6. Ostrosłupy - zadania różne - M_R_W23_M3 Pole powierzchni i objętość brył

R1GEwn8Yo0q4F

6. Ostrosłupy - zadania różne

Gdzie, w życiu codziennym, spotykamy ostrosłupy?
Czy umiejętności obliczania ich pól i objętości są przydatne?
W jaki sposób wykorzystamy wiedzę o kątach nachylenia krawędzi i ścian bocznych ostrosłupów?

W tym materiale odpowiemy na wszystkie te pytania.

R1Bvz4KDXY3tM

Zdjęcie przedstawia szklaną piramidę w Luwrze, która została sfotografowana nocą i jest podświetlona. — Piramida Luwru w Paryżu
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Zastosujesz w sytuacjach praktycznych wzory dotyczące ostrosłupów.
Obliczysz miary kątów nachylenia ścian i długości krawędzi bocznych przedmiotów w kształcie ostrosłupów.
Wykorzystasz wiedzę i umiejętności dotyczące ostrosłupów w określaniu kosztów remontu

Ostrosłupy w życiu codziennym spotykamy najczęściej patrząc na dachy naszych domów. Jednak tutaj musimy zwrócić uwagę na nazewnictwo. Bo o ile w ostrosłupach mamy krawędzie boczne to tutaj będą kalenice, krawędzie podstawy to z kolei – murłaty. Kiedy liczymy objętość budynku w kształcie ostrosłupa (np. piramidy) to liczymy oczywiście kubaturę. Te nazwy są ważne, gdyż inaczej nie zrozumiemy, co jest do policzenia w poniższych zadaniach.

Przykład 1

Metr kwadratowy dachówki kosztuje $25 zł$ . Obliczymy koszt pokrycia dachu w kształcie ostrosłupa o podstawie prostokąta (rysunek ostrosłupa poniżej). Przy obliczeniach przyjmiemy, że $10 %$ zakupionej dachówki nie zostanie wykorzystane.

R1BFgWVhJ3STS

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt. Jeden z boków prostokąta ma długość 12 metrów. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 8 metrów, kąt pomiędzy dwoma krawędziami bocznymi, które przylegają do krawędzi podstawy o nieznanej długości ma wartość 86 stopni.

Rozwiązanie:

W zadaniu należy obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Zaczniemy od policzenia długości drugiej krawędzi podstawy. Oznaczymy ją jako $x$ . Zaznaczymy także wysokości ścian bocznych $h_{1}$ i $h_{2}$ .

RK8YCBRI6zwRu

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 86 °$

$x^{2} \approx 119$

$x \approx 10, 9 m$

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Wyznaczymy długości ich wysokości. Nazwiemy je odpowiednio $h_{1}$ i $h_{2}$ .

$h_{1}^{2} = 8^{2} - 6^{2}$

$h_{1}^{2} = 28$

$h_{1} = 2 \sqrt{7} \approx 5, 3 m$

$P_{1} = 31, 8 m^{2}$

$h_{2}^{2} = 8^{2} - 5, 45^{2}$

$h_{2}^{2} \approx 34, 3$

$h_{2} \approx 5, 9 m$

$P_{2} = 32, 2 m^{2}$

$P_{b} = 2 \cdot 31, 8 + 2 \cdot 32, 2 = 128 m^{2}$

Dokładamy $10 %$ na tzw. odpad, więc potrzebujemy $1, 1 \cdot 128 = 140, 8 m^{2}$ blachodachówki.

$140, 8 m^{2} \cdot 25 \frac{zł}{m^{2}} = 3520 zł$ .

Przykład 2

Wigwam o wysokości $6 m$ , w kształcie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, pokryto gontem bitumicznym.

RoIct5BztWSjV

Zdjęcie przedstawia wigwam, czyli namiot wykonany z drewnianych badyli i materiałowej narzuty. Obiekt ten ma kształt ostrosłupa i znajduje się na łące.

Obliczymy, ile go potrzeba, jeśli wiemy, że pokryto nim $5$ ścian, które są nachylone do podstawy pod kątem $60 °$ .

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia. Niech $a$ – długość wysokości trójkąta równobocznego, na jakie został podzielony sześciokąt foremny, oraz $x$ – długość krawędzi podstawy.

