1. Równanie okręgu w postaci kanonicznej

RetEQGVD9lA8s

Nie wiadomo kto i kiedy wynalazł koło. Ale już około roku $3500$ p.n.e. używano ich w Mezopotamii jako kół garncarskich i do transportu.

Rrs2DBCfXuAfZ

Zdjęcie przedstawi osobę, która wykonuje naczynie z gliny na kole garncarskim. — Współczesne koło garncarskie
Źródło: Taylor Heery, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Oprócz szeregu niezastąpionych zastosowań praktycznych koło jest również bardzo ciekawym obiektem matematycznym. Tym razem będziemy zajmować się kołami umieszczonymi w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W potocznym rozumieniu przyjmujemy, że okrąg to brzeg koła. Okrąg na płaszczyźnie definiujemy za pomocą odpowiedniego równania, które może przyjmować różne postaci. W tej lekcji omówimy postać kanoniczną równania okręgu, z której można bezpośrednio odczytać współrzędne środka okręgu oraz jego promień.

Twoje cele

Poznasz równanie okręgu w postaci kanonicznej.
Wyznaczysz współrzędne środka i promień okręgu na podstawie jego równania.
Dowiesz się, jak wyznaczyć równanie okręgu mając podane współrzędne jego środka i promień.
Wykorzystasz równanie okręgu w postaci kanonicznej do rozwiązywania problemów matematycznych.
Zastosujesz nierówność opisującą koło do rozwiązywania zadań.

Okrąg

Definicja: Okrąg

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (nazywanego środkiem okręgu), jest równa zadanej odległości (nazywanej promieniem okręgu).

RaCN7C79W5W21

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Podziałka obu osi nie jest opisana liczbowo. Na płaszczyźnie narysowano okrąg, który znajduje się po części w każdej ćwiartce, jednak największa jego część jest w pierwszej ćwiartce. Środek okręgu znajduje się w punkcie S=a,b, przy czym obie współrzędne są zrzutowane: a na oś X, b na oś Y. Narysowano także promień okręgu r wyprowadzony ze środka do punktu P leżącego na okręgu. Punkt ten ma współrzędne x,y.

Jeżeli przez punkt $S = (a, b)$ oznaczymy środek okręguokrągokręgu, a przez punkt $P = (x, y)$ – dowolny punkt leżący na okręgu, wówczas długość promienia $r$ ( $r > 0$ ) obliczymy ze wzoru na długość odcinka:

$r = |S P| = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy równanie: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$

Otrzymane równanie jest równaniem okręgu w postaci kanonicznejpostać kanoniczna równania okręgupostaci kanonicznej, przy czym: $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ – promień okręgu.

Przykład 1

Wyznaczymy środki i promienie okręgów o równaniach:

a) ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$

$S = (3, 2)$ , $r = 4$ .

b) $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

$S = (0, 2)$ , $r = \sqrt{5}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy równania okręgów o podanych środkach i promieniach:

a) $S = (- 3, 0)$ , $r = 3$ .

${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 9$

b) $S = (- 2, - 1)$ , $r = \sqrt{7}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 7$ .

Przykład 3

Wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie $S = (0, - 2)$ , jeżeli należy do niego punkt $P = (- 3, 2)$ .

Długość promienia $r$ jest równa odległości $S P$ .

Zatem $r = |S P| = \sqrt{{(- 3 - 0)}^{2} + {(2 + 2)}^{2}} = 5$ .

Równanie okręgu jest postaci: $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ .

Przykład 4

Wyznaczymy równanie okręgu, jeżeli do końców jego średnicy należą punkty $A = (3, - 1)$ oraz $B = (1, - 5)$ .

Wyznaczamy długość średnicy okręgu, czyli odcinka $A B$ :

$|A B| = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(- 5 + 1)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Promień okręgu jest równy połowie średnicy, więc $r = \sqrt{5}$ .

Środek okręgu jest środkiem odcinka $A B$ .

Wyznaczamy $S = (\frac{3 + 1}{2}, \frac{- 1 + (- 5)}{2}) = (2, - 3)$ .

