1.Graniastosłupy - wprowadzenie - M_R_W23_M2 Graniastosłupy i ostrosłupy

RD96XdeRYEsTJ

1. Graniastosłupy - wprowadzenie

Graniastosłupy są najczęściej spotykanymi wielościanami w życiu codziennym. Znajdziemy je w krajobrazie każdej miejscowości, w architekturze, a także w wielu przedmiotach codziennego użytku m.in. w meblach i opakowaniach.

R8dNvksDMMb3F

Ilustracja podzielona jest na cztery równe prostokąty. W lewym górnym rogu znajduje się zdjęcie wieżowców wykonane z lotu ptaka. W prawym górnym rogu znajduje się zdjęcie nowoczesnego domu składającego się z trzech połączonych ze sobą brył, każda w formie graniastosłupa. Zdjęcie w lewym dolnym rogu przedstawia ustawione jeden na drugim kontenery. W prawym dolnym rogu umieszczona jest grafika przedstawiająca pudełko pralinek w kształcie gwiazdy. — Źródło: Pixabay, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Ze szkoły podstawowej masz już pewną wiedzę na temat graniastosłupów. Przypomnimy Ci najważniejsze pojęcia dotyczące graniastosłupów, nazwy graniastosłupów i elementy, z których są zbudowane.

Twoje cele

Ocenisz, czy dana bryła jest graniastosłupem.
Wskażesz elementy w graniastosłupie.
Nazwiesz odcinki w graniastosłupie.
Porównasz długość odcinków w graniastosłupie, korzystając z własności trójkątów.
Określisz wzajemne położenie ścian i krawędzi w graniastosłupie.

GraniastosłupgraniastosłupGraniastosłup jest bryłą, która ma dwie przystające, równoległe znajdujące się w różnych płaszczyznach podstawy, które są wielokątami.

Ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami.

Przykład 1

Ocenimy, czy któraś z brył przedstawiona na rysunku jest graniastosłupem.

RrH0W5sPeGH2E

Rysunek przedstawia bryłę o czterech ścianach bocznych będących trapezami oraz o dwóch podstawach będących kwadratami. Podstawa górna to mniejszy kwadrat, w podstawa dolna to większy kwadrat.

RJM7eoJPDQsLe

Rysunek przedstawia bryłę o pięciu ścianach bocznych będących prostokątami oraz o dwóch pięciokątnych podstawach. Pięciokąty nie są foremne.

Pierwsza z brył nie jest graniastosłupem, ponieważ tylko dwie z sześciu jej ścian są równoległobokami. W graniastosłupie tylko dwie ze ścian mogą nie być równoległobokami i są to jego podstawy.

Druga z brył jest graniastosłupem. Ma dwie przystające podstawy w kształcie pięciokąta. Jej ściany boczne są prostokątami, a oczywiście każdy prostokąt jest równoległobokiem.

Podział i nazewnictwo graniastosłupów

Graniastosłupy dzielą się na proste i pochyłe.

Graniastosłup nazywamy graniastosłupem prostym, gdy jego wszystkie ściany boczne są prostokątami.

W graniastosłupie prostym każda z podstaw jest rzutem prostokątnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Graniastosłup nazywamy pochyłym, jeżeli ma ściany boczne, które nie są prostokątami.

W graniastosłupie pochyłym każda z podstaw jest rzutem ukośnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Przykład 2

Bryły na rysunku są graniastosłupami. Ocenimy, które z nich są proste, a które pochyłe.

RxBatQV4RWGkD

Rysunek przedstawia bryłę o trzech ścianach bocznych będących kwadratami oraz o dwóch trójkątnych podstawach. Pięciokąty nie są foremne.

Jest to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty.

RhqSSj9rep8Hm

Rysunek przedstawia bryłę o dziesięciu ścianach bocznych w formie pochylonych równoległoboków oraz o dwóch równych podstawach będących dziesięciokątami.

Jest to graniastosłup pochyłygraniastosłup pochyłygraniastosłup pochyły.

RQBekP7MTauCb

Rysunek przedstawia bryłę w kształcie namiotu. Jest to graniastosłup położony na jednej ze swoich trzech prostokątnych ścian. Podstawy bryły to dwa równe trójkąty.

Jest to graniastosłup prosty.

RycY5t2p1JwcR

Nazywając graniastosłupy bierzemy pod uwagę wielokąt, który znajduje się w podstawie.

Jeżeli w podstawie graniastosłupa jest czworokąt, to graniastosłup nazywamy czworokątnym – bez względu na to, czy w podstawie jest kwadrat, trapez, romb, czy inny czworokąt.
Analogicznie, gdy w podstawie jest trójkąt, to graniastosłup nazywamy trójkątnym itd.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest prosty nazywamy graniastosłupem prostym trójkątnym.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest pochyły nazywamy graniastosłupem pochyłym trójkątnym.