R1B8SDk6qukQ3

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny. Krawędź podstawy oznaczono literą x. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S, spodek wysokości poprowadzonej z tego wierzchołka oznaczono literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny składający się z wysokości ostrosłupa, odcinka AS zaznaczonego w ścianie ostrosłupa, gdzie punkt A leży na krawędzi podstawy oraz odcinka OA leżącego w płaszczyźnie podstawy. Kąt AOS jest kątem prostym. Kąt OAS ma wartość 60 stopni. Wysokość ostrosłupa ma długość sześć.

Z zależności w trójkącie prostokątnym o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ :

$6 = a \sqrt{3}$

$a = 2 \sqrt{3}$

Zatem $|O A| = 2 \sqrt{3}$ , $|S A| = 4 \sqrt{3}$ .

Obliczymy długość krawędzi podstawy. Odcinek $O A$ jest wysokością trójkąta równobocznego, więc $2 \sqrt{3} = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ , $x = 4$ .

Pole ściany bocznej ma miarę:

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{3} \approx 13, 856 m^{2}$ .

Gontem pokryto $5$ ścian, więc potrzebujemy go

$13, 856 \cdot 5 \approx 69, 3 m^{2}$ .

Przykład 3

R9x7hkVaqXstu

Grafika przedstawia budkę dla ptaków w kształcie ostrosłupa o podstawie trójkąta, w jednej ze ścian wycięty został okrągły otwór. Budka znajduje się na gałęzi.

Karmnik dla ptaków ma mieć kształt czworościanu foremnego o krawędzi długości $80 cm$ . Aby go precyzyjnie wykonać, trzeba znać miary kątów pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy i kąt nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy. Obliczymy je.

Rozwiązanie:

Ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości $80 cm$ . Odcinki zaznaczone na rysunku jako $x$ są wysokościami tych trójkątów.

Zaczniemy od kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi. Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenie:

$x$ - wysokość ścian bocznych,

$α$ - kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami.

RAZlhKK3YuyyN

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta A B C, długość krawędzi AB wynosi 80 centymetrów. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. W ścianie bocznej A B S zaznaczono wysokość, opuszczoną z wierzchołka A na krawędź BS, spodek tej wysokości podpisano literą D. W ścianie BCS również zaznaczono wysokość opuszczoną z wierzchołka C na krawędź BS, długość tej wysokości ma długość x, a spodek tej wysokości to punkt D. Kąt ADC podpisano literą alfa.

Ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości $80 cm$ . Odcinki zaznaczone na rysunku jako $x$ są wysokościami tych trójkątów.

$x = \frac{80 \sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3}$

Aby obliczyć miarę kąta $α$ , wykorzystamy twierdzenie cosinusów:

$80^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos α$

$6400 = 4800 + 4800 - 9600 \cos α$

$\cos α = \frac{1}{3}$

$α \approx 70 °$

Obliczymy teraz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

R14r11ftFgVhc

$β$ - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

$r = \frac{80 \sqrt{3}}{6} = \frac{40 \sqrt{3}}{3}$

$x$ - wysokość trójkąta równobocznego

$x = \frac{80 \sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3}$

$\cos β = \frac{r}{x}$

$\cos β = \frac{\frac{40 \sqrt{3}}{3}}{40 \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

$β \approx 70 °$

Policzymy miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

RYl8CwEk7wpXj

$γ$ - kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,

$R$ - promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

$R = \frac{80 \sqrt{3}}{3}$

$cosγ = \frac{\frac{80 \sqrt{3}}{3}}{80} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$γ \approx 55^{\circ}$

Przykład 4

Architekt zaprojektował dach domu w kształcie ostrosłupa prostegoostrosłup prostyostrosłupa prostego o podstawie prostokąta o wymiarach $8 m \times 6 m$ . Z projektu wynika, że tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa wynosi $\frac{1}{5}$ . Aby dobrze wymierzyć rozmieszczenie kalenic, musimy poznać miarę kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa. Wyznaczymy ich miarę.

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy oznaczenie pomocnicze: niech $d$ – długość przekątnej prostokąta, $H$ – długość wysokości ostrosłupa, $x$ – długości krawędzi bocznych, $γ$ - miara kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

RI96pGl6iWsrj

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o długości boków 8 oraz sześć. W podstawie zaznaczono jej przekątną i podpisano ją literą d. Kąt pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy podpisano literą gamma. Długość krawędzi bocznej podpisano literą x. Spodek wysokości H leży na przekątnej podstawy.