Równanie okręgu ma zatem postać:

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 5$

Ważne!

Dla równania okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ważne jest, aby promień $r$ był większy od zera.

Jeżeli $r = 0$ , wówczas równanie okręgu przedstawia punkt.

Przykład 5

Wyznaczymy dla jakiego parametru $m$ równanie ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = m^{2} - m - 12$ przedstawia okrąg.

Ponieważ dla równania okręgu musi być spełniony warunek $r > 0$ , otrzymujemy nierówność:

$m^{2} - m - 12 > 0$ .

Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór $m \in (- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$ .

Przykład 6

Sprawdzimy, czy punkt $P = (1, - 3)$ należy do okręgu o środku $S = (2, - 1)$ i promieniu $r = \sqrt{5}$ .

Do sprawdzenia wystarczy wyznaczyć odległość podanego punktu od środka okręgu.

$|S P| = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(- 3 + 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

Ponieważ $|S P| = \sqrt{5}$ , zatem podany punkt należy do tego okręgu.

Przykład 7

Wyznaczymy równanie okręgu o promieniu $r = 2$ , jeżeli należą do niego punkty $K = (2, 0)$ i $L = (0, 2)$ .

Podstawiamy współrzędne punktów $K$ i $L$ do równania okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi:

$\{\begin{cases} {(2 - a)}^{2} + {(0 - b)}^{2} = 4 \\ {(0 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} = 4 \end{cases}$

Rozwiązanie układu sprowadza się do równania

${(2 - a)}^{2} + b^{2} = a^{2} + {(2 - b)}^{2}$ , z czego otrzymujemy, że $a = b$ .

Podstawiamy tę zależność do jednego z równań i otrzymujemy: ${(2 - a)}^{2} + a^{2} = 4$ .

Po przekształceniach mamy równanie $2 a^{2} - 4 a = 0$ , zatem $a = 0$ lub $a = 2$ i jednocześnie $b = 0$ lub $b = 2$ .

Otrzymujemy w związku z tym dwa równania okręgów, spełniających podane warunki:

$x^{2} + y^{2} = 4$ lub ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

Przykład 8

Wyznaczymy równanie okręgu przechodzącego przez punkt $P = (1, 2)$ , stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Zauważmy, że środek $S$ musi mieć współrzędne $S = (r, r)$ .

Podstawiając współrzędne środka oraz podany punkt do równania okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ otrzymujemy równanie:

${(1 - r)}^{2} + {(2 - r)}^{2} = r^{2}$ .

Z równania otrzymujemy, że $r = 1$ lub $r = 5$ . Zatem mamy dwa okręgi spełniające warunki zadania:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ lub ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

Ri02roJyfIb52

Ilustracja interaktywna przedstawiająca Równanie okręgu w postaci kanonicznej: nawias, x, minus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na ilustracji zaznaczono również średnicę d, a także cięciwę c. W okół rysunku znajdują się jego opisy. 1. Okrąg {audio}Okrąg to zbiór wszystkich punktów równo odległych od środka okręgu., 2. Promień {audio}Promień to odcinek łączący środek koła lub okręgu z dowolnym punktem na brzegu., 3. Średnica {audio}Średnica to odcinek łączący dwa punkty na okręgu i przechodzący przez jego środek., 4. Cięciwa {audio}Cięciwa to odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu., 5. Długość średnicy {audio}Długość średnicy jest równa podwojonej długości promienia., 6. Długość promienia {audio}Długość promienia jest równa połowie długości średnicy., 7. Przykłady równań okręgów z odczytanymi środkami i promieniami:

x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, to S, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i r, równa się, trzy

nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, to S, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery

nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto, to S, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dziesięć

Polecenie 2

a) Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 18$ .

b) Napisz równanie okręgu o środku w punkcie $S = (4, - 2)$ i promieniu $r = 2 \sqrt{3}$ .

a) Korzystając z równania okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ mamy, że $S = (- 3, 4)$ oraz $r = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .

b) Podane współrzędne środka oraz długość promienia podstawiamy do równania okręgu i otrzymujemy:

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 12$ .

