4. Styczna do okręgu

R778YSkiRXe77

Ile punktów wspólnych może mieć okrąg i prosta? Czy może być ich nieskończenie wiele? Wykorzystując pojęcie odległości punktu od prostej, omówimy szczególny przypadek wzajemnego położenia okręgu i prostej, gdy mają one dokładnie jeden punkt wspólny. Mówimy wówczas o stycznej do okręgu.

Twoje cele

Dowiesz się, czym jest styczna do okręgu.
Wykorzystasz własności stycznej do okręgu do wyznaczenia równania stycznej.
Wyznaczysz równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt leżący na okręgu.

Już wiesz

Na podstawie badania wzajemnego położenia prostej i okręgu możemy stwierdzić, że okrąg i prosta mogą mieć:

jeden punkt wspólny,
dwa punkty wspólne,
zero punktów wspólnych.

Omówimy przypadek, gdy prosta i okrąg przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

styczna do okręgu

Definicja: styczna do okręgu

Styczną do okręgustyczna do okręguStyczną do okręgu nazywamy prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z tym okręgiem. Punkt ten nazywamy punktem styczności.

R1ZCflQTudLDT

Rysunek przedstawia okrąk o środku w punkcie S i promieniu r oraz ukośną prostą styczną do tego okręgu. Na ilustracji wyróżniono zamalowanym kółkiem punkt styczności P i podpisano go. Ze środka okręgu poprowadzono promień do punktu P oraz zaznaczono kąt prosty między promieniem a prostą przy wierzchołku P.

styczna do okręgu

Własność: styczna do okręgu

Styczna do okręgustyczna do okręguStyczna do okręgu jest prostopadła do promienia łączącego punkt styczności i środek okręgu.

Ważne!

Zauważmy, że długość promienia $r$ jest równa odległości środka $S$ od punktu $P$ , zatem $r = |S P|$ .

Styczna przechodząca przez punkt na okręgu

Omówimy teraz metody wyznaczania równania stycznej do okręgu, przechodzącej przez punkt leżący na tym okręgu.

Metoda $I$ : za pomocą wzoru na odległość punktu od prostej

Przykład 1

Wyznaczymy równanie stycznej do okręgu o równaniu ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ , przechodzącej przez punkt $(1, 2)$ .

Z równania okręgu możemy odczytać środek $S = (- 1, 3)$ oraz promień $r = \sqrt{5}$ .

Styczna do okręgu ma równanie $y = a x + b$ .

Ponieważ punkt $(1, 2)$ należy do tej prostej, zatem otrzymujemy równanie $2 = a + b$ , więc $b = 2 - a$ .

Prosta jest postaci $y = a x + 2 - a$ , co po przekształceniu do postaci ogólnej daje $a x - y + 2 - a = 0$ .

Wykorzystamy wzór na odległość punktu od prostej $d = \frac{|A x + B y - C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ oraz fakt, że odlegość środka okręgu od podanego punktu jest równa długości promienia okręgu.

Zatem mamy równanie $\frac{|- a - 3 + 2 - a|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \sqrt{5}$ .

Po przekształceniu równania otrzymujemy, że $|- 2 a - 1| = \sqrt{5} \sqrt{a^{2} + 1}$ .

Podnosimy obie strony równania do kwadratu i przekształcamy do postaci $a^{2} - 4 a + 4 = 0$ , co daje ${(a - 2)}^{2} = 0$ , więc $a = 2$ .

Otrzymujemy, że $b = 0$ .

Zatem szukana styczna jest postaci $y = 2 x$ .

Metoda $II$ : poprzez rozwiązanie układu równań, w którym jedno równanie jest równaniem okręgu, a drugie równaniem szukanej stycznej

Przykład 2

Wyznaczymy równanie stycznej do okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ , przechodzącej przez punkt $(0, 2)$ .

Prosta styczna jest postaci $y = a x + b$ .

Ponieważ punkt $(0, 2)$ należy do tej prostej, zatem jest ona postaci $y = a x + 2$ .

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25 \\ y = a x + 2 \end{cases}$ .

Aby prosta była styczna do okręgu, to układ musi mieć jedno rozwiązanie.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie ${(x - 3)}^{2} + {(a x + 4)}^{2} = 25$

Po uporządkowaniu mamy, że $(a^{2} + 1) x^{2} + (8 a - 6) x = 0$ . Obliczamy wyróżnik, który musi wynosić $0$ , zatem mamy równanie ${(8 a - 6)}^{2} = 0$ .