$d^{2} = 8^{2} + 6^{2}$

$d = 10$

$tg γ = \frac{H}{\frac{1}{2} d}$

$\frac{1}{5} = \frac{H}{5}$

$H = 1$

$x$ - długości krawędzi bocznych

$x^{2} = 1^{2} + 5^{2}$

$x = \sqrt{26}$

Zobaczmy na rysunku, gdzie leżą kąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupakąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupa. Oznaczmy je jako $α$ i $β$ .

R1E69qLdgKTXc

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o długości boków 8 oraz sześć. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi, ściany bocznej przylegającej do krawędzi podstawy o długości 6 podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi, ściany bocznej przylegającej do krawędzi podstawy o długości 8 podpisano literą beta. Długość krawędzi bocznych podpisano literą x.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$6^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos α$

$36 = 26 + 26 - 52 \cos α$

$\cos α = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

$α \approx 72 °$

$8^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos β$

$64 = 26 + 26 - 52 \cos β$

$\cos β = - \frac{12}{52} = - \frac{3}{13}$

$β \approx 103 °$

Zatem kąty płaskie mają odpowiednio miary $72 °$ i $103 °$ .

Przykład 5

Pan Marek wybudował drewnianą altanę w kształcie ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podłogi $4 m$ . Kąt nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy wynosi $45 °$ . Postanowił zabudować $3$ ściany boczne deskami o grubości $2, 5 cm$ . Metr sześcienny deski kosztuje $700 zł$ . Obliczymy koszt desek potrzebnych na obicie altanki oraz jej kubaturę.

R1F7oK1h6EK0c

Grafika przedstawia altanę wykonaną z drewna, w kształcie ostrosłupa o podstawie kwadratu. Jedna ze ścian bocznych oraz podstawa zostały usunięte. Zatem z drewna wykonane zostały 3 ściany boczne.

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Niech $H$ oznacza długość wysokości ostrosłupa.

W podstawie mamy kwadrat o krawędzi długości $4 m$ , więc jego przekątna ma długość $4 \sqrt{2} m$ .

R1YrGLD4k71vT

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D, krawędź AB ma długość 4 metry, krawędź BC ma również długość 4 metry. W podstawie zaznaczono przekątną AC, która ma długość 42. Kąt pomiędzy przekątną AC i krawędzią boczną CS ma wartość 45 stopni. W ostrosłupie z wierzchołka górnego S opuszczono wysokość, której spodek O leży na przekątnej AC.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny równoramienny. $|O C| = 2 \sqrt{2}$ . Zatem również $H = 2 \sqrt{2}$ , stąd krawędzie boczne ostrosłupa mają długość $4 m$ a ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

Obliczymy pole jednej zabudowanej ściany bocznej:

$P_{b ś} = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \approx 6, 93 m^{2}$

Jeśli pole ściany bocznej pomnożymy przez grubość deski, to otrzymamy ilość metrów sześciennych desek potrzebnych na jej obudowanie:

$2, 5 cm = 0, 025 m$

$6, 93 m^{2} \cdot 0, 025 m \approx 0, 17 m^{3}$

Mamy trzy ściany, więc potrzebujemy: $0, 17 m^{3} \cdot 3 = 0, 51 m^{3}$ desek.

Policzymy koszt desek:

$700 \cdot 0, 51 \approx 357 [zł]$ .

Obliczymy na koniec kubaturę altany (objętość ostrosłupa): $V = \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{32 \sqrt{2}}{3} \approx 15, 08 [m^{3}]$

Odpowiedź: Koszt obudowy $3$ ścian altanki potrzeba $357 zł$ . Kubatura altanki wynosi $15, 08 m^{3}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią filmu edukacyjnego. Zwróć uwagę na to, na którym etapie obliczeń stosuje się wielkości przybliżone.

RykVmY92JVFWP

Polecenie 2

Namiot typu tipi ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości $3 m$ i objętości $13, 5 m^{3}$ . Oblicz długość krawędzi bocznych ostrosłupa.

Obliczmy pole podstawy naszego ostrosłupa.

$P_{p} = \frac{6 \cdot 3^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \cdot 9 \sqrt{3}}{4} = 13, 5 \sqrt{3} m^{2}$

Wiemy, że $V = 13, 5 m^{3}$ .