Przykład 9

Naszkicujmy okrąg opisany za pomocą równania ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

Rozwiązanie:

Z równania możemy odczytać, że środek okręgu $S = (3, 1)$ oraz długość promienia $r = 2$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R1Sx6RiQFAI3l

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 3, 1, zamknięcie nawiasu. Promień okręgu r jest równy dwa.

Przykład 10

Zapiszmy równanie okręgu, którego wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

Rozwiązanie:

RrMFotMwvIlba

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus siedmiu do dwóch i pionową osią y od minus ośmiu do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, minus 4, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

Z rysunku możemy odczytać, że środek okręgu $S = (- 2, - 4)$ , a promień $r$ ma długość $3$ .

Okrąg przedstawiony na rysunku zapisujemy za pomocą równania:

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ .

Przykład 11

Zapiszmy równanie okręgu oraz naszkicujmy jego wykres, jeżeli wiadomo, że środkiem okręgu jest punkt $S = (1, 2)$ i należy do niego punkt $A = (- 2, 4)$ .

Rozwiązanie:

Punkt $A$ należy do okręgu o środku w punkcie $S$ , zatem długość promienia jest równa odległości punktów $A$ i $S$ .

Zatem $r = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2}} = \sqrt{13}$ .

Okrąg zapisujemy za pomocą równania:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 13$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R12USOurQlUsj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt A o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu.

Przykład 12

Wyznaczmy, dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = m^{2} - m - 12$ opisuje okrąg, a następnie naszkicujemy ten okrąg dla najmniejszej liczby naturalnej $m$ , dla której jest to równanie okręgu.

Rozwiązanie:

Jeżeli równanie opisuje okrąg, to spełniony jest warunek $r > 0$ , a zatem:

$m^{2} - m - 12 > 0$ .

Nierówność jest prawdziwa dla $m \in (- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$ .

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca tę nierówność jest równa $5$ .

Zatem dla $m = 5$ równanie okręgu przyjmuje postać:

$x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ .

Z równania możemy odczytać, że środkiem okręgu jest punkt $S = (0, 2)$ oraz $r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Do okręgu należy punkt $A = (2, 0)$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

RWSUey646zM6F

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt A o współrzędnych początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Punkt A jest połączony ze środkiem okręgu S linią, która jest podpisana literą r.

Przykład 13

Wyznaczmy równania okręgów o promieniu długości $2$ , stycznych do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli promień okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych ma długość $2$ , to istnieją cztery takie okręgi, jak na poniższym rysunku.

RTSYjpWuKMHIW

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do pięciu i pionową osią y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się cztery okręgi. Każdy z okręgów znajduje się w innej ćwiartce. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce pierwszej jest w punkcie początek nawiasu, 2, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki pierwszej jest styczny do okręgu z ćwiartki drugiej w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu oraz styczny do okręgu z ćwiartki czwartej w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu z ćwiartki drugiej znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg znajdujący się w ćwiartce drugiej styka się z tym z ćwiartki pierwszej oraz z okręgiem w ćwiartce trzeciej w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce trzeciej ma współrzędne początek nawiasu, minus 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki trzeciej, styka się z okręgiem z ćwiartki drugiej oraz z okręgiem z ćwiartki czwartej w punkcie początek nawiasu 0, minus 2, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce czwartej ma współrzędne początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki czwartej styka się z okręgami z ćwiartki pierwszej oraz trzeciej.

Równania tych okręgów przedstawiają się następująco:

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ,

${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ,

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ,

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ .

Zauważmy, że jeśli okrąg o promieniu długości $r$ jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne: $(r, r)$ , $(- r, r)$ , $(r, - r)$ lub $(- r, - r)$ .

Przykład 14

Wyznaczmy równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A = (- 2, - 1)$ , stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wiemy już, że równanie takiego okręgu możemy zapisać w postaci:

${(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} = r^{2}$ .

W celu wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(- 2 - r)}^{2} + {(- 1 - r)}^{2} = r^{2}$ .

