3. Własność Darboux - M_R_W19_M2 Własności funkcji

RBjg6pkBUOLsK

3. Włsność Darboux

Pewnie nie raz podczas rozwiązywania zadania z matematyki w Twojej głowie pojawiła się myśl: Całe szczęście, że te liczby są dobrane tak, żeby wszystko się skróciło. Inaczej nie dałoby się tego rozwiązać. Dotyczyć to mogło na przykład wielomianów o współczynnikach niewymiernych stopnia wyższego niż $4$ . Co jednak, gdy liczby nie będą dobrane przez nauczyciela lub egzaminatora tak, by można było uprościć obliczenia? Co gdy nie będziemy w stanie rozwiązać istotnego dla nas równania? Wtedy rzecz jasna z pomocą przychodzi nam komputer i liczne metody numeryczne. Pozostaje więc zagwarantować, że rozwiązanie istnieje. Jedna z metod, której możemy użyć oparta jest na twierdzeniu Darboux.

Twoje cele

Poznasz jedno z podstawowych twierdzeń analizy matematycznej.
Nauczysz się prostej metody pozwalającej sprawdzić czy równanie ma rozwiązania.

Twoje cele

Nauczysz się sprawdzać, czy podana funkcja ma miejsce zerowe w zadanym przedziale.
Nauczysz się wyznaczać przybliżone miejsca zerowe funkcji.

Na wstępie zapoznamy się z twierdzeniem Darboux oraz przeanalizujemy je bardzo skrupulatnie.

Darboux

Twierdzenie: Darboux

Załóżmy, że dana jest funkcja ciągła na przedzialefunkcja ciągła na przedzialefunkcja ciągła na przedziale domkniętym $⟨ a, b ⟩$ , tzn. $f : ⟨ a, b ⟩ \to ℝ$ jest ciągła. Jeżeli $f (a) \cdot f (b) < 0$ , to istnieje punkt pośredni $c \in (a, b)$ taki, że $f (c) = 0$ .

Przeanalizujemy powyższe twierdzenie krok po kroku.

Musimy sprawdzić, czy badana funkcja w zadanym przedziale jest ciągła.
Zapis $f (a) \cdot f (b) < 0$ oznacza, że na końcach przedziału wartości funkcji mają różne znaki. Nie musimy badać monotoniczności funkcji, bo nie ma to w tym przypadku znaczenia.
Istnienie punktu pośredniego $c \in (a, b)$ takiego, że $f (c) = 0$ oznacza, że badana funkcja ma miejsce zerowe należące do przedziału $(a, b)$ , jednak w wielu przypadkach możemy nie być w stanie wyznaczyć tej wartości w sposób analityczny.
Należy zauważyć, że teza twierdzenia jest implikacją, a to oznacza, że jeśli $f (a) \cdot f (b) > 0$ , to nie możemy nic powiedzieć o istnieniu pierwiastka.

Przykład 1

Sprawdzimy czy równanie $4^{x} - x^{2} = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $⟨ - 1, 1 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy na początku, że w zadanym przedziale funkcja $f (x) = 4^{x} - x^{2}$ jest określona i ciągła, bowiem zarówno funkcja wykładnicza jak i wielomian są ciągłe, a zatem ich różnica również jest funkcją ciągłą.

Ponadto:

$f (- 1) = 4^{- 1} - {(- 1)}^{2} = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$

$f (1) = 4^{1} - 1^{2} = 4 - 1 = 3$

Czyli $f (- 1) \cdot f (1) < 0$ . Zatem na mocy twierdzenia Darboux funkcja $f (x) = 4^{x} - x^{2}$ na przedziale $(- 1, 1)$ ma miejsce zerowe.

Rozwiązanie tego równania jest dość skomplikowane, na szczęście nie jest wymagane wskazanie dokładnego rozwiązania, a jedynie sprawdzenie, czy takie rozwiązanie istnieje.

Analizując wykres funkcji:

RyxdVlVeVQy0g

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f biegnący niemal pionowo w trzeciej ćwiartce , przebiega ukośnie w drugiej ćwiartce i przecina oś Y w punkcie 0;1. Dalej wykres biegnie niemal pionowo w górę w pierwszej ćwiartce.

utwierdzamy się w przekonaniu o istnieniu rozwiązania równania

$4^{x} - x^{2} = 0$ .

Twierdzenie Darboux należy stosować w umiejętny sposób i w razie potrzeby odpowiednio modyfikować przedział, na którym szukamy rozwiązania.

