3. Graniastosłupy - zadania różne - M_R_W23_M3 Pole powierzchni i objętość brył

RBnsVBLB1IXh3

3. Graniastosłupy - zadania różne

Graniastosłupy są jednymi z częściej wykorzystywanych brył w życiu codziennym. Ich regularne kształty, w szczególności prostopadłościanu i graniastosłupów prawidłowych, są łatwe do odtworzenia i bardzo funkcjonalne, co stanowi inspirację dla architektów, konstruktorów i wytwórców. Trudno sobie wyobrazić jakiekolwiek miasto lub mieszkanie, w którym nie znajdowałyby się graniastosłupy: ich kształty znajdziemy w bryłach budowli, mebli, pudełek i wielu innych przedmiotach codziennego użytku. Z własności brył, które poznajecie na lekcjach matematyki korzystamy w życiu codziennym w sposób intuicyjny. Poniżej pokażemy Wam w jakich (między innymi) sytuacjach codziennych korzystamy z własności graniastosłupów – czasem zupełnie nieświadomie.

Twoje cele

Rozpoznasz graniastosłupy w przedmiotach codziennego użytku.
Obliczysz pole powierzchni i objętość graniastosłupów z zastosowaniem twierdzeń dotyczących trójkątów.
Dobierzesz odpowiedni model matematyczny przy rozwiązywaniu zadań praktycznych.
Wykorzystasz własności kątów, odcinków i wielokątów do obliczania objętości i pola powierzchni graniastosłupa.

Potrafisz już obliczać pole powierzchni i objętość graniastosłupów prawidłowychgraniastosłup prawidłowygraniastosłupów prawidłowych.

Przypomnijmy wzory dla podstawowych graniastosłupów prawidłowych:

graniastosłup prawidłowy trójkątny:
$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$
$P_{c} = 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot a \cdot H$
graniastosłup prawidłowy czworokątny:
$V = a^{2} \cdot H$
$P_{c} = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot H$
sześcian (szczególny przypadek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego):
$V = a^{3}$
$P_{c} = 6 \cdot a^{2}$
graniastosłup prawidłowy sześciokątny:
$V = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$
$P_{c} = 12 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 6 \cdot a \cdot H$

Przykład 1

Pan Nowak ma w ogrodzie trzy donice: dwie w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy $24 cm$ i wysokości $40, 5 cm$ oraz donicę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy $40 cm$ i wysokości $65 cm$ . Sprawdzimy, czy trzy opakowania ziemi po $50 l$ wystarczą, aby napełnić te donice.

Rozwiązanie

R1UlWnXOezAXO

Ilustracja przedstawia trzy doniczki w kształcie graniastosłupów, w pierwszej z nich znajduje się aloes, druga i trzecia są puste. Pierwsza z pustych doniczek ma podstawę o kształcie sześciokąta. Krawędź podstawy ma długość 24 centymetry, a krawędź boczna ma długość 40,5 centymetra. Druga pusta doniczka ma podstawę w kształcie trójkąta. Krawędź podstawy ma długość 40 centymetrów, a krawędź boczna ma długość 65 centymetrów.

Musimy obliczyć objętość donic. Korzystając ze wzoru

$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$

obliczymy objętość donicy o podstawie trójkąta.

Ponieważ pojemność opakowań z ziemią dana jest w litrach, to zamieniamy jednostki na $dm$ .

Mamy zatem $a = 4 dm$ i $H = 6, 5 dm$ .

Czyli $V = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \cdot 6, 5 = 26 \sqrt{3} \approx 45 [l]$ .

Teraz policzymy objętość donic w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ze wzoru:

$V = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$

Mamy zatem:

$2 \cdot V = 12 \cdot \frac{2, 4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4, 05 = 69, 984 \sqrt{3} \approx 121, 22 [l]$

Razem mamy około $45 + 121, 22 = 166, 22 [l]$ .

A zatem trzy opakowania ziemi po $50 l$ nie wystarczą do napełnienia tych donic.

Przykład 2

Szklane terrarium ma kształt sześcianu o krawędzi $20 cm$ z odciętym rogiem, w taki sposób, że z każdej z trzech ścian odcięto trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $4 cm$ . Obliczymy, ile szkła potrzeba, aby wykonać takie terrarium. Wynik podamy z dokładnością do $0, 1 m^{2}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ z trzech ścian wychodzących z jednego wierzchołka odcięto trójkąt równoramienny prostokątny, to powstanie ściana w kształcie trójkąta równobocznego o krawędzi $4 \sqrt{2} cm$ .

Pole tej ściany wynosi:

$P = \frac{{(4 \sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 8 \sqrt{3} \approx 13, 86 [{c m}^{2}]$

R1QAiwHwHpTOB

Ilustracja przedstawia szklane terrarium wewnątrz którego znajduje się doniczka z kaktusem. Krawędź podstawy, która jest kwadratem ma długość 20 centymetrów. Odcięty z podstawy fragment ma długość 42 centymetrów.

Pole powierzchni odciętych trójkątów to:

$P_{o} = 3 \cdot \frac{4 \cdot 4}{2} = 24 [{c m}^{2}]$

Pole sześcianu (bez jednej ściany), to

$P_{s z} = 5 \cdot 20 \cdot 20 = 2000 [{c m}^{2}]$

Ostatecznie do wykonania terrarium potrzebujemy

$P_{T} \approx 2000 - 24 + 13, 86 = 1989, 86 [c m^{2}] \approx 0, 2 [m^{2}]$ szkła.

Regularne kształty graniastosłupów prawidłowych są bardzo funkcjonalne, jednak w otaczającej nas rzeczywistości możemy spotkać również inne graniastosłupy proste, a bywa również, że i pochyłe.