Równanie jest równoważne równaniu $4 + 4 r + r^{2} + 1 + 2 r + r^{2} = r^{2}$ , zatem $r^{2} + 6 r + 5 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $(- 5)$ oraz $(- 1)$ .

Istnieją zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania. Ich równania zapisujemy w postaci:

${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ oraz ${(x + 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

Polecenie 3

Uruchom symulację interaktywną, zmieniaj współrzędne środka okręgu oraz długość promienia. Zwróć uwagę na zapis równania okręgu.

Zapoznaj się z symulacją interaktywną.

RUtQDmKIKqkdN

Polecenie 4

Naszkicuj okrąg, który jest opisany za pomocą równania:
${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$
Zapisz równanie okręgu przedstawionego na poniższym rysunku.
R1KcNDifCTt7C

Jakie będą współrzędne środka okręgu oraz wartość jego prommienia, jeśli okrąg jest opisany równaniem:
${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$
Jakie będzie równanie okręgu przedstawionego na ilustracji?
Grafika przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do sześciu i pionową oś y od minus siedmiu do dwóch. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, 1, minus 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu.

Z równania okręgu możemy odczytać, że środek $S = (- 4, 2)$ oraz promień $r = 3$ .
Zatem okrąg w układzie współrzędnych przedstawia się następująco:
RLPktGPwOjTYr
Z rysunku możemy odczytać, że środek okręgu $S = (1, - 2)$ , a promień ma długość $r = 4$ .
Zatem równanie okręgu zapisujemy w postaci:
${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ .

Koło w układzie współrzędnych* (DODATEK)

koło

Definicja: koło

Kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest mniejsza lub równa $r$ .

Punkt $P$ należy do koła o środku w punkcie $O = (a, b)$ i promieniu $r$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność $| O P | \leq r$ .

Powyższy warunek możemy zapisać następująco: $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} \leq r$ , co prowadzi do nierówności ${(x - a)}^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$ przedstawiającej koło o środku w punkcie $O = (a, b)$ i promieniu $r$ .

Przykład 15

Nierówność $x^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 4$ przedstawia koło o środku w punkcie $(0, 1)$ i promieniu $2$ .

RDDUjGmfEQAr1

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się koło, o środku O w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu. Brzeg koła przechodzi przez punkt początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu.

Przykład 16

Znajdziemy środek i promień koła danego nierównością $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 8 \leq 0$ .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć promień i współrzędne środka koła sprowadzimy powyższą nierówność do postaci: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} \leq r^{2}$ .

W tym celu przekształcamy lewą stronę nierówności wykorzystując wzory skróconego mnożenia:

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 8 = (x^{2} - 2 \cdot 2 x + 4) - 4 + (y^{2} - 2 \cdot 2 y + 4) - 4 - 8 =$ $= {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 16 \leq 0$ .

Otrzymujemy nierówność opisującą koło w postaci: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 16$ .

Możemy teraz odczytać, że nierówność $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 8 \leq 0$ przedstawia koło o środku $O = (2, 2)$ i promieniu $4$ .

Przykład 17

Sprawdzimy, czy nierówności:

a) $x^{2} + y^{2} - x - y \leq 0$

b) $x^{2} + y^{2} + 12 x - 2 y + 49 \leq 0$

opisują koło.

Rozwiązanie:

Musimy sprawdzić, czy te nierówności można sprowadzić do postaci $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$ zwanej postacią kanoniczną.

a) Sprawdźmy pierwszą nierówność: $x^{2} + y^{2} - x - y \leq 0$ .

Zacznijmy od rozważenia równoważnej postaci: $x^{2} - x + y^{2} - y \leq 0$ :

Będziemy przekształcać równoważnie nierówności by ostatecznie sprowadzić je do postaci kanonicznej. $x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x + y^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} y \leq 0$

$x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + y^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \leq 0$

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \leq 0$

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{2}$

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} \leq {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

Tym samym nierówność $x^{2} + y^{2} - x - y \leq 0$ opisuje koło o środkukoło o środku O i promieniu rkoło o środku $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ i promieniukoło o środku O i promieniu ri promieniu $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Sprawdźmy drugą nierówność:

$x^{2} + y^{2} + 12 x - 2 y + 49 \leq 0$ .

