3. Działania na pochodnych - M_R_W19_M3 Pochodna funkcji

R17wkI7Y89HC2

Pojęcie pochodnej staje się efektywnym narzędziem w procesie badania funkcji. W tym materiale poznasz kolejne własności pochodnej, dzięki którym będziesz w stanie wyznaczać pochodne kombinacji arytmetycznych funkcji potęgowych. Jak zobaczysz, pojęcie pochodnej posiada przydatne własności arytmetyczne.

Twoje cele

Sklasyfikujesz najważniejsze własności arytmetyczne pojęcia pochodnej.
Zastosujesz poznane twierdzenia, aby wyznaczyć przykładowe pochodne sumy funkcji, różnicy funkcji, iloczynu funkcji oraz ilorazu funkcji.

Nasze rozważania rozpoczniemy od wprowadzenia własności pochodnej sumy dwu funkcji.

Pochodna sumy funkcji

Twierdzenie: Pochodna sumy funkcji

Jeśli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ , to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna sumy funkcji $f+g$ suma funkcji $f+g$ sumy funkcji $f+g$ oraz

$\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Innymi słowy, pochodna sumy funkcji różniczkowalnych jest równa sumie pochodnych tych funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy pochodną funkcji $h(x)=x^4+x^6$ .

Rozwiązanie

Korzystając z powyższego twierdzenia dla funkcji $f\left(x\right)=x^4$ i $g\left(x\right)=x^6$ oraz z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, otrzymamy $h'(x)=\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)'=\left(x^4+x^6\right)'=\left(x^4\right)'+\left(x^6\right)'=4x^3+6x^5$

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną sumy funkcji postaci $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ i $g\left(x\right)=\frac{1}{x^9}$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z powyższego twierdzenia oraz z wzoru opisującego pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym. Wówczas $\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)'=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^9}\right)'=\left(\sqrt{x}\right)'+\left(\frac{1}{x^9}\right)'=\left(x^{\frac12}\right)'+\left(x^{-9}\right)'=$

$=\frac12\cdot x^{\frac12-1}+\left(-9\right)\cdot x^{-9-1}=\frac12 x^{-\frac12}-9x^{-10}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{9}{x^{10}}$ .

Własność analogiczna do powyższej zachodzi również dla pochodnej różnicy funkcji.

Pochodna różnicy funkcji

Twierdzenie: Pochodna różnicy funkcji

Jeśli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ , to w punkcie $x\in A$ istnieje także pochodna różnicy funkcji $f-g$ różnica funkcji $f-g$ różnicy funkcji $f-g$ oraz

$\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)-g'\left(x\right).$

Tak więc pochodna różnicy funkcji różniczkowalnych to różnica pochodnych tych funkcji.

Dla zainteresowanych

Pochodna różnicy funkcji $f-g$ w punkcie $x\in A$ jest równa różnicy pochodnych funkcji $f$ i $g$ w tym punkcie. Zauważ, że fakt ten wynika bezpośrednio z poprzedniego twierdzenia, gdyż różnicę funkcji $f-g$ możemy zapisać w postaci $f+\left(-g\right)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy pochodną funkcji $\sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy powyższe twierdzenie. Pochodną różnicy funkcji w punkcie można wyrazić jako różnicę pochodnych tych funkcji, zatem dla funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ i $g\left(x\right)=\frac1x$ , dostaniemy
$\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)'=$
$=\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}\right)'=$
$=\left(\sqrt[3]{x}\right)'-\left(\frac{1}{x}\right)'=$
$=\left(x^{\frac13}\right)'-\left(x^{-1}\right)'=$ $\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}-\left(-1\right)\cdot x^{-1-1}=$ $= \frac13 x^{-\frac23}+x^{-2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{x^2}$ .

Twierdzenia wyrażające pochodne sumy bądź różnicy dwóch funkcji pozostają prawdziwe dla sumy bądź różnicy dowolnej liczby funkcji, o czym mówi następujące twierdzenie.