Z równania wynika, że $a = \frac{3}{4}$ .

Zatem szukana styczna jest postaci $y = \frac{3}{4} x + 2$ .

Metoda $III$ : poprzez wyznaczenie równania prostej prostopadłej do promienia okręgu, przechodzącej przez podany punkt

Przykład 3

Wyznaczymy równanie stycznej do okręgu ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 10$ , przechodzącej przez punkt $(1, 3)$ .

Z równania okręgu możemy odczytać, że $S = (2, 0)$ oraz $r = \sqrt{10}$ .

Ponieważ styczna jest prostopadła do promienia okręgu w punkcie styczności, wyznaczymy równanie prostej prostopadłej.

Prosta przechodząca przez punkty $(1, 3)$ i $(2, 0)$ ma współczynnik kierunkowy równy $a = - 3$ .

Zatem współczynnik kierunkowy stycznej wynosi $a = \frac{1}{3}$ .

Styczna przechodzi przez punkt $(1, 3)$ , zatem mamy równanie $3 = \frac{1}{3} + b$ .

Zatem $b = 2 \frac{2}{3}$ .

Równanie szukanej stycznej jest postaci $y = \frac{1}{3} x + 2 \frac{2}{3}$ .

Metoda $IV$ : za pomocą wzoru na styczną do okręgu

Jeżeli okrąg ma równanie

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

gdzie:

$S = (a, b)$ - środek,
$r$ - promień okręgu,
$(x_{a}, y_{b})$ - punkt, przez który przechodzi styczna,

wówczas równanie stycznejrównanie stycznej do okręgurównanie stycznej wyraża się wzorem

(x_{a} - a) (x - a) + (y_{b} - b) (y - b) = r^{2}

Przykład 4

Wyznaczymy równanie stycznej do okręgu o równaniu ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ , przechodzącej przez punkt $(2, 1)$ .

Odczytujemy dane $S = (2, - 1)$ , $r = 2$ oraz $(x_{a}, y_{b}) = (2, 1)$ .

Po podstawieniu do wzoru na równanie stycznej otrzymujemy, że $(2 - 2) (x - 2) + (1 + 1) (y + 1) = 4$ .

Zatem równanie stycznej jest postaci $y = 1$ .

Przykład 5

Wyznaczymy dla jakiego parametru $m$ okrąg $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = m + 4$ i prosta $y = 2 x - 1$ mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Aby równanie przedstawiało okrąg, to powinien zachodzić warunek $m + 4 > 0$ , więc $m \in (- 4, \infty)$ .

W celu wyznaczenia wartości parametru rozwiążemy układ równań, w którym jedno równanie jest równaniem okręgu, a drugie równanie opisuje prostą.

Zatem mamy $\{\begin{cases} x^{2} + {(y + 2)}^{2} = m + 4 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ .

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ . Otrzymujemy równanie $x^{2} + {(2 x + 1)}^{2} = m + 4$ , co po przekształceniu daje równanie $5 x^{2} + 4 x - m - 3 = 0$ .

Aby prosta i okrąg miały dokładnie jeden punkt wspólny, to wyróżnik musi być równy $0$ .

Obliczamy $∆ = 16 - 20 \cdot (- m - 3) = 76 + 20 m$ .

Z równania $∆ = 0$ oraz po uzgodnieniu z założeniem otrzymujemy, że $m = - 3 \frac{4}{5}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj polecenie.

ReOiB0zN5K61u

Polecenie 2

Wyznacz równanie stycznej do okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 20$ , przechodzącej przez punkt $(1, 2)$ .

Sposób $I$ :

Prosta łącząca środek okręgu z podanym punktem ma współczynnik kierunkowy $a = \frac{2 + 2}{1 - 3} = - 2$ .

Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi zatem $a = \frac{1}{2}$ .

Prosta styczna do okręgu przechodzi przez punkt $(1, 2)$ , zatem otrzymujemy równanie $2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + b$ , więc $b = \frac{3}{2}$ .

Styczna do okręgu wyraża się wzorem $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

Sposób $II$ :

Wykorzystamy wzór na styczną do okręgu w podanym punkcie.

Wzór na styczną do okręgu jest postaci $(x_{a} - a) (x - a) + (y_{b} - b) (y - b) = r^{2}$ .

Odczytujemy dane z równania okręgu $S = (3, - 2)$ , $r = \sqrt{20}$ oraz $(x_{a}, y_{b}) = (1, 2)$ .

