH

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus cztery. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to - 4^{-}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{- 4 + 5}{(4 - (- 4)) 0^{-}}\} = \{\frac{1}{8 \cdot 0^{-}}\} = - \infty$ ,

$\lim_{x \to - 4^{+}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{- 4 + 5}{(4 - (- 4)) 0^{+}}\} = \{\frac{1}{8 \cdot 0^{+}}\} = + \infty$ .

Prosta $x = - 4$ jest asymptotą obustronną funkcji.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = 4$ .

Funkcja $y = 4 - x$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $4$ przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1CwszH69eCZE

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę cztery. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności nad osią i pod osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to 4^{-}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{4 + 5}{0^{+} (4 + 4)}\} = \{\frac{9}{0^{+} \cdot 8}\} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to 4^{+}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{4 + 5}{0^{-} (4 + 4)}\} = \{\frac{9}{0^{-} \cdot 8}\} = - \infty$ .

Prosta $x = 4$ jest asymptotą obustronną funkcji.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ ma dwie asymptoty pionowe: $x = - 4$ oraz $x = 4$ .

Przykład 3

Zbadamy, czy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1}$ ma asymptotę lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Asymptotą pionowąasymptota pionowaAsymptotą pionową lewostronna lub prawostronną może być prosta o równaniu $x = - 1$ lub prosta o równaniu $x = 1$ .

Licznik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru:

$a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)$ .

W przypadku mianownika korzystamy ze wzoru: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{- (x - 1) (x + 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)}$ , dla każdego $x \in ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Zbadamy istnienie granic jednostronnych funkcji $f$ w punktach $x = - 1$ i $x = 1$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = - 1$ .

Funkcja $y = - (x + 1)$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $1$ przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1NvqjvMbmeWv

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus jeden. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności nad osią i pod osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \{\frac{{(- 1)}^{2} + (- 1) + 1}{0^{+}}\} = \{\frac{1}{0^{+}}\} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \{\frac{{(- 1)}^{2} + (- 1) + 1}{0^{-}}\} = \{\frac{1}{0^{-}}\} = - \infty$ .

Prosta $x = - 1$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Ponieważ $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \frac{1^{2} + 1 + 1}{- (1 + 1)} = - \frac{3}{2}$ , więc prosta o równaniu $x = 1$ nie jest asymptotą pionową.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1}$ ma asymptotę pionową $x = - 1$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem samouczkiem omawiającym asymptoty pionowe wykresu funkcji, a następnie rozwiąż zadania i sprawdź odpowiedzi.

Rf1zBJGezbjFh

Polecenie 2

Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji $f (x) = \frac{2}{x^{2} - 4}$ .

Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 4} = \frac{2}{(x - 2) (x + 2)}$ .

Funkcja jest nieokreślona dla $x = - 2$ i $x = 2$ , mamy bowiem wtedy $(x - 2) (x + 2) = 0$ .

Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór $ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = - 2$ .

Funkcja $y = x + 2$ jest rosnąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $- 2$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

RRWY09vU4gM9L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus dwa. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to - 2^{-}} \frac{2}{(x - 2) (x + 2)} = \{\frac{2}{(- 2 - 2) 0^{-}}\} = \{\frac{2}{- 4 \cdot 0^{-}}\} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to - 2^{+}} \frac{2}{(x - 2) (x + 2)} = \{\frac{2}{(- 2 - 2) 0^{+}}\} = \{\frac{2}{- 4 \cdot 0^{+}}\} = - \infty$

Prosta $x = - 2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Funkcja $y = x - 2$ jest rosnąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $2$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{2}{(x - 2) (x + 2)} = \{\frac{2}{0^{-} (2 + 2)}\} = \{\frac{2}{0^{-} \cdot 4}\} = - \infty$ ,

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2}{(x - 2) (x + 2)} = \{\frac{2}{0^{+} (2 + 2)}\} = \{\frac{2}{0^{+} \cdot 4}\} = + \infty$ .

Prosta $x = 2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{2}{x^{2} - 4}$ ma dwie asymptoty pionowe: $x = - 2$ oraz $x = 2$ .

