1. Kwadrat sumy

R191xijaIM7dX

Naukowcy opisują zjawiska zachodzące w otaczającej nas rzeczywistości za pomocą coraz bardziej skomplikowanych wzorów. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych, z których zbudowane są te wzory, może więc prowadzić do błędów, a w konsekwencji do nieprawdziwych wniosków. Bardzo pomocne są zatem w rachunkach algebraicznych algorytmy ułatwiające obliczenia.

Typowe przypadki mnożenia sum algebraicznych można wykonywać w sposób uproszczony, stosując jeden z takich algorytmów, zwany wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.
Zapiszesz kwadrat sumy dwóch wyrażeń w postaci sumy.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w przekształceniach algebraicznych.

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

RcFpCkEM9OYq0

Na ilustracji znajduje się kwadrat o bokach podzielonych na odcinki a i b. Kwadrat jest podzielony wewnątrz na dwa kwadraty: jeden o boku a, drugi o boku b oraz na dwa prostokąty o bokach o długości a i b oba. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a + b$ , zatem $P = {(a + b)}^{2}$ .

RCpXOItJI3SCE

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a$ i $b$ .
$P = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

{(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

$(a + \sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \sqrt{2} a + 2$

${(x^{2} + 3)}^{2} = x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2} = x^{4} + 6 x^{2} + 9$

$(2 x + 5 a)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 a + (5 a)^{2} = 4 x^{2} + 20 a x + 25 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.

$(x y + 2 \sqrt{5})^{2} = (x y)^{2} + 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{5} + (2 \sqrt{5})^{2} = x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{5} x y + 20$

${(a^{4} x^{3} + 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + {(0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do kwadratu, poprzedzone są znakiem „-”, można wyłączyć (-1) przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia.

Na przykład:

${(- 7 x - y)}^{2} = {[(- 1) (7 x + y)]}^{2} = {(- 1)}^{2} (49 x^{2} + 14 x y + y^{2}) = 49 x^{2} + 14 x y + y^{2}$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 {(x + 1)}^{2} + [(- x - 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} + 2 x + 1) + [- (x + 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} + 4 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1 - 2 x) = x^{2} + 1$

${(- \sqrt{2})}^{2} + 1 = 2 + 1 = 3$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 3.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R1Y996T4fKSt1

Kwadrat do potęgi drugiej plus dwa kwadrat koło plus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} + 10 a + 1 = (5 a + 1) (5 a + 1)$

$9 x^{2} + 48 x y + 64 y^{2} = (3 x + 8 y) (3 x + 8 y)$

$3 a^{2} + 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c)$

$k^{2} + \sqrt{3} k m + 0,75 m^{2} = (k + 0,5 \sqrt{3} m) (k + 0,5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 + \sqrt{3})^{2} - 6 \sqrt{3} = 9 + 6 \sqrt{3} + 3 - 6 \sqrt{3} = 12$

${(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - (42 + 8 \sqrt{5}) = {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} = 0$

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RNHYNEq7KOmYX

R1M8CrQ8E7Swm

RRg0Z7CgAaqi6

R15NUh9u9DM18

R12AwWtH7FgmQ

RRfBpCJN5M1tK

R1MzETumI3X8i

Polecenie 2

Oblicz pole kwadratu o boku długości $\sqrt{7} + 5 \sqrt{11}$ . Podaj ilustrację geometryczną wykonanego działania.

$282 + 10 \sqrt{77}$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć kwadraty liczb $41$ , $102$ , $3008$ , zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

41^{2} = (40 + 1)^{2} = 40^{2} + 80 + 1 = 1600 + 81 = 1681

102^{2} = (100 + 2)^{2} = 100^{2} + 400 + 4 = 10000 + 404 = 10404

3008^{2} = (3000 + 8)^{2} = 3000^{2} + 16 \cdot 3000 + 8^{2} =

= 9000000 + 48000 + 64 = 9048064

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $5 \frac{1}{8}$ , $6 \frac{3}{4}$ .

{(5 \frac{1}{8})}^{2} = {(5 + \frac{1}{8})}^{2} = 5^{2} + \frac{10}{8} + {(\frac{1}{8})}^{2} = 25 + 1 \frac{1}{4} + \frac{1}{64} = 26 \frac{17}{64}

{(6 \frac{3}{4})}^{2} = {(6 + \frac{3}{4})}^{2} = 6^{2} + 9 + {(\frac{3}{4})}^{2} = 36 + 9 + \frac{9}{16} = 45 \frac{9}{16}

Przykład 8

Wykażemy, że liczba $K = \sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} - \sqrt{6 + 4 \sqrt{2}}$ jest liczbą całkowitą.

Przedstawiamy liczby $11 + 6 \sqrt{2}$ i $6 + 4 \sqrt{2}$ jako kwadraty liczb rzeczywistych i skorzystamy z równości $\sqrt{x^{2}} = | x |$ .

11 + 6 \sqrt{2} = 9 + 6 \sqrt{2} + 2 = (3 + \sqrt{2})^{2}

6 + 4 \sqrt{2} = 4 + 4 \sqrt{2} + 2 = (2 + \sqrt{2})^{2}

Stąd:

$\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^{2}} = | 3 + \sqrt{2} |$

$\sqrt{6 + 4 \sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^{2}} = | 2 + \sqrt{2} |$

Zapisujmy wyrażenie określające liczbę $K$ w prostszej postaci.