Przykład 2

Zbadamy czy funkcja $f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 20 x^{2} - 48$ ma pierwiastki należące do przedziału $⟨ - 3, 3 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Badana funkcja jako wielomian jest ciągła na całym zbiorze liczb rzeczywistych, czyli w szczególności na przedziale $⟨ - 3, 3 ⟩$ .

Z drugiej strony

$f (- 3) = 825 > 0$ oraz $f (3) = 825 > 0$ .

Na podstawie twierdzenia Darboux nie można wyciągnąć jednoznacznych wniosków o istnieniu pierwiastków w przedziale $(- 3, 3)$ . Wystarczy jednak zauważyć, że $f (0) = - 48 < 0$ , zatem

$f (- 3) \cdot f (0) < 0$ ,

czyli na przedziale $(- 3, 0)$ funkcja ma miejsce zerowe oraz

$f (0) \cdot f (3) < 0$ ,

co oznacza, że również na przedziale $(0, 3)$ funkcja ma miejsce zerowe.

Reasumując, funkcja $f$ ma co najmniej $2$ pierwiastki należące do przedziału $(- 3, 3)$ .

Po zapisaniu funkcji w nieco innej postaci

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) (x^{2} + 2)$

okazuje się, że funkcja ma dokładnie $2$ miejsca zerowe, które można łatwo wyznaczyć:

$f (x) = 0$ , gdy $(x^{2} - 4) (x^{2} + 6) (x^{2} + 2) = 0$ , skąd: $x = 2$ lub $x = - 2$ .

Twierdzenie Darboux jest podstawą metody równego podziału, inaczej zwanej bisekcją, która pozwala na poszukiwanie miejsc zerowych dowolnej funkcji ciągłej w przedziale $⟨ a, b ⟩$ , dla której $f (a) \cdot f (b) < 0$ . Dzięki algorytmowi znajdujemy przybliżone rozwiązanie ze z góry zadaną dokładnością – ustalamy $ε > 0$ i szukamy przybliżonego rozwiązania, które różni się od rozwiązania właściwego o co najwyżej $ε > 0$ .

Algorytm bisekcji sprowadza się do następujących kroków:

Sprawdzamy, czy $x_{1} = \frac{a + b}{2}$ jest pierwiastkiem, czyli $f (x_{1}) = 0$ . Jeśli tak, to algorytm się kończy, a $x_{1}$ jest szukanym rozwiązaniem.
W przeciwnym razie, dopóki nie osiągamy zakładanej dokładności, czyli $|a - b| > ε$ , to:
a) jeśli $f (a) \cdot f (\frac{a + b}{2}) < 0$ , to przyjmujemy $a_{1} = a$ oraz $b_{1} = \frac{a + b}{2}$ ,
b) jeśli $f (\frac{a + b}{2}) \cdot f (b) < 0$ , to przyjmujemy $a_{1} = \frac{a + b}{2}$ oraz $b_{1} = b$
Ponawiamy procedurę dla przedziału $(a_{1}, b_{1})$ otrzymując przedział $(a_{2}, b_{2})$ ...
Po osiągnięciu zakładanej dokładności, jako rozwiązanie przyjmujemy $x_{0} \approx \frac{a + b}{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy pierwiastek równaniapierwiastek równaniaWyznaczymy pierwiastek równania $x^{5} - x + 1 = 0$ w przedziale $⟨ - 2, 2 ⟩$ z dokładnością do $\frac{1}{16}$ .

Rozwiązanie:

Przyjmijmy $f (x) = x^{5} - x + 1$ , $f (- 2) = - 32 + 2 + 1 = - 29 < 0$ , $f (2) = 32 - 2 + 1 = 31 > 0$ , czyli w badanym przedziale jest pierwiastek. Zauważamy, że $x_{1} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ i $f (0) = 1 > 0$ . Stąd szukany pierwiastek należy do przedziału $(- 2, 0)$ . Zatem

$x_{1} = \frac{- 2 + 0}{2} = - 1$ , $f (- 1) = - 1 + 1 + 1 = 1 > 0$ .

Skoro $f (0) \cdot f (- 2) < - 1$ , to miejsce zerowe należy do przedziału $(- 2, - 1)$ .