Przypomnijmy, że objętość graniastosłupa możemy policzyć ze wzoru:

V = P_{p} \cdot H

gdzie:
$P_{p}$ – to pole podstawy liczone ze wzoru właściwego dla danego wielokąta,
$H$ – to wysokość graniastosłupa, która w przypadku graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego jest równa długości krawędzi bocznej.

Pole powierzchni graniastosłupa policzymy ze wzoru:

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

gdzie:
$P_{b}$ – jest polem powierzchni bocznej będącego sumą pól poszczególnych ścian bocznych (w przypadku graniastosłupa prostego są to pola prostokątów o bokach będących odpowiednimi krawędziami podstawy i krawędzią boczną, w przypadku graniastosłupa pochyłego są to pola równoległoboków będących ścianami bocznymi).
Przypomnijmy, że aby policzyć pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego wystarczy pomnożyć obwód wielokąta w podstawie przez wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa.

W przypadkach rzeczywistych szczególną uwagę należy zwrócić na zagadnienia dotyczące obliczania pól, ponieważ bardzo często niektóre ściany graniastosłupa są pomijane – tak jest na przykład w zadaniach, w których budujemy pudełka bez wieczka, akwaria, wazony lub malujemy pomieszczenia.

Przykład 3

Kasia chce podarować swojej mamie drewnianą szkatułkę przyozdobioną techniką decoupage tzn. całą powierzchnię zewnętrzną szkatułki poza spodem chce okleić serwetkami papierowymi z motywami ozdobnymi. Szkatułka ma kształt graniastosłupa prostego sześciokątnego o podstawie jak na rysunku. Kasia wykorzystuje serwetki o wymiarach $33 cm \times 33 cm$ . Obliczymy, ile serwetek użyje Kasia, jeżeli do powierzchni ozdabianego przedmiotu należy doliczyć około $10 %$ .

Rozwiązanie

R1BdJID0rQAVk

Ilustracja przedstawia szkatułkę o kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest nieregularny wielokąt. Wysokość tego graniastosłupa podzielono na dwie części: grubość wieka 5 centymetrów oraz pozostałą wysokość szkatułki 20 centymetrów, całkowita wysokość szkatułki wynosi 25 centymetrów. Obok rysunku szkatułki znajduje się rysunek jej podstawy. Składa się ona z prostokąta, którego dłuższy bok ma 30 centymetrów, a krótszy bok ma 10 centymetrów. Do dłuższego boku przylega swoją dłuższą podstawą trapez, jego krótsza podstawa ma 10 centymetrów, a wysokość tego trapezu również ma długość 10 centymetrów.

Sześciokąt w podstawie można podzielić na prostokąt i trapez równoramienny.

Mamy wtedy:

$P_{p} = P_{p r o s} + P_{t r}$

Czyli $P_{p} = 30 \cdot 10 + \frac{(30 + 10) \cdot 10}{2} = 300 + 200 = 500 [{c m}^{2}]$ .

Do obliczenia pola bocznego potrzebujemy jeszcze długości ramienia trapezu. Z danych na rysunku wynika, że będzie to przeciwprostokątna równoramiennego trójkąta prostokątnego i będzie mieć długość $10 \sqrt{2} cm$ .

Szkatułka razem z wieczkiem ma wysokość $25 cm$ .

Czyli $P_{b} = 25 \cdot (3 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \sqrt{2} + 30) \approx 2207 [{c m}^{2}]$ .

A zatem powierzchnia do oklejenia (bez spodu) będzie wynosić w przybliżeniu

$500 + 2207 = 2707 [{c m}^{2}]$

Należy doliczyć do tego jeszcze $10 %$ :

$2707 + 270, 7 = 2977, 7 [{c m}^{2}]$

Powierzchnia jednej serwetki to $33 \cdot 33 = 1089 [{c m}^{2}]$ .

Mamy $2977, 7 : 1089 \approx 2, 73$ .

Czyli Kasia zużyje trzy serwetki do oklejenia szkatułki.

Przykład 4

Betonowy słupek parkingowy ma kształt graniastosłupa pochyłego, którego podstawą jest kwadrat. Dwie ze ścian, które nie są prostokątami, są prostopadłe do podstawy. Kąt nachylenia wysokości słupka do ściany bocznej będącej prostokątem wynosi $8 °$ . Wykorzystując dane na rysunku obliczymy jaka jest masa takiego słupka, jeżeli gęstość betonu, z którego został wykonany wynosi $2222 \frac{kg}{m^{3}}$ .

Rozwiązanie

R11s1vb3pQOEy

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu. Bok kwadratu ma długość 300 milimetrów. Z górnego wierzchołka poprowadzono pionowy odcinek, kąt pomiędzy tym odcinkiem a krawędzią boczną graniastosłupa ma wartość 8 stopni. Odcinek pomiędzy wierzchołkiem dolnej podstawy graniastosłupa a pionowym odcinkiem ma długość 54 milimetry.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

$tg 8 ° = \frac{54}{H}$

Czyli $0, 1405 = \frac{54}{H}$ , a stąd ostatecznie $H \approx 384 [m m]$ .

Obliczymy objętość słupka i wyrazimy ją w $m^{3}$ .

Mamy

$V = 300^{2} \cdot 384 = 34560000 [{m m}^{3}] = 34560 [{c m}^{3}] = 0, 03456 [m^{3}]$

Korzystamy ze wzoru na gęstość: $ρ = \frac{m}{V}$ .

Czyli $2222 = \frac{m}{0, 03456}$ , a stąd ostatecznie masa słupka wynosi $m \approx 76, 79 [k g]$ .

Przykład 5

Pokój Maćka wygląda jak na rysunku.