Podstawiamy do równania stycznej do okręgu i otrzymujemy $(1 - 3) (x - 3) + (2 + 2) (y + 2) = 20$ .

Po uproszczeniu mamy postać stycznej $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

Styczna przechodząca przez punkt poza okręgiem

Podamy teraz konstrukcyjny sposób poprowadzenia przez dany punkt, nie należący do okręgu, stycznych do tego okręgu.

Konstrukcja

Rysujemy okrąg i zaznaczamy punkt $P$ . Następnie rysujemy odcinek $O P$ .
R1PkmneeAxVEu
Prowadzimy symetralną odcinka $O P$ , która przechodzi przez jego środek w punkcie $K$ .
R1NKIR0NlzmqI

3. Zakreślamy okrągokrąg o środku $O$ i promieniu $r$ okrąg o środku w punkcie $K$ i promieniu $K O$ .

R1NUjjnr3VwmG

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O oraz punkt P znajdujący się poza okręgiem. Punkty O i P łączy poziomy odcinek. Na środku odcinka OP zaznaczono punkt K, przez który poprowadzono pionową prostą. Linią przerywaną narysowano okrąg o środku w punkcie K, który przechodzi przez punkt O oraz punkt P.

Wyznaczamy punkty wspólne tego okręgu i okręgu danego. Przez każdy z tych punktów i punkt $P$ prowadzimy prostą.
RS3NzEWAUH4qD
Ilustracja przedstawia okrąg o środku O oraz punkt P znajdujący się poza okręgiem. Punkty O i P łączy poziomy odcinek. Na środku odcinka OP zaznaczono punkt K, przez który poprowadzono pionową prostą. Linią przerywaną narysowano okrąg o środku w punkcie K, który przechodzi przez punkt O oraz punkt P. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O. Punkt znajdujący się powyżej środka okręgu, w którym styczna styka się z okręgiem, podpisano literą A.

Prosta $A P$ jest styczna do okręgu, ponieważ kąt wpisany $O A P$ jest oparty na średnicy $O P$ , więc ma miarę $90 °$ . Prosta $A P$ jest prostopadła do odcinka $O A$ , zatem odległość punktu $O$ od tej prostej w punkcie $A$ jest równa promieniowi danego okręgu.

R1610FFRTKNbl

Opisana konstrukcja pozwala wyznaczyć dwie styczne dla każdego punktu $P$ leżącego poza danym okręgiem.

Ważne!

Z danego punktu leżącego poza okręgiem, można poprowadzić dwie styczne do tego okręgu.

Wykorzystamy powyższą metodę do wyznaczenia równań stycznych do okręgu.

Przykład 6

Napiszemy równania stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} = 13$ poprowadzonych z punktu $P = (5, 1)$ .

Rozwiązanie:

Równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (x_{p}, y_{p})$ jest postaci $y = a (x - x_{p}) + y_{p}$ .

Dla danego punktu $P = (5, 1)$ otrzymujemy zatem równanie prostej w postaci $y = a (x - 5) + 1$ .

Z równania danego okręgu wiemy, że ma środek w punkcie $O = (0, 0)$ .

Opierając się na przedstawionej konstrukcji, wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie $K$ , będącym środkiem odcinka $O P$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu $K$ korzystając ze wzoru na środek odcinka. $K = (\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 1}{2})$ , czyli $K = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$ .

Promień okręgu o środku w punkcie $K$ wynosi $r_{1} = |K P| = |O K| = \sqrt{{(\frac{5}{2} - 0)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 0)}^{2}} = \sqrt{\frac{26}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$ .

Równanie okręgu o środku w punkcie $K$ ma zatem postać ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ .

Punkty przecięcia okręgów ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ i $x^{2} + y^{2} = 13$ są punktami styczności prostych przechodzących przez punkt $P$ .

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, równanie okręgu ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ , przyjmuje postać $x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} + y^{2} - y + \frac{1}{4} = \frac{26}{4}$ , a po redukcji wyrażeń podobnych: $x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 0$ .

Szukamy punktów przecięcia obu okręgów, w tym celu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases}$

Odejmując stronami równanie pierwsze od drugiego, otrzymujemy: $5 x + y = 13$ , stąd $y = 13 - 5 x$ .