Przykład 3

Nazwiemy graniastosłupy na rysunkach.

RjWX7CVNTNgxn

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach.

Graniastosłup prosty trójkątny.

RRNVRHIoghRC8

Rysunek przedstawia bryłę o czterech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych podstawach będących czworokątami w kształcie haczyka.

Graniastosłup prosty czworokątny.

R9j6GPpHrtot9

Rysunek przedstawia bryłę o czterech ścianach będących równoległobokami i o dwóch identycznych prostokątnych podstawach.

Graniastosłup pochyły czworokątny.

Ważne!

Szczególnym przypadkiem graniastosłupa prostego czworokątnego jest prostopadłościanprostopadłościanprostopadłościan, którego wszystkie ściany są prostokątami. Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześciansześciansześcian, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Graniastosłupy proste, które w podstawie mają wielokąt foremny nazywamy graniastosłupami prawidłowymi.

Przykład 4

RKxHcrde6gw7a

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach. Podstawy te są trójkątami równobocznymi o boku o długości a. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R1dUy2TFcG9be

Rysunek przedstawia bryłę o czterech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych kwadratowych podstawach. Podstawy te są kwadratami o długości boku a. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny.

R1KzK3NAbH1Ee

Rysunek przedstawia bryłę o sześciu prostokątnych ścianach i dwóch identycznych sześciokątnych podstawach. Podstawy te są sześciokątami foremnymi o długości boku a. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Ważne!

Każdy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy czworokątny jest prostopadłościanem.
Każdy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

Elementy graniastosłupa

Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy, które są wielokątami. Pozostałe ściany graniastosłupa nazywamy ścianami bocznymi. Boki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy krawędziamikrawędźkrawędziami – boki wielokątów w podstawach to krawędzie podstawy, pozostałe krawędzie nazywamy krawędziami bocznymi. WierzchołkiwierzchołekWierzchołki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy wierzchołkami graniastosłupa.

RxV4hm05xgoPg

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach. Podpisano następujące elementy bryły: obie trójkątne podstawy (górną i dolną), krawędź boczną, krawędź podstawy, ścianę boczną oraz wierzchołek.

R1JidVelIeFUU

Przykład 5

Wymienimy elementy graniastosłupa na rysunku.

RcDMBjQKKMSJO

Rysunek przedstawia graniastosłup pochyły o pięciu ścianach bocznych będących równoległobokami i o dwóch pięciokątnych podstawach. Podstawa dolna to pięciokąt ABCDE, a podstawa górna to pięciokąt A'B'C'D'E'.

Podstawy: $A B C D E$ , $A' B' C' D' E'$

Ściany boczne: $A B B' A'$ , $B C C' B'$ , $C D D' C'$ , $D E E' D'$ , $E A A' E'$

Krawędzie podstawy: $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D E$ , $E A$ , $A' B'$ , $B' C'$ , $C' D'$ , $D' E'$ , $E' A'$

Krawędzie boczne: $A A'$ , $B B'$ , $C C'$ , $D D'$ , $E E'$

Wierzchołki: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $E'$

Polecenie 1

Za pomocą suwaków zmień liczbę krawędzi podstawy i położenie ścian bocznych. Spróbuj nazwać graniastosłup. Sprawdź za pomocą pola wyboru, czy dobrej nazwy użyłeś.

Rozwiąż zadanie na podstawie materiału przedstawionego w tej lekcji. Uzupełnij luki, korzystając z podanych propozycji.

R1BniJrGADEdG

RvVrfygZvQ60G

Ćwiczenie 1

Polecenie 2

Ustaw wartość suwaka tak, aby graniastosłup był sześciokątny. Wskaż pary przeciwległych ścian bocznych.

Podano graniastosłup prosty sześciokątny foremny. Dolna podstawa jest sześciokątem $A B C D E F$ , natomiast górna podstawa jest sześciokątem $L M N O P Q$ , gdzie wierzchołek $L$ znajduje się nad wierzchołkiem $A$ , wierzchołek $M$ znajduje się nad wierzchołkiem $B$ , wierzchołek $N$ znajduje się nad wierzchołkiem $C$ , wierzchołek $O$ znajduje się nad wierzchołkiem $D$ , wierzchołek $P$ znajduje się nad wierzchołkiem $E$ , wierzchołek $Q$ znajduje się nad wierzchołkiem $F$ . Podaj pary przeciwległycg ścian bocznych.

$B C N M$ i $F E P Q$

$C D O N$ i $A F Q L$

$D E P O$ i $B A L M$

Wzajemne położenie krawędzi

Graniastosłup o podstawie $n$ –kąta ma $3 n$ krawędzi ( $2 n$ krawędzi podstawy, $n$ krawędzi bocznych) oraz $n + 2$ ściany (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych).