Polecenie 3

Wykaż, że prosta $x = 5$ jest asymptotą pionową obustronną funkcji $f (x) = \frac{7 - x}{x - 5}$ .

Prosta $x = 5$ jest asymptotą pionową obustronną funkcji $f (x) = \frac{7 - x}{x - 5}$ , gdy istnieją niewłaściwe granice jednostronne $\lim_{x \to 5^{-}} \frac{7 - x}{x - 5}$ oraz $\lim_{x \to 5^{+}} \frac{7 - x}{x - 5}$ .

$D_{f} = ℝ ∖ \{5\}$ .

Obliczmy granice tej funkcji w punkcie $x = 5$ .

$\lim_{x \to 5^{-}} \frac{7 - x}{x - 5} = \{\frac{7 - 5}{0^{-}}\} = \{\frac{2}{0^{-}}\} = - \infty$ , $\lim_{x \to 5^{+}} \frac{7 - x}{x - 5} = \{\frac{7 - 5}{0^{+}}\} = \{\frac{2}{0^{+}}\} = + \infty$ .

Prosta $x = 5$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji, ponieważ istnieją granice lewostronna i prawostronna i obie są niewłaściwe.

Asymptota ukośna

Niech funkcja $f$ będzie określona w przedziale $(- \infty, c)$ , gdzie $c \in ℝ$ .

Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

Definicja: Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

Prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y = a x + b$ dla $x$ dążącego do $(- \infty)$ jest równa zero:

\lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0

RDHIKvbx0BXmk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano wykres funkcji składający się z dwóch kawałków krzywej. Lewy biegnie ukośnie w dół przez drugą ćwiartkę i kawałek pierwszej. W drugiej ćwiartce wykres wypłaszcza się do ukośnej prostej narysowanej linią przerywaną, która podpisana jest jako asymptota ukośna lewostronna. Koniec kawałka krzywej leży na dodatniej półosi nieco dalej w prawo znajduje się początek drugiego kawałka krzywej, który biegnie ukośnie w górę w pierwszej ćwiartce.

Z definicji asymptoty ukośnej lewostronnej wynika, że wykres funkcji dla $x$ dążącego do $(- \infty)$ coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Asymptota ukośna lewostronna

Twierdzenie: Asymptota ukośna lewostronna

Prosta $y = a x + b$ jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}

oraz

b = \lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]

i granice te są właściwe.

Niech funkcja $f$ będzie określona w przedziale $(c, \infty)$ , gdzie $c \in ℝ$ .

Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

Definicja: Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

Prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y = a x + b$ dla $x$ dążącego do $+ \infty$ jest równa zero:

\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0

R19vWDXsTBrjD

Z definicji asymptoty ukośnej prawostronnej wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Asymptota ukośna prawostronna

Twierdzenie: Asymptota ukośna prawostronna

Prosta $y = a x + b$ jest asymptotą prawostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

a = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}

oraz

b = \lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]

i granice te są właściwe.

Dowód

Jeżeli prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ , to zgodnie z definicją asymptoty ukośnej mamy:

$\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ , zatem: $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x) - (a x + b)}{x} = 0$ .

Wyrażenie: $\frac{f (x)}{x}$ zapisujemy następująco: $\frac{f (x)}{x} = \frac{f (x)}{x} - \frac{a x + b}{x} + \frac{a x + b}{x}$ .

Ponieważ $\lim_{x \to + \infty} \frac{a x + b}{x} = a$ , to, korzystając z twierdzenia o granicy sumy dwóch granic, z których każda ma granicę właściwą, otrzymujemy:

$\lim_{x \to + \infty} [\frac{f (x)}{x} - \frac{a x + b}{x} + \frac{a x + b}{x}] = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x) - (a x + b)}{x} + \lim_{x \to + \infty} \frac{a x + b}{x} = 0 + a = a$ .

Aby otrzymać drugą z granic, skorzystamy z równości $\lim_{x \to + \infty} b = b$ oraz z twierdzenia o granicy sumy funkcji:

$\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] + \lim_{x \to + \infty} b = 0 + b$ , więc $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b) + b] = b$ , czyli $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x - b + b] = \lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x] = b$ .

