2. Prawdopodobieństwo warunkowe

R47dig2vSl1kQ

Pewien monarcha z okazji swoich urodzin wybrał losowo jednego z trzech niewolników $A$ , $B$ , $C$ i wyzwolił go, ale zainteresowanym nie powiedział którego.

Niewolnik miał otrzymać odpowiednie dokumenty dopiero za tydzień.

Niewolnik $A$ koniecznie chciał się dowiedzieć kto jest tym szczęśliwcem. Jednak strażnikom monarcha zabronił udzielać odpowiedzi na to pytanie. Zatem $A$ zapytał jednego ze strażników – który z niewolników $B$ czy $C$ jest wyzwolony. Strażnik odpowiedział, że $C$ nie jest wyzwolony. $A$ pomyślał – albo ja zostałem wyzwolony, albo $B$ . Czyli prawdopodobieństwo, że zostałem wyzwolony jest równe $\frac{1}{2}$ , a nie jak przedtem, równe $\frac{1}{3}$ , gdy tego nie wiedziałem.

R1WDHG2meQ1CF

Ilustracja przedstawia czarnoskórych ludzi odzianych w kolorowe ubrania. Jeden mężczyzna tańczy w środku podczas gdy inny gra na Banjo. — Niewolnicy na plantacji w Wirginii
(*The Old Plantation*, ok. 1790).
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Po pewnym czasie $A$ doszedł do smutnego wniosku – strażnik nie lubi $B$ . Więc gdyby on nie został wyzwolony, na pewno by mi to powiedział. Skoro tak się nie stało, to znaczy, że to $B$ został wyzwolony. Prawdopodobieństwo, że zostałem wyzwolony jest równe zero.

Jak myślisz – w którym przypadku $A$ miał rację?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, warto sięgnąć do wiadomości związanych z prawdopodobieństwem warunkowym, które zawarte są w tym materiale. Zatem po zapoznaniu się z odpowiednim wzorem zapewne bez problemu odpowiesz na pytanie.

Twoje cele

Określisz prawdopodobieństwo warunkowe zajścia danego zdarzenia.
Zastosujesz wzór na prawdopodobieństwo warunkowe w sytuacjach praktycznych.
Uzasadnisz proste zależności probabilistyczne.

Chcąc określić prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia losowego, określamy zespół warunków przy których to zdarzenie zachodzi.

W niektórych wypadkach nie wpisuje się wszystkich warunków, bo ich zachowanie jest przyjęte umownie (np. w rzucie kostką symetryczność tejże kostki). Jeżeli jednak istnieje warunek $B$ , który ma istotny wpływ na prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia $A$ , to mówimy o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ i prawdopodobieństwo to oznaczamy symbolem $P (A / B)$ .

Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja: Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ oraz niech $P (B) > 0$ . Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ , nazywamy liczbę

P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Liczbę tę nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ .

Przykład 1

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Za pierwszym razem wypadły dwa oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą.

Niech $Ω$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

$|Ω| = 36$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że suma wszystkich liczb uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym razem wypadły dwa oczka.

Zdarzenia możliwe $B$	Zdarzenia sprzyjające $A \cap B$
$(2, 1)$	$(2, 1)$
$(2, 2)$	$(2, 3)$
$(2, 3)$	$(2, 5)$
$(2, 4)$
$(2, 5)$
$(2, 6)$

$P (B) = \frac{6}{36}$

$P (A \cap B) = \frac{3}{36}$

Obliczamy prawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{6}{36}} = \frac{1}{2}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą jest równe $\frac{1}{2}$ .

Przykład 2

Z talii $52$ kart wyciągamy losowo jedną kartę. Obliczymy prawdopdobieństwo, że jest to dziewiątka, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest pikiem.

R1EViV00WSdrB

Ilustracja przedstawia 9 pik z symbolami w kształcie czarnego serca z przylegającą strzałką od góry.

Losujemy jedną kartę z $52$ .

$|Ω| = 52$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wyciągnięta karta to $9$ ,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że wyciagnięta karta to pik.

Należy obliczyć $P (A / B)$ .

Zdarzeniu $B$ sprzyja $13$ zdarzeń elementarnych (w talii mamy $13$ pików).

$|B| = 13$ i $P (B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

$A \cap B$ – wylosowana karta to dziewiątka pik.

$|A \cap B| = 1$ – w talii jest jedna dziewiątka pik

$P (A \cap B) = \frac{1}{52}$

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to dziewiątka pik jest równe $\frac{1}{13}$ .

Przykład 3

W pudle są trzy kule żółte i cztery zielone. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wylosujemy kulę żółtą, jeżeli za pierwszym razem też wylosowaliśmy kulę żółtą.

W opisanym doświadczeniu istotna jest kolejność losowania kul i kule nie mogą się powtarzać.

Zatem zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego.

$|Ω| = 7 \cdot 6 = 42$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że za drugim razem wylosowano kulę żółtą,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że pierwszym razem wylosowano kulę żółtą,
$A \cap B$ – zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym i drugim razem wylosowano kulę żółtą.

$|B| = 3 \cdot 6 = 18$

$P (B) = \frac{18}{42}$

Za pierwszym razem losujemy kulę żółtą z trzech znajdujących się w pudle, ale za drugim razem już tylko dwie kule żółte znajdują się w pudle.

$|A \cap B| = 3 \cdot 2 = 6$

$P (A \cap B) = \frac{6}{42}$

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{6}{42}}{\frac{18}{42}} = \frac{1}{3}$

Zauważmy, że szukane prawdopodobieństwo możemy wyznaczyć też w inny sposób.