RtT463AB1uziE

Zdjęcie przedstawia fragment sypialni, w której znajdują się skosy, na których umieszczono okna. Pokój jest pomalowany na biało, podłoga jest drewniana. — Źródło: dostępny w internecie: www.unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Latem jest tam bardzo gorąco, więc Maciek planuje kupić klimatyzator. Moc klimatyzatora wylicza się mnożąc objętość pomieszczenia wyrażoną w metrach sześciennych przez współczynnik $40 \frac{W}{m^{3}}$ , gdzie $W$ , to jednostka mocy. Policzymy moc klimatyzatora potrzebnego Maćkowi, wiedząc że długość pokoju to $5 m$ a wymiary przedstawionej na rysunku ściany są następujące.

R6QIBP8fASzaO

Ilustracja przedstawia figurę składającą się z połączonych ze sobą trapezu i prostokąta. Poziomy bok prostokąta ma długość 3 metry, a pionowy bok 1 metr. Do górnego poziomego boku prostokąta przylega trapez, którego krótsza podstawa ma długość1,2 metra, a jego wysokość ma długość 1,5 metra.

Rozwiązanie

Zauważ, że na pokój Maćka możemy spojrzeć jak na graniastosłup prosty, którego podstawą jest ściana przedstawiona na rysunku wyżej a wysokość $H = 5 m$ . Aby obliczyć objętość pokoju musimy policzyć pole sześciokąta z rysunku. Zauważmy, że jest to trapez i prostokąt, więc

$P = 3 \cdot 1 + \frac{4, 2 \cdot 1, 5}{2} = 6, 15$

Zatem objętość pokoju Maćka to $30, 75 [m^{3}]$ .

Moc klimatyzatora, którego potrzebuje Maciek to

$30, 75 m^{3} \cdot 40 \frac{W}{m^{3}} = 1230 W = 1, 23 k W$

Polecenie 1

Zastanów się jaki kształt ma zwykle klin używany m.in. do blokowania drzwi i sztabka złota. Zapoznaj się z treścią filmu, aby uzyskać odpowiedź.

RsPRveteQSZxg

Polecenie 2

Sprawdź, czy sztabka złota, która pojawia się w filmie zmieści się w niewielkim sejfie w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy $11 cm$ i $4 cm$ oraz pojemności $242 {cm}^{3}$ .

Podstawami każdego graniastosłupa są równoległe, przystające wielokąty znajdujące się w różnych płaszczyznach, a jego ściany boczne są prostokątami lub równoległobokami. Wielokątami są również przekroje graniastosłupów. Są to figury geometryczne, w których z łatwością można zastosować funkcje trygonometryczne. Najczęściej będziemy korzystać z funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.

Warto przypomnieć również dwa twierdzenia geometrii wykorzystujące funkcje trygonometryczne.

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie: Twierdzenie cosinusów

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są bokami trójkąta,
$α$ – kąt trójkąta, który znajduje się na przeciwko boku $a$ .

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie: Twierdzenie sinusów

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} = 2 R

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są bokami trójkąta,
$α$ , $β$ , $γ$ – są kątami, które znajdują się na przeciwko boków $a$ , $b$ , $c$ odpowiednio,
$R$ – jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przypomnijmy ponadto, że funkcje trygonometryczne są wykorzystywane we wzorach na pola wielokątów.

Pole trójkąta

P = \frac{a \cdot b \cdot \sin α}{2}

gdzie:
$a$ , $b$ – są bokami trójkąta,
$α$ – kąt między tymi bokami.

Pole równoległoboku

P = a \cdot b \cdot \sin α

gdzie:
$a$ , $b$ – są sąsiednimi bokami równoległoboku,
$α$ – kąt między nimi.

P = \frac{p \cdot q \cdot \sin γ}{2}

gdzie:
$p$ , $q$ – są przekątnymi równoległoboku,
$γ$ – kąt między nimi.

Przykład 6

W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach $3 cm$ i $4 cm$ i kącie o mierze $60 °$ między nimi. Krawędź boczna ma długość $6 cm$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy podstawę tego graniastosłupa.

R1J6niIQ3FyEq

Grafika przedstawia trójkąt, którego podstawa ma długość 3 centymetry, jej jedno ramię ma długość 4 centymetry, a drugie ramię jest podpisane literą c. Kąt pomiędzy podstawą a bokiem o długości trzech centymetrów jest równy 60 stopni.

Możemy policzyć pole podstawy

$P_{p} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sin 60 °}{2} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 3 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje długości krawędzi oznaczonej przez $c$ .

Wykorzystamy twierdzenie cosinusów

$c^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60 °$ ,

czyli $c^{2} = 25 - 24 \cdot \frac{1}{2}$ .

Ostatecznie $c = \sqrt{13} cm$ .

Teraz możemy już obliczyć pole powierzchni bocznej

$P_{b} = 6 \cdot (4 + 3 + \sqrt{13}) = 42 + 6 \sqrt{13} {cm}^{2}$ .

A zatem $P_{c} = 6 \sqrt{3} + 42 + 6 \sqrt{13} = 6 \cdot (7 + \sqrt{3} + \sqrt{13}) {cm}^{2}$ .

Przykład 7

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $8 cm$ i tworzy kąt $48 °$ z krawędzią podstawy. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

ReJulMmFwAmMA

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa oznaczono literą H. Krawędź podstawy graniastosłupa oznaczono literą a. Krawędź boczna i krawędź podstawy wraz z przekątną ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny. Gdzie przyprostokątne to krawędź podstawy oraz krawędź boczna, a przeciwprostokątną jest przekątna i ma ona długość osiem. Kąt między krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej wynosi 48 stopni.