Z udowodnionego twierdzenia wynika, że istnienie granic właściwych $a = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ oraz $b = \lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby prosta $y = a x + b$ była asymptotą ukośną prawostronną krzywej $y = f (x)$ .

Podobnie można udowodnić, że istnienie granic właściwych $a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ oraz $b = \lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$ jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby prosta $y = a x + b$ była asymptotą ukośną lewostronną krzywej $y = f (x)$ .

Jeżeli prosta $y = a x + b$ jest jednocześnie asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu funkcji $f$ .

RlWl46MOCCXZJ

Ilustracja przedstawia wykres funkcji w układzie współrzędnych, który składa się z dwóch nieskończonych łuków. Wierzchołek dolnego łuku znajduje się w pierwszej ćwiartce, prawe ramię łuku biegnie pionowo w dół w czwartej ćwiartce, a lewe ramię biegnie ukośnie przez kawałek drugiej ćwiartki i przez trzecią ćwiartkę, w której wypłaszcza się ono do ukośnej prostej narysowanej linią przerywaną, która jest ukośną asymptotą. Górny łuk będący składową wykresu znajduje się w pierwszej ćwiartce i jego ramiona biegną do góry. Lewe ramię łuku biegnie pionowo do góry, a prawe wypłaszcza się do tej samej ukośnej prostej. Jest ona opisana jako asymptota ukośna obustronna.

Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej wynosi zero, to asymptotę ukośną $y = b$ nazywamy asymptotą poziomą.

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też jeśli istnieje asymptota pozioma lewostronna lub prawostronna, to nie badamy istnienia asymptoty ukośnej.

o wyznaczaniu asymptot ukośnych

Twierdzenie: o wyznaczaniu asymptot ukośnych

Jeżeli funkcja $y = f (x)$ daje się przedstawić w postaci $y = a x + b + g (x)$ , przy czym spełniony jest warunek:
$\lim_{x \to - \infty} g (x) = 0$ , to prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej $y = f (x)$ .

Jeżeli funkcja $y = f (x)$ daje się przedstawić w postaci $y = a x + b + g (x)$ , przy czym spełniony jest warunek:
$\lim_{x \to + \infty} g (x) = 0$ , to prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej $y = f (x)$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, czy prosta o równaniu: $y = \frac{7}{3} x - \frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1}$ .

Rozwiązanie

Sprawdzamy, czy prosta $y = \frac{7}{3} x - \frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1}$ :

$\lim_{x \to - \infty} [\frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1} - (\frac{7}{3} x - \frac{19}{9})] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{9 (7 x^{2} - 4 x + 2) - 21 x (3 x + 1) + 19 (3 x + 1)}{9 (3 x + 1)}] =$

$= \lim_{x \to - \infty} [\frac{63 x^{2} - 36 x + 18 - 63 x^{2} - 21 x + 57 x + 19}{9 (3 x + 1)}] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{37}{9 (3 x + 1)}] = 0$

Sprawdzamy teraz, czy prosta $y = \frac{7}{3} x - \frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1}$ :

$\lim_{x \to \infty} [\frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1} - (\frac{7}{3} x - \frac{19}{9})] = \lim_{x \to \infty} [\frac{9 (7 x^{2} - 4 x + 2) - 21 x (3 x + 1) + 19 (3 x + 1)}{9 (3 x + 1)}] =$

$= \lim_{x \to \infty} [\frac{63 x^{2} - 36 x + 18 - 63 x^{2} - 21 x + 57 x + 19}{9 (3 x + 1)}] = \lim_{x \to \infty} [\frac{37}{9 (3 x + 1)}] = 0$

Zatem prosta o równaniu $y = \frac{7}{3} x - \frac{19}{9}$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{7 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1}$

Przykład 5

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f (x) = \frac{2 x^{3} + 2 x}{5 x^{2} - 4}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: $a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$

$a = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{3} + 2 x}{5 x^{3} - 4 x} = \frac{2}{5}$

Wyznaczamy współczynnik $b$ ze wzoru: $b = \lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

$b = \lim_{x \to - \infty} (\frac{2 x^{3} + 2 x}{5 x^{2} - 4} - \frac{2}{5} x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{5 (2 x^{3} + 2 x) - 2 x (5 x^{2} - 4)}{5 (5 x^{2} - 4)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{5 (5 x^{2} - 4)} = 0$