Przypomnijmy, że proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne. Dwie proste w przestrzeni są równoległe, jeżeli leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych. Mówimy, że proste w przestrzeni są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez ich przesunięcie równoległe przecinają się pod kątem prostym.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Zbadamy wzajemne położenie krawędzi i ścian w graniastosłupie.

Przykład 6

W graniastosłupie przedstawionym na rysunku wskażemy pary krawędzi równoległych.

R17xaJmBPMTdC

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Dolna podstawa ma trójkąt A B C, natomiast górna podstawa ma trójkąt A prim, B prim, C prim. Krawędzie boczne łączą ze sobą punkty: A z A prim, B z B prim, C z C prim. Ściany bryły są nachylone do płaszczyzny pod kątem ostrym.

Rozwiązanie

Krawędzie boczne są do siebie równoległe. Mamy zatem $A A' ∥ B B' ∥ C C'$ .

Odpowiadające sobie krawędzie podstawy są równoległe: $A B ∥ A^{'} B^{'}$ , $B C ∥ B^{'} C^{'}$ , $A C ∥ A^{'} C^{'}$ .

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłeprostopadłe do krawędzi podstawy.

Przykład 7

W graniastosłupie prostym przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie prostopadłe do krawędzi bocznych.

R4a4zl3OoSaIj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta. Dolna podstawa ma trójkąt A B C, górna podstawa ma trójkąt K L M. Krawędzie boczne łączą wierzchołki: A z K, B z L, C z M.

Rozwiązanie

A zatem krawędzie $A B$ , $B C$ , $C A$ , $L M$ , $M K$ , $K L$ są prostopadłe do krawędzi $B L$ , $A K$ , $C M$ .

Jeżeli w podstawie graniastosłupa znajduje się wielokąt, którego boki są równoległe lub prostopadłe, to mamy dodatkowe równoległości i prostopadłości krawędzi w graniastosłupiekrawędź graniastosłupakrawędzi w graniastosłupie.

Przykład 8

Wyznaczymy krawędzie równoległe i prostopadłe domku z wprowadzenia.

RIX7oEMOQlg76

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty pięciokątny A B C D E O K L M N. Jego podstawy to dwa identyczne pięciokąty: A B C D E z kątami prostym przy wierzchołkach A i B oraz pięciokąt K L M N O z kątami prostymi przy wierzchołkach K i L. Bryła jest podstawiona na prostokątnej ścianie A B L K. Od krawędzi B L oraz A K odchodzą w górę dwie identyczne prostokątne ściany, odpowiednio: B C M L oraz A E O K. Od górnych krawędzi tych ścian odchodzą dwie identyczne ukośne ściany, które tworzą dach. Są to ściany C D N M oraz E O N D.

Rozwiązanie

Mamy równoległość krawędzi bocznych: $B L$ , $A K$ , $E O$ , $D N$ , $C M$ .

Mamy równoległość odpowiadających krawędzi podstawy: $A B ∥ L K, C D ∥ M N$ , $D E ∥ N O$ . Ponieważ krawędzie $B C$ i $A E$ są równoległe, to mamy $B C ∥ A E ∥ L M ∥ K O$ .

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to krawędzie boczne $B L$ , $C M$ , $D N$ , $E O$ , $A K$ są prostopadłe do krawędzi podstawy $B A$ , $A E$ , $E D$ , $D C$ , $C B$ , $L K$ , $K O$ , $O N$ , $N M$ , $M L$ .

Ponadto krawędzie $A B$ i $K L$ są prostopadłe do $B C$ , $A E$ , $L M$ , $K O$ .

Wzajemne położenie ścian

Wiesz już, że podstawy graniastosłupa są równoległe.

RCu3OIPwAmPwB

Ilustracja przedstawia dwie figury. Różowym kolorem narysowano graniastosłup o podstawie trójkąta. Bryła leży na jednej z prostokątnych ścian. Niebieskim kolorem narysowano graniastosłup prosty o podstawie trójkąta. Bryła ustawiona jest na jednej z podstaw.

Jeżeli w podstawie są krawędzie równoległerównoległe, to ściany przechodzące przez te krawędzie również są równoległe.

Przykład 9

W graniastosłupie o podstawie trapezu równoramiennego przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie równoległe i ściany równoległe.

R1NhRuQH0DqGk

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie będącej trapezem równoramiennym. Dolna podstawa to trapez A B C D, górna podstawa to trapez E F G H. Krawędzie A B leży pod krawędzią E F i każda z nich jest dłuższą podstawą trapezu. Krawędź A D leży pod E F i każda z nich to lewe ramię trapezu. Krawędź B C leży pod F G, obie tworzą prawe ramię trapezu. Krawędź C D leży pod G H , obie tworzą górną, krótszą podstawę trapezu. Kolorem zielonym wyróżniono dużą prostokątną ścianę A B F E oraz kolorem różowym mniejszą od niej prostokątną ścianę D C G H.