Zaznaczony trójkąt jest prostokątny. Obliczamy długość krawędzi podstawy i wysokości z funkcji trygonometrycznych

$\cos 48 ° = \frac{a}{8}$ oraz $\sin 48 ° = \frac{H}{8}$ .

Odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

$0, 6691 = \frac{a}{8}$ oraz $0, 7431 = \frac{H}{8}$ ,

czyli $a \approx 5, 35 cm$ oraz $H \approx 5, 94 cm$ .

Możemy już obliczyć objętość $V = 5, 35^{2} \cdot 5, 94 \approx 170, 02 {cm}^{3}$ .

Przykład 8

W prostopadłościanie jedna z krawędzi podstawy jest dwukrotnie dłuższa od drugiej. Wysokość prostopadłościanu jest równa dłuższej krawędzi podstawy. Obliczymy miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościanprostopadłościanprostopadłościan i zaznaczmy na nim dane i szukany kąt.

R1D1ksPe8cdXK

Grafika przedstawia prostopadłościan, w którym krawędzie podstawy mają długości a oraz 2a. Krawędź ściany bocznej ma długość 2a. W prostopadłościanie zaznaczono przekątną prostopadłościanu d1, przekątną górnej podstawy d2 oraz przekątną ściany bocznej d2. Odcinki te tworzą trójkąt, gdzie między odcinkiem przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej zaznaczono kąt i podpisano go literą alfa.

Przekątna podstawy i przekątna mniejszej ściany bocznej mają tę samą długość.

Możemy ją policzyć z twierdzenia Pitagorasa

${(2 a)}^{2} + a^{2} = d_{2}^{2}$ . Czyli $d_{2} = a \sqrt{5}$ .

Przekątna większej ściany bocznej jest przekątną kwadratu, tak więc $d_{1} = 2 a \sqrt{2}$ .

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta zaznaczonego na rysunku

$5 a^{2} = 8 a^{2} + 5 a^{2} - 2 \cdot 2 a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{5} \cdot \cos α$ .

Wtedy $8 a^{2} = 4 a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos α$ , czyli $\cos α = \frac{8}{4 \sqrt{10}} \approx 0, 6324$ .

A stąd $α \approx 51 °$ .

Przykład 9

Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt, którego cosinus wynosi $\frac{\sqrt{5}}{5}$ . Krawędź podstawy ma długość $2$ . Obliczymy długość wysokości tego graniastostosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1D0LZD3xPjc4

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym zaznaczono dłuższą oraz krótszą przekątną graniastosłupa, przekątne te łączą się w jednym wierzchołku i wraz z krawędzią podstawy znajdującą się pomiędzy nimi tworzą trójkąt. Dłuższa przekątna graniastosłupa została podpisana literą d. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy krótszą przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy ma 90 stopni. Krawędź podstawy ma długość dwa. Dłuższa przekątna podstawy ma długość cztery. Krawędź ściany bocznej podpisano literą H.

Zauważmy najpierw, że trójkąt, którego bokami są dłuższa i krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowegograniastosłup prawidłowygraniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest prostokątny.

Dłuższa przekątna bryły ma długość $\sqrt{4 a^{2} + H^{2}}$ , a krótsza $\sqrt{3 a^{2} + H^{2}}$ , co wynika z twierdzenia Pitagorasa.

Zauważmy, że $a^{2} + {(\sqrt{3 a^{2} + H^{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 a^{2} + H^{2}})}^{2}$ , co z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oznacza, że jest to trójkąt prostokątny.

Mamy zatem $\cos α = \frac{2}{d}$ , a stąd $\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{d}$ , czyli $d = 2 \sqrt{5}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa

$H^{2} + 4^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ ,

czyli $H^{2} = 4$ i ostatecznie $H = 2$ .

Przykład 10

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się romb o przekątnych długości $6$ i $8$ . Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $32 °$ . Obliczymy sumę długości krawędzi tego graniastosłupa. Wynik podamy w przybliżeniu do $0, 01$ .

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

RbF84GvBwvkYT

Grafika przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb. Bok rombu podpisano literą a. Krawędź ściany bocznej podpisano literą H. Przekątna rombu ma długość osiem. Krawędź ściany bocznej wraz z przekątną podstawy i przekątną graniastosłupa tworzą trójkąt. Kąt pomiędzy przekątnymi jest równy 32 stopnie.

Dłuższa przekątna graniastosłupa, dłuższa przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.

Obliczamy długość krawędzi bocznej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $tg 32 ° = \frac{H}{8}$ .

Stąd otrzymujemy $0, 6249 = \frac{H}{8}$ i ostatecznie $H \approx 5$ .

Obliczamy długość krawędzi podstawy z twierdzenia Pitagorasa

$3^{2} + 4^{2} = a^{2}$ , a stąd $a = 5$ .

A zatem suma wszystkich krawędzi wynosi $12 \cdot 5 = 60$ .

Przykład 11

Sinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do ściany bocznej wynosi $\frac{6 \sqrt{3}}{13}$ . Długość tej przekątnej wynosi $13$ . Obliczymy objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R6txcbbrhds9v

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono krótszą przekątną górnej podstawy, przekątną ściany bocznej oraz dłuższą przekątną graniastosłupa. Odcinki te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej ma 90 stopni. Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej jest podpisany literą alfa. Przekątna graniastosłupa ma długość trzynaście. Przekątna podstawy ma długość a3.

W zaznaczonym trójkącie prostokątnym obliczamy długość boku $a \sqrt{3}$ , korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $\sin α = \frac{a \sqrt{3}}{13}$ .

Zatem $\frac{6 \sqrt{3}}{13} = \frac{a \sqrt{3}}{13}$ , a stąd krawędź podstawy $a = 6$ .