Zatem równanie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f$ ma postać: $y = \frac{2}{5} x$

Przykład 6

Wyznaczymy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 1}{2 x^{3} - 3 x}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy asymptoty ze wzoru: $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 1}{2 x^{4} - 3 x^{2}} = - \frac{3}{2}$

Wyznaczamy współczynnik $b$ ze wzoru: $b = \lim_{x \to \infty} [f (x) - a x]$

$b = \lim_{x \to \infty} (\frac{- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 1}{2 x^{3} - 3 x} + \frac{3}{2} x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2 (- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 1) + 3 x (2 x^{3} - 3 x)}{b = 2 (2 x^{3} - 3 x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 2}{2 (2 x^{3} - 3 x)} = 1$

Zatem równanie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f$ ma postać: $y = - \frac{3}{2} x + 1$

Przykład 7

Wyznaczymy równania asymptot ukośnych wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Rozwiązanie

Równania asymptot ukośnych wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób 1

Funkcja jest określona, gdy $x - 4 \neq 0$ , więc dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{4\}$ .

Prosta $y = a x + b$ jest asymptotą lewostronną ukośną wtedy i tylko wtedy, gdy

$a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ oraz $b = \lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$ i granice te są właściwe.

Obliczamy granice:

$a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{2 (x - 4)}}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 (x - 4)} =$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{2 (\frac{x}{x} - \frac{4}{x})} = \frac{1}{2 (1 + 0)} = \frac{1}{2}$ .

Zatem:

$a = \frac{1}{2}$ .

Mamy teraz: $b = \lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} x]$ .

Ponieważ

$\frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} x = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{x (x - 4)}{2 (x - 4)} =$

$= \frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{x^{2} - 4 x}{2 (x - 4)} = \frac{4 x}{2 (x - 4)} = \frac{2 x}{x - 4}$ ,

to $b = \lim_{x \to - \infty} [\frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} x] = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{(x - 4)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x}}{(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{(1 - \frac{4}{x})} = 2$ .

Prosta o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Analogicznie wyznaczamy równanie asymptoty ukośnej prawostronnej:

$a = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x^{2}}{2 (x - 4)}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2 (x - 4)} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x}{x}}{2 (\frac{x}{x} - \frac{4}{x})} = \frac{1}{2 (1 + 0)} = \frac{1}{2}$

$b = \lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{2}}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} x] = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{(x - 4)} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{2 x}{x}}{(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{(1 - \frac{4}{x})} = 2$ .

Prosta o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Odpowiedź

Prosta o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Sposób 2

Rozwiążemy teraz ten przykład korzystając z twierdzenia o wyznaczaniu asymptot ukośnych.

Ponieważ licznik funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

$\begin{array}{l} (x^{2} + 0 x + 0) : (2 x - 8) = \frac{1}{2} x + 2 \\ - (\underline{x^{2} - 4 x}) \\ 0 + 4 x + 0 \\ - (4 x - 16) \\ 0 + 16 reszta \end{array}$

Możemy więc funkcję $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ zapisać w postaci $y = a x + b + g (x)$ , czyli

$f (x) = \frac{1}{2} x + 2 + \frac{16}{2 (x - 4)}$ .

Oznaczmy przez $g (x) = \frac{16}{2 (x - 4)}$ i zauważmy, że $\lim_{x \to + \infty} \frac{16}{2 (x - 4)} = 0$ , więc prosta $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Podobnie pokazujemy, że prosta $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu tej funkcji.

Odpowiedź

Prosta $y = \frac{1}{2} x + 2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{2 (x - 4)}$ .

Przykład 8

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$ .

Rozwiązanie

Funkcja jest określona dla $x \neq 2$ , zatem: $D_{f} = (- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

Zauważmy, że $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 3}{x - 2} = [\frac{4 - 3}{0^{-}}] = - \infty$ oraz $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 3}{x - 2} = [\frac{4 - 3}{0^{+}}] = \infty$ , więc prosta $x = 2$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$ .