$K = \sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} - \sqrt{6 + 4 \sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} = 1$

Liczba $1$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $K$ jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.

Wzór $(a + b)^{2}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ .

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^{2} + 10 x + 25 = 0$

$(x + 5)^{2} = 0$

Stąd:

$x + 5 = 0$

$x = - 5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 5)$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie $4 x^{2} + 4 x + 5 = 0$ .

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

4 x^{2} + 4 x + 1 + 4 = 0

(2 x + 1)^{2} = - 4

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Wzór $(a + b)^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 11

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} + 24 x y}{6 y + 9 x}$ .

Wyłączyliśmy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} + 24 x y}{6 y + 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x y)}{3 (2 y + 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)^{2}}{3 (3 x + 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)}{3}

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumywzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 12

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ to liczby rzeczywiste dodatnie takie, że $x + y = 4$ i $x^{2} + y^{2} = 10$ to $x y = 3$ . Wartość iloczynu $x \cdot y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy liczb $x$ i $y$ .

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Do wzoru podstawiamy: za $x + y$ liczbę $4$ , za $x^{2} + y^{2}$ liczbę $10$ .

4^{2} = 2 x y + 10

Stąd:

2 x y = 6

x y = 3

Zatem $x y = 3$ , co należało udowodnić.

Przykład 13

Wykażemy, że jeśli $a$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba $M = \frac{a^{4}}{4} + \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4}$ jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

$M = \frac{a^{4}}{4} + \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{4} + 2 a^{3} + a^{2}}{4}$

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

$M = \frac{a^{4} + 2 a^{3} + a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} (a^{2} + 2 a + 1) = \frac{a^{2}}{4} (a + 1)^{2}$

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

M = {[\frac{a (a + 1)}{2}]}^{2}

Wykazaliśmy, że liczba $M$ jest kwadratem liczby $\frac{a (a + 1)}{2}$ .

Polecenie 3

Rozwiąż zadania znajdujące się w grze edukacyjnej i odczytaj hasło.

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru.

R174RXsLFDw9W

RVUWu4K3Dd2bL

R1CfPwRyc3dPd

R2RQGmroLPotF

RAUDRYeQAW4Rn

R8MJzVU1lbyp4

R1B8gbpScdyMU

RlEo3DPhAsSKX

RCa8udspJKdIc

RTAkRPSZhk6OE

RFJAz8uex2x3e

RRhxY51JPFOkM

RVmGYYAkVamlC1

Polecenie 4

Zapisz w prostszej postaci wyrażenie $2 x + \sqrt{6 x + x^{2} + 9} + \sqrt{16 + x^{2} + 8 x}$ dla $x \in (- \infty, - 10)$ .

$2 x + \sqrt{6 x + x^{2} + 9} + \sqrt{16 + x^{2} + 8 x} =$

$= 2 x + | x + 3 | + | x + 4 | = 2 x - x - 3 - x - 4 = - 7$

Polecenie 5

Oblicz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $1003^{2} - 1002^{2}$ .

$(1000 + 3)^{2} - (1000 + 2)^{2} = 1000^{2} + 6000 + 9 - 1000^{2} - 4000 - 4 = 2005$

RyZ939BxQe4gT1

Ćwiczenie 1

RzmxwNx7ZARZj1

Ćwiczenie 2

R1cFcvecixQW22

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Rf0mrbQy5K6h3

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1UxJCKHtTCDj

R2yR5Ua1o14Hf2

Ćwiczenie 5

RxN7N7vq4AUjJ2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby. nawias trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka

Rtr3dlB8n6v333

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że kwadrat liczby naturalnej nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

$2 n + 1$ , gdy $n \in N$ – liczba nieparzysta,

${(2 n + 1)}^{2}$ – kwadrat liczby nieparzystej,

${(2 n + 1)}^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1 = 2 (2 n^{2} + 2 n) + 1$ – kwadrat liczby nieparzystej w dzieleniu przez $2$ daje resztę $1$ , zatem jest to liczba nieparzysta.

RO4B3oLsBCtn81

Ćwiczenie 9

RMpereD53T63r1

Ćwiczenie 10

RZJ4UXu5pWIMI1

Ćwiczenie 11

RZeoDHAgxKzvu2

Ćwiczenie 12

RyM8wSxgzXE992

Ćwiczenie 13

R11Uww9Ll0v8r2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że wyrażenie $2 x^{2} + 28 x + 100$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość dodatnią.

2 x^{2} + 28 x + 100 = 2 x^{2} + 28 x + 98 + 2 =

= 2 (x^{2} + 14 x + 49) + 2 = 2 (x + 7)^{2} + 2

Wyrażenie $2 (x + 7)^{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartości nieujemne, liczba $2$ jest dodatnia.

Czyli:

$2 x^{2} + 28 x + 100 = 2 {(x + 7)}^{2} + 2 > 0$

co należało wykazać.

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że $x \cdot y = 12$ i $x^{2} + y^{2} = 25$ . Wyznacz $x + y$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy podstawiamy dane liczby.

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y

(x + y)^{2} = 25 + 2 \cdot 12 = 49

x + y = 7

lub

x + y = - 7

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

2. Kwadrat różnicy

M_R_W02_M2 Wzory skróconego mnożenia

1. Kwadrat sumy

Słownik