W równaniu $x^{2} + y^{2} = 13$ podstawiamy $y = 13 - 5 x$ i otrzymujemy równanie $x^{2} + {(13 - 5 x)}^{2} = 13$ .
Poprzez przekształcenia otrzymujemy $x^{2} + 169 - 130 x + 25 x^{2} = 13$ , a następnie $26 x^{2} - 130 x + 156 = 0$ , dochodzimy do równania kwadratowego postaci $13 x^{2} - 65 x + 78 = 0$ . Wyróżnik tego trójmianu wynosi $Δ = 65^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 78 = 169 > 0$ , czyli równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{65 - 13}{2 \cdot 13} = 2$ i $x_{2} = \frac{65 + 13}{2 \cdot 13} = 3$ .

Ponieważ $y = 13 - 5 x$ , więc $y_{1} = 3$ , a $y_{2} = - 2$ .

Otrzymaliśmy punkty styczności $A = (2, 3)$ i $B = (3, - 2)$ , możemy przejść do wyznaczenia równań stycznych.

Równanie stycznej $A P$ zapiszemy jako:

$y = a (x - 5) + 1$ .

Wiedząc, że przechodzi przez punkt $A$ , otrzymujemy $3 = - 3 a + 1$ , $a = - \frac{2}{3}$

Równanie stycznej przyjmuje więc postać:

$y = - \frac{2}{3} (x - 5) + 1 = - \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} + 1 = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$

Równanie stycznej $B P$ zapiszemy jako:

$y = a (x - 5) + 1$ .

Wiedząc, że przechodzi przez punkt $B$ , otrzymujemy $- 2 = - 2 a + 1$ , $a = \frac{3}{2}$ .

Równanie stycznej przyjmuje więc postać:

$y = \frac{3}{2} (x - 5) + 1 = \frac{3}{2} x - \frac{15}{2} + 1 = \frac{3}{2} x - \frac{13}{2}$

W ten sposób otrzymaliśmy równania prostych $y = \frac{3}{2} x - \frac{13}{2}$ oraz $y = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$ przechodzących przez punkt $P = (5, 1)$ i stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} = 13$ .

Wzajemne położenie prostej $y = m x + n$ i okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ możemy określić poprzez analizę liczby rozwiązań układu równań:

$\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}$

Po podstawieniu $y = m x + n$ do drugiego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe.

Możliwe są trzy przypadki:

$Δ > 0$ – prosta ma z okręgiem dwa (różne) punkty wspólne – jest sieczną okręgu,
$Δ < 0$ – prosta nie ma punktu wspólnego z okręgiem,
$Δ = 0$ – prosta ma z okręgiem jeden punkt wspólny (podwójny), czyli jest styczną do okręgu.

warunek styczności prostej i okręgu

Ważne!

Prosta $y = m x + n$ jest styczną do okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdy równanie kwadratowe wynikające z układu równań:

$\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}$

ma jedno rozwiązanie.

Przykład 7

Napiszemy równania stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ przechodzących przez początek układu współrzędnych. .

Rozwiązanie:

Równanie prostej, na której leży punkt będący początkiem układu współrzędnych, ma postać $y = m x$ . Rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = m x \\ x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0 \end{cases}$

Podstawiamy $y = m x$ do równania $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ i otrzymujemy:

$x^{2} + {(m x)}^{2} - 10 x + 4 m x + 25 = 0$ , które zapisujemy w postaci $(1 + m^{2}) x^{2} - 2 (- 2 m + 5) x + 25 = 0$ .

Wyróżnik tego trójmianu musi być równy zeru, ponieważ wtedy prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, czyli: $Δ = {[- 2 (- 2 m + 5)]}^{2} - 4 (1 + m^{2}) \cdot 25 = 0$

$16 m^{2} - 80 m + 100 - 100 - 100 m^{2} = 0$

$- 84 m^{2} - 80 m = 0$

$- 4 m (21 m + 20) = 0$

Stąd otrzymujemy dwie wartości $m$ : $m_{1} = 0$ , $m_{2} = - \frac{20}{21}$ .

Podstawiając uzyskane wartości do równania prostej $y = m x$ , otrzymujemy równania dwóch stycznych $y = 0$ , $y = - \frac{20}{21} x$ .

Wzajemne położenie okręgu i prostej na płaszczyźnie można również określić badając odległość prostej od środka okręgu.

Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest:

większa od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktu wspólnego,
mniejsza od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne – prostą nazywamy wtedy sieczną okręgu,
równa długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny – prostą nazywamy wtedy styczną do okręgu.