Ponieważ licznik funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$ jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik:

$\begin{array}{l} (x^{2} + 0 x - 3) : (x - 2) = x + 2 \\ - (\underline{x^{2} - 2 x}) \\ 0 + 2 x - 3 \\ - (2 x - 4) \\ 0 + 1 reszta \end{array}$

Funkcję $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$ zapisujemy w postaci $f (x) = x + 2 + \frac{1}{x - 2}$ .

Prosta $y = x + 2$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$ ponieważ $\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x - 2} = 0$ i $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x - 2} = 0$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem samouczkiem prezentującym metody wyznaczania równań asymptot ukośnych wykresu funkcji a następnie rozwiąż polecenia.

R1WWdFrKk0SW0

Polecenie 5

Zbadaj istnienie asymptot ukośnych wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ .

Dziedziną funkcji jest zbiór $ℝ$ .

Zbadamy istnienie asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji $f$

$a = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$ ,

$b = \lim_{x \to - \infty} [\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - x] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}] = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x}{x^{2} + 1} =$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})} = \frac{0}{1 + 0} = 0$ .

Istnieje zatem asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji $f$ .

Zbadamy istnienie asymptoty ukośnej prawostronnej wykresu funkcji $f$ .

$a = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

$b = \lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - x] = \lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}] = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x}{x^{2} + 1} =$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

Istnieje zatem asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji $f$ .

Prosta $y = x$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ .

Polecenie 6

Zapisując funkcję $f (x) = \frac{x^{3} - 7 x - 8}{x^{2} - x - 6}$ w postaci $f (x) = a x + b + g (x)$ , podaj równanie asymptoty ukośnej wykresu tej funkcji.

Funkcja $f (x) = \frac{x^{3} - 7 x - 8}{x^{2} - x - 6}$ jest określona dla argumentów, dla których $x^{2} - x - 6 \neq 0$ .

Aby określić dziedzinę tej funkcji, rozwiązujemy równanie $x^{2} - x - 6 = 0$ . W tym celu liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25$ . Ponieważ $∆ > 0$ , to równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = - 2$ oraz $x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = 3$ .

Stąd: $D_{f} = ℝ ∖ \{- 2, 3\}$ .

Ponieważ licznik funkcji jest stopnia wyższego niż mianownik, dzielimy licznik przez mianownik.

$\begin{array}{l} (x^{3} + 0 x^{2} - 7 x - 8) : (x^{2} - x - 6) = x + 1 \\ - (x^{3} - x^{2} - 6 x) \\ 0 + x^{2} - x - 8 \\ - (x^{2} - x - 6) \\ 0 + 0 - 2 reszta \end{array}$

Funkcję $f (x) = \frac{x^{3} - 7 x - 8}{x^{2} - x - 6}$ zapisujemy w postaci $f (x) = x + 1 + \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ .

Prosta $y = x + 1$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f (x) = \frac{x^{3} - 7 x - 8}{x^{2} - x - 6}$ ponieważ $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2}{x^{2} - x - 6} = 0$ i $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2}{x^{2} - x - 6} = 0$ .

Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma. Jeżeli współczynnik kierunkowy $a$ asymptoty ukośnej wynosi zero, to asymptotę ukośną $y = b$ nazywamy wówczas asymptotą poziomą.

Asymptota pozioma lewostronna wykresu funkcji

Definicja: Asymptota pozioma lewostronna wykresu funkcji

Niech funkcja $f$ będzie określona w przedziale $(- \infty, c)$ , gdzie $c \in ℝ$ . Prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli:

\lim_{x \to - \infty} (f (x) - b) = 0

R1cqoGUBKqCVr

Ilustracja wykres funkcji f w układzie współrzędnych składający się z dwóch elementów. Pierwszy z nich to nieskończony łuk znajdujący się w trzeciej ćwiartce, który wypłaszcza się w minus nieskończoności do poziomej asymptoty zaznaczonej linią przerywaną. Jest ona podpisana: asymptota pozioma lewostronna y równa się b i przebiega przez trzecią i czwartą ćwiartkę. Drugą składową wykresu funkcji f jest krzywa biegnąca niemal pionowo w dół w drugiej ćwiartce do początku układu współrzędnych, w którym odbija i biegnie niemal poziomo w pierwszej ćwiartce.