Zatem wysokość ostrosłupa $(H)$ ma długość:

$13, 5 = \frac{1}{3} \cdot 13, 5 \sqrt{3} \cdot H | : 13, 5$

$1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot H$

$H = \sqrt{3}$

RPK1ngtBMk31l

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny o wierzchołkach A B C D E F, krawędź podstawy ma długość trzy. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S, spodek wysokości H opuszczonej z tego wierzchołka na podstawę podpisano literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny COS.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny. Obliczmy długość krawędzi bocznej $S C$ , wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

${\sqrt{3}}^{2} + 3^{2} = {|S C|}^{2}$

$|S C| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

Zatem krawędzie boczne mają długości równe $2 \sqrt{3} m$ .

Treść do ćwiczeń 1‑3

Rui0js3b4Md5g

Zdjęcie przedstawia budowlę sakralną wykonaną z kamienia, której zwieńczenie ma kształt ostrosłupa. Budowla znajduje się w lesie. — Piramida w Rapie
Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, domena publiczna.

W $1811$ roku w mazurskiej wsi Rapa wybudowano grobowiec, którego kształt przypomina egipskie piramidy. Podstawa zbudowana jest z kamienia polnego, na planie kwadratu. Zewnętrzne wymiary piramidy wynoszą: wysokość – $15, 9 m$ , długość boku podstawy – $10, 4 m$ .

R44OvEux7csrI1

Ćwiczenie 1

RNbnVBeEBdWrt1

Ćwiczenie 2

RoGSlW6z4wONp2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Pan Adam potrzebuje pokryć połać dachu gontem bitumicznym. Kształt dachu przypomina ostrosłup ścięty o krawędziach bocznych równej długości, przedstawiony na rysunku.

ROEOHAtvwYzkh

Ilustracja przedstawia ostrosłup ścięty, którego podstawą jest czworokąt o bokach 12 metrów i 8 metrów. Długość przekroju równoległego do podstawy, który powstał z odcięcia wierzchołka jest równa 3 metry. W bryle zaznaczono trapez, powstały z wysokości H o długości 6 metrów, której spodek leży w punkcie przecięcia przekątnych, wysokości jednej ze ścian bocznych, oraz odcinków łączących te wysokości w płaszczyźnie podstawy oraz w płaszczyźnie przekroju górnego.

R19wZb7TxKEh5

R1cIMN1vP5SiE2

Ćwiczenie 5

Rwryf7G28vEx02

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dom, którego dach przypomina kształtem ostrosłup prosty czworokątny o podstawie trapezu równoramiennego (zobacz rysunek), wybudowano w roku $2002$ . Obecnie wykonano renowację dachu, wymieniając jego pokrycie na dachówkę. Koszt dachówki to $120 zł / m^{2}$ . Oblicz, ile kosztował materiał, jeśli wiemy, że kąt nachylenia kalenicy do płaszczyzny podstawy wynosi $16 °$ .

R1QsrJNDRjRzY

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez. Dłuższa podstawa trapezu ma długość 12 metrów, krótsza podstawa trapezu ma długość 6 metrów, ramiona trapezu mają długość 5 metrów. W podstawie zaznaczono jej obie przekątne. W ostrosłupie narysowano jego wysokość, której spodek leży w punkcie przecięcia przekątnych, a jej długość wynosi 6 metrów. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt, składający się z wysokości, krawędzi bocznej przylegającej do wierzchołka należącego do krótszej podstawy trapezu oraz fragmentu przekątnej podstawy, która łączy te dwa odcinki. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a tą krawędzią boczną ma wartość 16 stopni.

Wykonajmy rysunek pomocniczy i oznaczmy jako $x$ przekątną podstawy trapezu, a $h$ – jej wysokość.

R1PLRPyr0Nzub

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D. W trapezie zaznaczono jego wysokość h opuszczoną z wierzchołka D na podstawę AB, punk przecięcia się wysokości z krawędzią AB podpisano literą E. W trapezie zaznaczono również jego przekątną BD i podpisano ją literą x. Krótsza podstawa CD ma długość 6 metrów. Ramiona AD oraz BC mają długość 5 metrów. Dłuższa podstawa AB ma długość 12 metrów. Odcinek AE ma długość 3 metrów, a odcinek BE ma długość 9 metrów.