Rozwiązanie

Krawędzie $A B$ i $C D$ są równoległe. Ściany $A B F E$ i $C D H G$ również są równoległe.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostopadłeprostopadłość płaszczyznprostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym, w którego podstawie jest wielokąt, którego dwa boki są prostopadłe, ściany, których krawędziami są te boki również są prostopadłe.

Przykład 10

Rozważymy graniastosłup prosty jak na rysunku. Wskażemy ściany prostopadłe.

RMVPOeyNAC2t5

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego. Dolna podstawa to trójkąt A B C, kąt prosty znajduje się przy punkcie A. Górna podstawa to trójkąt D E F z kątem prostym przy wierzchołku D. Pionowe krawędzie boczne graniastosłupa to: A D, B E, C F.

Rozwiązanie

Kąt $B A C$ jest prosty. Kąt pomiędzy ścianami $A B E D$ i $A C F D$ również jest prosty.

Przykład 11

Rozważmy model domku z wprowadzenia. Jest on w kształcie graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które ściany są prostopadłe, a które równoległe.

RexTsPhQmSjCE

Rozwiązanie

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian $A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E O N$ , $A E O K$ jest prostopadła do podstaw $A B C D E$ i $K L M N O$ .

W pięciokącie, który jest podstawą dwa kąty są proste ( $C B A$ i $B A E$ ). A zatem mamy $A B L K ⊥ B C M L$ oraz $A B L K ⊥ A E O K$ .

Oczywiście podstawy $A B C D E$ i $K L M N O$ są równoległe.

Krawędzie $B C$ i $A E$ są równoległe, a zatem dla ścian mamy $B C M L ∥ A E O K$ .

Polecenie 3

Za pomocą suwaka zmień położenie ścian w graniastosłupie. Obserwuj, jak zmieniają się miary zaznaczonych kątów.

R1AeC2SC7GSwP

Aplet przedstawia model graniastosłupa prostego A B C D E F L G H I J K o podstawie sześciokąta. Sześciokąt w podstawie ma dwa kąty proste. Dolna podstawa to sześciokąt A B C D E F, kąt prosty znajduje się przy wierzchołku A oraz B. Dolna podstawa to sześciokąt G H I J K L, kąt prosty znajduje się przy wierzchołku G oraz H. Krawędzie boczne graniastosłupa to: A G, B H, C I, D J, E K, F L. Model ten możemy dowolnie obracać oraz przybliżać i oddalać. Przy każdej krawędzi bocznej zaznaczono kąt do podstawy, domyślnie wynosi on 90 stopni. Zaznaczone kąty to: kąt G A B, kąt H B C, kąt I C D, kąt J D E, kąt K E F, kąt L F A. Możemy modyfikować współczynnik j od -2 do dwa z dokładnością co do części dziesiętnych. Sprawia on, że graniastosłup pochyla się, tak że jego podstawy dalej pozostają równoległe. Zmiana współczynnika j oznacza, że graniastosłup przestaje być prosty. Zapisano również informację: wartość bezwzględna z, ∡ L G H, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, ∡ G H I, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięćdziesiąt stopni oraz G H, równoległe do, J K oraz G L, równoległe do, H I. Przykład jeden. j, równa się, minus, jeden. Graniastosłup pochyły ma następujące kąty: kąt G A B wynosi sto siedem przecinek pięć pięć stopni, kąt H B C wynosi sto siedem przecinek pięć pięć stopni, kąt I C D wynosi dziewięćdziesiąt siedem przecinek siedem pięć stopni, kąt J D E wynosi siedemdziesiąt dwa przecinek cztery pięć stopni, kąt K E F wynosi sześćdziesiąt cztery przecinek siedem sześć stopni, kąt L F A wynosi siedemdziesiąt dwa przecinek cztery pięć stopni. Przykład dwa. j, równa się, zero. Graniastosłup prosty, wszystkie sześć wymienionych kątów wynosi 90 stopni. Przykład trzy. j, równa się, dwa Graniastosłup pochyły ma następujące kąty: kąt G A B wynosi sześćdziesiąt przecinek dziewięć osiem stopni, kąt H B C wynosi sześćdziesiąt przecinek dziewięć osiem stopni, kąt I C D wynosi siedemdziesiąt siedem przecinek cztery siedem stopni, kąt J D E wynosi sto dziewiętnaście przecinek zero dwa stopnie, kąt K E F wynosi sto trzydzieści trzy przecinek trzy jeden stopni, kąt L F A wynosi sto dziewiętnaście przecinek zero dwa stopnie.