Z definicji asymptoty poziomej lewostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do $(- \infty)$ , coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Korzystając z definicji asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji możemy zapisać:

\lim_{x \to - \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0

W naszym przypadku $a = 0$ , zatem:

\lim_{x \to - \infty} (f (x) - (0 \cdot x + b)) = \lim_{x \to - \infty} (f (x) - b) = 0

Ponieważ $\lim_{x \to - \infty} b = b$ , to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:

\lim_{x \to - \infty} (f (x) - b) = \lim_{x \to - \infty} f (x) - \lim_{x \to - \infty} b = \lim_{x \to - \infty} f (x) - b = 0

Mamy zatem:

\lim_{x \to - \infty} f (x) = b

Prosta $y = b$ jest asymptotą lewostronną poziomą funkcji $f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b = \lim_{x \to - \infty} f (x)$ i granica ta jest właściwa.

Asymptota pozioma prawostronna wykresu funkcji

Definicja: Asymptota pozioma prawostronna wykresu funkcji

Niech funkcja $f$ będzie określona w przedziale $(c, + \infty)$ , gdzie $c \in ℝ$ . Prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli:

\lim_{x \to + \infty} (f (x) - b) = 0

RXZsFKlPAfKYE

Z definicji asymptoty poziomej prawostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do $+ \infty$ , coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Ponieważ $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - b) = 0$ , a $\lim_{x \to + \infty} b = b$ , to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:

\lim_{x \to + \infty} (f (x) - b) = \lim_{x \to + \infty} f (x) - \lim_{x \to + \infty} b = \lim_{x \to + \infty} f (x) - b = 0

Mamy zatem:

\lim_{x \to + \infty} f (x) = b

Prosta $y = b$ jest asymptotą prawostronną poziomą funkcji $f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b = \lim_{x \to + \infty} f (x)$ i granica ta jest właściwa.

Jeżeli prosta $y = b$ jest jednocześnie asymptotą poziomą prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji $f (x)$ .

RIq4YioR69fn2

Ilustracja przedstawia wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Wykres ma siodełkowaty kształt i jest symetryczny względem pionowej osi Y. Punkt przecięcia z ujemną półosią O Y jest minimum funkcji i od tego punktu w prawo i w lego rozchodzą się w górę ramiona wykresu. Oba wypłaszczają się do tej samej poziomej asymptoty, lewe ramię w drugiej, a prawe w pierwszej ćwiartce układu. Jest ona podpisana: asymptota pozioma obustronna y równa się b.

Które z podstawowych funkcji mają asymptoty poziome?

Przykład 9

Rozważmy hiperbolę będącą wykresem funkcji $f (x) = \frac{1}{x}$ .

RSVFC8RycOdyM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano hiperbolę opisaną równaniem y równa się początek ułamka 1 mianownik x. Ramiona hiperboli znajdują się w trzeciej i w pierwszej ćwiartce układu.

Prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji $f$ .

Równanie asymptoty odczytaliśmy z rysunku. Skorzystajmy jeszcze z definicji asymptoty poziomej i obliczmy granice: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ oraz $\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

Przykład 10

Rozważmy funkcję wykładniczą $f (x) = 2^{x}$ .

RBanA3NnOWnA8

Z rysunku widzimy, że prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $f$ , ale nie jest asymptotą prawostronną.

Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

RjmNBZAFzKtwH

Tym razem prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $g$ , ale nie jest asymptotą lewostronną.

Przykład 11

Wyznaczymy równania asymptot poziomych wykresu funkcji $y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

Rozwiązanie

Funkcja jest określona, gdy $x^{2} - 4 \neq 0$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ , ponieważ rozwiązaniem równania $x^{2} - 4 = 0$ , są liczby $(- 2)$ i $2$ .

Prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x \to - \infty} f (x) = b$ i granica ta jest właściwa.

Obliczamy granicę:

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{(\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}})} = \frac{3}{(1 - 0)} = 3$ .

Równaniem asymptoty poziomej lewostronnej jest zatem $y = 3$ .