Ostrosłup jest prosty, więc wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości, a spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trapezie. Żeby obliczyć promień okręgu (oznaczmy go jako $R$ ), wystarczy policzyć pole trójkąta, który powstanie po poprowadzeniu jednej przekątnej trapezu równoramiennego (pole trójkąta $A B D$ ).

$h^{2} = 5^{2} - 3^{2}$

$h = 4 m$

$x^{2} = 4^{2} + 9^{2}$

$x = \sqrt{97} m \approx 9, 8 m$

$P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 m^{2}$

$P_{Δ} = \frac{a b c}{4 R}$

$24 = \frac{5 \cdot 12 \cdot 9, 8}{4 R}$

$R \approx 6, 13 m$

Obliczmy więc teraz długość kalenicy, czyli krawędzi bocznej (oznaczmy ją jako $b$ ). Wiemy, że jest ona nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $16 °$ , więc:

$\frac{R}{b} = \cos 16 °$

$b = \frac{R}{\cos 16 °}$

$b \approx 6, 38 m$

Aby obliczyć koszt dachówki, musimy policzyć pole powierzchni bocznej naszego dachu.

Pola ścian bocznych:

$h \approx 5, 87 m, P \approx 14, 67 m^{2}$
RRJpmXAqRo6m3
$h \approx 5, 63 m, P \approx 16, 89 m^{2}$
RXuZaj1cEYj2G
$h \approx 2, 17 m, P \approx 13, 01 m^{2}$
Rh7HoDtxsGhJw

$P_{b} = 2 \cdot 14, 67 + 16, 89 + 13, 01 = 59, 24 m^{2} \approx 60 m^{2}$

Możemy policzyć więc koszt naszej dachówki:

$60 m^{2} \cdot 120 \frac{zł}{m^{2}} = 7200 zł$

Ćwiczenie 8

RzXPh98MZeWIN1

Zdjęcie przedstawia szklaną piramidę w Luwrze. — Źródło: pixabay.com, *Luwr*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, licencja: CC 0 1.0.

Piramida Luwru to konstrukcja ze stali i szkła, znajdująca się na dziedzińcu Luwru w Paryżu. Ma $21, 65 m$ wysokości, a bok podstawy ma $35, 42 m$ . W piramidzie znajdują się $603$ tafle szklane o kształcie rombu i $70$ tafli trójkątnych, co daje łącznie $673$ elementy. Nachylenie ścian wynosi $51 °$ (wzorem proporcji była piramida Cheopsa, której nachylenie wynosi $51 ° 50^{'}$ ). Cała konstrukcja waży $180$ ton. Polski biznesmen postanowił stworzyć bryłę, której pole powierzchni będzie $64$ krotnie mniejsze od Piramidy Luwru, ale będzie stworzona z bursztynu (ściany grubości $20 cm$ ). Ile potrzebowałby materiału na realizację swojego pomysłu?

RZuZdtFjoqRTE

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt A B C D. Bok tego czworokąta wynosi 35,42, górny wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Spodek wysokości opuszczonej z tego wierzchołka podpisano literą O. Wysokość ma długość 21,65. W ścianie BCS zaznaczono jej wysokość, spodek tej wysokości leżący na krawędzi BC podpisano literą E, a wysokość podpisano literą h. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej BCS, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa SO oraz odcinek OE o długości 17,71. Kąt OES ma miarę 51 stopni.

Niech $h$ – wysokość ściany bocznej. Mamy więc:

$\frac{21, 65}{h} = \sin 51 °$

$h \approx 27, 86 m$

$P_{b} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 35, 42 \cdot 27, 86 \approx 1973, 6 m^{2}$

$P_{p} \approx 1254, 6 m^{2}$

$P_{c} \approx 3228, 2 m^{2}$

$3228, 2 : 64 \approx 50, 44 m^{2}$

Grubość ścian z bursztynu ma wynosić $20 cm = 0, 2 m$ .

$50, 44 \cdot 0, 2 \approx 10, 09 m^{3}$

Zatem potrzeba około $10$ metrów sześciennych bursztynu na stworzenie bursztynowej piramidy.

Słownik

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup prosty, w którym podstawa jest wielokątem foremnym

ostrosłup prosty

ostrosłup, w którym spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie. Krawędzie boczne ostrosłupa prostego są tej samej długości

kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa

kąt pomiędzy ramionami trójkąta równoramiennego będącego jego ścianą boczną

5. Objętość ostrosłupa

M_R_W23_M3 Pole powierzchni i objętość brył