Pochodna sumy/różnicy $n$ funkcji

Twierdzenie: Pochodna sumy/różnicy $n$ funkcji

Jeśli funkcje $f_1,f_2,\ldots,f_n\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , $n\in\mathbb{N}$ , są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ , to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna funkcji $f_1\pm f_2\pm\ldots\pm f_n$ oraz

$\left(f_1\left(x\right)\pm f_2\left(x\right)\pm\ldots\pm f_n\left(x\right)\right)'= \left(f_1\left(x\right)\right)'\pm \left(f_2\left(x\right)\right)'\pm\ldots\pm \left(f_n\left(x\right)\right)'.$

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $x^7-\frac{1}{x^4}+\sqrt[4]{x}$ dla $x\gt0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z wprowadzonej wyżej własności. Wówczas
$\left(x^7-\frac{1}{x^4}+\sqrt[4]{x}\right)'=$
$=\left(x^7\right)'-\left(\frac{1}{x^4}\right)'+\left(\sqrt[4]{x}\right)'=$
$=\left(x^7\right)'-\left(x^{-4}\right)'+\left(x^\frac14\right)'=$
$=7x^6-\left(-4\right)\cdot x^{-4-1}+\frac14 x^{\frac14-1}=$
$=7x^6+4x^{-5}+\frac14 x^{-\frac34}=$
$=7x^6+\frac{4}{x^5}+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ .

W kolejnym twierdzeniu wprowadzimy własność, dzięki której wyznaczymy pochodną dowolnego iloczynu funkcji.

Pochodna iloczynu funkcji

Twierdzenie: Pochodna iloczynu funkcji

Jeżeli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ , to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$ iloczyn funkcji $f\cdot g$ iloczynu funkcji $f\cdot g$ oraz

$\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right) + f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right).$

Szczególnym przypadkiem powyższego wzoru jest sytuacja, w której jedna z funkcji występujących w iloczynie jest funkcją stałą.

Pochodna iloczynu funkcji $f$ przez stałą

Twierdzenie: Pochodna iloczynu funkcji $f$ przez stałą

Jeśli funkcja $f\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , jest różniczkowalna w dowolnym punkcie $x\in A$ oraz $a\in\mathbb{R}$ , to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna iloczynu $a\cdot f$ oraz

$\left(a\cdot f\left(x\right)\right)'=a\cdot f'\left(x\right).$

Dla zainteresowanych

Zauważ, że powyższy wzór bezpośrednio wynika z wcześniejszego twierdzenia. Dla $g\left(x\right)=a$ otrzymamy
$\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)=$ $=f'\left(x\right)\cdot a+f\left(x\right)\cdot \left(a\right)'=f'\left(x\right)\cdot a+f\left(x\right)\cdot 0=$
$=f'\left(x\right)\cdot a+0=a\cdot f'\left(x\right).$

Wyznaczymy najpierw przykładową pochodną iloczynu funkcji przez stałą.

Przykład 5

Wyznaczymy pochodną funkcji $g(x)=6x^4$ .

Rozwiązanie

Zgodnie z wprowadzonym powyżej wzorem, stałą $a=6$ możemy wyłączyć przed znak pochodnej. Zatem dla $f\left(x\right)=x^4$ , uzyskamy $g'(x)=\left(a\cdot f\left(x\right)\right)'=\left(6\cdot x^4\right)'=6\cdot \left(x^4\right)'=6\cdot 4x^3=24x^3$ .

W kolejnym przykładzie znajdziemy pochodną iloczynu dwu funkcji potęgowych.

Przykład 6

Wyznaczymy pochodną iloczynu funkcji postaci $x^3\cdot \sqrt{x}$ .

Rozwiązanie

Stosując wprowadzony powyżej wzór dla funkcji $f\left(x\right)=x^3$ i $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ , pochodna iloczynu $x^3\cdot \sqrt{x}$ będzie postaci $\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)'=\left(x^3\cdot\sqrt{x}\right)'=\left(x^3\right)'\cdot \sqrt{x}+x^3\cdot \left(\sqrt{x}\right)'=$ $=3x^2\cdot\sqrt{x}+x^3\cdot\frac12 x^{\frac12-1}=3x^\frac52+\frac12 x^\frac52=\frac72x^\frac52=\frac{7\sqrt{x^5}}{2}$ .

Powyższe twierdzenia stają się bardzo użyteczne przy wyznaczaniu pochodnych funkcji będących sumą bądź różnicą funkcji potęgowych, co pokażemy w kolejnym przykładzie.