Polecenie 4

Odpowiedz na pytania:

Jak są położone ściany $A B H G$ i $E D J K$ ?
Czy ściany $A B H G$ i $A F L G$ mogą być prostopadłe?
Dla jakich wartości na suwaku ściany $F E K L$ i $A B C D E F$ są prostopadłe? Jaki jest wtedy ten graniastosłup?

Co można powiedzieć o położeniu krawędzi bocznej graniastosłupa pochyłego, względem innej krawędzi bocznej tego graniastosłupa?
Czy mimo pochylenia graniastosłupa, podstawy pozostają równoległe?
Dla jakiej wartości na suwaku dowolna ściana boczna jest prostopadła do podstawy?

Są równoległe.
Tak.
Dla $0$ , jest to graniastosłup prosty.

Wiesz już, że graniastosłup o podstawie $n -$ kąta ma $2 n$ krawędzi podstawy oraz $n$ krawędzi bocznych. Wiesz również, że w graniastosłupach prostych krawędzie podstawy są prostopadłe do krawędzi bocznych, a także, że krawędzie boczne są do siebie równoległe.

Pora poznać inne, ważne odcinki w graniastosłupie.

Wysokość graniastosłupa

Wysokość graniastosłupa jest to odcinek łączący płaszczyzny różnych podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw. Wysokość graniastosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, tym samym jest prostopadła do każdej prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Wysokość graniastosłupa będziemy oznaczać literą $H$ .

RFx3XMBt4Kl4m

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od F do J. Ściany boczne graniastosłupa są nachylone do podstawy pod kątem ostrym. Kolorem zaznaczono wysokość graniastosłupa upuszczoną z wierzchołka H. Pada na płaszczyznę w punkcie przecięcia przedłużenia ramion ED oraz BC dolnej podstawy.

W graniastosłupie prostym wysokością graniastosłupawysokość graniastosłupawysokością graniastosłupa jest każda z krawędzi bocznych.

Rw86TGZ3mbPve

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty pięciokątny. Dolna podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Wysokość graniastosłupa stanowi każda z krawędzi bocznych i oznaczono je kolorem różowym.

Przykład 12

W graniastosłupie pochyłym jak na rysunku poniżej wysokość graniastosłupa poprowadzona z wierzchołka $E$ przecina płaszczyznę dolnej podstawy w punkcie $I$ . Odcinek $A I$ ma długość $3$ , a krawędź boczna $5$ . Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa.

R1Nwo0quEZwrZ

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup czworokątny nachylony ku lewej stronie. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami od A do D, natomiast górną literami od E do H.

Rozwiązanie

Umieśćmy dane na rysunku.

R1U4KhN4ef2yV

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A I E$ mamy $H^{2} + 3^{2} = 5^{2}$ . A stąd $H = 4$ .

Przekątna ściany bocznej

Przekątne równoległoboków, które są ścianami bocznymi graniastosłupa, nazywamy przekątnymi ścian bocznych. Każdy graniastosłup ma dwukrotnie więcej przekątnych ścian bocznych niż samych ścian bocznych. Przekątne ścian bocznych będziemy oznaczać literką $p$ lub $p_{i}$ (dla $i = 1, 2, 3, \dots$ ).

Przykład 13

Podstawą graniastosłupa na rysunku jest kwadrat. Określimy przekątne tego graniastosłupa.

RYmEjyOL2umYu

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły. Podstawą bryły jest kwadrat. Tylna ściana boczna nachylona jest do podstawy pod kątem BETA, równa się, siedemdziesiąt cztery przecinek jeden osiem stopni, natomiast boczna ściana jest nachylona do podstawy pod kątem GAMMA, równa się, pięćdziesiąt trzy przecinek sześć trzy stopnie . Występują dwa rodzaje ścian bocznych, zaznaczono więc cztery różne przekątne. Przekątna p indeks dolny trzy koniec indeksu oraz p indeks dolny cztery koniec indeksu są przekątnymi ścian przedniej i tylnej. Przekątna p indeks dolnym jeden koniec indeksu oraz p indeks dolny dwa koniec indeksu ścian lewej i prawej.

Rozwiązanie

Przez $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ oznaczyliśmy cztery różne przekątne ścian bocznychprzekątne ścian bocznych tego graniastosłupa.

Mamy dwa rodzaje ścian bocznych, dlatego też cztery różne przekątne ścian bocznych. Przekątne $p_{3}$ i $p_{4}$ są przekątnymi ścian przedniej i tylnej, a $p_{1}$ i $p_{2}$ ścian lewej i prawej.