Obliczymy teraz wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa.

R1YWuKTe6nRIR

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono dłuższą przekątną dolnej podstawy, krawędź ściany bocznej oraz dłuższą przekątną graniastosłupa. Odcinki te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym kąt pomiędzy przekątną podstawy a krawędzią ściany bocznej ma 90 stopni. Krawędź ściany bocznej podpisano literą H. Przekątna graniastosłupa ma długość trzynaście. Przekątna podstawy ma długość dwanaście.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa

$H^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ . Stąd $H = 5$ .

Wyznaczamy objętość tego graniastosłupa

$V = 6 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 270 \sqrt{3}$ .

Przykład 12

Oblicz pole przekroju sześcianu przedstawionego na rysynku, wiedząc, że cosinus kąta nachylenia przekroju do podstawy wynosi $\frac{10}{11}$ , a krawędź sześcianu ma długość $3$ .

R49ZBCKALnnpo

Grafika przedstawia sześcian, w którym zaznaczono płaszczyznę, płaszczyzna ta ma jedną krawędź wspólną z krawędzią dolnej podstawy i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym.

Kąt nachylenia przekroju do podstawy będzie kątem pomiędzy dłuższym bokiem prostokąta, a krawędzią podstawy.

Oznaczmy go na rysunku przez $α$ .

RIjKazBJncjpF

Grafika przedstawia sześcian, w którym zaznaczono płaszczyznę, płaszczyzna ta ma jedną krawędź wspólną z krawędzią dolnej podstawy. Krawędź podstawy jest równa trzy. Płaszczyzna jest nachylona pod kątem alfa do płaszczyzny podstawy. Krawędzie, które nie są równoległe do płaszczyzny podstawy podpisano literą b.

Mamy więc $\cos α = \frac{10}{11}$ , a stąd $\frac{3}{b} = \frac{10}{11}$ .

Ostatecznie $b = 3, 3$ .

Przekrój jest prostokątem o wymiarach $3 \times 3, 3$ , więc jego pole wynosi

$P = 3 \cdot 3, 3 = 9, 9$ .

Ważne!

Przypomnijmy, że kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie prostymgraniastosłup prostygraniastosłupie prostym mają miarę taką, jak kąty w podstawie tego graniastosłupa.
Wróćmy do Przykładu 1:
W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach $3 cm$ i $4 cm$ i kącie o mierze $60 °$ między nimi. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli wiemy, że krawędź boczna ma długość $6 cm$ .
Zadanie to mogłoby być sformułowane w sposób następujący:
Kąt pomiędzy dwiema ścianami bocznymi graniastosłupa prostego trójkątnego ma miarę $60 °$ . Krawędzie podstawy, na których zbudowane są te ściany, mają długość $3 cm$ i $4 cm$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość $6 cm$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z treścią animacji 3D, a następnie wykonaj polenienia pod nią.

RcxWPvjnC2aaa

Polecenie 4

Na podstawie animacji 3D wyznacz wzór na objętość graniastosłupa pochyłego o podstawie trójkąta równobocznego o krawędzi podstawy $a$ , jeżeli krawędź boczna ma długość $b$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ .

Przypomnij sobie od czego zależy objętość graniastosłupa prostego. Zastanów się, czy dla graniastosłupa pochyłego wzór będzie miał taką samą postać.

V = \frac{a^{2} b \sqrt{3}}{4} \sin α

Wpływ na objętość graniastosłupa prostego ma pole jego podstawy oraz wysokość, która w graniastosłupie prostym jest tożsama z długością krawędzi ściany bocznej graniastosłupa. W graniastosłupie pochyłym wysokość jest różna od długości krawędzi bocznej, dlatego obliczając objętość takiej bryły należy uwzględnić kąt nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny podstawy.

Polecenie 5

Odpowiedz na pytania dotyczące graniastosłupa o podstawie rombu, który pojawia się w animacji 3D:

Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu o boku długości 26 centymetrów. Dłuższa przekątna graniastosłupa o długości 60 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Przy czym $\sin (α) = 0, 6$ . Odpowiedz na następujące pytania:

a) Ile wynosi cosinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną?

b) Ile wynosi cosinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy?

a) $0, 6$ ;

b) $\frac{13}{30}$ .

R1QNxvHiwukal1

Ćwiczenie 1

R8ANiNtEzJKbw1

Ćwiczenie 2

Rj2m5dpJAQTkO21

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Firma “FIRE” produkująca świece ozdobne kupiła pewną ilość wosku. Będzie sprzedawać świece w cenie $6 zł$ za sztukę. Który model świec w kształcie graniastosłupa prawidłowego powinna wybrać, aby przychód ze sprzedaży świec był największy?

ReFWSPuGQ8C9y

R1QJCrMLZppRh

Zastanawiamy się, których świec firma będzie mogła wyprodukować najwięcej.

Obliczamy objętość wosku potrzebną do wyprodukowania każdego rodzaju świecy:

$V_{A} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} \cdot 8 = 12 \sqrt{3} \approx 20, 78 [c m^{3}]$

$V_{B} = 4 \cdot 6 = 24 [{c m}^{3}]$

$V_{C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 7 = 15, 75 \sqrt{3} \approx 27, 28 [c m^{3}]$

Mamy $V_{A} < V_{B} < V_{C}$ .

Najwięcej można wyprodukować świec zaprezentowanych w podpunkcie $A$ .

Ćwiczenie 5

Zosia chce wykonać pudełko z wiekiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy i wysokości równej $18 cm$ z siatki, której szkic znajduje się poniżej.