Podobnie jak poprzednio będziemy dążyć do postaci kanonicznej, w tym celu przekształcimy nierówności równoważnie: $x^{2} + 12 x + y^{2} - 2 y + 49 \leq 0$

${(x + 6)}^{2} - 36 + {(y - 1)}^{2} - 1 + 49 \leq 0$

${(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq - 12$

Liczba $- 12$ nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej, więc nierówność $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 8 \leq 0$ nie przedstawia koła.

Wniosek:

Nierówność $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c \leq 0$ przedstawia koło wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} - c > 0$ , promieniem tego koła jest liczba $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ a środkiem punkt $(a, b)$ .

Dowód: Nierówność $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c \leq 0$ możemy zapisać równoważnie jako $(x - a)^{2} - a^{2} + (y - b)^{2} - b^{2} + c \leq 0$ , czyli $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq a^{2} + b^{2} - c$ . Jest to postać kanoniczna równania okręgu o promieniu $r$ i środku w punkcie $(a, b)$ , gdy $r^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ . Stąd warunek $a^{2} + b^{2} - c > 0$ .

Przykład 18

Zbadamy, czy punkt $P = (- 1, 0)$ leży wewnątrz koła $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} \leq 5$ .

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu $P$ spełniają nierówność koła: $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} \leq 5$ .

Podstawiając współrzędne do lewej stony nierówności koła otrzymujemy: $(- 1 - 1)^{2} + (0 + 3)^{2} = 4 + 9 > 5$

Zatem punkt $P$ nie należy do koła danego nierównością $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} \leq 5$ .

Przedstawmy tę sytuację w układzie współrzędnych:

Z postaci kanonicznej odczytujemy, że przedstawia ona koło o środku w punkcie $O = (1, - 3)$ i promieniu $r = \sqrt{5}$ .

RRLJlYcdQ7eMb

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś y od minus sześciu do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się koło, o środku O w punkcie początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Okrąg wyznaczający koło przecina oś y w punktach początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu oraz początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu. Dodatkowo na płaszczyźnie znajduje się punkt P o współrzędnych początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu.

Przykład 19

Dany jest prostokąt $A B C D$ o wierzchołkach $A = (1, 1)$ , $B = (7, 1)$ , $C = (7, 5)$ i $D = (1, 5)$ . Wyznaczymy minimalny promień koła, o środku umieszczonym w środku boku $A B$ , aby w całości koło zakryło ten prostokąt. Napiszemy nierówność opisującą to koło.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $O$ środek odcinka $A B$ . Niech zatem $O = (x_{o}, y_{o})$ , gdzie $x_{o} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ , $y_{o} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Po podstawieniu współrzędnych otrzymujemy: $x_{0} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ i $y_{0} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ .

RpVsmD3uR9MdR

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus dwóch do ośmiu oraz pionową oś y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się prostokąt z wierzchołkami o współrzędnych : A początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu, B początek nawiasu, 7, 1, zamknięcie nawiasu, C początek nawiasu, 7, 5, zamknięcie nawiasu, D początek nawiasu, 1, 5, zamknięcie nawiasu. Na odcinku AB zaznaczony został punkt O, którego współrzędne to początek nawiasu, 4, 1, zamknięcie nawiasu. Punkt O jest połączony z punktem C.

Zauważmy, że minimalny promień koła powinien być równy długości odcinka $O C$ . Długość odcinka $O C$ obliczymy ze wzoru na odległość dwóch punktów $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ : $| A B | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .

W naszym przypadku, $r = | O C |$ , $C = (7, 5)$ i $O = (4, 1)$ .

$r = | O C | = \sqrt{{(7 - 4)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

Nierówność opisująca koło ma zatem postać: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 25$ .