W graniastosłupie prostym przekątne tej samej ściany bocznej są równe. W graniastosłupie prawidłowym wszystkie przekątne ścian bocznych są równe.

Przekątna podstawy

Jeżeli podstawa ma co najmniej cztery boki, to przekątne wielokąta w podstawie nazywamy przekątnymi podstawy.

Przypomnijmy, że przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a \sqrt{2}$ .

Sześciokąt foremny o boku długości $a$ ma dwa rodzaje przekątnych: dłuższą, której długość wynosi $2 a$ i krótszą o długości $a \sqrt{3}$ .

RJAgY7JhlD8PC

Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny o boku długości a. Zaznaczono dłuższą przekątną równą 2 a, oraz krótszą, równą 3.

Przekątna graniastosłupa

Odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżący na jednej ścianie nazywamy przekątną graniastosłupa. Aby graniastosłup miał przekątną bryły, wielokąt w jego podstawie musi mieć co najmniej cztery boki.

Przykład 14

W graniastosłupie pięciokątnym przedstawionym na rysunku poniżej określimy rodzaje odcinków o końcu w punkcie $B$ .

RSY0tnNt2peDK

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pięciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Z wierzchołka B poprowadzono przekątne do każdego z wierzchołków górnej podstawy, każdy innym kolorem. B F i B H są przekątnymi ścian bocznych, natomiast B I oraz B J stanowią przekątną graniastosłupa.

Rozwiązanie

Z wierzchołka $B$ poprowadzono pięć odcinków do wierzchołków drugiej podstawy. Odcinek $B G$ jest krawędzią boczną graniastosłupa, odcinki $B F$ i $B H$ są przekątnymi ścian bocznych, odcinki $B I$ , $B J$ są przekątnymi graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątnymi graniastosłupa.

Wniosek

Z każdego wierzchołka jednej z podstaw (w kształcie $n -$ kąta) graniastosłupa można poprowadzić $n - 3$ przekątnych graniastosłupa, dwie przekątne ścian bocznych i jedną krawędź boczną.

Uwaga!

W graniastosłupie prostym przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna są bokami tego samego trójkąta prostokątnego.

RFC92LPhejZbS

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. W przestrzeni graniastosłupa zaznaczono dwa trójkąty prostokątne wyznaczone przez przekątne bryły B I oraz B J. Trójkąt B E J zamalowano kolorem fioletowym. Przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast przekątna podstawy B E oraz jedna z krawędzi bocznych E J stanowią jego przyprostokątne. Kolejny trójkąt BDI zamalowano kolorem zielonym. Kolejna przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast druga przekątna podstawy B D oraz krawędź boczna D I stanowią jego przyprostokątne.

ROZWIĄZANIE

Przykład 15

W pewnym momencie animacji wierzchołki zostają oznaczone literami. Nazwiemy wszystkie krawędzie podstawy, krawędzie boczne i ściany tego graniastosłupa.

RBNN5p6EL0M3F

Sprawdzimy rozwiązanieROZWIĄZANIErozwiązanie.

Polecenie 5

Zapoznaj się z treścią infografiki. Graniastosłupy zbudowane na wskazanych podstawach znajdziesz pod przyciskami.

RUMxsX7S2xll3

Polecenie 6

Zwróć uwagę na związek pomiędzy przekątnymi podstawy a przekątnymi graniastosłupów prawidłowych. Ile różnej długości przekątnych będzie miał graniastosłup prawidłowy:

pięciokątny,
dziesięciokątny?

Wystarczy sprawdzić, ile rodzajów przekątnych podstawy ma taki graniastosłup.

$1$
RpWabOvsbXtob
$4$
R141lH1OOM6NH

Polecenie 7

Dany jest graniastosłup prawidłowy jak na rysunku.

R100O0pfezM7v

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy dziewięciokątny, w którym wierzchołki dolnej podstawy oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do I. Wierzchołki górnej podstawy oznaczono od A prim do I prim, gdzie odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek A prim i tak kolejno. W bryle poprowadzono cztery przekątne. Przekątna oznaczona małą literą a, łączy wierzchołek A z wierzchołkiem D prim. Przekątna oznaczona małą literą b, łączy wierzchołek E, z wierzchołkiem C prim. Przekątna oznaczona małą literą c, łączy wierzchołek I z wierzchołkiem E prim. Ostatnia przekątna, oznaczona małą literą d, łączy wierzchołek D z wierzchołkiem G prim.

Ustal, które z przekątnych graniastosłupa na rysunku są tej samej długości.

Przekątne o tej samej długości to $a$ i $d$ .

Ćwiczenie 1

R11nykPkzMYx0

R1c6EmNpvaoTa

R1bYC8NtjIEqm1

Ćwiczenie 2

RjHyIgHVF6ANL2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dany jest graniastosłup jak na rysunku.