Postępując analogicznie w kolejnych krokach, otrzymujemy:

$x_{1} = \frac{- 2 - 1}{2} = - \frac{3}{2}$ , $f (- \frac{3}{2}) = - \frac{243}{32} + \frac{3}{2} + 1 < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{3}{2}, - 1)$

$x_{1} = \frac{- \frac{3}{2} - 1}{2} = - \frac{5}{4}$ , $f (- \frac{5}{4}) < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{5}{4}, - 1)$

$x_{1} = \frac{- \frac{5}{4} - 1}{2} = - \frac{9}{8}$ , $f (- \frac{9}{8}) > 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{5}{4}, - \frac{9}{8})$

$x_{1} = \frac{- \frac{5}{4} - \frac{9}{8}}{2} = - \frac{19}{16}$ , $f (- \frac{19}{16}) < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{19}{16}, - \frac{9}{8})$ ,

ale $|- \frac{19}{16} + \frac{9}{8}| = \frac{1}{16}$ , czyli jako rozwiązanie przyjmujemy środek przedziału i ostatecznie mamy:

$x_{0} \approx \frac{- \frac{9}{8} - \frac{19}{16}}{2} = - \frac{37}{32}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zaprezentowanymi w filmie i wykonaj polecenia znajdujące się poniżej.

RrXUzJltgUD20

Polecenie 2

Wiadomo, że wykres ciągłej funkcji $f (x)$ przechodzi przez punkty $(- 5, 5)$ ; $(- 2, - 5)$ ; $(0, 0)$ ; $(2, - 6)$ ; $(5, 6)$ . Wyznaczyć ile co najmniej rozwiązań należących do przedziału $⟨- 5, 5⟩$ mają równania:

a) $f (x) = \frac{π}{2}$

b) $f (x) = - \sqrt{3}$

Na wstępie narysujmy łamaną przechodzącą przez podane punkty

R1V9JOcrXrfGS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji będący łamaną składającą się z czterech ukośnych odcinków: odcinek pierwszy ma początek w zamalowanym punkcie -5;5 i koniec w zamalowanym punkcie -2;-5. Z tego punktu poprowadzono drugi odcinek do zamalowanego punktu 0;0. Stąd poprowadzono trzeci odcinek do zamalowanego punktu 2;-6. Stąd poprowadzono czwarty odcinek do zamalowanego punktu 5;6.

a) Można zauważyć, że na przedziale $⟨- 5, - 2 ⟩$ zgodnie z twierdzeniem Darboux przyjmuje wszystkie wartości liczbowe z przedziału $⟨- 5, 5 ⟩$ , czyli w szczególności wartość $\frac{π}{2}$ . Podobnie na przedziale $⟨2, 5 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości należące do przedziału $⟨- 6, 6 ⟩$ , więc również $\frac{π}{2}$ . Ostatecznie możemy stwierdzić, że równanie $f (x) = \frac{π}{2}$ ma co najmniej dwa rozwiązania należące do przedziału $⟨- 5, 5 ⟩$ .

b) W przypadku drugiego równania postępujemy analogicznie i zauważamy, że na przedziale $⟨- 5, - 2 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨- 5, 5 ⟩$ , zatem w szczególności $(- \sqrt{3})$ . Na przedziale $⟨- 2, 0 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨- 5, 0 ⟩$ , więc również $(- \sqrt{3})$ . Na przedziale $⟨0, 2 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨- 6, 0 ⟩$ , czyli również musi przyjąć chociaż raz wartość $(- \sqrt{3})$ . Ponadto na przedziale $⟨2, 5 ⟩$ funkcja przyjmuje również wartość $- \sqrt{3}$ , ponieważ przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨- 6, 6 ⟩$ . Ostatecznie stwierdzamy, że równanie $f (x) = - \sqrt{3}$ posiada, co najmniej $4$ rozwiązania należące do przedziału $⟨- 5, 5 ⟩$ .

Polecenie 3

Wykaż, że funkcja $f (x) = \frac{x^{5} + x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ ma co najmniej jeden pierwiastek należący do przedziału $(- 2, 2)$ .

Zauważmy, że

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{5} + {(- 2)}^{3} + 1}{{(- 2)}^{2} + 2} = \frac{- 32 - 8 + 1}{6} = \frac{- 39}{6} < 0$

oraz

$f (2) = \frac{{(2)}^{5} + {(2)}^{3} + 1}{{(2)}^{2} + 2} = \frac{32 + 8 + 1}{6} = \frac{41}{6} > 0$ .