RpQiunDoHZp8E

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus jeden do dziewięciu oraz pionową oś y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się prostokąt z wierzchołkami o współrzędnych : A początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu, B początek nawiasu, 7, 1, zamknięcie nawiasu, C początek nawiasu, 7, 5, zamknięcie nawiasu, D początek nawiasu, 1, 5, zamknięcie nawiasu. Na odcinku AB zaznaczony został punkt O, którego współrzędne to początek nawiasu, 4, 1, zamknięcie nawiasu. Na płaszczyźnie narysowano również koło, którego środek znajduje się w punkcie O, oraz którego brzeg przechodzi przez punkty D i C.

Minimalny promień koła o środku w punkcie $O = (4, 1)$ wynosi $5$ .

Polecenie 5

Zapoznaj się z animacją prezentującą nierówność opisującą koło, a następnie rozwiąż zadania i sprawdź odpowiedzi.

R1VkvkRXOIQRT

Polecenie 6

Sprawdź, czy punkt $P = (- 3, 5)$ leży wewnątrz koła ${(x - 4)}^{2} + y^{2} \leq 16$ .

Punkt $P = (- 3, 5)$ leży wewnątrz koła ${(x - 4)}^{2} + y^{2} \leq 16$ , gdy współrzędne tego punktu spełniają nierówność koła.

Podstawiając do danej nierówności:

$(x - 4)^{2} + y^{2} = ((- 3) - 4)^{2} + 5^{2} = 49 + 25 = 74 > 16$ .

Nierówność nie jest spełniona, więc punkt $P = (- 3, 5)$ leży na zewnątrz koła.

Polecenie 7

Oblicz pole figury utworzonej z punktów, których współrzędnie spełniają podwójną nierówność: $5 \leq x^{2} + y^{2} - 4 x \leq 12$ .

Rozpiszmy podwójną nierówność $5 \leq x^{2} + y^{2} - 4 x \leq 12$ na układ nierówności:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 4 x \leq 12 \\ x^{2} + y^{2} - 4 x \geq 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} (x^{2} - 4 x + 4) - 4 + y^{2} \leq 12 \\ (x^{2} - 4 x + 4) - 4 + y^{2} \geq 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} \leq 12 \\ {(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} \geq 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} (x - 2)^{2} + y^{2} \leq 16 \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} \geq 9 \end{cases}$

Otrzymujemy w ten sposób nierówności, z których pierwsza opisuje koło o środku $(2, 0)$ i promieniu $4$ a druga obszar na zewnątrz koła o środku $(2, 0)$ i promieniu $3$ wraz z okręgiem tego koła.

R1JGJNbYHTnGU

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus dwóch do sześciu oraz pionową oś y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa koła, oba o środku O w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Brzeg pierwszego koła przechodzi przez punkt początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, brzeg drugiego koła przechodzi przez punkt początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu. Mniejsze koło ma kolor jasnoniebieski, a jego brzeg zaznaczono kolorem fioletowym. Pierścień pomiędzy brzegiem mniejszego i większego koła zaznaczono na kolor niebieski. Pozostały obszar płaszczyzny układu współrzędnych zamalowano kolorem fioletowym.

Rozwiązaniem podwójnej nierówności jest pierścień o środku w punkcie $O = (2, 0)$ , promieniu wewnętrznym $r_{1} = 3$ oraz promieniu zewnętrznym $r_{2} = 4$ . Jego pole jest równe różnicy pól kół o promieniu $4$ i promieniu $3$ : $P = π r_{2}^{2} - π r_{1}^{2} = π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) = π (4^{2} - 3^{2}) = 7 π$ .

Ćwiczenie 1

R11LBQxbCP1Gk

Połącz w pary równanie okręgu z odpowiadającym mu środkiem i promieniem: nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery, 2. S, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. S, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. S, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery, 2. S, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. S, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. S, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery, 2. S, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. S, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. S, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery, 2. S, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. S, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. S, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i r, równa się, cztery

Ćwiczenie 2

Rljm3kMoNPNB1

Ćwiczenie 3

R1Os5e4dcMnKn

Ćwiczenie 4

RfCkbykBA9q0c

Ćwiczenie 5

RPXgyKsnIlrlv

Ćwiczenie 6

R1XgzuhsyrZLz

Ćwiczenie 7

Rme4h9nhjxIYS

Pogrupuj elementy zgodnie z podanym opisem: Okręgi o środkach o obu współrzędnych ujemnych: Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć, 2. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziesięć, 3. nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 4. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziesięć, 5. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, 6. nawias, x, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy Okręgi o środkach o obu współrzędnych dodatnich: Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć, 2. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziesięć, 3. nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 4. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziesięć, 5. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, 6. nawias, x, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy

Ćwiczenie 8

RpdFT7e8YkDtq

Ćwiczenie 9

Jaki wzór określa okrąg przedstawiony na poniższym rysunku?