Przykład 7

Wyznaczymy pochodną funkcji $f(x)=6x^3-2x^2+5\sqrt[5]{x}-\frac{3}{x^{12}}$ dla $x\neq0$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując przedstawione twierdzenia dotyczące pochodnych sumy funkcji, różnicy funkcji oraz iloczynu funkcji przez stałą, otrzymamy $f'(x)=\left(6x^3-2x^2+5\sqrt[5]{x}-\frac{3}{x^{12}}\right)'=$
$=\left(6x^3\right)'-\left(2x^2\right)'+\left(5\sqrt[5]{x}\right)'-\left(\frac{3}{x^{12}}\right)'=$ $=6\cdot\left(x^3\right)'- 2\cdot\left(x^2\right)'+5\left(\sqrt[5]{x}\right)'-3\left(\frac{1}{x^{12}}\right)'=$ $=6\cdot\left(x^3\right)'- 2\cdot\left(x^2\right)'+5\left(x^\frac15\right)'-3\left(x^{-12}\right)'=$ $=6\cdot 3x^2-2\cdot 2x+5\cdot\frac15 x^{\frac15-1}-3\cdot \left(-12\right) x^{-12-1}=$ $=18x^2-4x+x^{-\frac45}+36x^{-13}=18x^2-4x+\frac{1}{\sqrt[5]{x^4}}+\frac{36}{x^{13}}$ .

W kolejnym twierdzeniu poznamy wzór pozwalający wyznaczyć pochodną ilorazu funkcji.

Pochodna ilorazu funkcji

Twierdzenie: Pochodna ilorazu funkcji

Jeżeli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ i $g\left(x\right)\neq0$ dla $x\in A$ , to istnieje pochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ iloraz funkcji $\frac{f}{g}$ ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ oraz

$\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}.$

Przykład 8

Wyznaczymy pochodną funkcji $\frac{x^6}{\sqrt{x^3}}$ dla $x\neq0$ .

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu dla funkcji $f\left(x\right)=x^6$ i $g\left(x\right)=\sqrt{x^3}$ , dostaniemy $\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\left(\frac{x^6}{\sqrt{x^3}}\right)'=\frac{\left(x^6\right)'\cdot\sqrt{x^3}-x^6\cdot\left(\sqrt{x^3}\right)'}{\left(\sqrt{x^3}\right)^2}=$ $=\frac{6x^5\cdot x^{\frac32}-x^6\cdot\frac32 x^{\frac32-1}}{\left(x^\frac32\right)^2}=\frac{6x^\frac{13}{2}-\frac32x^\frac{13}{2}}{x^3}=\frac{\frac92x^\frac{13}{2}}{x^3}=\frac{9\sqrt{x^{13}}}{2x^3}$ .

Wykorzystamy teraz wszystkie wprowadzone powyżej wzory wyrażające własności arytmetyczne pochodnej.

Przykład 9

Wyznaczymy pochodną funkcji $f(x)=\frac{6x^7+x^2}{5x^3-x}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z własności arytmetycznych pochodnej, otrzymamy $f'(x)=\left(\frac{6x^7+x^2}{5x^3-x}\right)'=\frac{\left(6x^7+x^2\right)'\cdot\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\cdot\left(5x^3-x\right)'}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(\left(6x^7\right)'+\left(x^2\right)'\right) \cdot\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\cdot\left(\left(5x^3\right)'-x'\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(6\cdot7x^6+2x\right)\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\left(5\cdot 3x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(42x^6+2x\right)\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\left(15x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(210x^9-42x^7+10x^4-2x^2\right)-\left(90x^9-6x^7+15x^4-x^2\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{210x^9-42x^7+10x^4-2x^2-90x^9+6x^7-15x^4+x^2}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{120x^9-36x^7-5x^4-x^2}{\left(5x^3-x\right)^2}=\frac{x^2\left(120x^7-36x^5-5x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z następującym filmem. Następnie wykonaj kolejne polecenia.

RCw7TxfabB4nU

Polecenie 2

Wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=4x^9+7x^5+\frac{4}{x^3}-6\sqrt{x}$ dla $x\gt0$ .