RXraqiv1KCO1E

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa składającą się z trzech kwadratów ułożonych obok siebie. Do górnej oraz dolnej krawędzi drugiego kwadratu przylega trójkąt. Do górnej krawędzi pierwszego kwadratu przylega mały trapez, będący zakładką, do górnej oraz prawej krawędzi trzeciego kwadratu przylega trapez również będący zakładką.

Dodatkowo Zosia chce, aby odcinek o długości równej sumie trzech boków kwadratu był równoległy do krawędzi kartki. Zosia uwzględnia trzy zakładki w kształcie trapezu równoramiennego o podstawach $18 cm$ i $16 cm$ i wysokości $1 cm$ . Rozważa zakup jednego z poniższych formatów papieru:

A2: $420 mm \times 594 mm$ ;
B2: $500 mm \times 707 mm$ ;
C2: $458 mm \times 648 mm$ .

Doradź Zosi, który arkusz powinna kupić.

Długość siatki graniastosłupa wraz z zakładką wynosi $55 cm$ , czyli długość każdego z formatów papieru jest wystarczająca.

Sprawdźmy, czy szerokość również jest wystarczająca.

Szerokość siatki to suma długości krawędzi bocznej i dwóch wysokości trójkąta równobocznego, czyli

$18 + 2 \cdot \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 18 + 18 \sqrt{3} \approx 49, 14 [c m]$

A zatem zarówno arkusz A2, jak i C2 będzie za wąski na wykonanie tego modelu.

Ćwiczenie 6

Trampolina ogrodowa ma kształt graniastosłupa prawidłowego ośmiokątnego. Wysokość siatki wynosi $240 cm$ , a najdłuższa przekątna podstawy ma długość $320 cm$ . Ile zapłacimy za zakup nowej siatki zewnętrznej na tę trampolinę, jeżeli metr bieżący siatki o wysokości $240 cm$ kosztuje $20 zł$ ?

R1XfG9LHNDQtk

Ilustracja przedstawia trampolinę, która została zabezpieczona siatką rozpostartą na prętach. Wysokość pręta mierzona od płaszczyzny trampoliny ma długość 240 centymetrów. Średnica całej trampoliny wraz z usztywnieniem mierzona między najbardziej odległymi prętami wynosi 320 centymetrów.

Najdłuższa przekątna ośmiokąta foremnego jest średnicą okręgu opisanego na tym ośmiokącie.

RrTaPPUPT4ozl

Ilustracja przedstawia sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Krawędź tego sześciokąta podpisano literą a. W sześciokącie zaznaczono jego środek, który połączono z sąsiadującymi wierzchołkami sześciokąta. Odcinki te mają długość 160 centymetrów a kąt między nimi wynosi 45 stopni.

Obliczymy $a$ korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^{2} = 160^{2} + 160^{2} - 2 \cdot 160^{2} \cdot \cos 45 °$

Czyli $a^{2} = 51200 - 51200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ , a stąd $a^{2} = 51200 - 25600 \sqrt{2} \approx 14996$ . A zatem $a \approx 122, 5 [c m]$ .

Ponieważ cena podana jest za metr bieżący, to wystarczy policzyć sumę wszystkich krawędzi podstawy: $8 a = 8 \cdot 122, 5 c m = 980 c m = 9, 8 m$ .

Będzie trzeba zapłacić $20 \cdot 9, 8 = 196 [z ł]$ .

Ćwiczenie 7

Pan Kowalski ma namiot bez podłogi w kształcie graniastosłupa prostego pięciokątnego o wymiarach jak na rysunku. Wejście namiotu jest zamykane rozwijaną plandeką. Pan Kowalski chciałby go umyć w myjni PCV. Koszt mycia to $2 zł$ za $m^{2}$ , przy czym pole mytej powierzchni przybliża się z nadmiarem do pełnych metrów kwadratowych. Do powierzchni namiotu dodajemy $5 %$ na zakładki i falbanki. Ile pan Nowak zapłaci za mycie namiotu?

RE6OBO60uOj6F

Ilustracja przedstawia namiot o kształcie prostopadłościanu, który został przykryty trójkątnym dachem. Długość tego namiotu ma 6 metrów, jego szerokość ma 2,4 metra. Wysokość od podłoża do dachu ma 2 metry, a wysokość razem z dachem liczona od podłoża do kalenicy ma 2,9 metra.

Najpierw obliczymy długość dwóch pozostałych krawędzi pięciokąta, który jest podstawą tego graniastosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$1, 2^{2} + 0, 9^{2} = b^{2}$

Czyli $b = 1, 5 m$ .

Obliczmy sumę pól ścian, które są prostokątami:

$P = 6 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 1, 5) = 42 [m^{2}]$

Obliczmy pole podstawy (można podzielić ją na prostokąt i trójkąt równoramienny):

$P_{p} = 2, 4 \cdot 2 + \frac{2, 4 \cdot 0, 9}{2} = 5, 88 [m^{2}]$

A zatem $P_{n} = 42 + 2 \cdot 5, 88 = 53, 76 [m^{2}]$ .

Doliczając $5 %$ na zakładki i falbanki mamy: $56, 448 m^{2} \approx 57 m^{2}$ .

Pan Kowalski zapłaci $57 \cdot 2 = 114 [z ł]$ .

Ćwiczenie 8

Jaką powierzchnię ma szkło potrzebne do wyprodukowania świecznika w kształcie graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego o krawędzi podstawy $10 cm$ i wysokości $6, 5 cm$ , jak na rysunku?

R1D7YbOWTjfnk

Ilustracja przedstawia szklany świecznik wewnątrz którego znajduje się świeczka. Świecznik ma kształt graniastosłupa, jego podstawą jest pięciokąt o krawędzi 10 centymetrów. Krawędź boczna tego graniastosłupa ma długość 6,5 centymetra.