RhqxnJJ7qQ6gh

Rysunek przedstawia graniastosłup pochyły o prostokątnych podstawach i czterech ścianach będących równoległobokami. Dolna podstawa to prostokąt ABCD, podstawa górna to prostokąt HEFG, przy czym powyżej wierzchołka A znajduje się wierzchołek H, ale nie pionowo nad nim. Powyżej wierzchołka B znajduje się wierzchołek E, ale nie pionowo nad nim. Powyżej wierzchołka C znajduje się wierzchołek F, ale nie pionowo nad nim. Powyżej wierzchołka D znajduje się wierzchołek G, ale nie pionowo nad nim.

ReCN3yjy6iCSa

Ćwiczenie 5

RvKSzoF5fiNGf

RHn3A5mwLO9WH

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup prosty czworokątny o podstawie będącej trapezem równoramiennym, jak na rysunku poniżej.

RinwpJDQP80UM

Rysunek przedstawia graniastosłup prosty o czterech prostokątnych ścianach bocznych i podstawach będących trapezami równoramiennymi. Dolna podstawa to trapez ABCD, gdzie AB i CD to ramiona, a BC i AD to równoległe do siebie podstawy trapezu. Górna podstawa graniastosłua to trapez IJKL, gdzie IJ i KL to ramiona, a JK i IL to równoległe do siebie podstawy trapezu. Dodajmy jeszcze, że nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek J, nad wierzchołkiem C znajduje się wierzchołek K oraz nad wierzchołkiem D znajduje się wierzchołek L.

RXvk7ErARzlqx

Ćwiczenie 7

Podano bryłę jak na rysunku poniżej.

RJYr4c9sy0QZe

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawach będących foremnymi sześcioramiennymi gwiazdami i o pionowych prostokątnych ścianach. Wierzchołki dolnej podstawy to: ABCDEFGHIJKL. Wierzchołki górnej podstawy to: A1B1C1D1E1F1G1H1I1J1K1L1.

RRa70ZYYNzqSX

R6veFCJrN7psC3

Ćwiczenie 8

RkYkYB5zZtgTh1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Dany jest graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego jak na rysunku. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

RpEKVvPRYWJBK

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest trapez posiadający dwa kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki A, B , C oraz D, przy czym przy wierzchołkach A i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki E, F, G oraz H, przy czym przy wierzchołkach G oraz H mamy kąty proste.

R130JO5rSXSc2

R3CaCOmDCnNCa

Ćwiczenie 11

Określ wzajemne położenie podanych krawędzi w graniastosłupie pochyłym czworokątnym o podstawie kwadratu, jak na rysunku. Uzupełnij tabelę.

RYD11989pPcdy

RKSiPKInFgeUf

R7IVdi97P97Sq

Rtl2LEIzaf5fp2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Dany jest graniastosłup prosty pięciokątny jak na rysunku.

R1O5XuMBvJ2pJ

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest pięciokąt posiadający trzy kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki E, D , C, F oraz B, przy czym przy wierzchołkach E, F i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki L, M, N, O oraz P, przy czym przy wierzchołkach L, O oraz P mamy kąty proste.

Rzf5MusdSh5Dy

RqNsfLPfuzZHK

R8iLWFy3wlqd22

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

R1YoiGmxBpftK

R2exvWqGut79g

REM5gbudDQPpk3

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

R1W3DQi4m6B5f

R1VO5sGPwxuSH

Ćwiczenie 18

W graniastosłupie pięciokątnym zaznaczone zostały pewne odcinki.

R1A2WmYzWAJFW

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pięciokątny pochylony ku lewej stronie. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast wierzchołki górnej podstawy wielkimi literami od F do J. Odpowiednio nad literą A znajduje się litera F, nad literą B litera G, nad literą C litera H, nad literą D litera I, nad literą E litera J. Zaznaczono również punkt K, znajdujący się w miejscu przecięcia przedłużenia odcinka CD z prostą opuszczoną z wierzchołka I. Wierzchołek I jest punktem najbardziej wysuniętym ku lewej stronie.

R19KpRW6gULBg

Ćwiczenie 19

RzUBtf720kblJ

Ćwiczenie 20

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy, w którym wysokość jest dłuższa od krawędzi podstawy. Ustaw odcinki $a, b, c, d, e$ w kolejności malejącej długości.

RIQmE3G4vfi4N

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym wysokość jest dłuższa od krawędzi podstawy. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy, wielkimi literami z symbolem prim. Odpowiednio nad literą A, znajduje się litera A z symbolem prim, nad literą B znajduje się litera z symbolem prim, i tak dalej. Zaznaczono odcinki. Odcinek oznaczony literą a, łączy wierzchołek B z wierzchołkiem D. Odcinek oznaczony literą b, łączy wierzchołek A z wierzchołkiem C prim. Odcinek oznaczony literą c, stanowi krawędź CD. Odcinek oznaczony literą d, łączy wierzchołek B prim z wierzchołkiem E prim. Odcinek oznaczony literą e, łączy wierzchołek B z wierzchołkiem F prim.