Jeżeli przyjmiemy, że $B$ jest zdarzeniem pewnym, to

$|Ω| = 2 + 4 = 6$ i $|A| = 2$

Zatem

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wylosujemy kulę żółtą, jeżeli za pierwszym razem też wylosowaliśmy kulę żółtą jest równe $\frac{1}{3}$ .

Przykład 4

W finale zawodów łuczniczych startuje czterech zawodników: Arek, Marek, Darek i Jarek. Prawdopodobieństwo wygrania zawodów przez każdego z nich jest równe odpowiednio: $\frac{3}{9}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{2}{9}$ . Niestety Arek i Marek wycofali się z zawodów z powodu kontuzji. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że teraz zawody wygra Darek.

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wygra Darek pod warunkiem, że wygra Darek lub Jarek.

Oznaczmy:
$D$ – zdarzenie polegające na tym, że wygra Darek,
$J$ – zdarzenie polegające na tym, że wygra Jarek.

Niech $B = D \cup J$ .

Zauważmy, że

$D \subset D \cup J$ , zatem $D \cap (D \cup J) = D$

Zatem $P (B) = \frac{5}{9}$ , $P (D \cap B) = \frac{3}{9}$ .

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika, że

$P (D / B) = \frac{3}{9} : \frac{5}{9} = \frac{3}{5}$

Zauważmy, że prawdopodobieństwo zajścia rozpatrywanego zdarzenia można obliczyć jako stosunek częstości zajścia zdarzenia $D$ do częstości zajścia zdarzenia $D \cup J$ .

Zdarzenie $D$ zachodzi w $3$ przypadkach na $9$ , a zdarzenie $D \cup J$ w $5$ przypadkach na $9$ . Stąd

$P (A / B) = \frac{3}{5}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że wygra Darek jest równe $\frac{3}{5}$ .

Jeśli w zadaniu nie podajemy specjalnych warunków, jakie mają spełniać dane zdarzenia losowe, to zakładamy, że należą do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykład 5

Wykażemy, że jeśli $P (A) = 0, 7$ i $P (B) = 0, 6$ to $P (A / B) \geq 0, 5$ .

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkowe, musimy najpierw znaleźć $P (A \cap B)$ .

Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

$P (A \cap B) = 1 - P [(A \cap B)'] = 1 - P (A' \cup B')$

Teraz korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P (A \cap B) = 1 - [P (A') + P (B') - P (A' \cap B')]$

$P (A \cap B) = 1 - P (A') - P (B') + P (A' \cap B')$

$P (A \cap B) \geq 1 - P (A') - P (B') = P (A) - (1 - P (B))$

$P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1$

Przechodzimy do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) \geq \frac{P (A) + P (B) - 1}{P (B)}$

$P (A / B) \geq \frac{0, 7 + 0, 6 - 1}{0, 6} = 0, 5$ .

Polecenie 1

Zapozna się z galerią zdjęć interaktywnych. Przeanalizuj zawarte tam przykłady. Spróbuj je rozwiązać innymi sposobami.

Rj2L0wuPjPitN

RJbRNY7J2mDX2

RrzkCxe0RaNRf

Rnx94TLra1b9z

R1AF8PgpUXLZA

RNyHbEZAPziL4

Polecenie 2

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń pewnej szkoły uczy się języka włoskiego i muzyki jest równe $0, 075$ . Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń tej szkoły uczy się muzyki jest równe $0, 45$ . Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń z tej szkoły uczy się włoskiego, pod warunkiem, że uczy się muzyki.

$p = \frac{0, 075}{0, 45} = \frac{1}{6}$ .

RzelPrbKHXT1R1

Ćwiczenie 1

Rmop3pBg2KMLK1

Ćwiczenie 2

Rz1lJjhtdV5RU2

Ćwiczenie 3

R9IyugK9XLjlD2

Ćwiczenie 4

RuKJNOGvmwZu82

Ćwiczenie 5

RZGNZm4yxpNZS2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W dwudziestoosobowej klasie dziesięciu uczniów uczy się języka angielskiego i niemieckiego, ośmiu języka angielskiego i francuskiego, dwóch języka niemieckiego i francuskiego.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń z tej klasy uczy się języka francuskiego, jeżeli wiadomo, że uczy się języka angielskiego.

$|Ω| = 20$

$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń uczy się języka francuskiego,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń uczy się języka angielskiego,
$A \cap B$ - zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń uczy się języka francuskiego i języka angielskiego.

$|A \cap B| = 8$

$|B| = 18$

$P (A / B) = \frac{\frac{8}{20}}{\frac{18}{20}}$

$P (A / B) = \frac{4}{9}$ .

Ćwiczenie 8

Rzucono dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dwa razy parzystej liczby oczek, jeżeli wiadomo, że szóstka nie wypadła ani razu.

$|Ω| = 6 \cdot 6 = 36$

$A$ – wyrzucenie dwa razy parzystej liczby oczek,
$B$ – ani razu nie wypadła szóstka,
$A \cap B$ – dwukrotne wyrzucenie parzystej liczby oczek i nie wyrzucenie szóstki.

$P (B) = \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{25}{36}$

$P (A \cap B) = \frac{2 \cdot 2}{36} = \frac{4}{36}$

$P (A / B) = \frac{4}{25}$ .

Słownik

prawdopodobieństwo warunkowe

niech $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ oraz niech $P (B) > 0$ ; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ , nazywamy liczbę

P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

1. Drzewo stochastyczne. Doświadczenie losowe wieloetapowe

3. Niezależność zdarzeń

2. Prawdopodobieństwo warunkowe

Słownik