Prosta $A x + B y + C = 0$ jest styczną do okręgu, jeżeli jej odległość od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu.

Odległość punktu $A = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $A x + B y + C = 0$ opisuje wzór $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ . W naszym przypadku odległość środka okręgu od prostej będącej styczną jest równa promieniowi, czyli:

$r = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , gdzie $O = (a, b)$ jest środkiem okręgu.

Przykład 8

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ poprowadzonych z punktu $P = (- \frac{9}{4}; 3)$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu mają równania postaci: $y = a x + b$ . Skoro przechodzą przez punkt $P$ , to: $3 = - \frac{9}{4} a + b$ , stąd: $b = 3 + \frac{9}{4} a$ i: $y = a x + \frac{9}{4} a + 3$ .

Zapiszemy równanie stycznej w postaci ogólnej: $a x - y + \frac{9}{4} a + 3 = 0$ .

Odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia. Środek okręgu to punkt $S = (4; 3)$ a promień ma długość $5$ .

Zatem:

$\frac{|a \cdot 4 - 3 + \frac{9}{4} a + 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 5$

$|\frac{25}{4} a| = 5 \sqrt{a^{2} + 1}$

$\frac{625}{16} a^{2} = 25 (a^{2} + 1)$

$\frac{225}{16} a^{2} = 25$

$a^{2} = \frac{16}{9}$

$a = - \frac{4}{3}$ lub $a = \frac{4}{3}$

Mamy więc odpowiednio: $b = 0$ lub $b = 6$ .

Styczne do okręgu o równaniu: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ poprowadzone z punktu $P = (- \frac{9}{4}; 3)$ mają równania: $y = - \frac{4}{3} x$ lub $y = \frac{4}{3} x + 6$ .

Przykład 9

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ równoległych do prostej o równaniu $y = 2 x - 5$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu i równoległe do prostej $y = 2 x - 5$ mają równania postaci: $y = 2 x + b$ .

Odległość środka okręgu $S = (- 1; - 2)$ od stycznej jest równa długości promienia, czyli $4$ .

Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: $2 x - y + b = 0$ i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:

$\frac{|2 \cdot (- 1) - (- 2) + b|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 4$

$|b| = 4 \sqrt{5}$

$b = - 4 \sqrt{5}$ lub $b = 4 \sqrt{5}$ .

Ostatecznie równania stycznych mają postać: $y = 2 x - 4 \sqrt{5}$ lub $y = 2 x + 4 \sqrt{5}$

Przykład 10

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ prostopadłych do prostej o równaniu $y = x + 1$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej $y = x + 1$ mają równania postaci: $y = - x + b$ .

Odległość środka okręgu $S = (3; - 3)$ od stycznej jest równa długości promienia, czyli $2$ .

Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: $x + y - b = 0$ i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:

$\frac{|3 - 3 - b|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = 2$

$|b| = 2 \sqrt{2}$

$b = - 2 \sqrt{2}$ lub $b = 2 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie równania stycznych mają postać: $y = - x - 2 \sqrt{2}$ lub $y = - x + 2 \sqrt{2}$

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją prezentującą równania stycznych do okręgu poprowadzonych przez punkt nie leżący na okręgu, a następnie rozwiąż zadania.

R43mv6fyFbuaM

Polecenie 4

Przez punkt $A = (0, 2)$ poprowadź styczne do okręgu $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Punkt $A$ nie należy do okręgu.

Prostą styczną do okręgu $x^{2} + y^{2} = 1$ i przechodzącą przez punkt $A = (0, 2)$ przedstawimy w postaci $y = m (x - x_{A}) + y_{A}$ , czyli $y = m x + 2$ .

Rozwiązując to zadanie wykorzystamy wzór na odległość punktu od prostej.
W tym celu zapiszemy równanie prostej stycznej następująco: $m x - y + 2 = 0$ .

Prosta $m x - y + 2 = 0$ jest styczną do okręgu, więc odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia okręgu.

Okrąg $x^{2} + y^{2} = 1$ ma środek w punkcie $O = (0, 0)$ i promień $r = 1$ .

Wykorzystując wzór $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ otrzymujemy $r = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , gdzie $O = (a, b)$ jest środkiem okręgu.

Podstawiając $r = 1, a = 0, b = 0, A = m, B = - 1, C = 2$ otrzymujemy $\frac{|m \cdot 0 + (- 1) \cdot 0 + 2|}{\sqrt{m^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 1$ , co prowadzi do równania $\frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 1$ .