Stosując wzory wyrażające pochodne sumy funkcji, różnicy funkcji oraz iloczynu funkcji przez stałą, otrzymamy
$f'\left(x\right)=\left(4x^9+7x^5+\frac{4}{x^3}-6\sqrt{x}\right)'=$
$=\left(4x^9\right)'+\left(7x^5\right)'+\left(\frac{4}{x^3}\right)'-\left(6\sqrt{x}\right)'=$
$=4\left(x^9\right)'+7\left(x^5\right)'+4\left(x^{-3}\right)'-6\left(x^\frac12\right)'=$
$=4\cdot 9x^8+7\cdot 5x^4+4\cdot \left(-3\right)x^{-4}-6\cdot\frac12 x^{-\frac12}=$
$=36x^8+35x^4-12x^{-4}-3x^{-\frac12}=$
$=36x^8+35x^4-\frac{12}{x^4}-\frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Polecenie 3

Wyznacz pochodną funkcji $g\left(x\right)=\frac{7x^3-2x}{x^2-4}$ dla $x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ .

Wykorzystamy wzór wyrażający pochodną ilorazu funkcji, a następnie wzory na pochodne różnicy funkcji oraz iloczynu funkcji przez stałą. Wówczas $g'\left(x\right)=\left(\frac{7x^3-2x}{x^2-4}\right)'=\frac{\left(7x^3-2x\right)'\cdot\left(x^2-4\right)-\left(7x^3-2x\right)\cdot\left(x^2-4\right)'}{\left(x^2-4\right)^2}=$
$=\frac{\left(7x^3-2x\right)'\cdot\left(x^2-4\right)-\left(7x^3-2x\right)\cdot\left(x^2-4\right)'}{\left(x^2-4\right)^2}=$
$=\frac{\left(7\left(x^3\right)'-2\left(x\right)'\right)\left(x^2-4\right)-\left(7x^3-2x\right)\left(\left(x^2\right)'-\left(4\right)'\right)}{\left(x^2-4\right)^2}=$
$=\frac{\left(21x^2-2\right)\left(x^2-4\right)-\left(7x^3-2x\right)\cdot 2x}{\left(x^2-4\right)^2}=$
$=\frac{\left(21x^4-84x^2-2x^2+8\right)-\left(14x^4-4x^2\right)}{\left(x^2-4\right)^2}=$
$=\frac{21x^4-84x^2-2x^2+8-14x^4+4x^2}{\left(x^2-4\right)^2}= \frac{7x^4-82x^2+8}{\left(x^2-4\right)^2}$ .

Zbierzmy w jednym miejscu poznane wzory pochodnych wybranych funkcji elementarnych.

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna funkcji $y = f' (x)$	Uwagi
$f (x) = a$	$f' (x) = 0$	$a \in ℝ$
$f (x) = x^{α}$	$f' (x) = α \cdot x^{α - 1}$	$x \in ℝ$ , $α \in ℝ$
$f (x) = \ln x$	$f' (x) = \frac{1}{x}$	$x > 0$
$f (x) = \sin x$	$f' (x) = \cos x$	$x \in ℝ$
$f (x) = \cos x$	$f' (x) = - \sin x$	$x \in ℝ$

Korzystać także będziemy z własności arytmetycznych pochodnej, które przypominamy w poniższym twierdzeniu.

Własności arytmetyczne pochodnej

Twierdzenie: Własności arytmetyczne pochodnej

Jeśli funkcje $f, g : A \to ℝ$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalnefunkcja różniczkowalnaróżniczkowalne w zbiorze $A$ , to istnieją również pochodne sumysuma funkcji $f+g$ sumy, różnicyróżnica funkcji $f−g$ różnicy, iloczynuiloczyn funkcji $f\cdot g$ iloczynu i ilorazuiloraz funkcji $\frac{f}{g}$ ilorazu tych funkcji oraz

$\left(f+g\right)'=f'+g'$ ,

$\left(f-g\right)'=f'-g'$ ,

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g +f\cdot g'$ ,

$\left(k\cdot f\right)'=k\cdot f'$ , gdzie $k\in\mathbb{R}$ ,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$ , przy czym $g\neq 0$ .

Wykorzystując wymienione wyżej własności oraz pochodne wybranych funkcji elementarnych, w szeregu przykładów wyznaczymy pochodne wybranych funkcji.