Zatem spełnione jest założenie, że $f (a) \cdot f (b) < 0$ twierdzenia Darboux. Zatem musi istnieć rozwiązanie równania

$f (x) = 0$

należące do przedziału $(- 2, 2)$ .

Pokaż ćwiczenia:

R7TdgqNmUZCsf11

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1JpKMJTQZ7a9

Wskaż przedziały, na których badana funkcja ma miejsca zerowe. f indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemnaście x, plus, czterdzieści
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

f indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, trzy
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

f indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czternaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, czterdzieści dwa, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

f indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, sinus x, mianownik, nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden zamknięcie nawiasu nawias x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa zamknięcie nawiasu, koniec ułamka
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

f indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, plus, kosinus x, koniec ułamka
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

f indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden koniec pierwiastka
A, równa się, nawias ostry zero, średnik, pięć zamknięcie nawiasu ostrego B, równa się, nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu ostrego C, równa się, nawias ostry zero, średnik, dziesięć zamknięcie nawiasu ostrego D, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

funkcja	miejsca zerowe
$f_{1} (x) = x^{4} - 23 x^{2} + 18 x + 40$	$x = 4, x = - 5$
$f_{2} (x) = x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 3$	$x = 1$
$f_{3} (x) = \frac{x^{7} - 7 x^{6} + 2 x^{5} - 14 x^{4} + 3 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x - 42}{(x^{2} + 5) (x^{2} + 3)}$	$x = 7$
$f_{4} (x) = \frac{\sin x}{(x^{2} + 1) (x^{4} + 2)}$	$x = 0 + π k$
$f_{5} (x) = \frac{2^{x} - 2}{x^{2} + 3 + \cos x}$	$x = 1$

RYF1bZYKvtU7t2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Rz9KdSX2aCRAv

RtunQegzwU5zp

Ćwiczenie 5

RRj96vc8IeHEu

Ćwiczenie 6

RWny8ayjyTdD2

Ćwiczenie 7

Korzystają z twierdzenia Darboux, podaj przybliżenie liczby $\sqrt{3}$ z dokładnością do $\frac{1}{16}$ .

Rozważmy funkcję $f (x) = x^{2} - 3$ .

Skoro $f (1) = - 2 < 0$ oraz $f (2) = 1 > 0$ , to $\sqrt{3} \in (1, 2)$ . Rozważmy $x_{1} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$ . Ponieważ $f (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{4}$ , więc $\sqrt{3} \in (\frac{3}{2}, 2)$ . Będziemy więc liczyć wartość funkcji w punkcie $x_{1} = \frac{7}{4}$ : $f (\frac{7}{4}) = \frac{1}{16}$ . Tym samym $\sqrt{3} \in (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ . Środek otrzymanego przedziału to $x_{1} = \frac{13}{8}$ a wartość w tym punkcie to $f (\frac{13}{8}) = - \frac{23}{64}$ . Tym samym $\sqrt{3} \in (\frac{13}{8}, \frac{7}{4})$ . Długość ostatniego przedziału to $\frac{1}{8}$ , więc jego środek: $\frac{27}{16}$ jest szukanym przybliżeniem wartości $\sqrt{3}$ .

R1Az2MtljDAU83

Ćwiczenie 8

Rozważmy cztery funkcje w ich naturalnych dziedzinach. Zastanów się, czy mają one miejsca zerowe. Dopasuj wzory funkcji do właściwych opisów. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie., 2. Brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział., 3. Funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero oraz f nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, minus, trzy, przecinek, x, mniejszy niż, zero, koniec równania, drugie równanie, x, plus, dwa, przecinek, x, większy równy, zero, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie., 2. Brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział., 3. Funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero oraz f nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie., 2. Brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział., 3. Funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero oraz f nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z siedem x indeks górny, dwa, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie., 2. Brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział., 3. Funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero oraz f nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła.

Słownik

pierwiastek równania

pierwiastkiem równania nazywamy wszystkie liczby rzeczywiste spełniające analizowane równanie

funkcja ciągła na przedziale

funkcję $f (x)$ nazywamy ciągłą na przedziale $(a, b)$ jeśli jest ciągła w każdym punkcie $x_{0} \in (a, b)$ , tzn. istnieje granica

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

2. Ciągłość funkcji w zbiorze

M_R_W19_M2 Własności funkcji

3. Włsność Darboux

Słownik