Największą trudnością w tym zadaniu jest wyznaczenie pola podstawy. Dla wielokąta foremnego możemy wykorzystać wzór:

$P = n \cdot \frac{R^{2} \cdot \sin α}{2}$

gdzie:
$n$ – jest liczbą boków,
$R$ – promieniem okręgu opisanego na tym wielokącie,
$α$ – kątem środkowym wyznaczonym przez odcinki łączące sąsiednie wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

RqTEooGwVVOEG

Ilustracja przedstawia pięciokąt wpisany w krąg. Krawędź pięciokąta ma długość 10. W pięciokącie zaznaczono jego środek z którego poprowadzono odcinki do wierzchołków pięciokąta, odcinki te podpisano literą R, kąt między tymi odcinkami wynosi 72 stopnie.

Obliczymy $R$ z twierdzenia cosinusów. Posłużymy się przybliżoną wartością $\cos 72 °$ odczytaną z tablic trygonometrycznych.

$10^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 \cdot R^{2} \cdot \cos 72 °$

Czyli $100 = 2 \cdot R^{2} - 0, 618 \cdot R^{2}$ , a stąd $1, 382 \cdot R^{2} = 100$ .

Mamy więc $R^{2} \approx 72, 36$ .

Pole podstawy wynosi więc w przybliżeniu

$P_{p} = 5 \cdot \frac{72, 36 \cdot \sin 72^{\circ}}{2} \approx 172, 05 [{c m}^{2}]$

Powierzchnia szkła wynosi $P = 172, 05 + 5 \cdot 10 \cdot 6, 5 = 497, 05 [{c m}^{2}]$ .

Ćwiczenie 9

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy. Jego krawędź podstawy ma długość $a$ , a wysokość wynosi $H$ .

R1PIsl4tRknSR

Grafika przedstawia graniastosłup sześciokątny. Krawędź boczna graniastosłupa jest podpisana literą H, a krawędź podstawy jest podpisana literą a. W graniastosłupie zaznaczone są dwa trójkąty. Pierwszy z nich składa się z krawędzi bocznej, dłuższej przekątnej graniastosłupa i dłuższej przekątnej podstawy graniastosłupa. Drugi z nich składa się z krawędzi bocznej, krótszej przekątnej graniastosłupa i krótszej przekątnej podstawy.

R1cvvxDPcCEbp

Ćwiczenie 10

Graniastosłup $A B C D I J K L$ jest prostopadłościanem.

RulRRo5vmz8P1

Grafika przedstawia prostopadłościan, w którym wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy to I, J, K, L. Dłuższa krawędź podstawy BC wraz przekątną krótszej ściany bocznej CL oraz przekątną prostopadłościanu BL tworzy pierwszy trójkąt. Przekątna podstawy AC, wraz z krawędzią ściany bocznej AI i przekątną prostopadłościanu CI również tworzą trójkąt. W prostopadłościanie zaznaczono również przekątną dłuższej ściany bocznej I.

R11ENCQEiLpen

Uzupełnij zdania przeciągając odpowiedzi w poprawne miejsca.

Sinus kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy jest równy cosinusowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Tangens ∡ A I D jest równy tangensowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Sinus kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy jest równy cosinusowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Cosinus ∡ B L D jest równy sinusowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Sinus ∡ B I C jest równy cosinusowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Tangens ∡ B A J jest równy tangensowi 1. ∡ B L C, 2. ∡ J C K, 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. ∡ K L C, 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.

Ćwiczenie 11

Graniastosłup na rysunku jest prosty. Wiemy, że $\cos α = \frac{3}{5}$ , a długość wysokości graniastosłupa wynosi $4$ .

ReKVqSOsP3P6u

Grafika przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta, gdzie wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C a wierzchołki górnej podstawy to G, H, I. W graniastosłupie zaznaczono kąt alfa pomiędzy krawędziami podstawy GH oraz GI. W graniastosłupie zaznaczono również kąt beta pomiędzy przekątną ściany bocznej BI i krawędzią podstawy BC. Jedno z ramion podstawy GH ma długość 3, a bok GI ma długość pięć.

RjRVgokYyjaaf

Ćwiczenie 12

Graniastosłup na rysunku jest sześcianem.

R1edc2HSPaFdE

Grafika przedstawia sześcian, w którym zaznaczono kąt alfa pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią ściany bocznej, kąt beta pomiędzy przekątną ściany bocznej i krawędzią górnej podstawy, kąt gamma pomiędzy przekątną ściany bocznej i krawędzią ściany bocznej oraz kąt delta pomiędzy przekątną podstawy i przekątną graniastosłupa.

RHUYjs8bYd4m7

R1X4gfp9r23uh

R15iqhLDgXDbZ

Ćwiczenie 13

Kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do podstawy wynosi $30 °$ , a długość krawędzi bocznej jest równa $4$ . Oblicz miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1dVaSa1xFZx6

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono kąt pomiędzy dłuższą przekątną dolnej podstawy i dłuższą przekątną graniastosłupa, ma on wartość 30 stopni. Kąt pomiędzy krótszą przekątną podstawy i krótszą przekątną graniastosłupa podpisano literą alfa. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa ma długość cztery.

Obliczmy długość krawędzi podstawy

$tg 30 ° = \frac{4}{2 a}$ , czyli $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{a}$ .

Mamy zatem $a = 2 \sqrt{3}$ .

Obliczmy długość krótszej przekątnej podstawy $a \sqrt{3} = 6$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy $tg α = \frac{4}{6} \approx 0, 6667$ .

A zatem $α \approx 33 °$ .

Ćwiczenie 14

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny jak na rysunku.