Przykład 10

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=2\sin x+3\sqrt[3]{x^2}$ dla $x\in\mathbb{R}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wcześniejszego twierdzenia, wyznaczymy pochodną sumy funkcjipochodna sumy funkcji $f+g$ pochodną sumy funkcji:

$h'\left(x\right)=\left(2\sin x+3\sqrt[3]{x^2}\right)'=2\cdot \left(\sin x\right)'+ 3\cdot \left(x^{\frac23}\right)'=$ $=2\cos x +3\cdot\frac23 x^{-\frac13}=2\cos x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

Przykład 11

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=5\ln x-7\cos x$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z wzoru na pochodną różnicy funkcjipochodna różnicy funkcji $f-g$ pochodną różnicy funkcji. Wówczas

$h'\left(x\right)=\left(5\ln x-7\cos x\right)'=5\cdot\left(\ln x\right)'-7\cdot\left(\cos x\right)'=$ $=5\cdot\frac{1}{x}-7\cdot\left(-\sin x\right)=\frac{5}{x}+7\sin x$ .

Przykład 12

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=15\ln x\cdot \sqrt[5]{x^8}$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wzoru wyrażającego pochodną iloczynu funkcjipochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$ pochodną iloczynu funkcji, otrzymamy:

$h'\left(x\right)=\left(15\ln x\cdot \sqrt[5]{x^8}\right)' = \left(15\ln x\right)'\cdot \sqrt[5]{x^8}+15\ln x\cdot \left(\sqrt[5]{x^8}\right)'=$ $=15\cdot\left(\ln x\right)'\cdot\sqrt[5]{x^8} + 15\ln x\cdot\left(x^\frac85\right)'=$ $=15\cdot\frac{1}{x}\cdot \sqrt[5]{x^8} + 15\ln x\cdot \frac85 x^\frac35=15x^\frac35+24\ln x\cdot x^\frac35=$ $=\sqrt[5]{x^3}\left(15+24\ln x\right)$ .

Przykład 13

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=\frac{3\sin x}{x^8}$ dla $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu funkcjipochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ pochodną ilorazu funkcji, dostaniemy

$h'\left(x\right)=\left(\frac{3\sin x}{x^8}\right)'=3\cdot\left(\frac{\sin x}{x^8}\right)'=3\cdot \frac{\left(\sin x\right)'\cdot x^8-\sin x\cdot\left(x^8\right)'}{\left(x^8\right)^2}=$ $=3\cdot \frac{\cos x\cdot x^8-\sin x\cdot 8x^7}{x^{16}}=\frac{3x^7\left(x\cos x-8\sin x\right)}{x^{16}}=\frac{3\left(x\cos x-8\sin x\right)}{x^9}$ .

Przykład 14

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=\frac{4x^5+5\cos x}{\sqrt[4]{x}}$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując powyższe własności pojęcia pochodnej, otrzymamy

$h'\left(x\right)=\left(\frac{4x^5+5\cos x}{\sqrt[4]{x}}\right)'=\frac{\left(4x^5+5\cos x\right)'\cdot \sqrt[4]{x}-\left(4x^5+5\cos x\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x}\right)'}{\left(\sqrt[4]{x}\right)^2}=$ $=\frac{\left(20x^4-5\sin x\right)\sqrt[4]{x}-\left(4x^5+5\cos x\right) \cdot\frac14 x^{-\frac34}}{\left(x^\frac14\right)^2}=\frac{20x^\frac{17}{4}-5\sqrt[4]{x}\sin x-x^\frac{17}{4}-\frac54x^{-\frac34}\cos x}{x^\frac12}=$ $=\frac{20\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x-\sqrt[4]{x^{17}}-\frac{5\cos x}{4\sqrt[4]{x^3}}}{\sqrt x}=\frac{4\sqrt[4]{x^3}\left(20\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x-\sqrt[4]{x^{17}}\right)-5\cos x}{4\sqrt[4]{x^5}}$ $=\frac{4\sqrt[4]{x^3}\left(19\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x\right)-5\cos x}{4\sqrt[4]{x^5}}$ .

Polecenie 4

Wykorzystując poznane pochodne funkcji oraz własności arytmetyczne pochodnej, sprawdź się w poniższej grze.

RVHXnw4slnleE1

Wykorzystując poznane pochodne funkcji oraz własności arytmetyczne pochodnej, rozwiąż następujące zadania. Zaznacz poprawną odpowiedź.

Rilw1fiKI2ouF

RsoEbOovU3xSq

R1PQAT3gSkPtO

RMXo5855xO9bW

R1E2Zqt2UkFBz

R1W8VY5ujr4yF

RN4jcRnd0eMTg

R15U7cIqYWrtL

R5P15t4oohxZR

RctdvQ8TR4vWj

REL02sfVHloYo

Polecenie 5

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=8\sqrt{x^5}\cdot x^2$ ,

$g\left(x\right)=4\cdot\frac{x+2}{x-2}$ , $x \neq 2$ .