Analogicznie szukamy równania asymptoty poziomej prawostronnejasymptota pozioma prawostronnaasymptoty poziomej prawostronnej.

Obliczamy granicę:

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{(\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}})} = \frac{3}{(1 - 0)} = 3$ .

Równanie asymptoty poziomej prawostronnej ma zatem postać $y = 3$ .

Prosta o równaniu $y = 3$ jest asymptotą poziomą obustronną.

Możemy ten przykład rozwiązać korzystając z poniższej własności.

asymptota pozioma wykresu funkcji

Własność: asymptota pozioma wykresu funkcji

Jeżeli funkcja $y = f (x)$ daje się przedstawić w postaci $y = b + g (x)$ , przy czym spełniony jest warunek $\lim_{x \to - \infty} g (x) = 0$ , to prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą lewostronną funkcji $y = f (x)$ .

Przekształćmy więc wzór: $y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} = \frac{3 x^{2} - 12 + 12}{x^{2} - 4} = \frac{3 (x^{2} - 4) + 12}{x^{2} - 4} = 3 + \frac{12}{x^{2} - 4}$ .

Funkcję $y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ możemy zatem zapisać w postaci $y = b + g (x)$ , czyli $y = 3 + \frac{12}{x^{2} - 4}$ .

Ponieważ $g (x) = \frac{12}{x^{2} - 4}$ i $\lim_{x \to + \infty} \frac{12}{x^{2} - 4} = 0$ , więc prosta $y = 3$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

Podobnie pokazujemy, że prosta $y = 3$ jest asymptotą poziomą lewostronnąasymptota pozioma lewostronnaasymptotą poziomą lewostronną.

Prosta $y = 3$ jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji $y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

Przykład 12

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1}$ .

Rozwiązanie

Funkcja jest określona dla $x \neq 1$ , zatem $D_{f} = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej możemy zapisać:

$y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1} = \{\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x - 1} dla x \geq 0 \\ \frac{- 2 x - 1}{x - 1} dla x < 0 \end{cases}$ .

Ponieważ funkcja jest nieokreślona dla $x = 1$ , obliczamy następujące granice:

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 |x| - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 1} = [\frac{2 - 1}{0^{-}}] = - \infty$ oraz $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 |x| - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 1} = [\frac{2 - 1}{0^{+}}] = + \infty$ ,

więc prosta $x = 1$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji $y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1}$ .

Obliczając granice w nieskończoności, podamy równania asymptot poziomych.

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2 |x| - 1}{x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .

Prosta $y = - 2$ jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1}$ .

$\lim_{x \to + \infty} \frac{2 |x| - 1}{x - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2$ .

Prosta $y = 2$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1}$ .

Wykres funkcji $y = \frac{2 |x| - 1}{x - 1}$ ma następujące asymptoty:

pionową obustronną $x = 1$ , poziomą lewostronną $y = - 2$ oraz poziomą prawostronną $y = 2$ .

Przykład 13

Zbadamy, dla jakiej wartości parametru $p$ prosta $y = - 2$ jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji:

$f (x) = \frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 1}{p x^{3} + x^{2}}$ .

Dla jakiej wartości parametru $p$ wykres funkcji $f$ nie ma asymptoty poziomej?

Rozwiązanie

Aby znaleźć równanie asymptoty poziomej prawostronnej funkcji $f$ obliczymy granicę: $\lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 1}{p x^{3} + x^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (- 4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}})}{x^{3} (p + \frac{1}{x})}$ .

Zatem prosta $y = \frac{- 4}{p}$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $f$ . Analogicznie można pokazać, że jest równeż granicą lewostronną.

Skoro prosta $y = - 2$ ma być asymptotą obustronną wykresu funkcji $f$ , to $p = 2$ .

Zauważmy jeszcze, że gdy $p = 0$ , to wykres funkcji $f$ nie ma asymptot poziomych.

Polecenie 7

Zapoznaj się z filmem samouczkiem prezentującym metody obliczania równań asymptot poziomych wykresu funkcji, a następnie rozwiąż zadania.

R193bXwFmkr1I

Polecenie 8

Zbadaj istnienie asymptot poziomych wykresu funkcji $y = \frac{x^{2}}{x^{3} + 27}$ .