R1CVIbu8MNqjd

Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus dziewięciu do dwóch i pionową oś y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, minus 3, 3, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, minus 3, 7, zamknięcie nawiasu.

R1M71eSvekTzo

Ćwiczenie 10

R193z4XO8Fzkl

Połącz w pary równanie okręgu z odpowiadającymi mu współrzędnymi środka S oraz długością promienia r: nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, minus, jeden kropka dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. S, równa się, nawias, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa, 3. S, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. S, równa się, nawias, minus, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, minus, jeden kropka dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. S, równa się, nawias, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa, 3. S, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. S, równa się, nawias, minus, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, minus, jeden kropka dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. S, równa się, nawias, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa, 3. S, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. S, równa się, nawias, minus, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, nawias, minus, jeden kropka dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. S, równa się, nawias, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa, 3. S, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. S, równa się, nawias, minus, dwa kropka jeden, zamknięcie nawiasu oraz r, równa się, dwa

Ćwiczenie 11

RGjxWljSTDbZQ

R1B1n1HCU2tpP

Dopasuj opis do odpowiedniego równania. Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową oś y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus dwóch do sześciu i pionową oś y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową oś y od minus pięciu do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, minus 3, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć

Ćwiczenie 12

Na poniższym rysunku przedstawiono okrąg.

Rnl8AosyTcsCr

Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do sześciu i pionową oś y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg, którego środek ma współrzędne początek nawiasu, 3, 1, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu.

RRb08VglcrW14

Ćwiczenie 13

R1SMG4nbsj57L

Ćwiczenie 14

R1CrLw0VmduZw

RNk3F730ETFvg

Ćwiczenie 15

R1LwNRGfy46IL

Ćwiczenie 16

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt o współrzędnych $(3, 2)$ , stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Równanie takiego okręgu możemy zapisać w postaci:

${(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} = r^{2}$ .

W celu wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(3 - r)}^{2} + {(2 - r)}^{2} = r^{2}$ .

Równanie jest równoważne równaniu $9 - 6 r + r^{2} + 4 - 4 r + r^{2} = r^{2}$ , zatem $r^{2} - 10 r + 13 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $5 - 2 \sqrt{3}$ oraz $5 + 2 \sqrt{3}$ .

Zatem istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania. Ich równania zapisujemy w postaciach:

${(x - 5 + 2 \sqrt{3})}^{2} + {(y - 5 + 2 \sqrt{3})}^{2} = 37 - 20 \sqrt{3}$ oraz ${(x - 5 - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(y - 5 - 2 \sqrt{3})}^{2} = 37 + 20 \sqrt{3}$ .

RoBfRcw7KHNle1

Ćwiczenie 17

Rz4Ww0hEnoURY1

Ćwiczenie 18

R78xhoO6Tttjw2

Ćwiczenie 19

RgRZjNubyz9gb2

Ćwiczenie 20

R14VdTWQWUDMO2

Ćwiczenie 21

R19thXPLR9HLv2

Ćwiczenie 22

R1bGMJMVlmLLy3

Ćwiczenie 23

R1Ui6H65Sc1nz3

Ćwiczenie 24

Słownik

okrąg

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które leżą w odległości równej promieniowi od ustalonego punktu, nazywanego środkiem okręgu

postać kanoniczna równania okręgu

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ - promień okręgu

koło o środku O i promieniu r

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest mniejsza lub równa $r$

2*. Równanie okręgu w postaci ogólnej (DODATEK)

M_R_W21_M2 Okrąg i prosta w układzie współrzędnych