Skorzystaj z wzorów wyrażających pochodną iloczynu i pochodną ilorazu funkcji:

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ ,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$ , o ile $g\neq 0$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $f$ , korzystamy z wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(8\sqrt{x^5}\cdot x^2\right)'=8\cdot\left(\sqrt{x^5}\cdot x^2\right)'=8\cdot\left(x^\frac52\cdot x^2\right)'=$ $=8\cdot\left(\left(x^\frac52\right)'\cdot x^2+x^\frac52\cdot\left(x^2\right)'\right)=8\cdot \left(\frac52\cdot x^{\frac52-1}\cdot x^2+\sqrt{x^5}\cdot 2x\right)=$ $=8\cdot \left(\frac52\cdot x^\frac32\cdot x^2+\sqrt{x^5}\cdot 2x\right)=8\cdot \left(\frac52\cdot x^\frac72+2x^\frac72\right)=36x^\frac72=36\sqrt{x^7}$ .

Celem wyznaczenia pochodnej funkcji $g$ dla $x \neq 2$ ; skorzystamy z wzoru na pochodną ilorazu funkcji. Wówczas $g'\left(x\right)=\left(4\cdot\frac{x+2}{x-2}\right)'=4\cdot\left(\frac{x+2}{x-2}\right)'=4\cdot\frac{\left(x+2\right)'\cdot\left(x-2\right)-\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^2}=$ $=4\cdot\frac{1\cdot\left(x-2\right)-\left(x+2\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^2}=4\cdot\frac{x-2-x-2}{\left(x-2\right)^2}=-\frac{16}{\left(x-2\right)^2}$ .

Polecenie 6

Wiedząc, iż $\left(\ln x\right)'=\frac1{x}$ oraz $\left(\sin x\right)'=\cos x$ , wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=x^8\cdot\ln x$ , $x > 0$ ;

$g\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x}$ , $x \neq k π, (k \in ℤ)$ .

Skorzystaj z wzorów wyrażających pochodną iloczynu i pochodną ilorazu funkcji:

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ ,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$ , o ile $g\neq 0$ .

Wyznaczymy pochodną funkcji $f$ dla $x > 0$ . W tym celu skorzystamy z wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Wówczas $f'\left(x\right)=\left(x^8\cdot\ln x\right)'=\left(x^8\right)'\cdot\ln x+x^8\cdot\left(\ln x\right)'=$ $=8x^7\cdot\ln x+x^8\cdot \frac1{x}=8x^7\cdot\ln x+x^7 = x^7\cdot\left(8\ln x+1\right)$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $g$ dla $x \neq k π (k \in ℤ)$ , skorzystamy z wzoru na pochodną ilorazu funkcji. Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(\frac{x^2}{\sin x}\right)'=\frac{\left(x^2\right)'\cdot\sin x-x^2\cdot\left(\sin x\right)'}{\sin^2 x}=\frac{2x\sin x-x^2\cos x}{\sin^2 x}$ .

R1X63OMfMJwIB1

Ćwiczenie 1

RUYvCkwEhRINz1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary poniższe funkcje oraz odpowiadające im pochodne: dwa pierwiastek kwadratowy z x Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka trzy pierwiastek sześcienny z x Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka początek ułamka, osiem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, sześć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec ułamka

R7BSAxg3UMiqI1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Stosując wzór na pochodną iloczynu funkcji, wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=x^6\cdot\sqrt{x^3}$ .

Wykorzystując wzór na pochodną iloczynu, otrzymamy
$f'\left(x\right)=\left(x^6\cdot\sqrt{x^3}\right)'=$
$=\left(x^6\right)'\cdot\sqrt{x^3}+x^6\cdot\left(x^\frac32\right)'=$
$=6x^5\cdot \sqrt{x^3}+x^6\cdot\frac32 x^\frac12=$
$=6x^\frac{13}{2}+\frac32 x^\frac{13}{2}=$
$=\frac{15}{2}x^\frac{13}{2}=$
$=\frac{15\sqrt{x^{13}}}{2}$ .