R1Ae8PYxuibwc

Ćwiczenie 21

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy.

R1ORFvPVLHAlH

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono literami od A do D, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, oraz nad wierzchołkiem D wierzchołek C. Literą S oznaczono środek dolnej podstawy. W graniastosłupie zaznaczono odcinki BH, SH oraz DH.

Rsf3NI4yjxZSG

Ćwiczenie 22

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się trapez równoramienny $A B C D$ . Na rysunku zaznaczono wszystkie przekątne tego graniastosłupa.

RzkCgbvaCh1LV

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się trapez równoramienny. Dolna podstawę oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono przekątne AG, BH, CE, DF.

R1CE69YDTUOtC

Ćwiczenie 23

R15up2KUUPSlY

Ćwiczenie 24

Uzasadnij, że w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym trójkąt, którego bokami są przekątne graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka i krawędź podstawy, jest trójkątem prostokątnym.

Szkicujemy rysunek pomocniczy.

R18s7mjjIQ41g

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę oznaczono literami od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od A do F z symoblem prim. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek A prim, nad wierzchołkiem B wierzchołek B prim i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt. Jego ramiona oznaczono małymi literami d. Litera d z indeksem dolnym jeden, stanowi przekątną B E prim, natomiast przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przekątną B F prim. Podstawę zaznaczonego trójkąta oznaczono małą literą a. Jest ona krawędzią E prim F prim. Zaznaczono również wysokość graniastosłupa wielką literą H.

Wyrazimy długości $d_{1}$ i $d_{2}$ za pomocą $a$ oraz $H$ . Skorzystamy w tym celu z trójkątów prostokątnych, których bokami są przekątne graniastosłupa, przekątne podstawy i wysokość graniastosłupa.

RHwu7hqa3TyEQ

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy o podstawie sześciokąta, którego bok wynosi a. Podstawę oznaczono literami od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od A do F z symoblem prim. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek A prim, nad wierzchołkiem B wierzchołek B prim i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt. Jego ramiona oznaczono małymi literami d. Litera d z indeksem dolnym jeden, stanowi przekątną B E prim, natomiast przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przekątną B F prim. Podstawę zaznaczonego trójkąta oznaczono małą literą a. Jest ona krawędzią E prim F prim. Na przekątnych utworzono dwa trójkąty prostokątne. Przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przeciwprostokątną. Krawędź F Fprim stanowi przyprostokątną trójkąta i jest również wysokością graniastosłupa. Druga przyprostokątna odcinkiem łączącym wierzchołek B z wierzchołkiem F i wynosi

a \sqrt{3}

. Przekątna d1 stanowi przeciwprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego. Jego przyprostokątna jest krawędzią E E prim i stanowi wysokość graniastosłupa. Druga przyprostokątna jest odcinkiem łączącym wierzchołek B z wierzchołkiem E i wynosi dwa a.

Możemy zapisać, że $d_{1}^{2} = 4 a^{2} + H^{2}$ oraz $d_{2}^{2} = 3 a^{2} + H^{2}$ .

Mamy więc, że $d_{1}^{2} = a^{2} + d_{2}^{2}$ .

Czyli, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy, że trójkąt, którego bokami są przekątne graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka i krawędź podstawy jest trójkątem prostokątnym.

Słownik

graniastosłup

bryła, która ma dwie równoległe, leżące w różnych płaszczyznach podstawy będące wielokątami i ściany boczne, które są równoległobokami

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny

graniastosłup pochyły

graniastosłup, który ma przynajmniej jedną ścianę, która jest równoległobokiem niebędącym prostokątem

prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

sześcian

prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

krawędź

bok wielokąta, który jest ścianą bryły

wierzchołek

wierzchołek wielokąta, który jest ścianą bryły

krawędź graniastosłupa

bok wielokąta, który jest ścianą graniastosłupa

równoległość prostych w przestrzeni

dwie proste są równoległe w przestrzeni, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych

prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym.

prostopadłość płaszczyzn

dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny

wysokość graniastosłupa

odcinek łączący płaszczyzny różnych podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw

przekątna ściany bocznej granastosłupa

przekątna równoległoboku, który jest ścianą boczną graniastosłupa

przekątna graniastosłupa

odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżące na jednej ścianie graniastosłupa

2. Kąty w graniastosłupach

M_R_W23_M2 Graniastosłupy i ostrosłupy