Funkcja jest określona dla $x^{3} + 27 \neq 0$ . Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{- 3\}$ , ponieważ rozwiązaniem równania $x^{3} + 27 = 0$ jest liczba $(- 3)$ .

Ponieważ:

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{3} + 27} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{27}{x^{3}}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

oraz

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{3} + 27} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{27}{x^{3}}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$ ,

więc prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji $y = \frac{x^{2}}{x^{3} + 27}$ .

Polecenie 9

Zapisując funkcję $y = \frac{7 x - 8}{x - 6}$ w postaci $y = b + g (x)$ podaj równanie asymptoty poziomej wykresu tej funkcji.

Funkcja $y = \frac{7 x - 8}{x - 6}$ jest określona dla $x - 6 \neq 0$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{6\}$ .

Chcąc przedstawić funkcję $y = \frac{7 x - 8}{x - 6}$ w postaci $y = b + g (x)$ , przekształcamy wzór.

$y = \frac{7 x - 8}{x - 6} = \frac{7 x - 8 - 34 + 34}{x - 6} = \frac{7 x - 42 + 34}{x - 6} = \frac{7 (x - 6) + 34}{x - 6} = 7 + \frac{34}{x - 6}$

Funkcję $y = \frac{7 x - 8}{x - 6}$ zapisujemy w postaci $y = 7 + \frac{34}{x - 6}$ .

Prosta $y = 7$ jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji $y = \frac{7 x - 8}{x - 6}$ ponieważ $\lim_{x \to - \infty} \frac{34}{x - 6} = 0$ i $\lim_{x \to + \infty} \frac{34}{x - 6} = 0$ .

R1TUOyzL6YXEC1

Ćwiczenie 1

R1tCmmYAKr3UL1

Ćwiczenie 2

RKArvWCcSnoS61

Ćwiczenie 3

R17F8HdpGucpU2

Ćwiczenie 4

R1QTEL4Sz9hZY2

Ćwiczenie 5

R3Tk0R7b655x02

Ćwiczenie 6

RiCfze86nrpd63

Ćwiczenie 7

R1B3xmrYWjEoq3

Ćwiczenie 8

RU70WPO9AXDqm1

Ćwiczenie 9

R33twdz3aRhrh1

Ćwiczenie 10

RFRLixMhqnx7C2

Ćwiczenie 11

RXF4wwsxqFCwG2

Ćwiczenie 12

R24s6phHU3PXu2

Ćwiczenie 13

R1DjoZ7UPtt7e21

Ćwiczenie 14

RaPQxJWg7jLBw3

Ćwiczenie 15

RAUWJZgJGSpcH3

Ćwiczenie 16

R1PltaJEFk5g11

Ćwiczenie 17

RqnJzOdv8gVJa1

Ćwiczenie 18

R1dIcLYOMKemZ1

Ćwiczenie 19

R1Lf3FrTtnS5x2

Ćwiczenie 20

R1DgTdVcpzuaL2

Ćwiczenie 21

RVkY0l38gnt4C2

Ćwiczenie 22

RSO4Ds0SYZXbS3

Ćwiczenie 23

R17JvCoV27Di03

Ćwiczenie 24

Słownik

asymptota pionowa

prosta $x = c$ jest asymptotą pionową funkcji określonej co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu $c$ , wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic lim, $\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ jest niewłaściwa

asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji

prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f$ i funkcji liniowej $y = a x + b$ dla $x \to - \infty$ jest równa zero

asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji

prosta $y = a x + b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $y = f$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f (x)$ i funkcji liniowej $y = a x + b$ dla $x \to + \infty$ jest równa zero

asymptota pozioma lewostronna

prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f (x)$ i funkcji liniowej $y = b$ w minus nieskończoności jest równa zero

asymptota pozioma prawostronna

prosta $y = b$ jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $y = f (x)$ , jeżeli granica różnicy wartości funkcji $f (x)$ i funkcji liniowej $y = b$ w plus nieskończoności jest równa zero

5. Granica funkcji w nieskończoności

M_R_W19_M1 Granica funkcji