RsbpgcQJvVBrl2

Ćwiczenie 5

RbC4z0ip5oHBQ2

Ćwiczenie 6

R1OKs58QFjCs53

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Korzystając z własności arytmetycznych pochodnej, wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{5x^4-\sqrt{x}}{4x^8+\sqrt{x}}$ .

Na początek zastosujemy wzór na pochodną ilorazu, a następnie skorzystamy z kolejnych własności arytmetycznych pochodnej. Otrzymamy wówczas $f'\left(x\right)=\left(\frac{5x^4-\sqrt{x}}{4x^8+\sqrt{x}}\right)'= \frac{\left(5x^4-\sqrt{x}\right)'\left(4x^8+\sqrt{x}\right) - \left(5x^4-\sqrt{x}\right)\left(4x^8+\sqrt{x}\right)'}{\left(4x^8+\sqrt{x}\right)^2}=$
$=\frac{\left(20x^3-\frac1{2\sqrt x}\right)\left(4x^8+\sqrt x\right)-\left(5x^4-\sqrt x\right)\left(32x^7+\frac1{2\sqrt x}\right)}{\left(4x^8+\sqrt{x}\right)^2}=$
$=\frac{80x^{11}+20x^\frac72-2x^\frac{15}{2}-\frac12-160x^{11}-\frac52x^\frac72+32x^\frac{15}{2}+\frac12}{\left(4x^8+\sqrt{x}\right)^2}=$
$=\frac{-80x^{11}+30x^\frac{15}{2}+\frac{35}{2}x^\frac72}{\left(4x^8+\sqrt{x}\right)^2} = \frac{-80x^{11}+30\sqrt{x^{15}}+\frac{35\sqrt{x^7}}{2}}{\left(4x^8+\sqrt{x}\right)^2}$ .

R1IFRz5LJ5rOB1

Ćwiczenie 9

R1eSAmW6wYgAk1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{8}{\sqrt{x^5}}$ , $x \neq 0$ .

Zastosuj wzór wyrażający pochodną ilorazu. Pamiętaj, aby poprawnie zapisać mianownik funkcji $f$ w postaci potęgi.

Skorzystamy z wzoru na pochodną iloczynu. Wówczas $f'\left(x\right)=\left(\frac{8}{\sqrt{x^5}}\right)'=\frac{\left(8\right)'\cdot\sqrt{x^5}-8\cdot\left(x^\frac52\right)'}{\left(\sqrt{x^5}\right)^2}=\frac{0\cdot\sqrt{x^5}-8\cdot\frac52 x^{\frac32}}{x^5}=$ $=\frac{0-20x^\frac32}{x^5}=-20x^{-\frac72}=-\frac{20}{\sqrt{x^7}}$ .

RDXLC9NyWLwfl2

Ćwiczenie 12

Rf5TMNiLgG53q2

Ćwiczenie 13

R1OJT97hOzIYJ2

Ćwiczenie 14

nawias, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka nawias, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka nawias, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, razy, dwa pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, prim Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, dwanaście, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzydzieści pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści dziewięć pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, jedenaście pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

R11GEQdHimv0J31

Ćwiczenie 15

RV7Uehl6SuNho31

Ćwiczenie 16

Słownik

suma funkcji $f+g$

to funkcja $f+g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

różnica funkcji $f-g$

to funkcja $f-g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f-g\right)\left(x\right) =f\left(x\right)-g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

iloczyn funkcji $f\cdot g$

to funkcja $f\cdot g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f\cdot g\right)\left(x\right) =f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

iloraz funkcji $\frac{f}{g}$

to funkcja $\frac{f}{g}\ \colon\ A\to\mathbb{R}$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right) =\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

dla wszystkich $x\in A$

funkcja różniczkowalna

funkcja posiadająca pochodną w dowolnym punkcie swojej dziedziny

pochodna sumy funkcji $f+g$

pochodna postaci

$\left(f+g\right)'=f'+g'$

pochodna różnicy funkcji $f-g$

pochodna postaci

$\left(f-g\right)'=f'-g'$

pochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$

pochodna postaci

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

pochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$

pochodna postaci

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2},$

przy czym $g\neq 0$

logarytm naturalny

logarytm, którego podstawą jest liczba $e$ . Wartość tej liczby można określić w przybliżeniu: $e \approx 2, 718281828 ...$ Jest ona granicą ciągu $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

2. Funkcja pochodna

3. Funkcja złożona. Pochodna funkcji złożonej

Słownik