Podnosimy obie strony równania do kwadratu, a następnie mnożymy przez $m^{2} + 1$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe postaci $4 = m^{2} + 1$ , a następnie $m^{2} = 3$ .

Równanie $m^{2} = 3$ ma dwa rozwiązania $m_{1} = \sqrt{3}$ i $m_{2} = - \sqrt{3}$ .

Styczne są postaci $y = m x + 2$ . Mamy dwie proste styczne do okręgu $y = \sqrt{3} x + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 2$ .

Polecenie 5

Styczna do okręgu ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5$ , przechodząca przez punkt $P = (- 1, 3)$ jest równoległa do prostej $y = - 2 x - 10$ . Podaj współrzędne punktu styczności.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (x_{p}, y_{p})$ jest postaci $y = m (x - x_{p}) + y_{p}$ , czyli dla $P = (- 1, 3)$ mamy $y = m (x + 1) + 3 = m x + m + 3$ .
Ponieważ jest ona równoległa do prostej $y = - 2 x - 10$ , to z warunku równoległości prostych wiemy, że mają one takie same współczynniki kierunkowe, stąd $m = - 2$ .

Równanie stycznej do okręgu jest postaci $y = - 2 x + 1$ .

Szukając punktu styczności prostej i okręgu, musimy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 1 \\ {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5 \end{cases}$

Podstawiając $y = - 2 x + 1$ przechodzimy do równania ${(x - 3)}^{2} + {(- 2 x + 1)}^{2} = 5$ .

Po przekształceniu lewej strony równania mamy: ${(x - 3)}^{2} + {(- 2 x + 1)}^{2} = x^{2} - 6 x + 9 + 4 x^{2} - 4 x + 1 = 5 x^{2} - 10 x + 10$ .

Po redukcji, rozwiązujemy równanie kwadratowe $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ .

Wyróżnik tego trójmianu wynosi $Δ = 4 - 4 = 0$ , więc istnieje jedno rozwiązanie $x = - \frac{- 2}{2} = 1$ .

Wyznaczając wartość $y$ z równania $y = - 2 x + 1$ , otrzymujemy $y = - 1$ .

Punkt $A = (1, - 1)$ jest punktem styczności prostej $y = - 2 x + 1$ z okręgiem ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5$ .

Ćwiczenie 1

R1f1RDzsNYNH2

Ćwiczenie 2

R1TnAkgkaUiDe

Ćwiczenie 3

R119qH1zW8izf

Ćwiczenie 4

R15Rq6XbVGHTo

Ćwiczenie 5

RVoZxIbC0T05j

Ćwiczenie 6

R1MGZr2NpZpWv

Połącz w pary równanie okręgu z odpowiadającym mu równaniem stycznej w punkcie nawias, jeden przecinek zero, zamknięcie nawiasu: nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, jeden, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. y, równa się, zero, 4. y, równa się, minus, x, plus, jeden nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, jeden, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. y, równa się, zero, 4. y, równa się, minus, x, plus, jeden nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzydzieści dwa Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, jeden, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. y, równa się, zero, 4. y, równa się, minus, x, plus, jeden x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzydzieści siedem Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, jeden, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. y, równa się, zero, 4. y, równa się, minus, x, plus, jeden

Ćwiczenie 7

RGN8OPzQdON1y

RXfbrDaxg3BYW

Ćwiczenie 8

R12AIDzAnxbc4

Rfo3bc4imkZ0G1

Ćwiczenie 9

R1Gv3YLdTt2vS1

Ćwiczenie 10

R3NetkqLMav2n1

Ćwiczenie 11

Rusj5IVhaiw092

Ćwiczenie 12

R9TgeNCf2FLS52

Ćwiczenie 13

RMbjArlx8idxq2

Ćwiczenie 14

R14WggpwqXJdH3

Ćwiczenie 15

R1U7WWHl03cGY3

Ćwiczenie 16

Słownik

styczna do okręgu

prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem

równanie stycznej do okręgu

równanie postaci $(x_{a} - a) (x - a) + (y_{b} - b) (y - b) = r^{2}$ , gdzie środek $S = (a, b)$ oraz $r$ - promień okręgu, $(x_{a}, y_{b})$ - punkt, przez który przechodzi styczna

okrąg o środku

O

i promieniu

r

okrąg o środku

O

i promieniu

r

zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest równa $r$

3. Wzajemne położenie prostej i okręgu

5. Wzajemne położenie dwóch okręgów