RSCMm4bWqn4SY

Grafika przedstawia trapez prostokątny, w którym kąt pomiędzy ukośnym ramieniem a dłuższą podstawą jest równy 45 stopni. Dłuższa podstawa ma długość cztery, krótsza podstawa ma długość dwa. Pionowe ramię trapezu ma długość dwa.

Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa, jeżeli sinus kąta pomiędzy przekątnymi najmniejszych ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka wynosi $0, 6$ .

Krótsza przekątna oraz dłuższe ramię trapezu są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równych $2$ , a zatem mają długość $2 \sqrt{2}$ .

R1S5dMar7iwfx

Grafika przedstawia trapez prostokątny, w którym kąt pomiędzy ukośnym ramieniem a dłuższą podstawą jest równy 45 stopni. W trapezie narysowano wysokość, która dzieli trapez na trójkąt i kwadrat. Dłuższa podstawa została podzielona na dwa odcinki o długości dwa, krótsza podstawa ma długość dwa. Pionowe ramię trapezu ma długość dwa oraz wysokość ma długość dwa. Przekątna powstałego kwadratu ma długość 22. Ukośne ramię trapezu ma długość 22.

Narysujmy ten graniastosłup i oznaczmy kąt, o którym mowa w zadaniu przez $α$ .

R1KTdWhmyNWcv

Grafika przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego. W podstawie znajduje się trapez, którego ukośne ramię jest pod kątem 45 stopni do podstawy. Prostopadłe ramię ma długość dwa. Krótsza podstawa ma długość dwa. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa podpisano literą H. W graniastosłupie zaznaczono przekątne ścian bocznych przylegających bo boków podstawy o długości dwa. Każdą z przekątnych podpisano literą c. Na górnej podstawie zaznaczono przekątną podstawy, która ma długość 22. Kąt pomiędzy przekątnymi ścian bocznych zaznaczono literą alfa.

Mamy, że $\sin α = 0, 6$ .

Możemy obliczyć długość przekątnej $c$ z twierdzenia cosinusów.

Obliczmy więc $\cos α$ z jedynki trygonometrycznej

${(0, 6)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , a stąd $\cos^{2} α = 0, 64$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, to $\cos α = 0, 8$ .

Obliczmy $c^{2}$ .

${(2 \sqrt{2})}^{2} = c^{2} + c^{2} - 2 \cdot c^{2} \cdot \cos α$ .

A stąd $8 = 2 c^{2} - 2 c^{2} \cdot 0, 8$ , czyli $c^{2} = 20$ .

Obliczmy $H$ z twierdzenia Pitagorasa

$4 + H^{2} = 20$ , a stąd $H = 4$ .

Możemy już obliczyć pole całkowite tego graniastosłupa

$P_{c} = 2 \cdot \frac{(2 + 4) \cdot 2}{2} + 4 \cdot (2 + 2 + 4 + 2 \sqrt{2}) =$

$= 12 + 32 + 8 \sqrt{2} = 44 + 8 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 15

Stosunek długości krawędzi podstawy do krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $2 : 3$ . Oblicz kąt nachylenia przekroju, którego bokami są przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Zauważmy, że kąt nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy wysokością przekroju wychodzącą ze wspólnego wierzchołka przekątnych ścian bocznych oraz połową przekątnej podstawy. Odcinki te są bokami trójkąta prostokątnego, którego drugą z przyprostokątnych jest krawędź boczna.

Niech $a = 2 x$ i $H = 3 x$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1DDDERYEJEj6

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty czworokątny o krawędzi podstawy 2 x oraz o wysokości 3 x. W górnej podstawie poprowadzono przekątną o długości x pierwiastek kwadratowy z dwa. Z końców przekątnej poprowadzono dwie przekątne ścian do jednego wierzchołka, tworząc w ten sposób trójkąt równoramienny, którego ramiona to przekątne sąsiadujących ścian bryły, a podstawa tego trójkąta to przekątna górnej podstawy bryły. Poprowadzono wysokość trójkąta na jego podstawę. Wysokość ta jest jednocześnie przekątną drugiego zaznaczonego na rysunku trójkąta, który jest prostokątny. Przyprostokątne tego trójkąta to połowa drugiej przekątnej górnej podstawy o długości x pierwiastków z dwóch przez dwa bryły oraz krawędź ściany o długości 3 x.

Szukany kąt został oznaczony przez $β$ .

Mamy więc $tg β = \frac{3 x}{x \sqrt{2}} \approx 2, 1213$ .

A stąd $β \approx 65 °$ .

Ćwiczenie 16

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt jak na rysunku.

RzYsXrG3uSfQw

Grafika przedstawia trójkąt, którego podstawę podpisano literą c i jej długość jest równa osiem. Prawe ramię a jest nachylone do podstawy pod kątem beta równym 105 stopni. Lewe ramię podpisane jest literą b i jest ono nachylone do podstawy pod kątem alfa równa się 45 stopni.

Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli objętość wynosi $64$ . Przyjmij $\sin 105 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Z twierdzenia sinusów

$\frac{8}{\sin 30 °} = \frac{a}{\sin 45 °}$ , a zatem $\frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

Stąd $16 = a \sqrt{2}$ i ostatecznie $a = 8 \sqrt{2}$ .

Obliczamy pole tego trójkąta

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} =$

$= 8 \sqrt{12} + 16 = 16 \sqrt{3} + 16 = 16 (\sqrt{3} + 1)$ .

Podstawiając do wzoru na objętość mamy

$64 = 16 (\sqrt{3} + 1) \cdot H$ , a stąd $H = \frac{4}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = 2 (\sqrt{3} - 1)$ .

Słownik

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny

wysokość graniastosłupa

odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami różnych podstaw graniastosłupa

prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

2. Objętość graniastosłupa

4. Pole powierzchni ostrosłupa